PECULIARITIES OF AIRCRAFT MOVEMENT IN VERTICAL PLANE IN NONEQUILIBRIUM REGIME WITH THE ACCOUNT FOR LIMITED CONTROL RESOURCES
24
УДК 681.5.01
Б. В. ВИДИН, И. О. ЖАРИНОВ, О. О. ЖАРИНОВ, О. В. УЛЬЯНОВА
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ В НЕРАВНОВЕСНОМ РЕЖИМЕ
С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕННОГО РЕСУРСА УПРАВЛЕНИЯ
Исследуется нелинейная система дифференциальных уравнений, описывающая движение центра масс летательного аппарата в вертикальной плоскости при прямолинейной траектории. Получены оценки скорости и дальности в зависимости от ограничений на управление. Ключевые слова: динамика летательного аппарата, ресурс управления, ограничения.
Введение. Движение центра масс летательного аппарата в скоростной системе координат в вертикальной плоскости, на прямолинейном участке траектории после выбора направления, описывается следующей системой соотношений [1]:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Особенности движения ЛА в вертикальной плоскости в неравновесном режиме
25
m
dV dt
=
P cos α − Cx
ρV2 2
S
− mg sin θ,⎫⎪ ⎪
dθ dt
=
0,
dh dt
=
V
sin
θ,
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪
dx dt
=
V
cos
θ,
⎪ ⎪ ⎪
dm dt
=
−q,
q > 0.
⎪ ⎭⎪
(1)
Здесь m — масса летательного аппарата; V — вектор скорости; θ — угол наклона траекто-
рии, θ = const ; α — угол атаки, α = const ; h — высота полета; x — дальность полета; q —
мгновенный расход массы топлива (в секунду); P — тяга двигателя, P ≤ K , K — ресурс
управления (величина, ограничивающая тягу двигателя), S — площадь крыльев, ρ(h) —
плотность атмосферы, зависящая от высоты полета, ρ(h) = C exp(−h R) , R — радиус Земли,
Cx — коэффициент лобового сопротивления, при этом
dCx dα
>0.
В качестве управляющей функции выбирается тяга двигателя: необходимо найти значе-
ние P (t ) такое, чтобы решение системы (1) удовлетворяло
— начальным условиям, t = t0 :
V = V0 , h = h0 , x = x0 , m = m0 , P = P0 ;
(2)
— конечным t = t′ :
h = hk , x = xk , m = mk .
Предлагаемый подход к решению. Совокупность функций V (t ), h (t ), x (t ), m (t ),
P (t ) будем называть решением задачи (1)—(2).
Разделив
все
уравнения
системы
(1)
на
dx dt
= V cos θ ,
приходим
к
системе
dV dx
=
1 mV cos θ
⎛ ⎜⎝⎜
P
cos
α
− Cx
ρV2 2
S
−
mg
sin
θ
⎞ ⎟⎠⎟
⎫ ,⎪ ⎪
dh dx
=
tgθ,
⎪ ⎪⎪ ⎬
dt dx
=
V
1 cos
θ
,
dm dx
=
V
−q cos
θ
.
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
Требуется найти значение P (t ) такое, чтобы решение системы (3) удовлетворяло
— начальным условиям, x = x0 : V = V0 , h = h0 , m = m0 , P = P0 ;
— конечным x = xk : h = hk , m = mk .
(3) (4)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
26 Б. В. Видин, И. О. Жаринов, О. О. Жаринов, О. В. Ульянова
Совокупность функций V ( x), h ( x), m ( x), P ( x) будем называть решением задачи
(3)—(4). Поскольку в соответствии с исходными данными θ = const , необходимо найти функцию
h( x) :
xk
h( x) = tgθ ∫ dx .
x0
Продифференцируем обе части первого уравнения системы (3):
dV dx
=
1 mV cos
θ
⎛ ⎜⎝⎜
P
cos α
− Cx
ρV2 2
S
−
mg
sin
⎞ θ⎟⎟⎠ =
f
(V, h,
m,
P)
,
d2V dx2
=
df dV
dV dx
+
df dh
dh dx
+
df dm
dm dx
+
df dP
dP dx
,
откуда получим производную тяги по дальности
dP dx
=
d2V dx2
−
df dV
dV dx
−
df dh
df
dh dx
−
df dm
dm dx
,
dP
где
df dV
=
1 cos
θ
⎛ ⎝⎜
−
P cos α V2m
−
CxρS 2m
+
g sin θ ⎞ V2 ⎠⎟
,
df dh
=−
CxρVS 2m cos θ
C R
exp(−h
R)
,
df dm
=
m2
1 cos
θ
⎛ ⎜⎝
−
P
cos V
α
+
CxρVS 2
⎞ ⎠⎟
,
df dP
=
cos α mV cos
θ
.
Таким образом, приходим к системе уравнений
dP dx
=
d2V dx2
−
df dV
dV dx
−
df dh
df
dh dx
−
df dm
dm dx
⎫ ⎪ ,⎪ ⎪
dh dx
=
tg
θ,
dP
⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪
dt dx
=
V
1 cos
θ
,
⎪ ⎪ ⎪
dm dx
=
V
−q cos
θ
⎪ ⎪⎭
с учетом начальных условий x = x0 :
t = t0 , h = h0 , m = m0 , P = P0
на траектории [ x0 , xk ] .
Поскольку
θ = const ,
dθ dt
=
0
,
отсюда
(5) (6)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Особенности движения ЛА в вертикальной плоскости в неравновесном режиме
P sin α + Cy
ρV2 2
S − mg cos θ = 0 ,
∂C y ∂α
>0,
Cy — коэффициент подъемной силы,
Задав интервал m1 ≤ m ≤ m2 , получим ограничения на V :
Cy
ρV2 2
S
=
mg
cos θ −
P sin
α
,
V
2
=
C
2 yρS
(
mg
cos
θ
−
P
sin
α
)
.
Далее получим
V
2
≤
C
y
2
min
ρS
(
m2
g
cos
θ
−
K
sin
α
)
=
Vm2 ax
,
V2
≥
2 Cy maxρS
m1g
cos θ =
Vm2 in
,
Vm2in ≤ V2 ≤ Vm2ax ; Vmin = Vm2in , Vmax = Vm2ax ; Vmin ≤ V ≤ Vmax .
Получим оценку скорости при конечном значении дальности:
∫dV
dx
=
dV dx
x = x0
+
xk x0
dV dx
dx
,
dV dx
x = x0
=
m0
1 V0 cos
θ
⎛ ⎝⎜⎜
P0
cos α − Cx0
ρ0 V02 2
⎞ S − m0 g sin θ ⎟⎟⎠
,
Vmin ≤ V ≤ Vmax ,
∫V
=
V0
+
xk x0
dV dx
dx
,
выберем Vmin ≤ V0 ≤ Vmax
∫Vmin
xk
− V0 <
x0
dV dx
dx
<
Vmax
− V0
,
∫ ∫ ∫ ∫xk
x0
dV dx
xk
dx =
x0
dV dx
dx
x= x0
+
xk x0
xk x0
d 2V dx2
dx2
,
∫ ∫Vmin − V0 −
dV dx
dx ≤
d2V dx2
(
xk
−
x0
)2
≤Vmax
− V0
−
dV dx
dx
.
Введем обозначения
∫ ∫Vmin
− V0
xk
−
x0
dV dx
dx = β1 ,
Vmax
− V0
xk
−
x0
dV dx
dx = β2 ,
где фазовые координаты удовлетворяют ограничениям
β1 ≤
d2V dx2
≤β2 ,
β1 = ( xk
β1
− x0 )2
,
β2
=
( xk
β2
− x0 )2
,
dP dx
≤K
( xk
−
x0),
K
= max
dP dx
.
С учетом дополнительных соотношений
27
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
28 Б. В. Видин, И. О. Жаринов, О. О. Жаринов, О. В. Ульянова
ρ(h) = C exp(−h R) ,
ρ1 ≤ρ(h) ≤ ρ2 ,
ρ1 = C(−h2 R) , ρ2 = C exp(−h1 R) ,
аналогичным образом могут быть получены оценки угла крена
γ1 ≤
dV dx
≤γ2 ,
γ3
≤
dh dx
≤
γ
4
,
γ5
≤
dm dx
≤
γ
6
,
δ1 ≤
df dV
≤ δ2 ,
δ3
≤
df dh
≤
δ4
,
δ5
≤
df dm
≤
δ6
,
δ7
≤
df dP
≤ δ8 ,
тогда ограничение на ресурс управления составит
K = β2 + γ2δ2
+ γ4δ4 δ7
+ γ6δ6
,
K ( xk
− x0 ) ≤ K
,
xk
− x0
≤
K K
.
Заключение. Таким образом, для описания движения летательного аппарата в верти-
кальной плоскости в неравновесном режиме с учетом ограниченного ресурса управления по-
лучены оценки скорости и дальности, при которых управляющая функция удовлетворяет за-
данным ограничениям P ≤ K .
Предлагаемая модель движения летательного аппарата может быть использована при
разработке программного обеспечения пилотажно-навигационных комплексов, на которые
возложены задачи управления полетом в условиях ограниченного ресурса управления, с от-
работкой на этапе предварительных стендовых испытаний.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. 523 с.
2. Остославский И. В., Стражева И. В. Динамика полетов. Траектории летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1969. 354 с.
Борис Викторович Видин Игорь Олегович Жаринов Олег Олегович Жаринов
Ольга Владимировна Ульянова
Сведения об авторах — канд. техн. наук, профессор; ОКБ „Электроавтоматика“, Санкт-Петер-
бург; зам. главного конструктора; E-mail: postmaster@elavt.spb.ru — канд. техн. наук, доцент; ОКБ „Электроавтоматика“, Санкт-Петербург;
нач. отдела; E-mail: igor_rabota@pisem.net — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный универ-
ситет аэрокосмического приборостроения, кафедра вычислительных и электронных систем; E-mail: zharinov@hotbox.ru — ОКБ „Электроавтоматика“, Санкт-Петербург; E-mail: postmaster@elavt.spb.ru
Рекомендована кафедрой вычислительных и электронных систем
Поступила в редакцию 08.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
УДК 681.5.01
Б. В. ВИДИН, И. О. ЖАРИНОВ, О. О. ЖАРИНОВ, О. В. УЛЬЯНОВА
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ В НЕРАВНОВЕСНОМ РЕЖИМЕ
С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕННОГО РЕСУРСА УПРАВЛЕНИЯ
Исследуется нелинейная система дифференциальных уравнений, описывающая движение центра масс летательного аппарата в вертикальной плоскости при прямолинейной траектории. Получены оценки скорости и дальности в зависимости от ограничений на управление. Ключевые слова: динамика летательного аппарата, ресурс управления, ограничения.
Введение. Движение центра масс летательного аппарата в скоростной системе координат в вертикальной плоскости, на прямолинейном участке траектории после выбора направления, описывается следующей системой соотношений [1]:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Особенности движения ЛА в вертикальной плоскости в неравновесном режиме
25
m
dV dt
=
P cos α − Cx
ρV2 2
S
− mg sin θ,⎫⎪ ⎪
dθ dt
=
0,
dh dt
=
V
sin
θ,
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪
dx dt
=
V
cos
θ,
⎪ ⎪ ⎪
dm dt
=
−q,
q > 0.
⎪ ⎭⎪
(1)
Здесь m — масса летательного аппарата; V — вектор скорости; θ — угол наклона траекто-
рии, θ = const ; α — угол атаки, α = const ; h — высота полета; x — дальность полета; q —
мгновенный расход массы топлива (в секунду); P — тяга двигателя, P ≤ K , K — ресурс
управления (величина, ограничивающая тягу двигателя), S — площадь крыльев, ρ(h) —
плотность атмосферы, зависящая от высоты полета, ρ(h) = C exp(−h R) , R — радиус Земли,
Cx — коэффициент лобового сопротивления, при этом
dCx dα
>0.
В качестве управляющей функции выбирается тяга двигателя: необходимо найти значе-
ние P (t ) такое, чтобы решение системы (1) удовлетворяло
— начальным условиям, t = t0 :
V = V0 , h = h0 , x = x0 , m = m0 , P = P0 ;
(2)
— конечным t = t′ :
h = hk , x = xk , m = mk .
Предлагаемый подход к решению. Совокупность функций V (t ), h (t ), x (t ), m (t ),
P (t ) будем называть решением задачи (1)—(2).
Разделив
все
уравнения
системы
(1)
на
dx dt
= V cos θ ,
приходим
к
системе
dV dx
=
1 mV cos θ
⎛ ⎜⎝⎜
P
cos
α
− Cx
ρV2 2
S
−
mg
sin
θ
⎞ ⎟⎠⎟
⎫ ,⎪ ⎪
dh dx
=
tgθ,
⎪ ⎪⎪ ⎬
dt dx
=
V
1 cos
θ
,
dm dx
=
V
−q cos
θ
.
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
Требуется найти значение P (t ) такое, чтобы решение системы (3) удовлетворяло
— начальным условиям, x = x0 : V = V0 , h = h0 , m = m0 , P = P0 ;
— конечным x = xk : h = hk , m = mk .
(3) (4)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
26 Б. В. Видин, И. О. Жаринов, О. О. Жаринов, О. В. Ульянова
Совокупность функций V ( x), h ( x), m ( x), P ( x) будем называть решением задачи
(3)—(4). Поскольку в соответствии с исходными данными θ = const , необходимо найти функцию
h( x) :
xk
h( x) = tgθ ∫ dx .
x0
Продифференцируем обе части первого уравнения системы (3):
dV dx
=
1 mV cos
θ
⎛ ⎜⎝⎜
P
cos α
− Cx
ρV2 2
S
−
mg
sin
⎞ θ⎟⎟⎠ =
f
(V, h,
m,
P)
,
d2V dx2
=
df dV
dV dx
+
df dh
dh dx
+
df dm
dm dx
+
df dP
dP dx
,
откуда получим производную тяги по дальности
dP dx
=
d2V dx2
−
df dV
dV dx
−
df dh
df
dh dx
−
df dm
dm dx
,
dP
где
df dV
=
1 cos
θ
⎛ ⎝⎜
−
P cos α V2m
−
CxρS 2m
+
g sin θ ⎞ V2 ⎠⎟
,
df dh
=−
CxρVS 2m cos θ
C R
exp(−h
R)
,
df dm
=
m2
1 cos
θ
⎛ ⎜⎝
−
P
cos V
α
+
CxρVS 2
⎞ ⎠⎟
,
df dP
=
cos α mV cos
θ
.
Таким образом, приходим к системе уравнений
dP dx
=
d2V dx2
−
df dV
dV dx
−
df dh
df
dh dx
−
df dm
dm dx
⎫ ⎪ ,⎪ ⎪
dh dx
=
tg
θ,
dP
⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪
dt dx
=
V
1 cos
θ
,
⎪ ⎪ ⎪
dm dx
=
V
−q cos
θ
⎪ ⎪⎭
с учетом начальных условий x = x0 :
t = t0 , h = h0 , m = m0 , P = P0
на траектории [ x0 , xk ] .
Поскольку
θ = const ,
dθ dt
=
0
,
отсюда
(5) (6)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Особенности движения ЛА в вертикальной плоскости в неравновесном режиме
P sin α + Cy
ρV2 2
S − mg cos θ = 0 ,
∂C y ∂α
>0,
Cy — коэффициент подъемной силы,
Задав интервал m1 ≤ m ≤ m2 , получим ограничения на V :
Cy
ρV2 2
S
=
mg
cos θ −
P sin
α
,
V
2
=
C
2 yρS
(
mg
cos
θ
−
P
sin
α
)
.
Далее получим
V
2
≤
C
y
2
min
ρS
(
m2
g
cos
θ
−
K
sin
α
)
=
Vm2 ax
,
V2
≥
2 Cy maxρS
m1g
cos θ =
Vm2 in
,
Vm2in ≤ V2 ≤ Vm2ax ; Vmin = Vm2in , Vmax = Vm2ax ; Vmin ≤ V ≤ Vmax .
Получим оценку скорости при конечном значении дальности:
∫dV
dx
=
dV dx
x = x0
+
xk x0
dV dx
dx
,
dV dx
x = x0
=
m0
1 V0 cos
θ
⎛ ⎝⎜⎜
P0
cos α − Cx0
ρ0 V02 2
⎞ S − m0 g sin θ ⎟⎟⎠
,
Vmin ≤ V ≤ Vmax ,
∫V
=
V0
+
xk x0
dV dx
dx
,
выберем Vmin ≤ V0 ≤ Vmax
∫Vmin
xk
− V0 <
x0
dV dx
dx
<
Vmax
− V0
,
∫ ∫ ∫ ∫xk
x0
dV dx
xk
dx =
x0
dV dx
dx
x= x0
+
xk x0
xk x0
d 2V dx2
dx2
,
∫ ∫Vmin − V0 −
dV dx
dx ≤
d2V dx2
(
xk
−
x0
)2
≤Vmax
− V0
−
dV dx
dx
.
Введем обозначения
∫ ∫Vmin
− V0
xk
−
x0
dV dx
dx = β1 ,
Vmax
− V0
xk
−
x0
dV dx
dx = β2 ,
где фазовые координаты удовлетворяют ограничениям
β1 ≤
d2V dx2
≤β2 ,
β1 = ( xk
β1
− x0 )2
,
β2
=
( xk
β2
− x0 )2
,
dP dx
≤K
( xk
−
x0),
K
= max
dP dx
.
С учетом дополнительных соотношений
27
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
28 Б. В. Видин, И. О. Жаринов, О. О. Жаринов, О. В. Ульянова
ρ(h) = C exp(−h R) ,
ρ1 ≤ρ(h) ≤ ρ2 ,
ρ1 = C(−h2 R) , ρ2 = C exp(−h1 R) ,
аналогичным образом могут быть получены оценки угла крена
γ1 ≤
dV dx
≤γ2 ,
γ3
≤
dh dx
≤
γ
4
,
γ5
≤
dm dx
≤
γ
6
,
δ1 ≤
df dV
≤ δ2 ,
δ3
≤
df dh
≤
δ4
,
δ5
≤
df dm
≤
δ6
,
δ7
≤
df dP
≤ δ8 ,
тогда ограничение на ресурс управления составит
K = β2 + γ2δ2
+ γ4δ4 δ7
+ γ6δ6
,
K ( xk
− x0 ) ≤ K
,
xk
− x0
≤
K K
.
Заключение. Таким образом, для описания движения летательного аппарата в верти-
кальной плоскости в неравновесном режиме с учетом ограниченного ресурса управления по-
лучены оценки скорости и дальности, при которых управляющая функция удовлетворяет за-
данным ограничениям P ≤ K .
Предлагаемая модель движения летательного аппарата может быть использована при
разработке программного обеспечения пилотажно-навигационных комплексов, на которые
возложены задачи управления полетом в условиях ограниченного ресурса управления, с от-
работкой на этапе предварительных стендовых испытаний.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. 523 с.
2. Остославский И. В., Стражева И. В. Динамика полетов. Траектории летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1969. 354 с.
Борис Викторович Видин Игорь Олегович Жаринов Олег Олегович Жаринов
Ольга Владимировна Ульянова
Сведения об авторах — канд. техн. наук, профессор; ОКБ „Электроавтоматика“, Санкт-Петер-
бург; зам. главного конструктора; E-mail: postmaster@elavt.spb.ru — канд. техн. наук, доцент; ОКБ „Электроавтоматика“, Санкт-Петербург;
нач. отдела; E-mail: igor_rabota@pisem.net — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный универ-
ситет аэрокосмического приборостроения, кафедра вычислительных и электронных систем; E-mail: zharinov@hotbox.ru — ОКБ „Электроавтоматика“, Санкт-Петербург; E-mail: postmaster@elavt.spb.ru
Рекомендована кафедрой вычислительных и электронных систем
Поступила в редакцию 08.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10