MATHEMATICAL MODEL OF AUTOMATED ASSEMBLY OF MICROLENSES
22 А. П. Смирнов, С. М. Латыев
УДК 681.4.07
А. П. СМИРНОВ, С. М. ЛАТЫЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СБОРКИ МИКРООБЪЕКТИВОВ
Приведен вывод соотношений, положенных в основу алгоритма автоматической сборки микрообъективов с учетом технологических погрешностей их компонентов.
Ключевые слова: микрообъектив, сборка, автоматизация, модель.
Алгоритм автоматической сборки микрообъективов базируется на математической моде-
ли реальной конструкции, учитывающей технологические погрешности ее компонентов [1, 2].
Критериями качества сборки микрообъектива из реальных компонентов (с погрешностями)
являются его суммарные аберрации — сферическая, кома, дисторсия, астигматизм, которые
на практике выявляются по дифракционному изображению точки. В предлагаемой в настоя-
щей статье модели оптимизация конструкции осуществляется по критериям минимума сфе-
рической аберрации и комы. Для вычисления целевой функции требуется информация о про-
странственном положении всех оптических поверхностей микрообъектива. Решению этой
задачи и посвящена настоящая статья.
Рассмотрим обобщенный компонент микрообъектива, представляющий собой линзу,
заключенную в оправу (рис. 1, а), где базовыми поверхностями являются плоскость А и ци-
линдр Е, образующие базовую ось ЕА. На рис. 1, б, в показаны измеренные параметры и пер-
вичные погрешности обобщенного компонента, лежащие в пределах соответствующих до-
пусков.
а) ∆CH, ∆γH GE
б) X ∆CH
F ∆CB ∆γB ∆γH
CB ⊕ ∆CB,∆γB EA
RB V
L
B X ⊕ ∆CF,∆γF EA
CF Y О Z RF
A
∅D
Y в)
∆γF Z
∆CF
∆RB, ∆RF
Клей (Klebstoff)
H1 H2 H
∆CB, ∆γB; ∆CF,∆γF
H; H1; H2 ∆D; ∆CH, ∆γH
Рис. 1
Оптические поверхности будем задавать координатами вершины V и ортом L нормали к поверхности в точке вершины во внешней системе координат (OXYZ), ось аппликат которой направлена вдоль оптической оси, ось абсцисс, например, вертикальна, а ось ординат — горизонтальна. Начало координат находится на одной из базовых плоскостей, например, первого компонента по ходу лучей. Координаты вершины и направление нормали зависят от пара-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
Математическая модель автоматизированной сборки микрообъективов
23
метров элементов объектива и погрешностей, технологических и конструктивных, связанных с креплением объектива.
Базовая ось ЕА используется для центрировки поверхностей линзы при ее вклейке или результативной обработке оправы после вклейки линзы. Относительно поверхности А задаются допуски на торцевое биение, в результате которого рабочая плоскость G оправы имеет наклон к вертикальной плоскости OXY. Торцевое биение (согласно ГОСТ 24642-83) — это разность наибольшего и наименьшего расстояний ∆СН от базовой плоскости, перпендикулярной базовой оси, до рабочей плоскости. Помимо этого параметра, для определенности должны быть известны азимут наклона ∆γН относительно координатной оси OX (или метка наклона) и абсолютное значение толщины Н оправы в плоскости сечения, отмеченной меткой (рис. 2). В зоне, отмеченной меткой, торцевое биение максимально.
∆CH
β О′
ОY X
Метка
v H
v–v
Рис. 2
Измерение толщин Н, Н1 и Н2 оправы осуществляется по единой линии в одной меридиональной плоскости. Азимутальные углы эксцентриситетов отсчитываются от метки на торце
оправы (см. рис. 2). С помощью измеренных величин толщин и параметров эксцентриситетов
вершин определяются положения вершин и направления нормалей к оптическим поверхно-
стям. Для удобства изложения отметим 6 этапов, ведущих к решению поставленной задачи.
1. Определение параметров вершины оптической поверхности в локальной системе
координат. В локальной системе координат, с началом координат в точке O пересечения оп-
тической оси базовой плоскостью А (см. рис. 1 и 2), координаты вершин поверхностей любо-
го компонента объектива с учетом децентрировки определяются как
VF = ∆СF cos(∆γF ) ⋅ i + ∆СF sin(∆γF ) ⋅ j + (H1 − H ) ⋅ k, VB = ∆СB cos(∆γB ) ⋅ i + ∆СB sin(∆γB ) ⋅ j − H2 ⋅ k.
(1)
Нормаль к оптической поверхности в этой же локальной системе координат коллинеар-
на оси аппликат: L = k.
2. Вычисление глобальных координат реперной точки. Локальные координаты ре-
перной точки имеют начало на оптической оси в центре оправы (точка О на рис. 2); глобаль-
ные координаты этой точки зависят от параметров торцевого биения соприкасающихся ком-
понентов. Координаты реперной точки Zk+1, ее аппликата, как следует из рис. 3, определяются как проекция векторного суммирования:
Zk+1 = Zk + c1 + c2 + c3 ,
(2)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
24 А. П. Смирнов, С. М. Латыев
c1
=
Dk +1 2
sin βk ;
c2 = HNk ;
c3
=
Dk +1 2
sin βk+1;
tg β
=
∆CH D
,
где βk и βk+1 — углы наклона плоскостей к вертикальной плоскости; Nk — нормаль к k-й опти-
ческой поверхности.
X
с2 с3 с1
Zk+1 Zk
Z
с1 с3 Y
Рис. 3
3. Определение нормали к плоскости, имеющей торцевое биение. Рассмотрим ре-
зультат присоединения базовой плоскости А компонента к плоскости, имеющей вследствие
торцевого биения наклон на угол β и на азимутальный угол ∆γН, отмеченный меткой (см. рис.2). Тогда нормаль к оптической поверхности можно описать вектором N (рис. 4):
⎛ sin β cos(∆γН − π) ⎞ ⎛ − sin β cos(∆γН ) ⎞
N
=
⎜ ⎜
sin
β
sin(∆γ
Н
− π)
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
−
sin
β
sin(∆γ
Н
)
⎟⎟.
⎜⎝ cosβ
⎟⎠ ⎜⎝ cosβ ⎟⎠
(3)
X
N βZ
Y ∆γH
Рис. 4
4. Определение координат центра оправы относительно реперной точки и направления нормали к оптической поверхности. Определим координаты точки О (см. рис. 2) — центра базовой поверхности — в результате ее присоединения к наклонной плоскости, когда компонент сдвигается по опорной плоскости вниз (рис. 5) и точка О перемещается в точку U.
X
D0
V OZ
N η
U
Y D
∆γH
h
HV H
Рис. 5
Положим, что сборка микрообъектива происходит при горизонтально расположенном тубусе (см. рис. 5). Примыкающая деталь находится слева от опорной плоскости. Тогда нор-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
Математическая модель автоматизированной сборки микрообъективов
25
маль к опорной плоскости равна вектору Nоп = (sin β, 0, cosβ). В общем случае нормаль к
опорной плоскости и оптической поверхности с помощью матрицы поворота относительно оси аппликат (МZ) характеризуется выражением
⎛ sin β ⎞ ⎛ sin β cos(∆γH ) ⎞
Nоп
=
MZ
( −∆γ H
)
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
sin
β
sin(∆γ
H
)
⎟ ⎟
.
⎝⎜ cos β⎠⎟ ⎝⎜ cosβ
⎠⎟
(4)
Кроме матрицы поворота относительно оси OZ, необходимо определить матрицу поворота относительно оси OY, они имеют следующий вид:
⎛ cos x 0 − sin x ⎞
M
Y
(
x)
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
,
⎜⎝ sin x 0 cos x ⎟⎠
⎛ cos x
M
Z
(γ)
=
⎜ ⎜
−
sin
x
⎝⎜ 0
sin x 0 ⎞
cos x 0
0 1
⎟⎟⎠⎟ .
(5)
Углы поворота (η, θ) нижней направляющей цилиндра оправы относительно осей OY и OX согласно выражению (4) определяются как
tgη =
NX NZ
= tgβ cos (∆γH ),
tgθ =
NY NZ
= tgβsin (∆γH ) ,
(6)
где NX, NY, NZ — проекции нормали N на координатные оси. Вследствие поворота детали вокруг вертикальной оси при перемещении вниз она не
достигнет самой нижней точки тубуса. Тогда высота h (рис. 6) определяется из выражения
h = D0 −
D02
− H 2 sin2 θ 2
≈
H 2 sin2 θ 4D0
.
(7)
D h
θ H
Рис. 6
Прилегание боковых плоскостей смежных деталей произойдет, если боковой зазор имеет достаточную величину. Это условие справедливо при выполнении соотношения
H sin (∆γH ) + Dtg (∆γH ) ≤ D0.
(8)
В этом случае в зависимости от того, принадлежит ли азимутальный угол левой или правой полуплоскости, координаты центра U примыкающей детали, как видно из рис. 5, определяются как
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
26 А. П. Смирнов, С. М. Латыев
U
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎝⎜
D sin
D cos η − D0 + h 0
η + (D0 − h)tgβ cos (∆γH
⎞
⎟ ⎟
,
) ⎟⎠
U
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
D cos η − D0 + h + 2H sin η 0
−D sin η + (D0 − h)tgβ cos (∆γH
⎞
⎟ ⎟
,
) ⎠⎟
π 2
≤
∆γ H
≤
3π 2
;
∆γ H
∈
⎢⎡⎣0,
π 2
⎤ ⎥⎦
∪
⎡ ⎣⎢
3π 2
,
2π⎥⎦⎤
.
(9)
Если же условие (8) не выполняется, возникает неопределенность положения примы-
кающей детали, поэтому алгоритм решения задачи прерывается и исследуется иная комбина-
ция комплектующих деталей.
5. Определение координат вершины поверхности относительно реперной точки.
Зная положение точки U на опорной плоскости (см. формулы (9)) и направление нормали к
опорной плоскости, координаты вершины оптической поверхности можно определить путем
векторного суммирования:
V = U + M Z (∆γH )MY (β)V0,
(10)
где V0 = VF или VB , которые определены в уравнениях (1).
6. Определение направления нормали к опорной плоскости при накапливании тех-
нологических погрешностей. При автоматизированной сборке конструкции микрообъектива
положение опорной плоскости определяется наклонами всех задействованных плоскостей.
Пусть текущий угол наклона опорной плоскости βi, азимутальный угол наклона ∆γH,i, соответствующие углы примыкающей плоскости: βi+1, ∆γH ,i+1. Как видно из рис. 4, вследствие
поворотов, описываемых произведением матриц MY (βi )M Z (−∆γH ,i ) , орт опорной плоскости
коллинеарен оси OZ, поэтому обратное преобразование, примененное к орту нормали к при-
мыкающей плоскости, даст результирующее направление нормали:
Ni′+1 = M Z (∆γH ,i )MY (−βi )Ni+1 .
Таким образом, алгоритм определения координат вершин и направлений нормалей к поверхности компонентов микрообъектива состоит в следующем.
Дано: 1) положение первой опорной плоскости: параметры торцевого биения ∆СH ,0, ∆γH ,0 и
аппликата Z0 опорной плоскости, измеренная по нулевому азимуту; 2) параметры торцевого биения ∆СH ,i , ∆γH ,i и толщины Нi оправ компонентов
(см. рис.1), измеренные по нулевому азимуту, i = 1, 2, ..., K;
3) параметры радиального биения оптических поверхностей: ∆СF,i , ∆γF,i , ∆СB,i , ∆γB,i ;
4) диаметр тубуса D0 и диаметры оправ Di. О п е р а ц и и : декартова система координат располагается так, что ось OZ совпадает с геометрической осью тубуса, ось OX — вертикальная, ось OY — горизонтальная. Начало координат выбрано так, что аппликата первой опорной плоскости Z0=0. Решение. Шаг 1. Назначение счетчика компонента: i=0. Начальные значения параметров базовой плоскости начальной опорной детали: Z0 = 0, β0 = 0, ∆γH ,0 = 0.
Шаг 2. Введение номера следующего компонента: i+1. Шаг 3. Определение критерия контакта (КК) плоскостей согласно формуле (8):
( ) ( )KK = D0 − Hi sin ∆γH ,i−1 + Ditg ∆γH ,i−1 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
Математическая модель автоматизированной сборки микрообъективов
27
Шаг 4. При условии КК < 0 прерывание вычислений с сообщением о необходимости
замены набора компонентов.
Шаг 5. Вычисление угла наклона опорной плоскости к вертикальной плоскости:
βi
=
arctg
⎛ ⎜
⎝
∆CH ,i−1 Di−1
⎟⎞ . ⎠
Шаг 6. Определение направления нормали к опорной плоскости с использованием фор-
мул (3) и (5): Ni′ = M Z (∆γH ,i−1)MY (−βi−1)Ni .
Шаг 7. Определение аппликаты точки пересечения Оi опорной плоскости и оси OZ согласно формуле (2):
Zi
=
Zi−1
+
Di−1 2
(sin βi−1
+ sin βi ) +
Hi−1 cosβi−1.
Шаг 8. Вычисление угла наклона опорной плоскости к горизонтальной плоскости
(см. рис. 5) и угла (согласно формуле (6)) между направляющими базового цилиндра и ци-
( ) ( )линдра оправы (см. рис. 6): tg ηi = tg βi cos ∆γH ,i−1 , tg θi = tg βi sin ∆γH ,i−1 .
Шаг 9. Вычисление высоты hi = D0 −
D02 − Hi2 sin2 θi . 2
Шаг
10.
Проверка
условия
a
=
⎧π
⎨ ⎩
2
≤
∆γ H ,i−1
≤
3π 2
⎬⎫. ⎭
Шаг 11. При выполнении условия а вычисление координат точки пересечения оптиче-
ской оси компонента с опорной плоскостью (согласно уравнениям (9)) по формуле
( )Ui
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
Di
sin
ηi
Di cos ηi − D0 + hi 0
+ (D0 − hi ) tg βi cos
∆γ H ,i−1
⎞ ⎟ ⎟; ⎟⎟⎠
при невыполнении условия а — по формуле
( )Ui
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝⎜
−Di
Di sin
cos η − D0 ηi + (D0 −
+ hi + 2Hi sin ηi 0
hi ) tg βi cos ∆γH
,i−1
⎞ ⎟ ⎟. ⎟⎟⎠
Шаг 12. Определение координат вершин оптических поверхностей, принадлежащих те-
кущей оправе (1) в локальной системе координат:
(( ))VB(л,iок)
=
⎛ ⎜
∆СB,i
cos
⎜ ∆СB sin
∆γ F,i ∆γ F,i
⎞ ⎟ ⎟,
⎜⎜⎝ H2,i ⎟⎟⎠
(( ))VF(л,iок)
=
⎛ ⎜
∆СF ,i
cos
⎜ ∆СF sin
∆γ F,i ∆γ F,i
⎞ ⎟ ⎟.
⎜⎝⎜ H1,i − Hi
⎟⎟⎠
Шаг 13. Определение координат вершин оптических поверхностей в глобальной систе-
ме координат согласно формуле (10):
⎛VB,i ⎜⎝⎜VF ,i
⎞ ⎠⎟⎟
=
Ui
+
MZ
(∆γ H ,i−1)MY
(βi
)
⎛ ⎜
VB(л,iок)
⎝⎜VF(л,iок)
⎞ ⎟ ⎠⎟
.
Шаг 14. Если i ≠ K , то переход к шагу 2, иначе — останов алгоритма с выводом пара-
метров оптических поверхностей.
В дальнейшем предложенная модель может быть использована для построения алго-
ритма автоматизированной сборки микрообъективов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
28 А. П. Смирнов, А. С. Резников, Д. А. Абрамов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Latyev S. M., Jablotschnikov E. I., Padun D. S. et al. Laborotory for automated assembly of microscope lenses // 53 Intern. Wissenschaftliches Kolloquium, Techn. Univ. Ilmenau, 8—12 Sept. 2008. P. 247—249.
2. Бурбаев А. М., Егоров Г. В. Измерение децентрировок линз в оправах для микрообъективов // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 4. С. 22—26.
Александр Павлович Смирнов Святослав Михайлович Латыев
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютеризации и проектирования оптических приборов; E-mail: apsmirnov@bk.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютеризации и проектирования оптических приборов; зав. кафедрой; E-mail: smlatyev@yandex.ru
Рекомендована кафедрой компьютеризации и проектирования оптических приборов
Поступила в редакцию 26.04.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
УДК 681.4.07
А. П. СМИРНОВ, С. М. ЛАТЫЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СБОРКИ МИКРООБЪЕКТИВОВ
Приведен вывод соотношений, положенных в основу алгоритма автоматической сборки микрообъективов с учетом технологических погрешностей их компонентов.
Ключевые слова: микрообъектив, сборка, автоматизация, модель.
Алгоритм автоматической сборки микрообъективов базируется на математической моде-
ли реальной конструкции, учитывающей технологические погрешности ее компонентов [1, 2].
Критериями качества сборки микрообъектива из реальных компонентов (с погрешностями)
являются его суммарные аберрации — сферическая, кома, дисторсия, астигматизм, которые
на практике выявляются по дифракционному изображению точки. В предлагаемой в настоя-
щей статье модели оптимизация конструкции осуществляется по критериям минимума сфе-
рической аберрации и комы. Для вычисления целевой функции требуется информация о про-
странственном положении всех оптических поверхностей микрообъектива. Решению этой
задачи и посвящена настоящая статья.
Рассмотрим обобщенный компонент микрообъектива, представляющий собой линзу,
заключенную в оправу (рис. 1, а), где базовыми поверхностями являются плоскость А и ци-
линдр Е, образующие базовую ось ЕА. На рис. 1, б, в показаны измеренные параметры и пер-
вичные погрешности обобщенного компонента, лежащие в пределах соответствующих до-
пусков.
а) ∆CH, ∆γH GE
б) X ∆CH
F ∆CB ∆γB ∆γH
CB ⊕ ∆CB,∆γB EA
RB V
L
B X ⊕ ∆CF,∆γF EA
CF Y О Z RF
A
∅D
Y в)
∆γF Z
∆CF
∆RB, ∆RF
Клей (Klebstoff)
H1 H2 H
∆CB, ∆γB; ∆CF,∆γF
H; H1; H2 ∆D; ∆CH, ∆γH
Рис. 1
Оптические поверхности будем задавать координатами вершины V и ортом L нормали к поверхности в точке вершины во внешней системе координат (OXYZ), ось аппликат которой направлена вдоль оптической оси, ось абсцисс, например, вертикальна, а ось ординат — горизонтальна. Начало координат находится на одной из базовых плоскостей, например, первого компонента по ходу лучей. Координаты вершины и направление нормали зависят от пара-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
Математическая модель автоматизированной сборки микрообъективов
23
метров элементов объектива и погрешностей, технологических и конструктивных, связанных с креплением объектива.
Базовая ось ЕА используется для центрировки поверхностей линзы при ее вклейке или результативной обработке оправы после вклейки линзы. Относительно поверхности А задаются допуски на торцевое биение, в результате которого рабочая плоскость G оправы имеет наклон к вертикальной плоскости OXY. Торцевое биение (согласно ГОСТ 24642-83) — это разность наибольшего и наименьшего расстояний ∆СН от базовой плоскости, перпендикулярной базовой оси, до рабочей плоскости. Помимо этого параметра, для определенности должны быть известны азимут наклона ∆γН относительно координатной оси OX (или метка наклона) и абсолютное значение толщины Н оправы в плоскости сечения, отмеченной меткой (рис. 2). В зоне, отмеченной меткой, торцевое биение максимально.
∆CH
β О′
ОY X
Метка
v H
v–v
Рис. 2
Измерение толщин Н, Н1 и Н2 оправы осуществляется по единой линии в одной меридиональной плоскости. Азимутальные углы эксцентриситетов отсчитываются от метки на торце
оправы (см. рис. 2). С помощью измеренных величин толщин и параметров эксцентриситетов
вершин определяются положения вершин и направления нормалей к оптическим поверхно-
стям. Для удобства изложения отметим 6 этапов, ведущих к решению поставленной задачи.
1. Определение параметров вершины оптической поверхности в локальной системе
координат. В локальной системе координат, с началом координат в точке O пересечения оп-
тической оси базовой плоскостью А (см. рис. 1 и 2), координаты вершин поверхностей любо-
го компонента объектива с учетом децентрировки определяются как
VF = ∆СF cos(∆γF ) ⋅ i + ∆СF sin(∆γF ) ⋅ j + (H1 − H ) ⋅ k, VB = ∆СB cos(∆γB ) ⋅ i + ∆СB sin(∆γB ) ⋅ j − H2 ⋅ k.
(1)
Нормаль к оптической поверхности в этой же локальной системе координат коллинеар-
на оси аппликат: L = k.
2. Вычисление глобальных координат реперной точки. Локальные координаты ре-
перной точки имеют начало на оптической оси в центре оправы (точка О на рис. 2); глобаль-
ные координаты этой точки зависят от параметров торцевого биения соприкасающихся ком-
понентов. Координаты реперной точки Zk+1, ее аппликата, как следует из рис. 3, определяются как проекция векторного суммирования:
Zk+1 = Zk + c1 + c2 + c3 ,
(2)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
24 А. П. Смирнов, С. М. Латыев
c1
=
Dk +1 2
sin βk ;
c2 = HNk ;
c3
=
Dk +1 2
sin βk+1;
tg β
=
∆CH D
,
где βk и βk+1 — углы наклона плоскостей к вертикальной плоскости; Nk — нормаль к k-й опти-
ческой поверхности.
X
с2 с3 с1
Zk+1 Zk
Z
с1 с3 Y
Рис. 3
3. Определение нормали к плоскости, имеющей торцевое биение. Рассмотрим ре-
зультат присоединения базовой плоскости А компонента к плоскости, имеющей вследствие
торцевого биения наклон на угол β и на азимутальный угол ∆γН, отмеченный меткой (см. рис.2). Тогда нормаль к оптической поверхности можно описать вектором N (рис. 4):
⎛ sin β cos(∆γН − π) ⎞ ⎛ − sin β cos(∆γН ) ⎞
N
=
⎜ ⎜
sin
β
sin(∆γ
Н
− π)
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
−
sin
β
sin(∆γ
Н
)
⎟⎟.
⎜⎝ cosβ
⎟⎠ ⎜⎝ cosβ ⎟⎠
(3)
X
N βZ
Y ∆γH
Рис. 4
4. Определение координат центра оправы относительно реперной точки и направления нормали к оптической поверхности. Определим координаты точки О (см. рис. 2) — центра базовой поверхности — в результате ее присоединения к наклонной плоскости, когда компонент сдвигается по опорной плоскости вниз (рис. 5) и точка О перемещается в точку U.
X
D0
V OZ
N η
U
Y D
∆γH
h
HV H
Рис. 5
Положим, что сборка микрообъектива происходит при горизонтально расположенном тубусе (см. рис. 5). Примыкающая деталь находится слева от опорной плоскости. Тогда нор-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
Математическая модель автоматизированной сборки микрообъективов
25
маль к опорной плоскости равна вектору Nоп = (sin β, 0, cosβ). В общем случае нормаль к
опорной плоскости и оптической поверхности с помощью матрицы поворота относительно оси аппликат (МZ) характеризуется выражением
⎛ sin β ⎞ ⎛ sin β cos(∆γH ) ⎞
Nоп
=
MZ
( −∆γ H
)
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
sin
β
sin(∆γ
H
)
⎟ ⎟
.
⎝⎜ cos β⎠⎟ ⎝⎜ cosβ
⎠⎟
(4)
Кроме матрицы поворота относительно оси OZ, необходимо определить матрицу поворота относительно оси OY, они имеют следующий вид:
⎛ cos x 0 − sin x ⎞
M
Y
(
x)
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
,
⎜⎝ sin x 0 cos x ⎟⎠
⎛ cos x
M
Z
(γ)
=
⎜ ⎜
−
sin
x
⎝⎜ 0
sin x 0 ⎞
cos x 0
0 1
⎟⎟⎠⎟ .
(5)
Углы поворота (η, θ) нижней направляющей цилиндра оправы относительно осей OY и OX согласно выражению (4) определяются как
tgη =
NX NZ
= tgβ cos (∆γH ),
tgθ =
NY NZ
= tgβsin (∆γH ) ,
(6)
где NX, NY, NZ — проекции нормали N на координатные оси. Вследствие поворота детали вокруг вертикальной оси при перемещении вниз она не
достигнет самой нижней точки тубуса. Тогда высота h (рис. 6) определяется из выражения
h = D0 −
D02
− H 2 sin2 θ 2
≈
H 2 sin2 θ 4D0
.
(7)
D h
θ H
Рис. 6
Прилегание боковых плоскостей смежных деталей произойдет, если боковой зазор имеет достаточную величину. Это условие справедливо при выполнении соотношения
H sin (∆γH ) + Dtg (∆γH ) ≤ D0.
(8)
В этом случае в зависимости от того, принадлежит ли азимутальный угол левой или правой полуплоскости, координаты центра U примыкающей детали, как видно из рис. 5, определяются как
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
26 А. П. Смирнов, С. М. Латыев
U
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎝⎜
D sin
D cos η − D0 + h 0
η + (D0 − h)tgβ cos (∆γH
⎞
⎟ ⎟
,
) ⎟⎠
U
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
D cos η − D0 + h + 2H sin η 0
−D sin η + (D0 − h)tgβ cos (∆γH
⎞
⎟ ⎟
,
) ⎠⎟
π 2
≤
∆γ H
≤
3π 2
;
∆γ H
∈
⎢⎡⎣0,
π 2
⎤ ⎥⎦
∪
⎡ ⎣⎢
3π 2
,
2π⎥⎦⎤
.
(9)
Если же условие (8) не выполняется, возникает неопределенность положения примы-
кающей детали, поэтому алгоритм решения задачи прерывается и исследуется иная комбина-
ция комплектующих деталей.
5. Определение координат вершины поверхности относительно реперной точки.
Зная положение точки U на опорной плоскости (см. формулы (9)) и направление нормали к
опорной плоскости, координаты вершины оптической поверхности можно определить путем
векторного суммирования:
V = U + M Z (∆γH )MY (β)V0,
(10)
где V0 = VF или VB , которые определены в уравнениях (1).
6. Определение направления нормали к опорной плоскости при накапливании тех-
нологических погрешностей. При автоматизированной сборке конструкции микрообъектива
положение опорной плоскости определяется наклонами всех задействованных плоскостей.
Пусть текущий угол наклона опорной плоскости βi, азимутальный угол наклона ∆γH,i, соответствующие углы примыкающей плоскости: βi+1, ∆γH ,i+1. Как видно из рис. 4, вследствие
поворотов, описываемых произведением матриц MY (βi )M Z (−∆γH ,i ) , орт опорной плоскости
коллинеарен оси OZ, поэтому обратное преобразование, примененное к орту нормали к при-
мыкающей плоскости, даст результирующее направление нормали:
Ni′+1 = M Z (∆γH ,i )MY (−βi )Ni+1 .
Таким образом, алгоритм определения координат вершин и направлений нормалей к поверхности компонентов микрообъектива состоит в следующем.
Дано: 1) положение первой опорной плоскости: параметры торцевого биения ∆СH ,0, ∆γH ,0 и
аппликата Z0 опорной плоскости, измеренная по нулевому азимуту; 2) параметры торцевого биения ∆СH ,i , ∆γH ,i и толщины Нi оправ компонентов
(см. рис.1), измеренные по нулевому азимуту, i = 1, 2, ..., K;
3) параметры радиального биения оптических поверхностей: ∆СF,i , ∆γF,i , ∆СB,i , ∆γB,i ;
4) диаметр тубуса D0 и диаметры оправ Di. О п е р а ц и и : декартова система координат располагается так, что ось OZ совпадает с геометрической осью тубуса, ось OX — вертикальная, ось OY — горизонтальная. Начало координат выбрано так, что аппликата первой опорной плоскости Z0=0. Решение. Шаг 1. Назначение счетчика компонента: i=0. Начальные значения параметров базовой плоскости начальной опорной детали: Z0 = 0, β0 = 0, ∆γH ,0 = 0.
Шаг 2. Введение номера следующего компонента: i+1. Шаг 3. Определение критерия контакта (КК) плоскостей согласно формуле (8):
( ) ( )KK = D0 − Hi sin ∆γH ,i−1 + Ditg ∆γH ,i−1 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
Математическая модель автоматизированной сборки микрообъективов
27
Шаг 4. При условии КК < 0 прерывание вычислений с сообщением о необходимости
замены набора компонентов.
Шаг 5. Вычисление угла наклона опорной плоскости к вертикальной плоскости:
βi
=
arctg
⎛ ⎜
⎝
∆CH ,i−1 Di−1
⎟⎞ . ⎠
Шаг 6. Определение направления нормали к опорной плоскости с использованием фор-
мул (3) и (5): Ni′ = M Z (∆γH ,i−1)MY (−βi−1)Ni .
Шаг 7. Определение аппликаты точки пересечения Оi опорной плоскости и оси OZ согласно формуле (2):
Zi
=
Zi−1
+
Di−1 2
(sin βi−1
+ sin βi ) +
Hi−1 cosβi−1.
Шаг 8. Вычисление угла наклона опорной плоскости к горизонтальной плоскости
(см. рис. 5) и угла (согласно формуле (6)) между направляющими базового цилиндра и ци-
( ) ( )линдра оправы (см. рис. 6): tg ηi = tg βi cos ∆γH ,i−1 , tg θi = tg βi sin ∆γH ,i−1 .
Шаг 9. Вычисление высоты hi = D0 −
D02 − Hi2 sin2 θi . 2
Шаг
10.
Проверка
условия
a
=
⎧π
⎨ ⎩
2
≤
∆γ H ,i−1
≤
3π 2
⎬⎫. ⎭
Шаг 11. При выполнении условия а вычисление координат точки пересечения оптиче-
ской оси компонента с опорной плоскостью (согласно уравнениям (9)) по формуле
( )Ui
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
Di
sin
ηi
Di cos ηi − D0 + hi 0
+ (D0 − hi ) tg βi cos
∆γ H ,i−1
⎞ ⎟ ⎟; ⎟⎟⎠
при невыполнении условия а — по формуле
( )Ui
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝⎜
−Di
Di sin
cos η − D0 ηi + (D0 −
+ hi + 2Hi sin ηi 0
hi ) tg βi cos ∆γH
,i−1
⎞ ⎟ ⎟. ⎟⎟⎠
Шаг 12. Определение координат вершин оптических поверхностей, принадлежащих те-
кущей оправе (1) в локальной системе координат:
(( ))VB(л,iок)
=
⎛ ⎜
∆СB,i
cos
⎜ ∆СB sin
∆γ F,i ∆γ F,i
⎞ ⎟ ⎟,
⎜⎜⎝ H2,i ⎟⎟⎠
(( ))VF(л,iок)
=
⎛ ⎜
∆СF ,i
cos
⎜ ∆СF sin
∆γ F,i ∆γ F,i
⎞ ⎟ ⎟.
⎜⎝⎜ H1,i − Hi
⎟⎟⎠
Шаг 13. Определение координат вершин оптических поверхностей в глобальной систе-
ме координат согласно формуле (10):
⎛VB,i ⎜⎝⎜VF ,i
⎞ ⎠⎟⎟
=
Ui
+
MZ
(∆γ H ,i−1)MY
(βi
)
⎛ ⎜
VB(л,iок)
⎝⎜VF(л,iок)
⎞ ⎟ ⎠⎟
.
Шаг 14. Если i ≠ K , то переход к шагу 2, иначе — останов алгоритма с выводом пара-
метров оптических поверхностей.
В дальнейшем предложенная модель может быть использована для построения алго-
ритма автоматизированной сборки микрообъективов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
28 А. П. Смирнов, А. С. Резников, Д. А. Абрамов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Latyev S. M., Jablotschnikov E. I., Padun D. S. et al. Laborotory for automated assembly of microscope lenses // 53 Intern. Wissenschaftliches Kolloquium, Techn. Univ. Ilmenau, 8—12 Sept. 2008. P. 247—249.
2. Бурбаев А. М., Егоров Г. В. Измерение децентрировок линз в оправах для микрообъективов // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 4. С. 22—26.
Александр Павлович Смирнов Святослав Михайлович Латыев
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютеризации и проектирования оптических приборов; E-mail: apsmirnov@bk.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютеризации и проектирования оптических приборов; зав. кафедрой; E-mail: smlatyev@yandex.ru
Рекомендована кафедрой компьютеризации и проектирования оптических приборов
Поступила в редакцию 26.04.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11