CONTROL OVER LOAD MOVEMENT BY BRIDGE CRANE USING THE METHOD OF INVERSE PROBLEM OF DYNAMICS
30 С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева
УДК 62-505.3
С. A. КАБАНОВ, Е. Н. НИКУЛИН, Б. Э. ЯКУШЕВ, Д. Б. ЯКУШЕВА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ ГРУЗА МОСТОВЫМ КРАНОМ ПО МЕТОДУ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ
Рассматривается задача управления перемещением груза мостовым краном с использованием метода обратных задач динамики. Представлены результаты численного моделирования.
Ключевые слова: мостовой кран, метод обратных задач динамики.
Точное ручное позиционирование груза при перемещении мостовым краном затруднено вследствие его раскачивания как в процессе перемещения, так и при остановке. В связи с этим возникает проблема автоматизации управления тележкой мостового крана с целью перевода захвата с грузом в заданное положение. В работах [1, 2] исследована возможность реализации оптимальной динамики перемещения груза. Разработку алгоритмов оптимального управления осложняет требование обеспечения сходимости итерационных процедур решения соответствующих краевых задач.
При допущениях о постоянстве длины троса подвески груза во время движения, малости угловых отклонений подвеса от вертикали, неизменности массы груза уравнения Лагранжа 2-го рода для рассматриваемой системы приобретают вид [1]:
(M + m)s − mlθ = F,
−s + lθ = −gθ,
где M, m — масса тележки и груза; s — горизонтальная координата крана; θ — угловое откло-
нение подвеса; l = const — длина подвеса; F — сила, управляющая положением тележки крана.
Приняв в качестве переменных вектора состояния x1 (текущий угол отклонения подвеса груза от вертикали), x2 = dx1/dt, x3 = s/l, x4 = dx3/dt при горизонтальных координатах, определяющих текущее и конечное положение груза соответственно s и sf, получаем систему урав-
нений модели объекта в виде [2]:
x = Ax+Bu ,
(1)
где x = [xi ] , x = [xi ] , A = [aij] — матрица (4×4). Элементы матрицы А, кроме a12 = 1, a21 = –а,
a34 = 1, a41 = –с, равны нулю; BT = [0 b/umах 0 b/umах], a = bg/l, b = (m + M)/M, с = mg/(lM), g — ускорение свободного падения, u = umахF/[l(m + M)] — безразмерное управление,
i = 1, 4; j = 1, 4 .
Требуется обеспечить перевод системы из начального состояния xT (t0 ) = [0000] в ко-
( )нечное xT t f = ⎣⎡00s f 0⎤⎦ при ограничении на управление |umах|≤0,75.
В настоящей статье представлен вариант решения задачи управления мостовым краном с помощью алгоритма на основе обратных задач динамики [3].
В тех случаях, когда требуется обеспечить точный приход системы в заданную точку фазового пространства, один из вариантов решения проблемы — сформулировать ее как обратную задачу динамики. Тогда можно синтезировать алгоритм терминального управления в замкнутой форме методом прямого интегрирования дифференциальных уравнений движения [4].
В рамках такого подхода целесообразно рассмотреть соответствующую модели (1) систему из двух уравнений Лагранжа 2-го рода, первое из которых, записанное относительно угла отклонения подвеса груза от вертикали, является независимым и приводится к виду
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Управление перемещением груза мостовым краном по методу обратных задач динамики 31
x1 + αx1 = u .
Можно предположить, что фазовая траектория x(t), на которой целевой функционал принимает минимальное значение, является непрерывной функцией независимой переменной. Согласно теореме К. Вейерштрасса о приближении, любая непрерывная функция может быть аппроксимирована полиномом с любой заданной точностью. Тогда она может быть сколь угодно точно аппроксимирована полиномом
∑xk = k−1Citi i=0
так, что норма разности x − xk будет меньше любого заданного малого числа ε при всех
t ∈ x ⎡⎣0,t f ⎤⎦ . При этом заданная точность аппроксимации ε однозначно определяет мини-
мальное число членов k аппроксимирующего полинома. Если решается задача оптимизации,
о точности приближения к экстремали можно, например, судить по скорости изменения
функционала, которая вблизи экстремума стремится к нулю. Минимальное время прихода в заданную фазовую точку xT(tf) = [0 0 sf 0] при поставленных
условиях было получено при решении задачи максимального быстродействия [2]. Таким образом,
возможно получить „оптимальное“ решение задачи уже за одно приближение, если воспользо-
ваться значением времени tf из решения задачи по принципу максимума. В этом случае начальное приближение x0 оптимальной фазовой траектории x разыскивается в виде полинома с минимально возможным числом членов, обеспечивающим лишь решение краевой задачи.
Согласно работам [3, 4], выходная функция задается в виде
∑x1(t) =
5 0
Ci
(t
−
t0
)i
.
Использование начальных условий дает значения произвольных постоянных С0 = 0, С1 = 0. Значение горизонтальной координаты тележки (и соответственно точки прихода груза)
x3 определяется последовательным интегрированием соответствующих уравнений из (1) при переменном верхнем пределе
tt
∫ ∫x4 (t) = (−cx1 + u)d τ и x3 (t) = x4d τ .
t0 t0
В результате получается (при ∆t = t − t0 )
x3
=
C1∆t
+
C2∆t 2
+
C3∆t3
+
C4 ∆t 4
+
C5 ∆t 5
+
(a
−
c)
⎡ ⎢ ⎣⎢
C2 ∆t 12
4
+
C3∆t5 20
+
C4 ∆t 6 30
+
C5 ∆t 7 42
⎤ ⎥. ⎦⎥
Использование граничных условий на правом конце интервала (в точке прихода) позво-
ляет вычислить коэффициенты Ci ( i = 1, 5 ) по формулам
C2
=
(α
420
− c) ∆t4
s
f
,
C3
=
−
1680 (α − c)∆t5
s
f
,
C4
2100 = (α − c)∆t6
sf ,
C5
840 = − (α − c)∆t7
sf ,
где ∆t = t f − t0 .
Значение управления вычисляется согласно соотношению [4]:
( ) ( ) ( ) ( )u = C2 2 + α∆2 + C3 6∆t + α∆t3 + C4 12∆t2 + α∆t4 + C5 20∆t3 + α∆t5 .
(2)
На рис. 1 приведен результат вычислений по приведенному выше алгоритму при интервале
времени управления tmin = 3,52 с, равном интервалу оптимизации в задаче максимального быстродействия [2]. Можно отметить высокую точность выполнения краевых условий в точке прихода. Обращает на себя внимание сглаженно-ступенчатая форма полученной функции управления. При
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
32 С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева
этом качественный характер динамики вектора состояния согласуется с его оптимальной динамикой [2]. Однако при условии быстродействия системы управление, получаемое в рамках такого подхода, обладает существенным недостатком: оно не удовлетворяет ограничению |umах|≤0,75: umax = 2,732, а umin = – 2,827. Это обстоятельство при ограничении затрат на управление объекта или по иным причинам может затруднить и даже исключить применение выработанного закона управления. С другой стороны, очевидно, что гладкие функции управления облегчают их практическую реализацию. Рассчитано, что при увеличении времени прихода в заданную точку фазового состояния наблюдается уменьшение предельных значений управляющего воздействия: приемлемая величина предельных отклонений управления достигается при tf = 4,91 с. В этом случае имеем umax = 0,731 и umin = – 0,749, т.е. выполняется условие |umах|≤0,75.
x1, x2, x3, x4, u
2
x3 1
x4
0
–1
1 x2
2
3 x1
4 t, с
–2 и
–3 Рис. 1
На рис. 2 приведены графики изменения фазовых переменных и управления для случая tf = 4,91 с. Видно, что в процессе движения отклонения всех контролируемых параметров от значений, соответствующих равновесному положению в исходной и конечной точках, уменьшились до 50 % от их значений, зафиксированных при движении в режиме максимального быстродействия [2]. Следовательно, постановка задачи об определении управления, исключая оптимизацию в режиме максимального быстродействия, как обратной задачи динамики позволяет обеспечить приход системы в заданное положение более плавно с минимальными перегрузками.
x1, x2, x3, x4, u
1,5
x3 1
0,5 x4
0
1 x2 2
3
4
x1 5
t, с
–0,5 и
–1 Рис. 2
Таким образом, в работе приведено решение задачи перемещения груза мостовым краном по методу обратных задач динамики. Показано, что разработанный алгоритм позволяет обеспечить приход системы в заданное положение с минимальными перегрузками.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Управление перемещением груза мостовым краном по методу обратных задач динамики 33
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Troch I. Parametrisierung – Ein Werkzeug zur Berechnung optimaler Steuerungen // Automatisierungstechnik. AT. 1990. Bd 38, N 6. S. 230—236.
2. Кабанов С. А., Никулин Е. Н., Якушев Б. Э., Якушева Д. Б. Оптимальное перемещение груза мостовым краном // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 5. С. 56—65.
3. Батенко А. П. Оптимизация терминальных управлений методом постепенного улучшения // Техническая кибернетика. 1980. № 5. С. 185—192.
4. Кабанов С. А., Якушев Б. Э. Использование неклассического критерия оптимальности в задаче управления работой подъемно-транспортного оборудования // Докл. 55-й конф. проф., преп., науч. раб., инж. и асп. СПбГАСУ. СПб: Изд-во СПбГАСУ, 1998. Ч. I. С. 63—65.
Сведения об авторах
Сергей Александрович Кабанов — д-р техн. наук, профессор; Балтийский государственный технический
университет „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф. Устинова, кафедра систем обра-
ботки информации и управления, Санкт-Петербург;
E-mail: kaba-sa@mail.ru
Евгений Николаевич Никулин — д-р техн. наук, профессор; Балтийский государственный технический
университет „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф. Устинова, кафедра средств пора-
жения и боеприпасов, Санкт-Петербург; E-mail: enikulin@onixmail.ru
Борис Эдуардович Якушев
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный ар-
хитектурно-строительный университет, кафедра теоретической меха-
ники; E-mail: yakushev.spb@mail.ru
Дарья Борисовна Якушева
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет, ка-
федра информационных систем; E-mail: dariayakusheva@gmail.com
Рекомендована кафедрой систем обработки информации и управления
Поступила в редакцию 25.11.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
УДК 62-505.3
С. A. КАБАНОВ, Е. Н. НИКУЛИН, Б. Э. ЯКУШЕВ, Д. Б. ЯКУШЕВА
УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ ГРУЗА МОСТОВЫМ КРАНОМ ПО МЕТОДУ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ
Рассматривается задача управления перемещением груза мостовым краном с использованием метода обратных задач динамики. Представлены результаты численного моделирования.
Ключевые слова: мостовой кран, метод обратных задач динамики.
Точное ручное позиционирование груза при перемещении мостовым краном затруднено вследствие его раскачивания как в процессе перемещения, так и при остановке. В связи с этим возникает проблема автоматизации управления тележкой мостового крана с целью перевода захвата с грузом в заданное положение. В работах [1, 2] исследована возможность реализации оптимальной динамики перемещения груза. Разработку алгоритмов оптимального управления осложняет требование обеспечения сходимости итерационных процедур решения соответствующих краевых задач.
При допущениях о постоянстве длины троса подвески груза во время движения, малости угловых отклонений подвеса от вертикали, неизменности массы груза уравнения Лагранжа 2-го рода для рассматриваемой системы приобретают вид [1]:
(M + m)s − mlθ = F,
−s + lθ = −gθ,
где M, m — масса тележки и груза; s — горизонтальная координата крана; θ — угловое откло-
нение подвеса; l = const — длина подвеса; F — сила, управляющая положением тележки крана.
Приняв в качестве переменных вектора состояния x1 (текущий угол отклонения подвеса груза от вертикали), x2 = dx1/dt, x3 = s/l, x4 = dx3/dt при горизонтальных координатах, определяющих текущее и конечное положение груза соответственно s и sf, получаем систему урав-
нений модели объекта в виде [2]:
x = Ax+Bu ,
(1)
где x = [xi ] , x = [xi ] , A = [aij] — матрица (4×4). Элементы матрицы А, кроме a12 = 1, a21 = –а,
a34 = 1, a41 = –с, равны нулю; BT = [0 b/umах 0 b/umах], a = bg/l, b = (m + M)/M, с = mg/(lM), g — ускорение свободного падения, u = umахF/[l(m + M)] — безразмерное управление,
i = 1, 4; j = 1, 4 .
Требуется обеспечить перевод системы из начального состояния xT (t0 ) = [0000] в ко-
( )нечное xT t f = ⎣⎡00s f 0⎤⎦ при ограничении на управление |umах|≤0,75.
В настоящей статье представлен вариант решения задачи управления мостовым краном с помощью алгоритма на основе обратных задач динамики [3].
В тех случаях, когда требуется обеспечить точный приход системы в заданную точку фазового пространства, один из вариантов решения проблемы — сформулировать ее как обратную задачу динамики. Тогда можно синтезировать алгоритм терминального управления в замкнутой форме методом прямого интегрирования дифференциальных уравнений движения [4].
В рамках такого подхода целесообразно рассмотреть соответствующую модели (1) систему из двух уравнений Лагранжа 2-го рода, первое из которых, записанное относительно угла отклонения подвеса груза от вертикали, является независимым и приводится к виду
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Управление перемещением груза мостовым краном по методу обратных задач динамики 31
x1 + αx1 = u .
Можно предположить, что фазовая траектория x(t), на которой целевой функционал принимает минимальное значение, является непрерывной функцией независимой переменной. Согласно теореме К. Вейерштрасса о приближении, любая непрерывная функция может быть аппроксимирована полиномом с любой заданной точностью. Тогда она может быть сколь угодно точно аппроксимирована полиномом
∑xk = k−1Citi i=0
так, что норма разности x − xk будет меньше любого заданного малого числа ε при всех
t ∈ x ⎡⎣0,t f ⎤⎦ . При этом заданная точность аппроксимации ε однозначно определяет мини-
мальное число членов k аппроксимирующего полинома. Если решается задача оптимизации,
о точности приближения к экстремали можно, например, судить по скорости изменения
функционала, которая вблизи экстремума стремится к нулю. Минимальное время прихода в заданную фазовую точку xT(tf) = [0 0 sf 0] при поставленных
условиях было получено при решении задачи максимального быстродействия [2]. Таким образом,
возможно получить „оптимальное“ решение задачи уже за одно приближение, если воспользо-
ваться значением времени tf из решения задачи по принципу максимума. В этом случае начальное приближение x0 оптимальной фазовой траектории x разыскивается в виде полинома с минимально возможным числом членов, обеспечивающим лишь решение краевой задачи.
Согласно работам [3, 4], выходная функция задается в виде
∑x1(t) =
5 0
Ci
(t
−
t0
)i
.
Использование начальных условий дает значения произвольных постоянных С0 = 0, С1 = 0. Значение горизонтальной координаты тележки (и соответственно точки прихода груза)
x3 определяется последовательным интегрированием соответствующих уравнений из (1) при переменном верхнем пределе
tt
∫ ∫x4 (t) = (−cx1 + u)d τ и x3 (t) = x4d τ .
t0 t0
В результате получается (при ∆t = t − t0 )
x3
=
C1∆t
+
C2∆t 2
+
C3∆t3
+
C4 ∆t 4
+
C5 ∆t 5
+
(a
−
c)
⎡ ⎢ ⎣⎢
C2 ∆t 12
4
+
C3∆t5 20
+
C4 ∆t 6 30
+
C5 ∆t 7 42
⎤ ⎥. ⎦⎥
Использование граничных условий на правом конце интервала (в точке прихода) позво-
ляет вычислить коэффициенты Ci ( i = 1, 5 ) по формулам
C2
=
(α
420
− c) ∆t4
s
f
,
C3
=
−
1680 (α − c)∆t5
s
f
,
C4
2100 = (α − c)∆t6
sf ,
C5
840 = − (α − c)∆t7
sf ,
где ∆t = t f − t0 .
Значение управления вычисляется согласно соотношению [4]:
( ) ( ) ( ) ( )u = C2 2 + α∆2 + C3 6∆t + α∆t3 + C4 12∆t2 + α∆t4 + C5 20∆t3 + α∆t5 .
(2)
На рис. 1 приведен результат вычислений по приведенному выше алгоритму при интервале
времени управления tmin = 3,52 с, равном интервалу оптимизации в задаче максимального быстродействия [2]. Можно отметить высокую точность выполнения краевых условий в точке прихода. Обращает на себя внимание сглаженно-ступенчатая форма полученной функции управления. При
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
32 С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева
этом качественный характер динамики вектора состояния согласуется с его оптимальной динамикой [2]. Однако при условии быстродействия системы управление, получаемое в рамках такого подхода, обладает существенным недостатком: оно не удовлетворяет ограничению |umах|≤0,75: umax = 2,732, а umin = – 2,827. Это обстоятельство при ограничении затрат на управление объекта или по иным причинам может затруднить и даже исключить применение выработанного закона управления. С другой стороны, очевидно, что гладкие функции управления облегчают их практическую реализацию. Рассчитано, что при увеличении времени прихода в заданную точку фазового состояния наблюдается уменьшение предельных значений управляющего воздействия: приемлемая величина предельных отклонений управления достигается при tf = 4,91 с. В этом случае имеем umax = 0,731 и umin = – 0,749, т.е. выполняется условие |umах|≤0,75.
x1, x2, x3, x4, u
2
x3 1
x4
0
–1
1 x2
2
3 x1
4 t, с
–2 и
–3 Рис. 1
На рис. 2 приведены графики изменения фазовых переменных и управления для случая tf = 4,91 с. Видно, что в процессе движения отклонения всех контролируемых параметров от значений, соответствующих равновесному положению в исходной и конечной точках, уменьшились до 50 % от их значений, зафиксированных при движении в режиме максимального быстродействия [2]. Следовательно, постановка задачи об определении управления, исключая оптимизацию в режиме максимального быстродействия, как обратной задачи динамики позволяет обеспечить приход системы в заданное положение более плавно с минимальными перегрузками.
x1, x2, x3, x4, u
1,5
x3 1
0,5 x4
0
1 x2 2
3
4
x1 5
t, с
–0,5 и
–1 Рис. 2
Таким образом, в работе приведено решение задачи перемещения груза мостовым краном по методу обратных задач динамики. Показано, что разработанный алгоритм позволяет обеспечить приход системы в заданное положение с минимальными перегрузками.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Управление перемещением груза мостовым краном по методу обратных задач динамики 33
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Troch I. Parametrisierung – Ein Werkzeug zur Berechnung optimaler Steuerungen // Automatisierungstechnik. AT. 1990. Bd 38, N 6. S. 230—236.
2. Кабанов С. А., Никулин Е. Н., Якушев Б. Э., Якушева Д. Б. Оптимальное перемещение груза мостовым краном // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 5. С. 56—65.
3. Батенко А. П. Оптимизация терминальных управлений методом постепенного улучшения // Техническая кибернетика. 1980. № 5. С. 185—192.
4. Кабанов С. А., Якушев Б. Э. Использование неклассического критерия оптимальности в задаче управления работой подъемно-транспортного оборудования // Докл. 55-й конф. проф., преп., науч. раб., инж. и асп. СПбГАСУ. СПб: Изд-во СПбГАСУ, 1998. Ч. I. С. 63—65.
Сведения об авторах
Сергей Александрович Кабанов — д-р техн. наук, профессор; Балтийский государственный технический
университет „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф. Устинова, кафедра систем обра-
ботки информации и управления, Санкт-Петербург;
E-mail: kaba-sa@mail.ru
Евгений Николаевич Никулин — д-р техн. наук, профессор; Балтийский государственный технический
университет „ВОЕНМЕХ“ им. Д. Ф. Устинова, кафедра средств пора-
жения и боеприпасов, Санкт-Петербург; E-mail: enikulin@onixmail.ru
Борис Эдуардович Якушев
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный ар-
хитектурно-строительный университет, кафедра теоретической меха-
ники; E-mail: yakushev.spb@mail.ru
Дарья Борисовна Якушева
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет, ка-
федра информационных систем; E-mail: dariayakusheva@gmail.com
Рекомендована кафедрой систем обработки информации и управления
Поступила в редакцию 25.11.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12