For example,Бобцов

PROGRAMMED SERVO DRIVE TRAJECTORY SHAPER

С.Ю. Ловлин, М.Х. Цветкова, И.Н. Жданов

УДК 681.5.11
ПРОГРАММИРУЕМЫЙ ФОРМИРОВАТЕЛЬ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ СЛЕДЯЩЕГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА
С.Ю. Ловлин, М.Х. Цветкова, И.Н. Жданов
Рассматривается методика построения траектории движения следящего электропривода с ограничением скорости и ускорения. Особенность поставленной задачи – заранее неизвестна траектория задания, формирователь траектории (ФТ) реализуется в цифровом виде. Ключевые слова: траектория движения, формирователь траектории, задатчик интенсивности, ограничение скорости, ограничение ускорения.
Введение
В системах регулирования положения важную роль играют законы управления движением, обеспечивающие оптимальное протекание процесса позиционирования. В ряде случаев классические законы управления следящими электроприводами, как, например, в установках лазерного раскроя листовых материалов или гравировки, не позволяют достичь требуемых динамических характеристик электромеханических систем – минимальной ошибки отработки заданной траектории движения при максимальном быстродействии, минимальном перерегулировании и ограничениях скорости и ускорения [1].
Данная проблема может быть решена посредством введения задатчика интенсивности (ЗИ) или ФТ на выходе канала задания. В общем случае задача формирования траектории решается при условии, что задание описывается кусочно-постоянной функцией и время между двумя скачкообразными изменениями задающего сигнала больше времени переходного процесса ФТ [2] (или ЗИ [1]). Другими словами, заранее рассчитывается траектория перехода из точки А в точку В, причем за все время переходного процесса точка В не меняется.
Такие ФТ удовлетворяют широкому кругу задач, но не могут быть использованы, например, в задачах слежения телескопов за небесными объектами. За время перехода телескопа от одного спутника к другому последний успевает изменить свое положение, причем его траектория заранее неизвестна. Отсюда возникает необходимость планирования траектории в реальном времени.
Постановка задачи
Задача состоит в разработке ФТ, обладающего следующими качествами: минимальное время переходного процесса, простота реализации, адаптация под изменяющиеся условия задания. Под простотой реализации понимается использование только таких функций, как сложение, умножение, деление. Это

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72)

113

ПРОГРАММИРУЕМЫЙ ФОРМИРОВАТЕЛЬ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ...
необходимо для высокого быстродействия алгоритма ФТ. Также немаловажным является и цифровое исполнение ФТ.
В качестве входных данных ФТ использует: zn, zn1, zn2 – текущее и два предыдущих значения задания; an1, an2, an3 – три предыдущих значения ФТ; wmax – максимальный прирост угла (произведение максимальной скорости на период дискрети-
зации); emax – максимальное дискретное ускорение (произведение максимального ускорения на период
дискретизации в квадрате). В расчетах, приведенных ниже, потребуются также следующие значения:   zn  an1 – разница между заданием и предыдущим значением ЗТ; wa  an1  an2 – прирост выходного сигнала ЗТ; wz  zn  zn1 – прирост сигнала задания; ea  an1  2  an2  an3 – дискретное ускорение выходного сигнала ЗТ; ez  zn  2  zn1  zn2 – дискретное ускорение сигнала задания; w  wz  wa – относительный прирост; e  ez  ea – относительное ускорение. Все вышеприведенные величины измеряются в радианах (это не является обязательным, но необ-
ходимо для облегчения понимания нижеприведенных графиков).
Ограничение скорости и ускорения при скачке задания
Данная задача является упрощенной, так как задающий сигнал считается постоянным.

начало

w=ε

e = w - wa да |e| < emax ? e = emax·sign(e)

нет

w = wa + e да |w| < wmax ? w = wmax·sign(w)

нет

конец
аб Рис. 1. Алгоритм ограничения скорости и ускорения (а) и результат его применения (б)

На рис. 1 изображен результат решения путем обычного ограничения скорости и ускорения. Ана-

лизируя этот график, видим, что переходный процесс носит колебательный характер, а это недопустимо.

Причина такой реакции на скачок – ненулевое значение скорости сигнала ФТ при пересечении траекто-

рии задания.

Таким образом, необходимо добавить функцию торможения в ФТ, т.е. переходный процесс надо

разделить на три этапа – разгон, движение с максимальной скоростью и торможение. Сложность заклю-

чается в поиске точки, в которой необходимо начать торможение. Сначала определим текущие значения

угла и скорости через предыдущие:

wn  wn1  e ,

(1)

n  n1  wn .

(2)

114

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72)

С.Ю. Ловлин, М.Х. Цветкова, И.Н. Жданов

Проанализировав (1) и (2), получим расчеты для вычисления скорости и угла в любой момент времени через начальные значения:

wn  w0  n  e ;

(3)

n



0



n  w0



1 2

n(n 1)  e

.

(4)

В конце торможения скорость изменения сигнала ФТ wn  0 , а само значение ФТ n должно быть равно значению задания. Отсюда и вытекает условие начала торможения:

n





w0 e

;

0

 n



1

2

 

w02 e



w0

 , 

(5)

где w0 – скорость в данный момент времени; 0 – предыдущее значение ЗТ; n – значение задания; e – тормозное ускорение; n – количество тактов вычислений, через которое скорость станет равной нулю.

Результат моделирования данного алгоритма ФТ изображен на рис. 2 (задание и выходной сигнал ФТ на участке от 0 до 2 с). Форма траектории напоминает латинскую букву s, откуда и название – S-

образный ФТ.

Рис. 2. Результат работы ФТ

Ограничение скорости и ускорения при любом виде задания

Выберем систему отсчета, в которой будет проводиться решение поставленной задачи. Совместим

начало координат с текущим значением задания. Скорость и ускорение выбранной системы отсчета в

абсолютной системе координат соответственно равны текущим скорости и ускорению задания. Таким

образом, траектория задания преобразуется в ось абсцисс относительной системы координат. Нетрудно

заметить, что решение такой задачи аналогично предыдущему, т.е. необходимо привести выходной сигнал ФТ из любой точки относительной системы отсчета в начало координат.

Проведем следующие замены:

α0  αn  ε;

w0  w;

(6)

e  e.

Подставим (6) в (5):

n





w e

;

ε



1

2

 

w2 e

 w. 

(7)

Выражение (7) дает нам полное решение поставленной задачи о поиске точки начала торможения.

Алгоритм цифрового ФТ приведен на рис. 3. Особенность цифрового исполнения ФТ заключается в том, что вычисления производятся в дискретные моменты времени. Таким образом, маловероятно, что тор-

мозное ускорение будет приложено в точке начала торможения. Поэтому система прогнозирует ситуа-

цию на следующем периоде дискретизации (переменные Δw1, Δe1max, n1), и если выполняется условие начала торможения, то ФТ формирует тормозное ускорение уже на текущем такте.

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72)

115

ПРОГРАММИРУЕМЫЙ ФОРМИРОВАТЕЛЬ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ...

начало да нет
ε