OBSERVER SYNTHESIS IN THE PRESENCE OF DISTURBANCES IN OUTPUT VARIABLE MEASUREMENT PROCESS
УПРАВЛЕНИЕ ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
УДК 62.50
С. В. АРАНОВСКИЙ, В. М. БАРДОВ, А. А. БОБЦОВ, А. А. КАПИТОНОВ, А. А. ПЫРКИН
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ В УСЛОВИЯХ
ВОЗМУЩЕНИЯ ПРОЦЕССА ИЗМЕРЕНИЯ ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Предложен новый подход к синтезу асимптотического наблюдателя переменных состояний для линейного объекта в случае, когда измерению доступна выходная переменная в аддитивной смеси с неизвестным синусоидальным возмущением.
Ключевые слова: асимптотический наблюдатель, доступность измерению, выходная переменная, неизвестное возмущение.
Введение. Рассмотрим задачу синтеза асимптотического наблюдателя линейного
объекта вида
x(t) = Ax(t)+bu(t) ,
(1)
y(t) = cT x(t)+δ(t) ,
(2)
где x(t)∈Rn — не измеряемый вектор переменных состояния, δ(t)∈R — неизвестное сину-
соидальное возмущение, u(t)∈R — сигнал управления, y(t)∈R — измеряемая выходная пе-
ременная. Если объект управления асимптотически устойчив, то данная задача может оказаться три-
виальной. В самом деле, в случае заданных параметров объекта можно выстроить его точную модель и, вычитая из выходной переменной объекта выходную переменную модели, получить величину возмущающего воздействия δ(t) . Если объект управления не является асимптотиче-
ски устойчивым, то данная схема неприменима, а использование классических наблюдателей переменных состояния не позволит получить асимптотическую сходимость к нулю ошибки между вектором переменных состояния и его оценкой. Задача синтеза наблюдателя для объекта управления (1), (2) была решена в работах [1, 2]. В [1] рассматривался объект
x(t) = Ax(t)+bu(t) , v(t) = Rνv(t), y(t) = cT x(t)+δ(t) = cT x(t)+qT v(t) ,
где матрица Rν имеет не кратные чисто мнимые корни. В [2] исследовался минимально фазовый объект управления вида
x(t) = Ax(t)+bu(t)+ Pv(t) , v(t) = Rνv(t), e(t) = cT x(t)−qT v(t) ,
где e(t) — ошибка, которую необходимо свести к нулю.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Синтез наблюдателя в условиях возмущения процесса измерения выходной переменной 29
Поставленные задачи были решены при условии существования решений (Γ, γ) сле-
дующих матричных уравнений:
ΓRν = AΓ+bγ + P , cT Γ+qT = 0 . Подходы, предложенные в работах [1, 2], не являются универсальными (например, в [2]
рассматриваются только минимально фазовые объекты) и представляющими значительные
сложности при их реализации. Таким образом, синтез альтернативного решения является ак-
туальной задачей.
В настоящей статье решение задачи синтеза асимптотического наблюдателя для (1), (2)
будет основано на идентификации в непрерывном времени частоты возмущающего воздейст-
вия. Заметим, что решение данной задачи носит важное самостоятельное значение, поскольку
на сегодняшний день существует большое число разнообразных подходов к идентификации
неизвестной частоты синусоидального сигнала σsin(ωt +φ) (см., например, [3—13]), но при
условии, что измеряется сама функция. Таким образом, предлагаемый в рамках данной статьи
результат не ограничен применением к решению задач синтеза наблюдателей переменных
состояния, но и развивает методы идентификации частот синусоидальных сигналов.
Постановка задачи. Рассмотрим в общем случае не минимально фазовый линейный
объект вида (1), (2), где возмущение δ(t) представлено в виде синусоидальной функции
δ(t) = σsin ωt
(3)
с неизвестными амплитудой σ и частотой ω. Следует заметить, что расширение класса воз-
мущающих воздействий до суммы нескольких синусоидальных функций не является пробле-
мой, но усложняет представление основного материала данной статьи. Поэтому для простоты
изложения ограничимся одной синусоидой.
Рассмотрим модель „вход—выход объекта“ (1), (2)
y(t)
=
b( a(
p) p)
u (t ) + δ(t )
,
(4)
где p = d / dt ; a( p) = pn + an−1 pn−1 + ... + a1 p + a0 = и b( p) = bm pm + ... + b1 p + b0 , m < n —
соответствующие полиномы, полученные в результате перехода от модели „вход— состояние—выход“ к модели „вход—выход“
b( a(
p) p)
=
c(
pI
−
A)−1
b
.
Рассмотрим следующие допущения относительно системы (1), (2), (4). Допущение 1. Будем полагать, что измеряются только сигналы y(t) и u(t) .
Допущение 2. Коэффициенты матриц A , b и c известны. Допущение 3. Пара A , b полностью управляема и пара A , с полностью наблюдаема. Допущение 4. Полиномы a( p) и b( p) могут быть не гурвицевыми и не имеют корней ± jω .
Требуется построить асимптотический наблюдатель переменных состояния x(t) объек-
та (1), (2) такой, что
lim x(t)− xˆ(t) = 0 ,
t→∞
где xˆ(t) является оценкой вектора x(t) .
(5)
Синтез наблюдателя. Процедура синтеза наблюдателя для вектора x(t) объекта (1), (2)
будет осуществлена в два этапа. На первом этапе будет предложен алгоритм синтеза наблю-
дателя возмущающего воздействия δ(t) , а на втором, используя информацию о δ(t) , построим
устройство оценки вектора x(t) . Для синтеза наблюдателя возмущающего воздействия
δ(t) = σsin ωt потребуется идентификация параметров σ и ω. Сначала построим идентификатор
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
30 С. В. Арановский, В. М. Бардов, А. А. Бобцов, А. А. Капитонов, А. А. Пыркин
параметра ω. Для этого, пренебрегая ненулевыми начальными условиями, преобразуем урав-
нение (4) следующим образом:
a( p) y(t) = b( p)u(t)+ a( p)δ(t) .
(6)
Рассмотрим любой гурвицев полином γ( p) степени п. Тогда для уравнения (6) имеем
γ( p) y(t) = a1( p) y(t)+b( p)u(t)+a( p)δ(t) или
y(t)
=
a1( p) γ( p)
y(t ) +
b( γ(
p) p)
u(t)
+
a( γ(
p) p)
δ(t)
,
(7)
где a( p) = γ( p)−a1( p) . Из уравнения (7) получим
w(t )
=
y(t ) −
a1( p) γ( p)
y (t ) −
b( γ(
p) p)
u(t) =
a( p) γ( p)
δ(t) =
=
a( γ(
p) p)
σ
sin
ω
t
=
σ
a( γ(
p) p)
sin
ωt
.
(8)
Из выражения (8) следует, что сигнал
w(t)
=
σ
a( γ(
p) p)
sin
ω
t
и в силу гурвицевости полинома γ( p) функция w(t) является гармонической с частотой ω.
Также заметим, что сигнал w(t) в силу гурвицевости полинома γ( p) может быть рассчитан
следующим образом:
w(t)
=
y (t ) −
a1( p) γ( p)
y (t ) −
b( γ(
p) p)
u(t)
.
Как и в [13], для генерирования сигнала w(t) будем использовать дифференциальное
уравнение вида
d 2w(t) dt 2
=
−ω2 w(t )
=
θ
w(t)
,
(9)
где θ = −ω2 — постоянный параметр. Следуя результатам леммы 1, представленной в статье [13], перепишем (9) следующим
образом:
w(t) = 2ς(t)+ς(t)+θς(t)+ε y (t) ,
(10)
где ε y (t) — экспоненциально затухающая функция времени, определяемая ненулевыми на-
чальными условиями, а функция ς(t) формируется как
ς(t) =
1 ( p+1)2
w(t) .
Как и в [13], для синтеза идентификатора неизвестного параметра θ введем новую пе-
ременную — измеряемый сигнал вида z(t) =ς(t) = w(t)−2ς(t)−ς(t) .
Пренебрегая экспоненциально затухающим членом, для модели (10) имеем
z(t) = θ ς(t) .
(11)
Построим адаптивный наблюдатель для сигнала (11) zˆ(t) = θˆ(t) ς(t) ,
где zˆ(t) — оценка сигнала z(t) , а θˆ(t) — оценка параметра θ .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Синтез наблюдателя в условиях возмущения процесса измерения выходной переменной 31
Утверждение. Пусть θˆ(t) настраивается следующим образом: θˆ(t) = kς(t)(z(t) − zˆ(t)) ,
тогда lim θˆ(t) − θ = 0 . Доказательство этого утверждения можно найти в [13].
t→∞
Частоту гармонического возмущения будем рассчитывать следующим образом:
ωˆ (t) = θˆ(t) .
(12) (13)
Теперь построим идентификатор параметра σ сигнала δ(t) = σsin ωt . Для этого постро-
им
наблюдатель
для
сигнала
w(t) .
Поскольку
w(t
)
=
σ
a( γ(
p) p)
sin
ωt
=
σϕ(t )
,
то
для
идентифика-
ции сигнала w(t) выберем следующий алгоритм:
wˆ (t
)
=
σˆ
a( γ(
p) p)
sin
ωˆ t
,
где sin ωˆ t = sin((ω−ω ) t) = sin ωt cos ω t −cos ωt sin ω t , и в силу
lim ω−ωˆ (t) = 0 .
t→∞
Так как lim ω−ωˆ (t) = 0 , то lim sin ωˆ t = sin ωt и, следовательно,
t→∞
t→∞
lim
t→∞
wˆ (t
)
=
σˆ
b( a(
p) p)
sin
ωt
=
σˆ ϕ(t
)
.
lim θ−θˆ(t) = 0
t→∞
имеем
Для настройки параметра σˆ воспользуемся стандартной процедурой (см., например, [14]) вида
σˆ
=
β
ϕ(t)(w(t)
−
wˆ (t))
=
β
⎛ ⎜ ⎝
b( a(
p) p)
sin
ωˆ t
⎞ ⎟ ⎠
(w(t
)
−
wˆ (t))
,
где β — любое положительное число.
(14)
Таким образом, для наблюдателя возмущающего воздействия δ(t) имеем следующий
алгоритм:
δˆ(t) = σˆ sin ωˆ t ,
(15)
где параметры σˆ и ωˆ находятся из уравнений (13), (14). Теперь, зная точную оценку функции δ(t) , построим наблюдатель переменных состоя-
ния x(t) для объекта управления (1), (2). Для этого воспользуемся классическими результа-
тами по синтезу наблюдателей полной размерности, опубликованными, например, в [14]
xˆ(t) = Axˆ(t)+bu(t)+l( y(t)− yˆ(t)) ,
(16)
yˆ(t) = cT xˆ(t)+δˆ(t) ,
(17)
где xˆ(t)∈Rn — оценка вектора x(t) , δˆ(t)∈R — оценка неизвестного возмущения, yˆ(t)∈R —
оценка переменной y(t) , а вектор постоянных коэффициентов l рассчитывается таким обра-
зом, чтобы матрица A = A−lcT была гурвицевой.
Заключение. В данной статье предложен альтернативный к [1, 2] алгоритм синтеза асимптотического наблюдателя (16), (17) для линейного объекта управления (1), (2). Также предлагаемый в рамках статьи результат развивает методы идентификации (см., например, [3—13]) параметров синусоидальных сигналов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-08-00139) и АВЦП (проект № 2.1.2/6326).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
32 С. В. Арановский, В. М. Бардов, А. А. Бобцов, А. А. Капитонов, А. А. Пыркин
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Marino R., Santosuosso G., Tomei R. Adaptive Stabilization of Linear Systems with Outputs Affected by Unknown Sinusoidal Disturbances // Proc. of the Europ. Control Conf. Kos, Greece, 2007. P. 129—134.
2. Marino R. and Tomei R. Output Regulation for Linear Minimum Phase Systems with Unknown Order Exosystem // IEEE Transact. on Automatic Control. 2007. Vol. 52. P. 2000—2005.
3. Bodson M., Douglas S. C. Adaptive algorithms for the rejection of periodic disturbances with unknown frequencies // Automatica. 1997. Vol. 33. P. 2213—2221.
4. Hsu L., Ortega R., Damm G. A globally convergent frequency estimator // IEEE Transact. on Automatic Control. 1999. Vol. 46. P. 967—972.
5. Mojiri M. and Bakhshai A. R. An Adaptive Notch Filter for Frequency Estimation of a Periodic Signal // IEEE Transact. on Automatic Control. 2004. Vol. 49. P. 314—318.
6. Marino R. and Tomei R. Global Estimation of Unknown Frequencies // IEEE Transact. on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 1324—1328.
7. Xia X. Global Frequency Estimation Using Adaptive Identifiers // IEEE Transact. on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 1188—1193.
8. Obregón-Pulido G., Castillo-Toledo B., and Loukianov A. A. Globally Convergent Estimator for n–Frequencies // IEEE Transact. on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 857—863.
9. Bobtsov A., Lyamin A., Romasheva D. Algorithm of parameter’s identification of polyharmonic function // 15th IFAC World Congress on Automatic Control. Barcelona, Spain, 2002.
10. Бобцов А. А., Кремлев А. С. Адаптивная идентификация частоты смещенного синусоидального сигнала // Изв. вузов. Приборостроение. 2005. Т. 48, № 4. С. 22—26.
11. Hou M. Amplitude and frequency estimator of a sinusoid // IEEE Transact. on Automatic Control. 2005. Vol. 50. P. 855—858.
12. Дьяконов В. MATLAB6: Учебный курс. СПб: Питер, 2001.
13. Арановский С. В., Бобцов А. А., Кремлев А. С., Лукьянова Г. В. Робастный алгоритм идентификации частоты синусоидального сигнала // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 3. С. 1—6.
14. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб: Наука, 1999.
Станислав Владимирович Арановский Владимир Михайлович Бардов Алексей Алексеевич Бобцов
Александр Александрович Капитонов Антон Александрович Пыркин
Сведения об авторах — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный уни-
верситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики — студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: bobtsov @mail.ru — студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 01.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
УДК 62.50
С. В. АРАНОВСКИЙ, В. М. БАРДОВ, А. А. БОБЦОВ, А. А. КАПИТОНОВ, А. А. ПЫРКИН
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ В УСЛОВИЯХ
ВОЗМУЩЕНИЯ ПРОЦЕССА ИЗМЕРЕНИЯ ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Предложен новый подход к синтезу асимптотического наблюдателя переменных состояний для линейного объекта в случае, когда измерению доступна выходная переменная в аддитивной смеси с неизвестным синусоидальным возмущением.
Ключевые слова: асимптотический наблюдатель, доступность измерению, выходная переменная, неизвестное возмущение.
Введение. Рассмотрим задачу синтеза асимптотического наблюдателя линейного
объекта вида
x(t) = Ax(t)+bu(t) ,
(1)
y(t) = cT x(t)+δ(t) ,
(2)
где x(t)∈Rn — не измеряемый вектор переменных состояния, δ(t)∈R — неизвестное сину-
соидальное возмущение, u(t)∈R — сигнал управления, y(t)∈R — измеряемая выходная пе-
ременная. Если объект управления асимптотически устойчив, то данная задача может оказаться три-
виальной. В самом деле, в случае заданных параметров объекта можно выстроить его точную модель и, вычитая из выходной переменной объекта выходную переменную модели, получить величину возмущающего воздействия δ(t) . Если объект управления не является асимптотиче-
ски устойчивым, то данная схема неприменима, а использование классических наблюдателей переменных состояния не позволит получить асимптотическую сходимость к нулю ошибки между вектором переменных состояния и его оценкой. Задача синтеза наблюдателя для объекта управления (1), (2) была решена в работах [1, 2]. В [1] рассматривался объект
x(t) = Ax(t)+bu(t) , v(t) = Rνv(t), y(t) = cT x(t)+δ(t) = cT x(t)+qT v(t) ,
где матрица Rν имеет не кратные чисто мнимые корни. В [2] исследовался минимально фазовый объект управления вида
x(t) = Ax(t)+bu(t)+ Pv(t) , v(t) = Rνv(t), e(t) = cT x(t)−qT v(t) ,
где e(t) — ошибка, которую необходимо свести к нулю.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Синтез наблюдателя в условиях возмущения процесса измерения выходной переменной 29
Поставленные задачи были решены при условии существования решений (Γ, γ) сле-
дующих матричных уравнений:
ΓRν = AΓ+bγ + P , cT Γ+qT = 0 . Подходы, предложенные в работах [1, 2], не являются универсальными (например, в [2]
рассматриваются только минимально фазовые объекты) и представляющими значительные
сложности при их реализации. Таким образом, синтез альтернативного решения является ак-
туальной задачей.
В настоящей статье решение задачи синтеза асимптотического наблюдателя для (1), (2)
будет основано на идентификации в непрерывном времени частоты возмущающего воздейст-
вия. Заметим, что решение данной задачи носит важное самостоятельное значение, поскольку
на сегодняшний день существует большое число разнообразных подходов к идентификации
неизвестной частоты синусоидального сигнала σsin(ωt +φ) (см., например, [3—13]), но при
условии, что измеряется сама функция. Таким образом, предлагаемый в рамках данной статьи
результат не ограничен применением к решению задач синтеза наблюдателей переменных
состояния, но и развивает методы идентификации частот синусоидальных сигналов.
Постановка задачи. Рассмотрим в общем случае не минимально фазовый линейный
объект вида (1), (2), где возмущение δ(t) представлено в виде синусоидальной функции
δ(t) = σsin ωt
(3)
с неизвестными амплитудой σ и частотой ω. Следует заметить, что расширение класса воз-
мущающих воздействий до суммы нескольких синусоидальных функций не является пробле-
мой, но усложняет представление основного материала данной статьи. Поэтому для простоты
изложения ограничимся одной синусоидой.
Рассмотрим модель „вход—выход объекта“ (1), (2)
y(t)
=
b( a(
p) p)
u (t ) + δ(t )
,
(4)
где p = d / dt ; a( p) = pn + an−1 pn−1 + ... + a1 p + a0 = и b( p) = bm pm + ... + b1 p + b0 , m < n —
соответствующие полиномы, полученные в результате перехода от модели „вход— состояние—выход“ к модели „вход—выход“
b( a(
p) p)
=
c(
pI
−
A)−1
b
.
Рассмотрим следующие допущения относительно системы (1), (2), (4). Допущение 1. Будем полагать, что измеряются только сигналы y(t) и u(t) .
Допущение 2. Коэффициенты матриц A , b и c известны. Допущение 3. Пара A , b полностью управляема и пара A , с полностью наблюдаема. Допущение 4. Полиномы a( p) и b( p) могут быть не гурвицевыми и не имеют корней ± jω .
Требуется построить асимптотический наблюдатель переменных состояния x(t) объек-
та (1), (2) такой, что
lim x(t)− xˆ(t) = 0 ,
t→∞
где xˆ(t) является оценкой вектора x(t) .
(5)
Синтез наблюдателя. Процедура синтеза наблюдателя для вектора x(t) объекта (1), (2)
будет осуществлена в два этапа. На первом этапе будет предложен алгоритм синтеза наблю-
дателя возмущающего воздействия δ(t) , а на втором, используя информацию о δ(t) , построим
устройство оценки вектора x(t) . Для синтеза наблюдателя возмущающего воздействия
δ(t) = σsin ωt потребуется идентификация параметров σ и ω. Сначала построим идентификатор
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
30 С. В. Арановский, В. М. Бардов, А. А. Бобцов, А. А. Капитонов, А. А. Пыркин
параметра ω. Для этого, пренебрегая ненулевыми начальными условиями, преобразуем урав-
нение (4) следующим образом:
a( p) y(t) = b( p)u(t)+ a( p)δ(t) .
(6)
Рассмотрим любой гурвицев полином γ( p) степени п. Тогда для уравнения (6) имеем
γ( p) y(t) = a1( p) y(t)+b( p)u(t)+a( p)δ(t) или
y(t)
=
a1( p) γ( p)
y(t ) +
b( γ(
p) p)
u(t)
+
a( γ(
p) p)
δ(t)
,
(7)
где a( p) = γ( p)−a1( p) . Из уравнения (7) получим
w(t )
=
y(t ) −
a1( p) γ( p)
y (t ) −
b( γ(
p) p)
u(t) =
a( p) γ( p)
δ(t) =
=
a( γ(
p) p)
σ
sin
ω
t
=
σ
a( γ(
p) p)
sin
ωt
.
(8)
Из выражения (8) следует, что сигнал
w(t)
=
σ
a( γ(
p) p)
sin
ω
t
и в силу гурвицевости полинома γ( p) функция w(t) является гармонической с частотой ω.
Также заметим, что сигнал w(t) в силу гурвицевости полинома γ( p) может быть рассчитан
следующим образом:
w(t)
=
y (t ) −
a1( p) γ( p)
y (t ) −
b( γ(
p) p)
u(t)
.
Как и в [13], для генерирования сигнала w(t) будем использовать дифференциальное
уравнение вида
d 2w(t) dt 2
=
−ω2 w(t )
=
θ
w(t)
,
(9)
где θ = −ω2 — постоянный параметр. Следуя результатам леммы 1, представленной в статье [13], перепишем (9) следующим
образом:
w(t) = 2ς(t)+ς(t)+θς(t)+ε y (t) ,
(10)
где ε y (t) — экспоненциально затухающая функция времени, определяемая ненулевыми на-
чальными условиями, а функция ς(t) формируется как
ς(t) =
1 ( p+1)2
w(t) .
Как и в [13], для синтеза идентификатора неизвестного параметра θ введем новую пе-
ременную — измеряемый сигнал вида z(t) =ς(t) = w(t)−2ς(t)−ς(t) .
Пренебрегая экспоненциально затухающим членом, для модели (10) имеем
z(t) = θ ς(t) .
(11)
Построим адаптивный наблюдатель для сигнала (11) zˆ(t) = θˆ(t) ς(t) ,
где zˆ(t) — оценка сигнала z(t) , а θˆ(t) — оценка параметра θ .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Синтез наблюдателя в условиях возмущения процесса измерения выходной переменной 31
Утверждение. Пусть θˆ(t) настраивается следующим образом: θˆ(t) = kς(t)(z(t) − zˆ(t)) ,
тогда lim θˆ(t) − θ = 0 . Доказательство этого утверждения можно найти в [13].
t→∞
Частоту гармонического возмущения будем рассчитывать следующим образом:
ωˆ (t) = θˆ(t) .
(12) (13)
Теперь построим идентификатор параметра σ сигнала δ(t) = σsin ωt . Для этого постро-
им
наблюдатель
для
сигнала
w(t) .
Поскольку
w(t
)
=
σ
a( γ(
p) p)
sin
ωt
=
σϕ(t )
,
то
для
идентифика-
ции сигнала w(t) выберем следующий алгоритм:
wˆ (t
)
=
σˆ
a( γ(
p) p)
sin
ωˆ t
,
где sin ωˆ t = sin((ω−ω ) t) = sin ωt cos ω t −cos ωt sin ω t , и в силу
lim ω−ωˆ (t) = 0 .
t→∞
Так как lim ω−ωˆ (t) = 0 , то lim sin ωˆ t = sin ωt и, следовательно,
t→∞
t→∞
lim
t→∞
wˆ (t
)
=
σˆ
b( a(
p) p)
sin
ωt
=
σˆ ϕ(t
)
.
lim θ−θˆ(t) = 0
t→∞
имеем
Для настройки параметра σˆ воспользуемся стандартной процедурой (см., например, [14]) вида
σˆ
=
β
ϕ(t)(w(t)
−
wˆ (t))
=
β
⎛ ⎜ ⎝
b( a(
p) p)
sin
ωˆ t
⎞ ⎟ ⎠
(w(t
)
−
wˆ (t))
,
где β — любое положительное число.
(14)
Таким образом, для наблюдателя возмущающего воздействия δ(t) имеем следующий
алгоритм:
δˆ(t) = σˆ sin ωˆ t ,
(15)
где параметры σˆ и ωˆ находятся из уравнений (13), (14). Теперь, зная точную оценку функции δ(t) , построим наблюдатель переменных состоя-
ния x(t) для объекта управления (1), (2). Для этого воспользуемся классическими результа-
тами по синтезу наблюдателей полной размерности, опубликованными, например, в [14]
xˆ(t) = Axˆ(t)+bu(t)+l( y(t)− yˆ(t)) ,
(16)
yˆ(t) = cT xˆ(t)+δˆ(t) ,
(17)
где xˆ(t)∈Rn — оценка вектора x(t) , δˆ(t)∈R — оценка неизвестного возмущения, yˆ(t)∈R —
оценка переменной y(t) , а вектор постоянных коэффициентов l рассчитывается таким обра-
зом, чтобы матрица A = A−lcT была гурвицевой.
Заключение. В данной статье предложен альтернативный к [1, 2] алгоритм синтеза асимптотического наблюдателя (16), (17) для линейного объекта управления (1), (2). Также предлагаемый в рамках статьи результат развивает методы идентификации (см., например, [3—13]) параметров синусоидальных сигналов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-08-00139) и АВЦП (проект № 2.1.2/6326).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
32 С. В. Арановский, В. М. Бардов, А. А. Бобцов, А. А. Капитонов, А. А. Пыркин
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Marino R., Santosuosso G., Tomei R. Adaptive Stabilization of Linear Systems with Outputs Affected by Unknown Sinusoidal Disturbances // Proc. of the Europ. Control Conf. Kos, Greece, 2007. P. 129—134.
2. Marino R. and Tomei R. Output Regulation for Linear Minimum Phase Systems with Unknown Order Exosystem // IEEE Transact. on Automatic Control. 2007. Vol. 52. P. 2000—2005.
3. Bodson M., Douglas S. C. Adaptive algorithms for the rejection of periodic disturbances with unknown frequencies // Automatica. 1997. Vol. 33. P. 2213—2221.
4. Hsu L., Ortega R., Damm G. A globally convergent frequency estimator // IEEE Transact. on Automatic Control. 1999. Vol. 46. P. 967—972.
5. Mojiri M. and Bakhshai A. R. An Adaptive Notch Filter for Frequency Estimation of a Periodic Signal // IEEE Transact. on Automatic Control. 2004. Vol. 49. P. 314—318.
6. Marino R. and Tomei R. Global Estimation of Unknown Frequencies // IEEE Transact. on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 1324—1328.
7. Xia X. Global Frequency Estimation Using Adaptive Identifiers // IEEE Transact. on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 1188—1193.
8. Obregón-Pulido G., Castillo-Toledo B., and Loukianov A. A. Globally Convergent Estimator for n–Frequencies // IEEE Transact. on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 857—863.
9. Bobtsov A., Lyamin A., Romasheva D. Algorithm of parameter’s identification of polyharmonic function // 15th IFAC World Congress on Automatic Control. Barcelona, Spain, 2002.
10. Бобцов А. А., Кремлев А. С. Адаптивная идентификация частоты смещенного синусоидального сигнала // Изв. вузов. Приборостроение. 2005. Т. 48, № 4. С. 22—26.
11. Hou M. Amplitude and frequency estimator of a sinusoid // IEEE Transact. on Automatic Control. 2005. Vol. 50. P. 855—858.
12. Дьяконов В. MATLAB6: Учебный курс. СПб: Питер, 2001.
13. Арановский С. В., Бобцов А. А., Кремлев А. С., Лукьянова Г. В. Робастный алгоритм идентификации частоты синусоидального сигнала // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 3. С. 1—6.
14. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб: Наука, 1999.
Станислав Владимирович Арановский Владимир Михайлович Бардов Алексей Алексеевич Бобцов
Александр Александрович Капитонов Антон Александрович Пыркин
Сведения об авторах — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный уни-
верситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики — студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: bobtsov @mail.ru — студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 01.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11