MODEL CHECKING AUTOMATA-BASED PROGRAMS USING REDUCED TRANSITION GRAPH CONSTRUCTION
УДК 664.8+536.37
Постановка задачи совместного тепломассопереноса при выпекании картофеля с использованием энергии
электромагнитнго поля сверхвысокой частоты
Д.т.н Б.А. Вороненко, к.т.н. Ю.В. Клоков, аспирант Д.А. Гоппе
Санкт петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий, факультет пищевой
инженерии и автоматизации, кафедра ТММП, valdurtera@rambler.ru
Предложена физическая и соответствующая математическая модель тепловой обработки – выпекания – неочищенного картофеля в виде дифференциальных уравнений совместного тепломассопереноса внутри продукта, обусловленного передачей тепла от источника электромагнитного поля сверхвысокой частоты.
Ключевые слова: тепломассоперенос, картофель, выпекание, энергия, электромагнитное поле, сверхвысокая частота, краевая задача.
В соответствии со структурой питания одним из видов углеводосодержащих продуктов питания является картофель выпечной.
Известный процесс выпекания картофеля включает кроме подготовительных операций, в том числе очистку поверхности картофеля от кожуры, воздействие ИК-излучения для получения температуры кулинарной готовности и поверхностной корочки, характерной выпечному картофелю [1].
Одним из эффективных путей интенсификации технологических процессов тепловой обработки пищевых продуктов является использование энергии электромагнитного поля (ЭМП) сверхвысокочастотного диапазона [35]. Нагрев в СВЧ-поле позволяет значительно сократить длительность тепловой обработки, повысить качество готовых изделий, при СВЧ-нагреве отсутствуют какие – либо продукты сгорания. СВЧ-поле проникает в обрабатываемый продукт на значительную глубину, что позволяет осуществить его “объемный нагрев” независимо от теплопроводности.
Исходя из общих подходов пищевой технологии авторами разработан способ, включающий интенсивный нагрев картофеля с кожурой СВЧ-энергией, с последующим ИК-нагревом для получения выпечного изделия, что
1
представляет интерес для медицинских исследований как продукта, имеющего
лечебные свойства. Исследуемый объект – картофель с кожурой (оболочкой),
источник нагрева – электромагнитное поле СВЧ, источник придания колера –
ИК- излучение.
Известны решения задач при СВЧ-нагреве для тел сферической формы, но
без внутреннего источника теплоты [2], а также с источником теплоты, но для
тел несферической формы объекта [3].
Данная работа является постановочной задачей для математического
описания процесса нагрева объекта сферической формы с оболочкой с
источником теплоты.
Механизм переноса вещества и энергии в условиях СВЧ-нагрева
качественно изменяется. Помимо переноса, обусловленного действием
молекулярных сил, большую роль играют явления переноса, связанные с
макроскопическими – молярными процессами типа фильтрации. Молярный
массоперенос вызывается появлением в материале устойчивого градиента
общего давления ∇ р [2]. Наложение молярного переноса на молекулярные
процессы приводит к перестройке механизма переноса и связанной с ней
существенной интенсификации процесса.
На интенсифицирующее действие общего давления, а, возможно, также и
переменного электрического поля на внутренний перенос тепла и массы
вещества в условиях диэлектрического нагрева пищевых продуктов
(капиллярно-пористых тел) в СВЧ-поле указывают значительно большие
значения коэффициентов внутреннего переноса в случаях нагрева в СВЧ-поле в
сравнении с коэффициентами молекулярного переноса в случаях нагрева в
процессах невысокой интенсивности [3].
Все сказанное предполагает использование для исследования и расчета
процесса тепловой обработки – выпекания - картофеля в ЭМП СВЧ дифферен-
циальных уравнений взаимосвязанного тепло – и массопереноса [2, 6].
С учетом особенностей нагрева пищевых продуктов (капиллярно-
пористых тел) в СВЧ-поле соответствующая краевая задача заключается в
решении указанной системы уравнений для однородного и изотропного тела
∂t ∂τ
=
aq∇
2t
+
ερ cq
⋅
∂u ∂τ
+ Qv ; сqγ 0
(1)
∂u ∂τ
=
am∇2u
+ amδ∇2t
+
apcp∇2 p;
(2)
∂p ∂τ
=
am∇2 p −
ε cp
⋅
∂u ∂τ
,
(3)
2
где оператор Лапласа ∇2 в данном случае выражается в сферических
координатах:
∇2
=
∂2 ∂r 2
+
2 r
⋅
∂ ∂r
,
так как форму картофеля принимаем приближенно за тело основной
геометрической формы – сферу.
Уравнение (1) – уравнение внутреннего теплопереноса, уравнения (2) и (3)
описывают перенос массы вещества внутри тела.
При СВЧ – нагреве мощность внутреннего источника снижается в
зависимости от расстояния от поверхности тела по экспоненциальному закону
[3]. В указанной работе получено упрощенное решение для полубесконечного
стержня с мощностью внутреннего источника в виде
Qv = Ae−kx ,
где x – текущая координата. С учетом необходимости получения через время
τk в центре образца конечной температуры tk , удельную мощность внутреннего
источника тепла при электрическом нагреве в нашем случае запишем в виде
Qv
=
Q
0
e
−
k
(
R
−
r
)
+
n
τ τk
,
(4)
где n = tk .
t0
Условия однозначности, соответствующие реальным условиям СВЧ-
обработки картофельных клубней для их выпекания и необходимые для
решения системы уравнений (1) – (3), будут следующими:
t(r, 0) = t0 = const;
(5)
u(r, 0) = u0 = const;
(6)
p(r, 0) = t0 = const;
(7)
∂τ (0,τ ) = ∂u(0,τ ) = ∂p(0,τ ) = 0; ∂r ∂r ∂r
(8)
t(0, r) < ∞; u(0, r) < ∞; p(0, r) < ∞ ;
(9)
∂u(R,τ ) + δ ∂t(R,τ ) = 0 ;
∂r ∂r
(10)
p(R,τ ) = р0 = const;
(11)
t(R,τ ) = tп = const
(12)
3
Равенства (5) – (7) начальные условия; (8) – (9) условия симметрии и физической ограниченности потенциалов переноса. Равенство (11) – граничное условие первого рода, им определяется релаксация избыточного давления на поверхности материала до нормального атмосферного давления.
Граничное условие первого рода – постоянство температуры на поверхности тела – описывается равенством (12).
Следует отметить, что толщиной наружной оболочки картофеля, как значительно меньшей в сравнении с радиусом сферы, пренебрегаем.
Кроме того, как показали авторы работы [3] на основании экспериментальных данных, можно в уравнении (2) пренебречь членом amδ∇2t , т.е. не учитывать процесс термодиффузии влаги и изменение влагосодержания.
Выводы
Предложена физическая и соответствующая математическая модель тепловой обработки – выпекания – неочищенного картофеля в виде дифференциальных уравнений совместного тепломассопереноса внутри продукта, обусловленного передачей тепла от источника электромагнитного поля сверхвысокой частоты.
Аналитическое решение поставленной задачи краевой задачи (1) – (12) позволит получить распределение температуры и влагосодержания в картофеле, т.е. поля температур и влагосодержаний, рассчитать температуру нагрева и энергозатраты, необходимые для доведения продукта до полной готовности.
Полученное решение позволит решать и задачу определения времени термической обработки продукта.
Список литературы
1. Технология продукции общественного питания./ Под ред. Л.Л. Кожина - М.: Мир, Т.1, 2007. - 416с, Т.2, 2007 – 351с.
2. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло – и массопереноса. – М. Л.: Госэнергоиздат, 1963. – 536 с.
3. Рогов И.А., Некрутман С.В. Сверхвысокочастотный и инфракрасный нагрев пищевых продуктов. – М.:Пищевая промышленность 1976.–212 с.
4. СВЧ – энергетика, под ред. Э. Окресса, Т.2 «Применение энергии сверхвысоких частот в промышленности, - М.:Мир, 1971. – 272 с.
4
5. Рогов И.А., Некрутман С.В., Лысов Г.В. Техника сверхвысокочастотного нагрева пищевых продуктов. – М.: Легкая и пищевая промышленность, 1981. – 200 с.
6. Лыков А.В. Система дифференциальных уравнений тепло – и массопереноса в капиллярно-пористых телах (Обзор состояния вопроса). [A.V. Luikov, Systems of differential Equations of Heat and Mass Transfer in capillary – porous Bodies ( Review). International journal of Heat and Mass Transfer, Volume 18, №1, 1975].
Обозначения
t(r,τ ) = t - температура, К; u(r,τ ) = u - влагосодержание, кг/кг; p(r,τ ) = p - избыточное давление, Па; τ - текущее время, с; r - текущая координата, м, R – радиус сферы; aq - коэффициент температуропроводности, м2 / c ; am - коэффициент потенциало (влаго - ) проводности массопереноса жидкости и пара, м2 / c ; ε - коэффициент фазового превращения; ρ - удельная теплота фазового превращения, Дж/кг; δ - термоградиентный коэффициент, 1/К; aР - коэффициент молярного переноса (коэффициент конвективной диффузии, или коэффициент потенциалопроводности фильтрационного давления паровой смеси), м2 / c ; сР - удельная пароемкость среды, м3 / Дж ; γ 0 - плотность абсолютно сухого вещества продукта (картофеля), кг / м3 ; Qo - мощность СВЧ – источника, Дж / м3 ; k - коэффициент поглощения СВЧ-энергии телом, 1/м; Qv - удельная мощность внутреннего источника теплоты, Вт / м3 .
5
A problem of combined heat and mass transfer for potato baked in ultrahigh frequency electromagnetic field
Voronenko B.A., Klokov U.V., Goppe D.A.
Saint-Petersburg State University of Refrigeration and Food Engineering valdurtera@rambler.ru
A physical and a correlating mathematical model of heat processing (baking) unpeeled potato is proposed as a set of differential equations of combined heat and mass transfer due to a source of ultrahigh frequency electromagnetic field.
Keywords: heat and mass transfer, potato, baking, energy, electromagnetic field, ultrahigh frequency, boundary problem.
6
Постановка задачи совместного тепломассопереноса при выпекании картофеля с использованием энергии
электромагнитнго поля сверхвысокой частоты
Д.т.н Б.А. Вороненко, к.т.н. Ю.В. Клоков, аспирант Д.А. Гоппе
Санкт петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий, факультет пищевой
инженерии и автоматизации, кафедра ТММП, valdurtera@rambler.ru
Предложена физическая и соответствующая математическая модель тепловой обработки – выпекания – неочищенного картофеля в виде дифференциальных уравнений совместного тепломассопереноса внутри продукта, обусловленного передачей тепла от источника электромагнитного поля сверхвысокой частоты.
Ключевые слова: тепломассоперенос, картофель, выпекание, энергия, электромагнитное поле, сверхвысокая частота, краевая задача.
В соответствии со структурой питания одним из видов углеводосодержащих продуктов питания является картофель выпечной.
Известный процесс выпекания картофеля включает кроме подготовительных операций, в том числе очистку поверхности картофеля от кожуры, воздействие ИК-излучения для получения температуры кулинарной готовности и поверхностной корочки, характерной выпечному картофелю [1].
Одним из эффективных путей интенсификации технологических процессов тепловой обработки пищевых продуктов является использование энергии электромагнитного поля (ЭМП) сверхвысокочастотного диапазона [35]. Нагрев в СВЧ-поле позволяет значительно сократить длительность тепловой обработки, повысить качество готовых изделий, при СВЧ-нагреве отсутствуют какие – либо продукты сгорания. СВЧ-поле проникает в обрабатываемый продукт на значительную глубину, что позволяет осуществить его “объемный нагрев” независимо от теплопроводности.
Исходя из общих подходов пищевой технологии авторами разработан способ, включающий интенсивный нагрев картофеля с кожурой СВЧ-энергией, с последующим ИК-нагревом для получения выпечного изделия, что
1
представляет интерес для медицинских исследований как продукта, имеющего
лечебные свойства. Исследуемый объект – картофель с кожурой (оболочкой),
источник нагрева – электромагнитное поле СВЧ, источник придания колера –
ИК- излучение.
Известны решения задач при СВЧ-нагреве для тел сферической формы, но
без внутреннего источника теплоты [2], а также с источником теплоты, но для
тел несферической формы объекта [3].
Данная работа является постановочной задачей для математического
описания процесса нагрева объекта сферической формы с оболочкой с
источником теплоты.
Механизм переноса вещества и энергии в условиях СВЧ-нагрева
качественно изменяется. Помимо переноса, обусловленного действием
молекулярных сил, большую роль играют явления переноса, связанные с
макроскопическими – молярными процессами типа фильтрации. Молярный
массоперенос вызывается появлением в материале устойчивого градиента
общего давления ∇ р [2]. Наложение молярного переноса на молекулярные
процессы приводит к перестройке механизма переноса и связанной с ней
существенной интенсификации процесса.
На интенсифицирующее действие общего давления, а, возможно, также и
переменного электрического поля на внутренний перенос тепла и массы
вещества в условиях диэлектрического нагрева пищевых продуктов
(капиллярно-пористых тел) в СВЧ-поле указывают значительно большие
значения коэффициентов внутреннего переноса в случаях нагрева в СВЧ-поле в
сравнении с коэффициентами молекулярного переноса в случаях нагрева в
процессах невысокой интенсивности [3].
Все сказанное предполагает использование для исследования и расчета
процесса тепловой обработки – выпекания - картофеля в ЭМП СВЧ дифферен-
циальных уравнений взаимосвязанного тепло – и массопереноса [2, 6].
С учетом особенностей нагрева пищевых продуктов (капиллярно-
пористых тел) в СВЧ-поле соответствующая краевая задача заключается в
решении указанной системы уравнений для однородного и изотропного тела
∂t ∂τ
=
aq∇
2t
+
ερ cq
⋅
∂u ∂τ
+ Qv ; сqγ 0
(1)
∂u ∂τ
=
am∇2u
+ amδ∇2t
+
apcp∇2 p;
(2)
∂p ∂τ
=
am∇2 p −
ε cp
⋅
∂u ∂τ
,
(3)
2
где оператор Лапласа ∇2 в данном случае выражается в сферических
координатах:
∇2
=
∂2 ∂r 2
+
2 r
⋅
∂ ∂r
,
так как форму картофеля принимаем приближенно за тело основной
геометрической формы – сферу.
Уравнение (1) – уравнение внутреннего теплопереноса, уравнения (2) и (3)
описывают перенос массы вещества внутри тела.
При СВЧ – нагреве мощность внутреннего источника снижается в
зависимости от расстояния от поверхности тела по экспоненциальному закону
[3]. В указанной работе получено упрощенное решение для полубесконечного
стержня с мощностью внутреннего источника в виде
Qv = Ae−kx ,
где x – текущая координата. С учетом необходимости получения через время
τk в центре образца конечной температуры tk , удельную мощность внутреннего
источника тепла при электрическом нагреве в нашем случае запишем в виде
Qv
=
Q
0
e
−
k
(
R
−
r
)
+
n
τ τk
,
(4)
где n = tk .
t0
Условия однозначности, соответствующие реальным условиям СВЧ-
обработки картофельных клубней для их выпекания и необходимые для
решения системы уравнений (1) – (3), будут следующими:
t(r, 0) = t0 = const;
(5)
u(r, 0) = u0 = const;
(6)
p(r, 0) = t0 = const;
(7)
∂τ (0,τ ) = ∂u(0,τ ) = ∂p(0,τ ) = 0; ∂r ∂r ∂r
(8)
t(0, r) < ∞; u(0, r) < ∞; p(0, r) < ∞ ;
(9)
∂u(R,τ ) + δ ∂t(R,τ ) = 0 ;
∂r ∂r
(10)
p(R,τ ) = р0 = const;
(11)
t(R,τ ) = tп = const
(12)
3
Равенства (5) – (7) начальные условия; (8) – (9) условия симметрии и физической ограниченности потенциалов переноса. Равенство (11) – граничное условие первого рода, им определяется релаксация избыточного давления на поверхности материала до нормального атмосферного давления.
Граничное условие первого рода – постоянство температуры на поверхности тела – описывается равенством (12).
Следует отметить, что толщиной наружной оболочки картофеля, как значительно меньшей в сравнении с радиусом сферы, пренебрегаем.
Кроме того, как показали авторы работы [3] на основании экспериментальных данных, можно в уравнении (2) пренебречь членом amδ∇2t , т.е. не учитывать процесс термодиффузии влаги и изменение влагосодержания.
Выводы
Предложена физическая и соответствующая математическая модель тепловой обработки – выпекания – неочищенного картофеля в виде дифференциальных уравнений совместного тепломассопереноса внутри продукта, обусловленного передачей тепла от источника электромагнитного поля сверхвысокой частоты.
Аналитическое решение поставленной задачи краевой задачи (1) – (12) позволит получить распределение температуры и влагосодержания в картофеле, т.е. поля температур и влагосодержаний, рассчитать температуру нагрева и энергозатраты, необходимые для доведения продукта до полной готовности.
Полученное решение позволит решать и задачу определения времени термической обработки продукта.
Список литературы
1. Технология продукции общественного питания./ Под ред. Л.Л. Кожина - М.: Мир, Т.1, 2007. - 416с, Т.2, 2007 – 351с.
2. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло – и массопереноса. – М. Л.: Госэнергоиздат, 1963. – 536 с.
3. Рогов И.А., Некрутман С.В. Сверхвысокочастотный и инфракрасный нагрев пищевых продуктов. – М.:Пищевая промышленность 1976.–212 с.
4. СВЧ – энергетика, под ред. Э. Окресса, Т.2 «Применение энергии сверхвысоких частот в промышленности, - М.:Мир, 1971. – 272 с.
4
5. Рогов И.А., Некрутман С.В., Лысов Г.В. Техника сверхвысокочастотного нагрева пищевых продуктов. – М.: Легкая и пищевая промышленность, 1981. – 200 с.
6. Лыков А.В. Система дифференциальных уравнений тепло – и массопереноса в капиллярно-пористых телах (Обзор состояния вопроса). [A.V. Luikov, Systems of differential Equations of Heat and Mass Transfer in capillary – porous Bodies ( Review). International journal of Heat and Mass Transfer, Volume 18, №1, 1975].
Обозначения
t(r,τ ) = t - температура, К; u(r,τ ) = u - влагосодержание, кг/кг; p(r,τ ) = p - избыточное давление, Па; τ - текущее время, с; r - текущая координата, м, R – радиус сферы; aq - коэффициент температуропроводности, м2 / c ; am - коэффициент потенциало (влаго - ) проводности массопереноса жидкости и пара, м2 / c ; ε - коэффициент фазового превращения; ρ - удельная теплота фазового превращения, Дж/кг; δ - термоградиентный коэффициент, 1/К; aР - коэффициент молярного переноса (коэффициент конвективной диффузии, или коэффициент потенциалопроводности фильтрационного давления паровой смеси), м2 / c ; сР - удельная пароемкость среды, м3 / Дж ; γ 0 - плотность абсолютно сухого вещества продукта (картофеля), кг / м3 ; Qo - мощность СВЧ – источника, Дж / м3 ; k - коэффициент поглощения СВЧ-энергии телом, 1/м; Qv - удельная мощность внутреннего источника теплоты, Вт / м3 .
5
A problem of combined heat and mass transfer for potato baked in ultrahigh frequency electromagnetic field
Voronenko B.A., Klokov U.V., Goppe D.A.
Saint-Petersburg State University of Refrigeration and Food Engineering valdurtera@rambler.ru
A physical and a correlating mathematical model of heat processing (baking) unpeeled potato is proposed as a set of differential equations of combined heat and mass transfer due to a source of ultrahigh frequency electromagnetic field.
Keywords: heat and mass transfer, potato, baking, energy, electromagnetic field, ultrahigh frequency, boundary problem.
6