HARDWARE AND SOFTWARE COMPLEX FOR FINITE STATE MOBILE ROBOT CONTROL STUDY
УДК 637.5
Математическая модель процесса обвалки реберного мяса
Д.т.н. Пеленко В.В., асп. Азаев Р.А., магистрант Иванов Р.А., студентка Фукс Е.В.
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
В статье рассматривается модель работы установки для обвалки реберного мяса. Определены величин перемещения и усилий тяговых штанг, кривизны поверхности толкателя установки, мощности привода установки, напряжений, возникающих в элементах, узлах, костном и мясном сырье. Пользуясь полученными соотношениями представляется возможным рассчитать геометрические и другие параметры установки для обвалки реберного мяса.
Рассматривая физическую модель работы установки для обвалки
реберного мяса, можно составить схему действия сил и нагружения
реберной кости.
Определение величин перемещения и усилий тяговых штанг ( P ),
кривизну поверхности толкателя установки и его усилия ( N ), мощности
привода установки, напряжений, возникающих в элементах, узлах, костном и
мясном сырье, связано с решением дифференциального уравнения упругой
линии балки.
В связи с тем что интенсивность “q” нагрузки на реберную кость со
стороны мясного сырья пропорциональна вертикальному перемещению “y” и
направлена в сторону, противоположную оси “y” можно записать:
q = −ny ,
(1)
где n – коэффициент пропорциональности, представляющий собой текущее
значение напряжения, отрывающего соединительную ткань от кости.
Дифференциальное уравнение упругой линии имеет следующий
известный вид [1]:
EI
d2y dx 2
=
M изг
.
(2)
Дифференцируя уравнение (2) дважды, получим:
EI
d4y dx 4
=
d 2 M изг dx 2
.
(3)
Учитывая дифференциальную зависимость:
d 2 M изг dx 2
=q
(4)
и уравнение (1), запишем (2) в следующей форме:
EI
d4y dx4
+
ny
=
0.
(5)
Обозначим n = 4 k 4 y , получим известное уравнение изогнутой оси EI
балки на упругом основании
d4y dx 4
+
4k
4
y
=
0
.
(6)
Как известно [2] решениями уравнения (6) являются произведения
тригонометрических и гиперболических функций Sinkx * shkx, Coskx*chkx,
Shkx*Coskx, chkx*Sinkx, а так же любые их линейные комбинации.
Наиболее удобными для решения следует выбрать функции Крылова –
комбинации, предложенные А.Н. Крыловым. Они удобны тем, что
производная от каждой из этих функций дает какую – либо другую из этих
же функций.
Таблица функций Крылова имеет [2] нижеследующий вид.
Таблица 1. n Yn (kx) 1 Chkx*Coskx 2 ½(chkx*Sinkx+shkx*Coskx) 3 1/2shkx*Sinkx 4 ¼(chkxSinkx-shkxCoskx)
YnI (kx) − 4kY4 kY1 kY2
kY3
YnII (kx) − 4k 2Y3 − 4k 2Y4 k 2Y1
k 2Y2
Y III n
(kx)
− 4k 3Y2
− 4k 3Y3
− 4k 3Y4
k 3Y1
YnIV (kx) − 4k 4Y4 − 4k 4Y2 − 4k 4Y3
− 4k 4Y4
В таком случае в результате дифференцирования уравнения (6), выражение для вертикального перемещения “y” запишется:
y
=
y0Y1(kx) +
y0′
1 k
Y2
(kx)
+
M0 EI
1 k2
Y3(kx) +
Q0 EI
1 k3
Y4 (kx) ,
(7)
где y0 , y0′ , M0 , Q0 — соответственно перемещения, угол поворота,
изгибающий момент и поперечная сила при х=0. Если принять за начало отсчета левый край бруса, то, с учетом малой
кривизны, очевидно,
Q0 = 0 ; M0 = 0.
Величины y0 и y 0′ определим из граничных условий:
при
x
=
l 2
,
y0 = 0 ,
Q
=
N 2
.
С учетом соотношений таблицы 1 получаем:
1 k
y′
=
−4 y0Y4 (kx)
+
y0′
1 k
Y1 (kx)
;
(8)
1 k2
y′′ = −4 y0Y3 (kx) −
y0′
4 k
Y4
(kx)
;
(9)
1 k3
y′′′ =
−4 y0Y2 (kx) −
y0′
4 k
Y3
(kx)
.
(10)
Граничные условия примут следующий вид:
−
4
y
0Y4
(
kl 2
)
+
y0′
1 k
Y1
(
kl 2
)
=
0
;
(11)
−
kl 4 y0Y2 ( 2
)
−
y0′
4 k
kl Y3( 2
)
=
N 2EIk 3
.
(12)
Из уравнений (11) и (12) найдем перемещение y0 угол поворота y0′ балки при x=0.
y0
=
N 8EIk 3
Y2
(
kl 2
−
Y1
(
kl 2
)
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
;
(13)
y0′ k
=
N 8EIk 3
−
Y4
(
kl 2
)
Y2
(
kl 2
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
.
Величины y , y′ и y ′′ принимают в таком случае вид:
(14)
y
=
−N 0[Y1 (
kl 2
)Y1 (kx)
+
Y4
(
kl 2
)Y2
(kx)]
;
(15)
y′
=
4
N
0
k[Y1
(
kl 2
)Y4
(kx)
−
Y4
(
kl 2
)Y2
(kx)]
;
(16)
y
′′
=
4
N
0
k
2
[Y1
(
kl 2
)Y3
(kx)
+
Y4
(
kl 2
)Y4
(kx)]
,
(17)
где
N0
=
N 8EIk 3
1
Y1
(
kl 2
)Y2
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
.
(18)
Неопределенной величиной в полученной модели является коэффициент
пропорциональности “n” в уравнении (5), входящий в выражение для “k”.
Найти значение “n” позволяет граничное условие, записанное для уравнения
(1) в арифметческой форме при x=0, q =ny0 =σc, где σ c - адгезионная
прочность связи соединительной ткани мясного сырья с поверхностью
реберной кости.
Таким образом, имеем следующее соотношение для определения
коэффициента “n”:
n
=
σc y0
;
(19)
k4
=
σc 4EI
;
y0
=
σc 4EIk 4
.
(20)
Подставляя уравнение (20) в (13) и приводя к арифметическому виду,
получаем:
σc 4EIk 4
=
N 8EIk 3
Y1
(
kl 2
)
Y2
(
kl 2
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
.
Откуда находим выражение для “k”
k
=
2σ
c
[Y2
(
kl 2
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)]
kl
.
NY1 ( 2 )
(21)
Уравнение (21) является трансцендентным относительно “k”. Решая его
методом итераций, определяем величину “k”.
Далее, в соответствии с принятым обозначением для уравнения (5),
находим искомое значение “n”:
n = 4EIk 4 .
Проведем численную оценку полученных результатов.
Для реальных значений N = 50 Н , σ с = 100Н / М , из уравнения (21)
находим величину k = 4,7 м−1 для материала кости E = 1010 Па .
Для поперечного сечения кости эллиптической формы имеем:
I
=
πab3 64
,
где a, b – большая и малая полуоси эллипса.
Статистические исследования размерных характеристик определенного
вида реберных костей дают величины:
а = 0,0146 м , b = 0,0035 м.
В этом случае получаем:
I ≈ 30,7 ⋅10−12
n = 600
q = 600 y
Величина N0 запишется:
N0
=
kl kl 51[Y1( 2 )Y2 ( 2
10 )+
kl kl 4Y3( 2 )Y4 ( 2 )]
.
(23)
Пользуясь значениями тригонометрических и гиперболических
функций, в соответствии с выражениями Yn (kx) таблицы 1, найдем при
l = 0,4 м :
Y1
(
kl 2
)
=
0,870
; Y2
(
kl 2
)
=
0,916
;
Y3
(
kl 2
)
=
0,438
;
Y4
(
kl 2
)
=
0,138
.
Уравнения 15-19 примут следующий вид:
N0 = 3,78 ⋅10−3 N
(24)
Для N = 50 Н имеем N0 = 0,189 :
y = 0,189[0,870Y1(kx) + 0,552Y2 (kx)] .
(25)
Угол поворота сечения θ:
θ = y′ = 3,553[0,870Y4 (kx) − 0,138Y1(kx)]; M = EIy′′ = 5,1[0,870Y3 (kx) + 0,552Y4 (kx)].
(26) (27)
Пользуясь полученными соотношениями представляется возможным рассчитать кривизну y′′ опорной цилиндрической поверхности установки
для обвалки реберного мяса, а так же величину “y” хода элементов привода
для перемещения краевых сечений установочной пластины.
В частности:
ymax = y0 = y(0) = 0.167 м
M max
=
M(l ) 2
=
2.343
H
⋅
м
R = 0.128 м
ρ = 1 = 7.813 м−1 R
Список литературы
1. Ю.Н. Работнов. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.744 с.
2. В.И. Феодосьев. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1967. 376 с.
Математическая модель процесса обвалки реберного мяса
Д.т.н. Пеленко В.В., асп. Азаев Р.А., магистрант Иванов Р.А., студентка Фукс Е.В.
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
В статье рассматривается модель работы установки для обвалки реберного мяса. Определены величин перемещения и усилий тяговых штанг, кривизны поверхности толкателя установки, мощности привода установки, напряжений, возникающих в элементах, узлах, костном и мясном сырье. Пользуясь полученными соотношениями представляется возможным рассчитать геометрические и другие параметры установки для обвалки реберного мяса.
Рассматривая физическую модель работы установки для обвалки
реберного мяса, можно составить схему действия сил и нагружения
реберной кости.
Определение величин перемещения и усилий тяговых штанг ( P ),
кривизну поверхности толкателя установки и его усилия ( N ), мощности
привода установки, напряжений, возникающих в элементах, узлах, костном и
мясном сырье, связано с решением дифференциального уравнения упругой
линии балки.
В связи с тем что интенсивность “q” нагрузки на реберную кость со
стороны мясного сырья пропорциональна вертикальному перемещению “y” и
направлена в сторону, противоположную оси “y” можно записать:
q = −ny ,
(1)
где n – коэффициент пропорциональности, представляющий собой текущее
значение напряжения, отрывающего соединительную ткань от кости.
Дифференциальное уравнение упругой линии имеет следующий
известный вид [1]:
EI
d2y dx 2
=
M изг
.
(2)
Дифференцируя уравнение (2) дважды, получим:
EI
d4y dx 4
=
d 2 M изг dx 2
.
(3)
Учитывая дифференциальную зависимость:
d 2 M изг dx 2
=q
(4)
и уравнение (1), запишем (2) в следующей форме:
EI
d4y dx4
+
ny
=
0.
(5)
Обозначим n = 4 k 4 y , получим известное уравнение изогнутой оси EI
балки на упругом основании
d4y dx 4
+
4k
4
y
=
0
.
(6)
Как известно [2] решениями уравнения (6) являются произведения
тригонометрических и гиперболических функций Sinkx * shkx, Coskx*chkx,
Shkx*Coskx, chkx*Sinkx, а так же любые их линейные комбинации.
Наиболее удобными для решения следует выбрать функции Крылова –
комбинации, предложенные А.Н. Крыловым. Они удобны тем, что
производная от каждой из этих функций дает какую – либо другую из этих
же функций.
Таблица функций Крылова имеет [2] нижеследующий вид.
Таблица 1. n Yn (kx) 1 Chkx*Coskx 2 ½(chkx*Sinkx+shkx*Coskx) 3 1/2shkx*Sinkx 4 ¼(chkxSinkx-shkxCoskx)
YnI (kx) − 4kY4 kY1 kY2
kY3
YnII (kx) − 4k 2Y3 − 4k 2Y4 k 2Y1
k 2Y2
Y III n
(kx)
− 4k 3Y2
− 4k 3Y3
− 4k 3Y4
k 3Y1
YnIV (kx) − 4k 4Y4 − 4k 4Y2 − 4k 4Y3
− 4k 4Y4
В таком случае в результате дифференцирования уравнения (6), выражение для вертикального перемещения “y” запишется:
y
=
y0Y1(kx) +
y0′
1 k
Y2
(kx)
+
M0 EI
1 k2
Y3(kx) +
Q0 EI
1 k3
Y4 (kx) ,
(7)
где y0 , y0′ , M0 , Q0 — соответственно перемещения, угол поворота,
изгибающий момент и поперечная сила при х=0. Если принять за начало отсчета левый край бруса, то, с учетом малой
кривизны, очевидно,
Q0 = 0 ; M0 = 0.
Величины y0 и y 0′ определим из граничных условий:
при
x
=
l 2
,
y0 = 0 ,
Q
=
N 2
.
С учетом соотношений таблицы 1 получаем:
1 k
y′
=
−4 y0Y4 (kx)
+
y0′
1 k
Y1 (kx)
;
(8)
1 k2
y′′ = −4 y0Y3 (kx) −
y0′
4 k
Y4
(kx)
;
(9)
1 k3
y′′′ =
−4 y0Y2 (kx) −
y0′
4 k
Y3
(kx)
.
(10)
Граничные условия примут следующий вид:
−
4
y
0Y4
(
kl 2
)
+
y0′
1 k
Y1
(
kl 2
)
=
0
;
(11)
−
kl 4 y0Y2 ( 2
)
−
y0′
4 k
kl Y3( 2
)
=
N 2EIk 3
.
(12)
Из уравнений (11) и (12) найдем перемещение y0 угол поворота y0′ балки при x=0.
y0
=
N 8EIk 3
Y2
(
kl 2
−
Y1
(
kl 2
)
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
;
(13)
y0′ k
=
N 8EIk 3
−
Y4
(
kl 2
)
Y2
(
kl 2
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
.
Величины y , y′ и y ′′ принимают в таком случае вид:
(14)
y
=
−N 0[Y1 (
kl 2
)Y1 (kx)
+
Y4
(
kl 2
)Y2
(kx)]
;
(15)
y′
=
4
N
0
k[Y1
(
kl 2
)Y4
(kx)
−
Y4
(
kl 2
)Y2
(kx)]
;
(16)
y
′′
=
4
N
0
k
2
[Y1
(
kl 2
)Y3
(kx)
+
Y4
(
kl 2
)Y4
(kx)]
,
(17)
где
N0
=
N 8EIk 3
1
Y1
(
kl 2
)Y2
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
.
(18)
Неопределенной величиной в полученной модели является коэффициент
пропорциональности “n” в уравнении (5), входящий в выражение для “k”.
Найти значение “n” позволяет граничное условие, записанное для уравнения
(1) в арифметческой форме при x=0, q =ny0 =σc, где σ c - адгезионная
прочность связи соединительной ткани мясного сырья с поверхностью
реберной кости.
Таким образом, имеем следующее соотношение для определения
коэффициента “n”:
n
=
σc y0
;
(19)
k4
=
σc 4EI
;
y0
=
σc 4EIk 4
.
(20)
Подставляя уравнение (20) в (13) и приводя к арифметическому виду,
получаем:
σc 4EIk 4
=
N 8EIk 3
Y1
(
kl 2
)
Y2
(
kl 2
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
.
Откуда находим выражение для “k”
k
=
2σ
c
[Y2
(
kl 2
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)]
kl
.
NY1 ( 2 )
(21)
Уравнение (21) является трансцендентным относительно “k”. Решая его
методом итераций, определяем величину “k”.
Далее, в соответствии с принятым обозначением для уравнения (5),
находим искомое значение “n”:
n = 4EIk 4 .
Проведем численную оценку полученных результатов.
Для реальных значений N = 50 Н , σ с = 100Н / М , из уравнения (21)
находим величину k = 4,7 м−1 для материала кости E = 1010 Па .
Для поперечного сечения кости эллиптической формы имеем:
I
=
πab3 64
,
где a, b – большая и малая полуоси эллипса.
Статистические исследования размерных характеристик определенного
вида реберных костей дают величины:
а = 0,0146 м , b = 0,0035 м.
В этом случае получаем:
I ≈ 30,7 ⋅10−12
n = 600
q = 600 y
Величина N0 запишется:
N0
=
kl kl 51[Y1( 2 )Y2 ( 2
10 )+
kl kl 4Y3( 2 )Y4 ( 2 )]
.
(23)
Пользуясь значениями тригонометрических и гиперболических
функций, в соответствии с выражениями Yn (kx) таблицы 1, найдем при
l = 0,4 м :
Y1
(
kl 2
)
=
0,870
; Y2
(
kl 2
)
=
0,916
;
Y3
(
kl 2
)
=
0,438
;
Y4
(
kl 2
)
=
0,138
.
Уравнения 15-19 примут следующий вид:
N0 = 3,78 ⋅10−3 N
(24)
Для N = 50 Н имеем N0 = 0,189 :
y = 0,189[0,870Y1(kx) + 0,552Y2 (kx)] .
(25)
Угол поворота сечения θ:
θ = y′ = 3,553[0,870Y4 (kx) − 0,138Y1(kx)]; M = EIy′′ = 5,1[0,870Y3 (kx) + 0,552Y4 (kx)].
(26) (27)
Пользуясь полученными соотношениями представляется возможным рассчитать кривизну y′′ опорной цилиндрической поверхности установки
для обвалки реберного мяса, а так же величину “y” хода элементов привода
для перемещения краевых сечений установочной пластины.
В частности:
ymax = y0 = y(0) = 0.167 м
M max
=
M(l ) 2
=
2.343
H
⋅
м
R = 0.128 м
ρ = 1 = 7.813 м−1 R
Список литературы
1. Ю.Н. Работнов. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.744 с.
2. В.И. Феодосьев. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1967. 376 с.