ESFIMATION OF PROBABILITY OF THE FIRST LEVELS-CROSSING OF GAUSSIAN MARKOV SEQUENCE
Оценка вероятности первого пересечения уровней
15
УДК 519.2
Н. В. ГИРИНА
ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРВОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ УРОВНЕЙ ГАУССОВЫМИ МАРКОВСКИМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ
Оцениваются вероятности времени первого пересечения постоянного и переменного уровней гауссовыми марковскими последовательностями конечного порядка с использованием геометрического и обобщенного геометрического распределений.
Ключевые слова: вероятность времени первого пересечения, постоянный и переменный уровни, гауссова марковская последовательность.
Одно из приложений задачи о пересечении случайным процессом неслучайного уровня — измерение интервалов между импульсными сигналами, оцениваемых разностью моментов пересечения заданных уровней фронтами сигналов. Решение этой задачи
базируется на плотности распределения времени tu первого пересечения уровня u (t )
(фронта сигнала) случайным процессом x (t ) , описывающим шумовую составляющую.
Пересечениям посвящено множество отечественных публикаций (см., например, [1—3]). Общее решение на базе теории рядов Райса [4] трудно реализовать в инженерной
практике. При условии дифференцируемости процесса x (t ) удается определить матема-
тическое ожидание и дисперсию времени tu [1, 2, 5], дифференцируемость уровня u (t )
позволяет рассчитать плотность f (tu ) для x (t ) -гауссова марковского процесса первого
порядка [6].
Оценить плотность f (tu ) более простыми методами можно в пространстве дискретно-
го времени посредством перехода к последовательностям X, U . Некоторые вопросы приме-
нения марковских моделей гауссовых последовательностей [7] к пересечению постоянных уровней рассмотрены в работе [8]. Цель настоящей статьи — распространить методику оцен-
ки плотности f (tu ) на переменные уровни с использованием марковских моделей и геомет-
рического распределения.
Пусть последовательности X, U формируются на временном отрезке [0,T ] путем дис-
кретизации процессов x (t ) , u (t ) с интервалом ∆ . Если начальные значения x0 < U0 , первое
пересечение возможно снизу вверх. Первое пересечение может произойти на k-м интервале дискретизации с вероятностью
f
(tk
)
=
p ⎪⎧⎨( xk
>
uk
k −1
)∩ ∩ (xi
< ui )⎪⎫⎬ ,
k
= 1,
2, ...
⎩⎪ i=0 ⎪⎭
(1)
Если принять ∆ = 1, а время tu первого пересечения фиксировать как номер k первого
выполнения неравенства xi > ui , i = 0, 1, ..., k −1 , то совокупность значений f (tk ) задает
плотность распределения дискретного времени первого пересечения. Если последовательность X не коррелирована (дискретный белый шум), вероятности
(1) рассчитываются как произведения:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
16 Н. В. Гирина
k −1
f (tk ) = pk ∏(1− pi ) , pi = p ( xi > ui ) . i=0
(2)
В случае коррелированой последовательности непосредственный расчет вероятностей (1) проблематичен даже для гауссовых последовательностей.
Пересечение постоянного уровня. Время первого пересечения постоянного уровня U = u дискретным белым шумом распределено по геометрическому закону [9]
f (tk ) = (1 − p0 )k p0 , p0 = p{x > u} = 1 − Φ (u / σ) ,
(3)
соответствующему произведению (2) при pi = p0 , здесь Φ (λ) — интеграл вероятности.
Выражение для плотности (3) можно обобщить на слабокоррелированные марковские последовательности конечного порядка n [8], задаваемые условием τ0 u} = 1 − Φ (u / σ) ,
u u∞
pk = ∫ ... ∫ ∫ f ( x0 ,..., xk )dx0...dxk , k = 1, ..., n −1. −∞ −∞ u
(4)
При k ≥ n нормированные значения геометрической плотности [8]
fˆ
(tk
)
≈
pk
(1 −
P)
=
(1 −
P)
pn
(1 −
pn )k−n
,
P
=
n−1
∑ pi
,
i=0
(5)
описывают время первого пересечения уровня u .
Пример 1. Процесс x (t ) ∈ N (0, R (τ)) на временном отрезке [0,30] дискретизируется с
интервалом ∆ = 0,5 ; функция корреляции (рис. 1, а, кривая 1) определяется как
R(τ)
=
exp (−ατ) ⎣⎢⎡cos (βτ) +
α β
sin (βτ)⎥⎦⎤
,
α
=
1/
4,
β
=
π/2.
Аппроксимация процесса x (t ) марковской последовательностью n -го порядка базируется
на приведении матрицы точности к 2n + 1-диагональному виду [7]. Функция корреляции аппроксимирующей последовательности X порядка n = 5 показана на рис. 1, а, кривая 2 (марковский процесс менее инерционен); на рис. 1, б приведена гистограмма времени первого пересечения уровня u = 1 исходным процессом ( N = 5000 траекторий) и марковской последовательностью X (пунктир).
Вероятности (4) получены статистическим моделированием пересечений последовательностью X ; для уровня u = 1 в одном из экспериментов они приняли следующие значе-
ния: p0 = 0,1618 , p1 = 0, 0702 , p2 = 0, 0786 , p3 = 0, 0730 , p4 = 0, 0700 , p5 = 0, 0588 , из чего
следует, что в результате расчета вероятностей (5) pn = 0, 0588 , 1 − P = 0, 5464 . На рис. 1, в, г приведены гистограммы времени первого пересечения уровней u = 1
и u = 2 исходным процессом и оценки вероятностей (5), показанные пунктирными линиями.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
а) R 1
0,5
0
–0,5 0
в) h, p 0,4
Оценка вероятности первого пересечения уровней
1
2 10 20 u=1
б) h 0,4
0,2 τ
Х
u=1
30 0 г) h, p
0,1
10 20 u=2
30 t
0,2 0,05
17
0 10 20 30 t 0 10 20 30 t Рис. 1
Пересечение переменного уровня. Формула (1) по сути обобщает геометрическое распределение: если вероятности pi наступления события в независимых экспериментах различны, вероятность первого его наступления в k -м эксперименте равна
k −1
Pk = pk ∏(1 − pi ) , k = 1, 2,... i=1
Вероятность пересечения уровня U сверху вниз гауссовой последовательностью X с
нулевым средним на i -м интервале определяется как
∫pi =
1 2π
ui −∞
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
x2 2σ2
⎟⎟⎞⎠dx
=
Φ
⎛ ⎜⎝
ui σ
⎞ ⎟⎠
,
где σ — среднее квадратическое отклонение.
Если пересекающий процесс аппроксимировать марковской последовательностью n -го
порядка, обобщенное геометрическое распределение можно упростить: первые n + 1 вероят-
ностей Pk описываются интегралом (4), а вероятности первого пересечения в последующих
интервалах — выражением
k −1
Pk ≈ pk ∏ (1 − pi ) , k ≥ n + 2 . i=k−n
(6)
При этом расчет вероятностей по формуле (6) позволяет обеспечить сохранение произведения n сомножителей, что сокращает объем вычислений.
Пример 2. На рис. 2, а показан график (уровень) u (t ) = 8Φ (t −1,5) − 4 , имитирующий
передний фронт импульсного сигнала, пересекаемый сверху вниз траекториями процесса
x (t ) ∈ N (0, R (τ)) при R (τ) = exp (−α τ ) ⎡⎣cos (βτ) + α / β sin (β τ )⎤⎦ , α = 3 / 2 , β = π . Процесс
x (t ) дискретизируется с интервалом ∆ = 0, 2 и аппроксимируется марковской последова-
тельностью шестого порядка.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
18
а) U, X 3 2 1 0
–1 –2 –3
Н. В. Гирина
б) h, p 1,2
1
0,8 t
0,6
0,4
0,2
0 1 2 3t
0 1 2 3t
Рис. 2
Первые семь вероятностей Pk пересечения траекторий и заданного уровня получены
статистическим моделированием по выборке N = 10 000 траекторий. Следующие вероятно-
сти рассчитаны по формуле (6). По этой же выборке рассчитана гистограмма времени первого
пересечения, показанная на рис. 2, б.
Метод аппроксимации стационарного гауссова процесса марковской последователь-
ностью конечного порядка, предложенный в настоящей статье, может быть использован в
инженерной практике оценивания времени прихода импульсных сигналов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Свешников А. А. Прикладные методы случайных функций. Л.: Судпромгиз, 1961. 252 с.
2. Тихонов В. И., Хименко В. И. Проблема пересечений уровней случайными процессами. Радиофизические приложения // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43, № 5. С. 501—523.
3. Семаков С. Л. Выбросы случайных процессов: приложения в авиации. М.: Наука, 2005. 200 с.
4. Мирошин Р. Н. Пересечения кривых гауссовскими процессами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 212 с.
5. Тихонов В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986. 296 с.
6. Воробьев С. Н. Пересечение гауссовым марковским процессом детерминированного уровня // Информационноуправляющие системы. 2004. № 2. С. 16—20.
7. Воробьев С. Н., Гирина Н. В., Осипов Л. А. Гауссовы марковские последовательности // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 1. С. 23—31.
8. Воробьев С. Н., Гирина Н. В. Пересечение стационарных гауссовых последовательностей с неслучайными уровнями // Информационно-управляющие системы. 2009. № 3. С. 7—12.
9. Королюк В. С. и др. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985. 640 с.
Наталья Владимировна Гирина
Сведения об авторе — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет аэро-
космического приборостроения; кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: natalia.girina@gmail.com
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 07.09.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
15
УДК 519.2
Н. В. ГИРИНА
ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРВОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ УРОВНЕЙ ГАУССОВЫМИ МАРКОВСКИМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ
Оцениваются вероятности времени первого пересечения постоянного и переменного уровней гауссовыми марковскими последовательностями конечного порядка с использованием геометрического и обобщенного геометрического распределений.
Ключевые слова: вероятность времени первого пересечения, постоянный и переменный уровни, гауссова марковская последовательность.
Одно из приложений задачи о пересечении случайным процессом неслучайного уровня — измерение интервалов между импульсными сигналами, оцениваемых разностью моментов пересечения заданных уровней фронтами сигналов. Решение этой задачи
базируется на плотности распределения времени tu первого пересечения уровня u (t )
(фронта сигнала) случайным процессом x (t ) , описывающим шумовую составляющую.
Пересечениям посвящено множество отечественных публикаций (см., например, [1—3]). Общее решение на базе теории рядов Райса [4] трудно реализовать в инженерной
практике. При условии дифференцируемости процесса x (t ) удается определить матема-
тическое ожидание и дисперсию времени tu [1, 2, 5], дифференцируемость уровня u (t )
позволяет рассчитать плотность f (tu ) для x (t ) -гауссова марковского процесса первого
порядка [6].
Оценить плотность f (tu ) более простыми методами можно в пространстве дискретно-
го времени посредством перехода к последовательностям X, U . Некоторые вопросы приме-
нения марковских моделей гауссовых последовательностей [7] к пересечению постоянных уровней рассмотрены в работе [8]. Цель настоящей статьи — распространить методику оцен-
ки плотности f (tu ) на переменные уровни с использованием марковских моделей и геомет-
рического распределения.
Пусть последовательности X, U формируются на временном отрезке [0,T ] путем дис-
кретизации процессов x (t ) , u (t ) с интервалом ∆ . Если начальные значения x0 < U0 , первое
пересечение возможно снизу вверх. Первое пересечение может произойти на k-м интервале дискретизации с вероятностью
f
(tk
)
=
p ⎪⎧⎨( xk
>
uk
k −1
)∩ ∩ (xi
< ui )⎪⎫⎬ ,
k
= 1,
2, ...
⎩⎪ i=0 ⎪⎭
(1)
Если принять ∆ = 1, а время tu первого пересечения фиксировать как номер k первого
выполнения неравенства xi > ui , i = 0, 1, ..., k −1 , то совокупность значений f (tk ) задает
плотность распределения дискретного времени первого пересечения. Если последовательность X не коррелирована (дискретный белый шум), вероятности
(1) рассчитываются как произведения:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
16 Н. В. Гирина
k −1
f (tk ) = pk ∏(1− pi ) , pi = p ( xi > ui ) . i=0
(2)
В случае коррелированой последовательности непосредственный расчет вероятностей (1) проблематичен даже для гауссовых последовательностей.
Пересечение постоянного уровня. Время первого пересечения постоянного уровня U = u дискретным белым шумом распределено по геометрическому закону [9]
f (tk ) = (1 − p0 )k p0 , p0 = p{x > u} = 1 − Φ (u / σ) ,
(3)
соответствующему произведению (2) при pi = p0 , здесь Φ (λ) — интеграл вероятности.
Выражение для плотности (3) можно обобщить на слабокоррелированные марковские последовательности конечного порядка n [8], задаваемые условием τ0 u} = 1 − Φ (u / σ) ,
u u∞
pk = ∫ ... ∫ ∫ f ( x0 ,..., xk )dx0...dxk , k = 1, ..., n −1. −∞ −∞ u
(4)
При k ≥ n нормированные значения геометрической плотности [8]
fˆ
(tk
)
≈
pk
(1 −
P)
=
(1 −
P)
pn
(1 −
pn )k−n
,
P
=
n−1
∑ pi
,
i=0
(5)
описывают время первого пересечения уровня u .
Пример 1. Процесс x (t ) ∈ N (0, R (τ)) на временном отрезке [0,30] дискретизируется с
интервалом ∆ = 0,5 ; функция корреляции (рис. 1, а, кривая 1) определяется как
R(τ)
=
exp (−ατ) ⎣⎢⎡cos (βτ) +
α β
sin (βτ)⎥⎦⎤
,
α
=
1/
4,
β
=
π/2.
Аппроксимация процесса x (t ) марковской последовательностью n -го порядка базируется
на приведении матрицы точности к 2n + 1-диагональному виду [7]. Функция корреляции аппроксимирующей последовательности X порядка n = 5 показана на рис. 1, а, кривая 2 (марковский процесс менее инерционен); на рис. 1, б приведена гистограмма времени первого пересечения уровня u = 1 исходным процессом ( N = 5000 траекторий) и марковской последовательностью X (пунктир).
Вероятности (4) получены статистическим моделированием пересечений последовательностью X ; для уровня u = 1 в одном из экспериментов они приняли следующие значе-
ния: p0 = 0,1618 , p1 = 0, 0702 , p2 = 0, 0786 , p3 = 0, 0730 , p4 = 0, 0700 , p5 = 0, 0588 , из чего
следует, что в результате расчета вероятностей (5) pn = 0, 0588 , 1 − P = 0, 5464 . На рис. 1, в, г приведены гистограммы времени первого пересечения уровней u = 1
и u = 2 исходным процессом и оценки вероятностей (5), показанные пунктирными линиями.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
а) R 1
0,5
0
–0,5 0
в) h, p 0,4
Оценка вероятности первого пересечения уровней
1
2 10 20 u=1
б) h 0,4
0,2 τ
Х
u=1
30 0 г) h, p
0,1
10 20 u=2
30 t
0,2 0,05
17
0 10 20 30 t 0 10 20 30 t Рис. 1
Пересечение переменного уровня. Формула (1) по сути обобщает геометрическое распределение: если вероятности pi наступления события в независимых экспериментах различны, вероятность первого его наступления в k -м эксперименте равна
k −1
Pk = pk ∏(1 − pi ) , k = 1, 2,... i=1
Вероятность пересечения уровня U сверху вниз гауссовой последовательностью X с
нулевым средним на i -м интервале определяется как
∫pi =
1 2π
ui −∞
exp
⎛ ⎜⎜⎝
−
x2 2σ2
⎟⎟⎞⎠dx
=
Φ
⎛ ⎜⎝
ui σ
⎞ ⎟⎠
,
где σ — среднее квадратическое отклонение.
Если пересекающий процесс аппроксимировать марковской последовательностью n -го
порядка, обобщенное геометрическое распределение можно упростить: первые n + 1 вероят-
ностей Pk описываются интегралом (4), а вероятности первого пересечения в последующих
интервалах — выражением
k −1
Pk ≈ pk ∏ (1 − pi ) , k ≥ n + 2 . i=k−n
(6)
При этом расчет вероятностей по формуле (6) позволяет обеспечить сохранение произведения n сомножителей, что сокращает объем вычислений.
Пример 2. На рис. 2, а показан график (уровень) u (t ) = 8Φ (t −1,5) − 4 , имитирующий
передний фронт импульсного сигнала, пересекаемый сверху вниз траекториями процесса
x (t ) ∈ N (0, R (τ)) при R (τ) = exp (−α τ ) ⎡⎣cos (βτ) + α / β sin (β τ )⎤⎦ , α = 3 / 2 , β = π . Процесс
x (t ) дискретизируется с интервалом ∆ = 0, 2 и аппроксимируется марковской последова-
тельностью шестого порядка.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1
18
а) U, X 3 2 1 0
–1 –2 –3
Н. В. Гирина
б) h, p 1,2
1
0,8 t
0,6
0,4
0,2
0 1 2 3t
0 1 2 3t
Рис. 2
Первые семь вероятностей Pk пересечения траекторий и заданного уровня получены
статистическим моделированием по выборке N = 10 000 траекторий. Следующие вероятно-
сти рассчитаны по формуле (6). По этой же выборке рассчитана гистограмма времени первого
пересечения, показанная на рис. 2, б.
Метод аппроксимации стационарного гауссова процесса марковской последователь-
ностью конечного порядка, предложенный в настоящей статье, может быть использован в
инженерной практике оценивания времени прихода импульсных сигналов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Свешников А. А. Прикладные методы случайных функций. Л.: Судпромгиз, 1961. 252 с.
2. Тихонов В. И., Хименко В. И. Проблема пересечений уровней случайными процессами. Радиофизические приложения // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43, № 5. С. 501—523.
3. Семаков С. Л. Выбросы случайных процессов: приложения в авиации. М.: Наука, 2005. 200 с.
4. Мирошин Р. Н. Пересечения кривых гауссовскими процессами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 212 с.
5. Тихонов В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986. 296 с.
6. Воробьев С. Н. Пересечение гауссовым марковским процессом детерминированного уровня // Информационноуправляющие системы. 2004. № 2. С. 16—20.
7. Воробьев С. Н., Гирина Н. В., Осипов Л. А. Гауссовы марковские последовательности // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 1. С. 23—31.
8. Воробьев С. Н., Гирина Н. В. Пересечение стационарных гауссовых последовательностей с неслучайными уровнями // Информационно-управляющие системы. 2009. № 3. С. 7—12.
9. Королюк В. С. и др. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985. 640 с.
Наталья Владимировна Гирина
Сведения об авторе — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет аэро-
космического приборостроения; кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: natalia.girina@gmail.com
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 07.09.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 1