TECHNICAL-ECONOMICAL APPROACH TO THE CHOICE OF SMALL SPACE VEHICLES SYSTEM
40 В. И. Горбулин, В. В. Панченко, Н. В. Радионов
УДК 621.391.037
В. И. ГОРБУЛИН, В. В. ПАНЧЕНКО, Н. В. РАДИОНОВ
ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ВЫБОРУ СИСТЕМЫ МАЛЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Впервые сформулирована корректная математическая постановка техникоэкономической задачи выбора состава системы малых космических аппаратов и средств наблюдения за заданным районом, обеспечивающей требуемую достоверность получаемой информации в условиях ограниченного финансирования. Предложенная декомпозиция позволила разработать методику раздельного решения технической задачи по критерию допустимости и оптимальной экономической задачи.
Ключевые слова: средства наблюдения, космические аппараты, задача выбора, достоверность, финансирование, оптимизация.
Введение. В настоящее время создание и совершенствование малых космических аппаратов (МКА), предназначенных для обзора земной поверхности, — одно из перспективных направлений развития космических технологий. Преимуществом применения МКА является возможность обзора в сжатые сроки значительных территорий. Кроме того, изображения, полученные с помощью бортовой аппаратуры МКА, обладают необходимой точностью, позволяющей идентифицировать нужные объекты в разнообразных волновых диапазонах. Поэтому применение МКА в комплексе с традиционными средствами контроля позволит в целом повысить достоверность информации за счет комплексирования источников.
Однако при внедрении подобной космической технологии в условиях ограниченного финансирования возникает задача выбора варианта эффективного применения комплекса имеющихся средств. При математической постановке этой задачи следует учитывать не только показатели качества выполнения целевой задачи средствами наблюдения, но и затрачиваемые на ее решение финансовые ресурсы. При этом расчет эффективности комплексного применения средств наблюдения является трудной научно-технической задачей, требующей решения на этапе принятия системы в эксплуатацию, когда будут довольно точно определены основные тактико-технические характеристики (ТТХ) средств, разработано программноматематическое обеспечение обработки информации и определены сметы на создание и эксплуатацию системы.
Концептуальная постановка задачи выбора состава аппаратуры МКА. Конечной целью функционирования системы сбора информации является селекция (распознавание) объектов в пределах заданного района земной поверхности площадью Sз при обеспечении требуемой вероятности селекции P. Вероятность селекции зависит от возможности наблюдения и распознавания класса объектов и определяется целой группой параметров, в которую могут входить ТТХ средств, характеристики условий и методов наблюдения, также существенно зависящие от вложенных в их разработку и функционирование финансовых ресурсов.
В настоящей статье предлагается методика расчета целевого показателя задачи выбора состава аппаратуры МКА с использованием декомпозиции с выделением технических и экономических показателей. Так, каждое из разнотипных средств наблюдения можно характеризовать техническими показателями, основными из которых являются:
— условия наблюдения (дальность и волновой диапазон сканирования); — зона наблюдения (площадь сканируемого района); — разрешающая способность; — гарантийный срок эксплуатации и потребляемая мощность.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
Технико-экономический подход к выбору системы малых космических аппаратов
41
Перечисленные показатели существенным образом влияют на эффективность выполнения задачи системой. Однако в целом они определяют только полезностный аспект эффективности функционирования каждого из средств. Возможность реализации системы определяется финансово-экономическими показателями — стоимостью средства и эксплуатационными затратами на него в течение заданного периода в обозримом будущем.
В качестве целевого показателя применения комплекса средств наблюдения для системы МКА и для каждого средства наблюдения в отдельности предлагается использовать соотношение „полезность—стоимость“ [1]. Техническую полезность системы предлагается оценивать некоторым скалярным показателем, характеризующим достоверность информации, а ее стоимость — векторным показателем, включающим затраты на создание (закупку) и эксплуатацию средств наблюдения. В этом случае на этапе принятия системы в эксплуатацию может быть использована двухцикловая методика выбора ее состава. В первом цикле расчетов с использованием принципа масштабирования в состав системы отбираются средства, удовлетворяющие критерию пригодности по скалярному показателю. Во втором цикле на основе отобранного множества средств наблюдения с учетом показателя „стоимость“ решается оптимизационная задача минимизации расходов.
При обосновании единого технического показателя эффективности комплексного применения средств наблюдения целесообразно использовать понятие достоверности информации. В качестве основного компонента предлагается использовать так называемый коэффициент достоверности информации D , получаемой от одного технического средства наблюде-
ния [2]. Этот коэффициент можно определить соотношением D = S ∆ , где S — площадь
района, сканируемая в течение исследуемого периода времени T , ∆ — показатель разрешающей способности средства наблюдения, выраженный минимальной площадью классифицируемого (с заданной вероятностью) объекта.
С увеличением S возрастает и вероятность обнаружения объекта на земной поверхности, а с уменьшением ∆ — вероятность классификации объекта на просканированном районе. Однако в действительности значение S зачастую меньше, чем Sз. Кроме того, может быть задано множество таких районов. Тогда за время Tи трасса одного средства наблюдения
может проходить через контролируемый район только в течение ограниченного временного интервала, или обстановка в районе в период отсутствия наблюдения может изменяться. Поэтому для полноты и постоянства контроля за заданным районом должна использоваться система средств наблюдения, состоящая из n отдельных однотипных средств. Тогда для системы средств наблюдения можно ввести более сложный показатель достоверности
DP = P (n) S (n) ∆ (n) ,
где P (n) — вероятность покрытия требуемого района (районов) системой из n средств на-
блюдения за время Tи , которая может быть вычислена и с учетом вероятности попадания
объекта наблюдения в поле сканирования. Поэтому на этапе синтеза (проектирования) систе-
мы может быть поставлена задача выбора числа n либо по критерию оптимальности
DP
(
n
)
→
max
n
,
либо, что более возможно, по критерию пригодности для заданного уровня достоверности Dз
системы:
DP (n) ≥ Dз .
Данную задачу можно назвать задачей технического масштабирования системы средств
наблюдения различного базирования [3—5].
На этапе синтеза системы традиционно используется показатель „цена—качество“, час-
тично реализующий указанный выше принцип „полезность—стоимость“. Экономический
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
42 В. И. Горбулин, В. В. Панченко, Н. В. Радионов
смысл данного показателя состоит в следующем. Очевидно, что при известном значении n в системе, известной стоимости единичной закупки Iq и эксплуатации Сq в течение периода
Tи планируемые общие инвестиции в систему наблюдения составят
n
B = ∑ ( Iq + Cq ) . q=1
Опыт конструирования подобной техники указывает, что, например, для получения большей разрешающей способности ∆ требуются либо большие инвестиции Iq , либо боль-
шее количество средств n в системе, что увеличивает и эксплуатационные затраты Сq . По-
этому зависимость показателя цены 1 B (1 ∆) с учетом n (∆) будет близкой к гиперболе. В то
же время зависимость показателя достоверности в виде DP (1 ∆) , очевидно, является возрас-
тающей функцией DP (1 ∆) → ∞ . Если принять отношение DP (1 ∆) B (1 ∆) в качестве целе-
вого показателя системы, то из проведенного анализа следует, что этот показатель имеет оп-
тимальную точку при условии:
( ) ( )dDP 1 ∆∗ ( ) ( ) ( ) ( )d 1 ∆∗
B 1 ∆∗
dB 1 ∆∗ =
d 1 ∆∗
DP 1 ∆∗
(1)
(1 ∆∗ , здесь и далее звездочка означает „оптимальность максимума“).
Максимум показателя может в какой-то степени обеспечить компромисс между требованием повышения технической полезности системы и экономической возможности ее реализации (снижением затрат). С учетом бюджетного ограничения Bз окончательное решение
( ) ( ( ))задачи выбора можно определить из условия n∗∗ = n 1 ∆∗∗ = n B−1 B∗ , где
{ ( )}B∗ = min B; B 1 ∆∗ . В частности, подобный подход рассматривался в работе [1].
Однако при ближайшем рассмотрении такой традиционный подход к решению задачи
выбора состава МКА оказывается неприемлемым, так как не учитывает некоторых важней-
ших условий. Во-первых, задача системы в период эксплуатации может быть гораздо сложнее
рассмотренной выше и включать, например, множество контролируемых районов или мно-
жество волновых диапазонов сканирования. Во-вторых, период Tи может оказаться значи-
тельно больше срока активного существования одного средства Tэk , следовательно, в буду-
щем расходы на поддержание системы могут существенно возрасти за счет необходимости
восполнения системы.
Математическая постановка задачи. Пусть целевая задача системы включает M под-
задач, выполнение которых для системы средств наблюдения является существенно необхо-
димым, например, при селекции объектов в одном районе в M волновых диапазонах сканиро-
вания. Допустим, что из решения задачи (1) для каждого из диапазонов на этапе технического
проектирования средств наблюдения определено по N типов подсистем средств наблюдения
(равное количество в данном случае выбрано только для упрощения). С учетом решения за-
дачи (1) каждая из N подсистем в каждом из M диапазонов обеспечивает требуемый уровень
достоверности информации D j , j = 1, …, M :
( )DP ij j 1 ∆ij j ≥ DP j , i j = 1, …, N , j = 1, …, M ,
(2)
где ij — номер подсистемы, работающей в j-м волновом диапазоне.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
Технико-экономический подход к выбору системы малых космических аппаратов
43
Очевидно, что в этих условиях для обеспечения требуемой достоверности информации, получаемой комплексом средств в каждом из диапазонов, достаточно поддержания только одной из N подсистем. Следовательно, возникает задача выбора „одного из N“. Но теперь при ограниченном бюджете эта задача становится экономической [6, 7].
Обозначим через Tэij срок активного существования (гарантийный срок эксплуатации)
средств ij-й подсистемы, обеспечивающей сканирование района в j-м диапазоне. Если при этом закупка единичной подсистемы составляет Iij (с учетом определенного в выражении (1)
оптимального состава подсистемы из ni∗j средств наблюдения) и на весь период Tи потребуется Cij средств на ее эксплуатацию, то в течение периода Tи потребуется также mij = Tи Tэij раз восполнить группировку средств наблюдения, затратив каждый раз, по
( )предварительной оценке, Iij ni∗j денежных средств. Тогда экономико-математическая зада-
ча выбора эффективного варианта комплексного применения средств наблюдения может
быть сформулирована как задача поиска таких индексов i∗j принятых к эксплуатации подсис-
тем, которые обеспечивают минимальные расходы на их будущее восполнение, при условии
достаточности бюджета B для их первичной закупки и эксплуатации в течение Tи :
( ) ( ) ( ( ) ( ))M M
∑ ∑min
i j∈1,…,N
k
j=1
r, mi j
Iij
ni∗j
;
Ii j ni∗j + Ci j ni∗j
j =1
≤ B,
(3)
( )где k r, mij — коэффициент дисконтирования, моделирующий стоимость денег в буду-
щем [8] с учетом количества платежей mij показателя инфляции и кредитного риска, вы-
раженного процентной ставкой r. Собственно задача (3) относится к классу задач нелинейного целочисленного програм-
мирования и элементарно решается методом простого перебора вариантов вектора индексов
J M = [i1,i2 ,…, iM ]T , i j ∈1, N , j = 1, M . Однако существуют и методы направленного пере-
бора, позволяющие при некоторых дополнительных условиях снизить трудоемкость решения
задачи. В частности, при наличии коэффициентов дисконтирования для решения (3) можно
применить метод Х. Фишеля [9]. В этом случае необходимо формально приводить задачу к
одинаковой периодичности оплаты восполнения подсистем путем представления
( )Ii0j
= mi j
Ii j ni∗j mmax
,
где
mmax
=
ij
max
=1,…, N
mi
j
j=1,…,M
— максимально возможная частота восполнения по всем системам и всем волновым диапазонам. В результате оплату восполнения каждой подсистемы можно осуществлять с одинаковой частотой, но различными суммами. При этом сумма траншей за период между двумя момен-
( )тами фактического восполнения системы в точности равна требуемым затратам Iij ni∗j .
Для удобства дальнейшего анализа задачи (3) преобразуем ее путем введения новых переменных:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
44 В. И. Горбулин, В. В. Панченко, Н. В. Радионов
( ) ( )xij :
Ii j ni∗j
+ Cij
ni∗j
=
I
∗ j max
xi j
;
0 < xi j ≤ 1;
{ ( ) ( )}I
∗ j max
=
max
ij
Iij
ni∗j
+ Si j
ni∗j
…, j ∈1,…, M .
Обозначим
zj
=
I
∗ j max
;
z0
=
B
и
введем функции:
( ) ( ) ( )yij
xi j
=
−
Ii0j xi j
≡− Ii j
Ii0j ni∗j + Ci j
ni∗j
I
∗ j
max
.
В принятых обозначениях переменные xij имеют экономический смысл дискретных
интенсивностей инвестирования в закупку и эксплуатацию системы j-го волнового диапазона.
( )Тогда параметры yij xij можно интерпретировать как „плавающие“ показатели экономиче-
ской эффективности затрат на восполнение систем. Задача (3) в принятых обозначениях при-
нимает вид
( )∑ ( ) ∑M M
F = k r, mmax
yi j
j =1
xi j
xi j
→ max ;
i j =1,…,N ,
j=1,…,M
α z j xi j ≤ z0 ,
j=1
(4)
( )где k r, mmax — коэффициент дисконтирования (капитализации) с учетом общего для всех
систем количества платежей m∗ ; α — поправочный коэффициент, учитывающий естествен-
ную распределенность во времени расходов на эксплуатацию Cij .
Методика решения задачи. Преобразованная задача (4) относится к особому классу за-
дач математического программирования — нелинейным задачам с параметрами. Для решения
таких задач можно использовать методику на основе условий Куна—Таккера [10], так как не-
сложно показать выпуклость целевой функции в (4). Между тем следует отметить, что сами ус-
ловия Куна—Таккера в действительности являются следствием преобразования задач к виду
задач с „седловой точкой“. При этом оказывается, что дискретная форма выражения (4) позво-
ляет существенно упростить решение, не прибегая явно к анализу условий Куна—Таккера.
Действительно, после преобразования (4) к виду задачи с „седловой точкой“ с исполь-
зованием множителя Лагранжа λ0 получим
( )∑ ( ) ∑M M
Φ = k r, mmax
yi j
j =1
xi j
xi j
− λ0α z j xi j
j=1
→ max
i j =1,…,N j=1,…,M
min .
λ0 >0
(5)
Здесь постоянная величина λ0 z0 без потери общности исключена из (5). Кроме того, в силу независимости проектов между собой задача (5) может быть представлена как совокуп-
ность отдельных подзадач:
( ) ( )Φ j = k r, mmax
yi j
xi j
xi j
− λ0αz j xi j
→ max ;
i j =1,…,N
j = 1, M ,
λ0 >0
( )объединенных между собой параметрами α, k r, mmax , λ0 и ограничением
M
∑α z j xij ≤ z0 . j =1
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
Технико-экономический подход к выбору системы малых космических аппаратов
45
( )Учитывая, что k r, mmax > 0 , λ0α > 0 , z j > 0 и они постоянны, после деления на
( )k r, mmax z j или λ0α z j и преобразований получим две разновидности задач с „седловой
точкой“ и параметрами:
( ) ( )Φ j = yij
xi j
xi j
− λxi j
→ max ;
i j =1,…,N
yi j
=
yi j zj
;
λ= k
λ0α r, mmax
; j = 1, M ,
λ>0
(6)
при одновременном ограничении
( )λk r, mmax M
∑λ0
z j xi j ≤ z0
j =1
или
( ) ( )Φ j = λyij
xi j
xi j
− xi j
→ max ;
i j =1,…,N
k r, mmax λ= ;
λ0α
j = 1, M
(7)
λ>0
при одновременном ограничении
( )k r, mmax M
∑λ0λ
z j xij ≤ z0 .
j =1
В соответствии с общей теорией решения задач нелинейного программирования [7, 10]
решение непрерывных аналогов задач (6) или (7) сводится либо к поиску „седловой точки“
( ) ( ) ( )x∗j , λ∗ функций Φ j x j , λ , либо к поиску максимума функций Φ j x j , λ при соответст-
вующем ограничении (в каждом случае). Нетрудно представить, что при обратном переходе к записи исходной дискретной задачи для поиска „седловой точки“ можно использовать два подхода: обращенный подход на основе обобщенного градиента, либо прямой подход [1, 9] на основе простого перебора [9].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Власов С. А., Мамон П. А. Теория полета космических аппаратов: Учеб. пособие. СПб: ВКА им. А. Ф. Можайского, 2007. 435 с.
2. Можаев Г. В. Синтез орбитальных структур спутниковых систем. Теоретико-групповой подход. М.: Машиностроение, 1989. 304 с.
3. Горбулин В. И. Оптимизация орбитального построения глобальных космических систем наблюдения. СПб: МО РФ, 2001. 171 с.
4. Горбулин В. И., Панченко В. В. Применение бортовой аппаратуры малых космических аппаратов для комплексного наблюдения заданного района // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 6. С. 15—20.
5. Радионов Н. В. Модели эффективности инвестиций и кредитования. Основы финансового анализа. СПб: Наука, 2005. 600 с.
6. Колемаев В. А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 1998. 240 с.
7. Воронцовский А. В. Инвестиции и финансирование: Методы оценки и обоснования. СПб: Изд-во СПбГУ, 1998. 528 с.
8. Новожилов В. В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании. М.: Наука, 1972. 434 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
46 В. Ф. Фатеев, Д. Л. Каргу
9. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов / В. В. Коссов, В. Н. Лившиц, А. Г. Шахназаров. М.: Экономика, 2000. 421 с.
10. Буренок В. М., Ляпунов В. М., Мудров В. И. Теория и практика планирования и управления развитием вооружения / Под ред. А. М. Московского. М.: Вооружение. Политика. Конверсия, 2004. 419 с.
Владимир Иванович Горбулин
Валерий Викторович Панченко Николай Васильевич Радионов
Сведения об авторах — д-р техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского,
кафедра электрооборудования, Санкт-Петербург; E-mail: v_gorbulin@mail.ru — управление пограничной службы ФСБ России, начальник управления технического развития; E-mail: v_gorbulin@mail.ru — канд. техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра электрооборудования, Санкт-Петербург; E-mail: radionov@mail.wplus.net
Рекомендована Ученым советом ВКА им. А. Ф. Можайского
Поступила в редакцию 20.10.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
УДК 621.391.037
В. И. ГОРБУЛИН, В. В. ПАНЧЕНКО, Н. В. РАДИОНОВ
ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ВЫБОРУ СИСТЕМЫ МАЛЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Впервые сформулирована корректная математическая постановка техникоэкономической задачи выбора состава системы малых космических аппаратов и средств наблюдения за заданным районом, обеспечивающей требуемую достоверность получаемой информации в условиях ограниченного финансирования. Предложенная декомпозиция позволила разработать методику раздельного решения технической задачи по критерию допустимости и оптимальной экономической задачи.
Ключевые слова: средства наблюдения, космические аппараты, задача выбора, достоверность, финансирование, оптимизация.
Введение. В настоящее время создание и совершенствование малых космических аппаратов (МКА), предназначенных для обзора земной поверхности, — одно из перспективных направлений развития космических технологий. Преимуществом применения МКА является возможность обзора в сжатые сроки значительных территорий. Кроме того, изображения, полученные с помощью бортовой аппаратуры МКА, обладают необходимой точностью, позволяющей идентифицировать нужные объекты в разнообразных волновых диапазонах. Поэтому применение МКА в комплексе с традиционными средствами контроля позволит в целом повысить достоверность информации за счет комплексирования источников.
Однако при внедрении подобной космической технологии в условиях ограниченного финансирования возникает задача выбора варианта эффективного применения комплекса имеющихся средств. При математической постановке этой задачи следует учитывать не только показатели качества выполнения целевой задачи средствами наблюдения, но и затрачиваемые на ее решение финансовые ресурсы. При этом расчет эффективности комплексного применения средств наблюдения является трудной научно-технической задачей, требующей решения на этапе принятия системы в эксплуатацию, когда будут довольно точно определены основные тактико-технические характеристики (ТТХ) средств, разработано программноматематическое обеспечение обработки информации и определены сметы на создание и эксплуатацию системы.
Концептуальная постановка задачи выбора состава аппаратуры МКА. Конечной целью функционирования системы сбора информации является селекция (распознавание) объектов в пределах заданного района земной поверхности площадью Sз при обеспечении требуемой вероятности селекции P. Вероятность селекции зависит от возможности наблюдения и распознавания класса объектов и определяется целой группой параметров, в которую могут входить ТТХ средств, характеристики условий и методов наблюдения, также существенно зависящие от вложенных в их разработку и функционирование финансовых ресурсов.
В настоящей статье предлагается методика расчета целевого показателя задачи выбора состава аппаратуры МКА с использованием декомпозиции с выделением технических и экономических показателей. Так, каждое из разнотипных средств наблюдения можно характеризовать техническими показателями, основными из которых являются:
— условия наблюдения (дальность и волновой диапазон сканирования); — зона наблюдения (площадь сканируемого района); — разрешающая способность; — гарантийный срок эксплуатации и потребляемая мощность.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
Технико-экономический подход к выбору системы малых космических аппаратов
41
Перечисленные показатели существенным образом влияют на эффективность выполнения задачи системой. Однако в целом они определяют только полезностный аспект эффективности функционирования каждого из средств. Возможность реализации системы определяется финансово-экономическими показателями — стоимостью средства и эксплуатационными затратами на него в течение заданного периода в обозримом будущем.
В качестве целевого показателя применения комплекса средств наблюдения для системы МКА и для каждого средства наблюдения в отдельности предлагается использовать соотношение „полезность—стоимость“ [1]. Техническую полезность системы предлагается оценивать некоторым скалярным показателем, характеризующим достоверность информации, а ее стоимость — векторным показателем, включающим затраты на создание (закупку) и эксплуатацию средств наблюдения. В этом случае на этапе принятия системы в эксплуатацию может быть использована двухцикловая методика выбора ее состава. В первом цикле расчетов с использованием принципа масштабирования в состав системы отбираются средства, удовлетворяющие критерию пригодности по скалярному показателю. Во втором цикле на основе отобранного множества средств наблюдения с учетом показателя „стоимость“ решается оптимизационная задача минимизации расходов.
При обосновании единого технического показателя эффективности комплексного применения средств наблюдения целесообразно использовать понятие достоверности информации. В качестве основного компонента предлагается использовать так называемый коэффициент достоверности информации D , получаемой от одного технического средства наблюде-
ния [2]. Этот коэффициент можно определить соотношением D = S ∆ , где S — площадь
района, сканируемая в течение исследуемого периода времени T , ∆ — показатель разрешающей способности средства наблюдения, выраженный минимальной площадью классифицируемого (с заданной вероятностью) объекта.
С увеличением S возрастает и вероятность обнаружения объекта на земной поверхности, а с уменьшением ∆ — вероятность классификации объекта на просканированном районе. Однако в действительности значение S зачастую меньше, чем Sз. Кроме того, может быть задано множество таких районов. Тогда за время Tи трасса одного средства наблюдения
может проходить через контролируемый район только в течение ограниченного временного интервала, или обстановка в районе в период отсутствия наблюдения может изменяться. Поэтому для полноты и постоянства контроля за заданным районом должна использоваться система средств наблюдения, состоящая из n отдельных однотипных средств. Тогда для системы средств наблюдения можно ввести более сложный показатель достоверности
DP = P (n) S (n) ∆ (n) ,
где P (n) — вероятность покрытия требуемого района (районов) системой из n средств на-
блюдения за время Tи , которая может быть вычислена и с учетом вероятности попадания
объекта наблюдения в поле сканирования. Поэтому на этапе синтеза (проектирования) систе-
мы может быть поставлена задача выбора числа n либо по критерию оптимальности
DP
(
n
)
→
max
n
,
либо, что более возможно, по критерию пригодности для заданного уровня достоверности Dз
системы:
DP (n) ≥ Dз .
Данную задачу можно назвать задачей технического масштабирования системы средств
наблюдения различного базирования [3—5].
На этапе синтеза системы традиционно используется показатель „цена—качество“, час-
тично реализующий указанный выше принцип „полезность—стоимость“. Экономический
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
42 В. И. Горбулин, В. В. Панченко, Н. В. Радионов
смысл данного показателя состоит в следующем. Очевидно, что при известном значении n в системе, известной стоимости единичной закупки Iq и эксплуатации Сq в течение периода
Tи планируемые общие инвестиции в систему наблюдения составят
n
B = ∑ ( Iq + Cq ) . q=1
Опыт конструирования подобной техники указывает, что, например, для получения большей разрешающей способности ∆ требуются либо большие инвестиции Iq , либо боль-
шее количество средств n в системе, что увеличивает и эксплуатационные затраты Сq . По-
этому зависимость показателя цены 1 B (1 ∆) с учетом n (∆) будет близкой к гиперболе. В то
же время зависимость показателя достоверности в виде DP (1 ∆) , очевидно, является возрас-
тающей функцией DP (1 ∆) → ∞ . Если принять отношение DP (1 ∆) B (1 ∆) в качестве целе-
вого показателя системы, то из проведенного анализа следует, что этот показатель имеет оп-
тимальную точку при условии:
( ) ( )dDP 1 ∆∗ ( ) ( ) ( ) ( )d 1 ∆∗
B 1 ∆∗
dB 1 ∆∗ =
d 1 ∆∗
DP 1 ∆∗
(1)
(1 ∆∗ , здесь и далее звездочка означает „оптимальность максимума“).
Максимум показателя может в какой-то степени обеспечить компромисс между требованием повышения технической полезности системы и экономической возможности ее реализации (снижением затрат). С учетом бюджетного ограничения Bз окончательное решение
( ) ( ( ))задачи выбора можно определить из условия n∗∗ = n 1 ∆∗∗ = n B−1 B∗ , где
{ ( )}B∗ = min B; B 1 ∆∗ . В частности, подобный подход рассматривался в работе [1].
Однако при ближайшем рассмотрении такой традиционный подход к решению задачи
выбора состава МКА оказывается неприемлемым, так как не учитывает некоторых важней-
ших условий. Во-первых, задача системы в период эксплуатации может быть гораздо сложнее
рассмотренной выше и включать, например, множество контролируемых районов или мно-
жество волновых диапазонов сканирования. Во-вторых, период Tи может оказаться значи-
тельно больше срока активного существования одного средства Tэk , следовательно, в буду-
щем расходы на поддержание системы могут существенно возрасти за счет необходимости
восполнения системы.
Математическая постановка задачи. Пусть целевая задача системы включает M под-
задач, выполнение которых для системы средств наблюдения является существенно необхо-
димым, например, при селекции объектов в одном районе в M волновых диапазонах сканиро-
вания. Допустим, что из решения задачи (1) для каждого из диапазонов на этапе технического
проектирования средств наблюдения определено по N типов подсистем средств наблюдения
(равное количество в данном случае выбрано только для упрощения). С учетом решения за-
дачи (1) каждая из N подсистем в каждом из M диапазонов обеспечивает требуемый уровень
достоверности информации D j , j = 1, …, M :
( )DP ij j 1 ∆ij j ≥ DP j , i j = 1, …, N , j = 1, …, M ,
(2)
где ij — номер подсистемы, работающей в j-м волновом диапазоне.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
Технико-экономический подход к выбору системы малых космических аппаратов
43
Очевидно, что в этих условиях для обеспечения требуемой достоверности информации, получаемой комплексом средств в каждом из диапазонов, достаточно поддержания только одной из N подсистем. Следовательно, возникает задача выбора „одного из N“. Но теперь при ограниченном бюджете эта задача становится экономической [6, 7].
Обозначим через Tэij срок активного существования (гарантийный срок эксплуатации)
средств ij-й подсистемы, обеспечивающей сканирование района в j-м диапазоне. Если при этом закупка единичной подсистемы составляет Iij (с учетом определенного в выражении (1)
оптимального состава подсистемы из ni∗j средств наблюдения) и на весь период Tи потребуется Cij средств на ее эксплуатацию, то в течение периода Tи потребуется также mij = Tи Tэij раз восполнить группировку средств наблюдения, затратив каждый раз, по
( )предварительной оценке, Iij ni∗j денежных средств. Тогда экономико-математическая зада-
ча выбора эффективного варианта комплексного применения средств наблюдения может
быть сформулирована как задача поиска таких индексов i∗j принятых к эксплуатации подсис-
тем, которые обеспечивают минимальные расходы на их будущее восполнение, при условии
достаточности бюджета B для их первичной закупки и эксплуатации в течение Tи :
( ) ( ) ( ( ) ( ))M M
∑ ∑min
i j∈1,…,N
k
j=1
r, mi j
Iij
ni∗j
;
Ii j ni∗j + Ci j ni∗j
j =1
≤ B,
(3)
( )где k r, mij — коэффициент дисконтирования, моделирующий стоимость денег в буду-
щем [8] с учетом количества платежей mij показателя инфляции и кредитного риска, вы-
раженного процентной ставкой r. Собственно задача (3) относится к классу задач нелинейного целочисленного програм-
мирования и элементарно решается методом простого перебора вариантов вектора индексов
J M = [i1,i2 ,…, iM ]T , i j ∈1, N , j = 1, M . Однако существуют и методы направленного пере-
бора, позволяющие при некоторых дополнительных условиях снизить трудоемкость решения
задачи. В частности, при наличии коэффициентов дисконтирования для решения (3) можно
применить метод Х. Фишеля [9]. В этом случае необходимо формально приводить задачу к
одинаковой периодичности оплаты восполнения подсистем путем представления
( )Ii0j
= mi j
Ii j ni∗j mmax
,
где
mmax
=
ij
max
=1,…, N
mi
j
j=1,…,M
— максимально возможная частота восполнения по всем системам и всем волновым диапазонам. В результате оплату восполнения каждой подсистемы можно осуществлять с одинаковой частотой, но различными суммами. При этом сумма траншей за период между двумя момен-
( )тами фактического восполнения системы в точности равна требуемым затратам Iij ni∗j .
Для удобства дальнейшего анализа задачи (3) преобразуем ее путем введения новых переменных:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
44 В. И. Горбулин, В. В. Панченко, Н. В. Радионов
( ) ( )xij :
Ii j ni∗j
+ Cij
ni∗j
=
I
∗ j max
xi j
;
0 < xi j ≤ 1;
{ ( ) ( )}I
∗ j max
=
max
ij
Iij
ni∗j
+ Si j
ni∗j
…, j ∈1,…, M .
Обозначим
zj
=
I
∗ j max
;
z0
=
B
и
введем функции:
( ) ( ) ( )yij
xi j
=
−
Ii0j xi j
≡− Ii j
Ii0j ni∗j + Ci j
ni∗j
I
∗ j
max
.
В принятых обозначениях переменные xij имеют экономический смысл дискретных
интенсивностей инвестирования в закупку и эксплуатацию системы j-го волнового диапазона.
( )Тогда параметры yij xij можно интерпретировать как „плавающие“ показатели экономиче-
ской эффективности затрат на восполнение систем. Задача (3) в принятых обозначениях при-
нимает вид
( )∑ ( ) ∑M M
F = k r, mmax
yi j
j =1
xi j
xi j
→ max ;
i j =1,…,N ,
j=1,…,M
α z j xi j ≤ z0 ,
j=1
(4)
( )где k r, mmax — коэффициент дисконтирования (капитализации) с учетом общего для всех
систем количества платежей m∗ ; α — поправочный коэффициент, учитывающий естествен-
ную распределенность во времени расходов на эксплуатацию Cij .
Методика решения задачи. Преобразованная задача (4) относится к особому классу за-
дач математического программирования — нелинейным задачам с параметрами. Для решения
таких задач можно использовать методику на основе условий Куна—Таккера [10], так как не-
сложно показать выпуклость целевой функции в (4). Между тем следует отметить, что сами ус-
ловия Куна—Таккера в действительности являются следствием преобразования задач к виду
задач с „седловой точкой“. При этом оказывается, что дискретная форма выражения (4) позво-
ляет существенно упростить решение, не прибегая явно к анализу условий Куна—Таккера.
Действительно, после преобразования (4) к виду задачи с „седловой точкой“ с исполь-
зованием множителя Лагранжа λ0 получим
( )∑ ( ) ∑M M
Φ = k r, mmax
yi j
j =1
xi j
xi j
− λ0α z j xi j
j=1
→ max
i j =1,…,N j=1,…,M
min .
λ0 >0
(5)
Здесь постоянная величина λ0 z0 без потери общности исключена из (5). Кроме того, в силу независимости проектов между собой задача (5) может быть представлена как совокуп-
ность отдельных подзадач:
( ) ( )Φ j = k r, mmax
yi j
xi j
xi j
− λ0αz j xi j
→ max ;
i j =1,…,N
j = 1, M ,
λ0 >0
( )объединенных между собой параметрами α, k r, mmax , λ0 и ограничением
M
∑α z j xij ≤ z0 . j =1
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
Технико-экономический подход к выбору системы малых космических аппаратов
45
( )Учитывая, что k r, mmax > 0 , λ0α > 0 , z j > 0 и они постоянны, после деления на
( )k r, mmax z j или λ0α z j и преобразований получим две разновидности задач с „седловой
точкой“ и параметрами:
( ) ( )Φ j = yij
xi j
xi j
− λxi j
→ max ;
i j =1,…,N
yi j
=
yi j zj
;
λ= k
λ0α r, mmax
; j = 1, M ,
λ>0
(6)
при одновременном ограничении
( )λk r, mmax M
∑λ0
z j xi j ≤ z0
j =1
или
( ) ( )Φ j = λyij
xi j
xi j
− xi j
→ max ;
i j =1,…,N
k r, mmax λ= ;
λ0α
j = 1, M
(7)
λ>0
при одновременном ограничении
( )k r, mmax M
∑λ0λ
z j xij ≤ z0 .
j =1
В соответствии с общей теорией решения задач нелинейного программирования [7, 10]
решение непрерывных аналогов задач (6) или (7) сводится либо к поиску „седловой точки“
( ) ( ) ( )x∗j , λ∗ функций Φ j x j , λ , либо к поиску максимума функций Φ j x j , λ при соответст-
вующем ограничении (в каждом случае). Нетрудно представить, что при обратном переходе к записи исходной дискретной задачи для поиска „седловой точки“ можно использовать два подхода: обращенный подход на основе обобщенного градиента, либо прямой подход [1, 9] на основе простого перебора [9].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Власов С. А., Мамон П. А. Теория полета космических аппаратов: Учеб. пособие. СПб: ВКА им. А. Ф. Можайского, 2007. 435 с.
2. Можаев Г. В. Синтез орбитальных структур спутниковых систем. Теоретико-групповой подход. М.: Машиностроение, 1989. 304 с.
3. Горбулин В. И. Оптимизация орбитального построения глобальных космических систем наблюдения. СПб: МО РФ, 2001. 171 с.
4. Горбулин В. И., Панченко В. В. Применение бортовой аппаратуры малых космических аппаратов для комплексного наблюдения заданного района // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 6. С. 15—20.
5. Радионов Н. В. Модели эффективности инвестиций и кредитования. Основы финансового анализа. СПб: Наука, 2005. 600 с.
6. Колемаев В. А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 1998. 240 с.
7. Воронцовский А. В. Инвестиции и финансирование: Методы оценки и обоснования. СПб: Изд-во СПбГУ, 1998. 528 с.
8. Новожилов В. В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании. М.: Наука, 1972. 434 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
46 В. Ф. Фатеев, Д. Л. Каргу
9. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов / В. В. Коссов, В. Н. Лившиц, А. Г. Шахназаров. М.: Экономика, 2000. 421 с.
10. Буренок В. М., Ляпунов В. М., Мудров В. И. Теория и практика планирования и управления развитием вооружения / Под ред. А. М. Московского. М.: Вооружение. Политика. Конверсия, 2004. 419 с.
Владимир Иванович Горбулин
Валерий Викторович Панченко Николай Васильевич Радионов
Сведения об авторах — д-р техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского,
кафедра электрооборудования, Санкт-Петербург; E-mail: v_gorbulin@mail.ru — управление пограничной службы ФСБ России, начальник управления технического развития; E-mail: v_gorbulin@mail.ru — канд. техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра электрооборудования, Санкт-Петербург; E-mail: radionov@mail.wplus.net
Рекомендована Ученым советом ВКА им. А. Ф. Можайского
Поступила в редакцию 20.10.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4