MODELING AND IDENTIFICATION OF DYNAMICS OF A HYDRAULIC ACTUATOR WITH A SPOOL VALVE. PART II: IDENTIFICATION
Моделирование и идентификация динамики золотникового гидрораспределителя
57
УДК 681.5.015
С. В. АРАНОВСКИЙ, Л. Б. ФРЕЙДОВИЧ, Л. В. НИКИФОРОВА, А. А. ЛОСЕНКОВ
МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИКИ ЗОЛОТНИКОВОГО ГИДРОРАСПРЕДЕЛИТЕЛЯ
ЧАСТЬ II. ИДЕНТИФИКАЦИЯ*
Предложен метод идентификации параметров модели, использующий датчики давления и не требующий измерения положения штока золотника. Приведены результаты экспериментов.
Ключевые слова: золотник, гидравлическая система, математическая модель, идентификация.
В настоящей работе, в продолжение статьи [1], рассматривается задача моделирования и идентификации одного из ключевых элементов гидропривода — золотникового гидрораспределителя.
Идентификация параметров. В работе [1] была предложена модель гидрораспределителя (1)—(5). При разработке метода идентификации параметров авторы исходили из следующего: согласно модели (3)—(5) [1], при открытии золотника (когда значение xef становится отличным от нуля) изменение в положении штока X произойдет, когда гидравлическая сила Fhydr превысит по абсолютной величине статическое трение. При этом изменение в дав-
лении начинается сразу же, задержкой распространения давления в жидкости в шлангах между гидрораспределителем и гидроцилиндром можно пренебречь.
Рассмотрим следующий эксперимент. На вход системы подается постоянный управляющий сигнал (постоянный ток). По измерениям давления определяется задержка между подачей постоянного входного сигнала и началом изменения давления. По измерениям положения штока гидроцилиндра определяется установившаяся скорость движения. Эксперимент повторяется несколько раз, входной ток варьируется от минимального до максимального с некоторым шагом. В результате экспериментов фиксируются следующие величины: idnzeg , idpzos — отрицательное и положительное граничные значения тока, при которых начинается изменение давления; isnaetg , ispaots — отрицательное и положительное граничные значения тока, при превышении которых установившееся значение скорости не меняется (при отсутствии датчика положения штока гидроцилиндра для оценки величин isnaetg , ispaots может использоваться установившееся значение давления, так как при наличии вязкого трения оно будет увеличиваться вместе с ростом скорости); iiref ,tidel , i = 1,…, N — набор значений тока и задержки для тех N экспериментов, в которых ток превышал границы idnzeg , idpzos . С учетом единичного коэффициента ks для нормализованных величин справедливы следующие соотношения:
* Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.0778 „Разработка методов построения и настройки систем управления, а также функциональной автоматизации многозвенных гидравлических кранов на подвижных платформах (ГКПП) для лесозаготовительной промышленности“.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
58 С. В. Арановский, Л. Б. Фрейдович, Л. В. Никифорова, А. А. Лосенков
idnzeg = xsleft ks = xsleft ,
⎫ ⎪
idpzos isnaetg
= xsright = xsmin
ks = xsright ,⎪⎪
ks
= xsmin ,
⎬ ⎪
ispaots = xsmax
ks
=
xsmax .
⎪ ⎪⎭
(1)
Решение системы (1)—(2) [1] при постоянном входном сигнале i(t) = i0 для интервала
времени xsmin ≤ xs ≤ xsmax имеет вид
xs (t) = ksi0 (1− exp(−λt)) + xs (0)exp(−λt) ,
(2)
где λ = 1 / τ . Так как во всех экспериментах в начальный момент времени гидрораспредели-
тель был закрыт и шток золотника находился в нейтральном положении, то можно принять
xs (0) =0. Тогда задержку между подачей входного сигнала и достижением границы мертвой зоны штоком золотника можно найти как:
iiref (1− exp(−λtidel )) = idpzos , iiref (1− exp(−λtidel )) = idnzeg , i = 1,…, N,
iiref iiref
> 0,⎫ ⎪
< 0,⎬ ⎪ ⎭
или
(3)
−λtidel
=
ln
⎛ ⎝⎜⎜1
−
idpzos iiref
⎞ ⎠⎟⎟ ,
iiref
⎫ > 0,⎪
⎪⎪
−λtidel
=
ln
⎛ ⎜⎝⎜1
−
idnzeg iiref
⎞ ⎟⎟⎠ ,
iiref
⎬ < 0.⎪⎪
⎭⎪
(4)
Система (4) образует линейную регрессию и оценка λˆ может быть получена методом
наименьших квадратов
λˆ = (T T T )−1T T L ,
(5)
где ( N ×1 )-матрицы T и L задаются как Ti = tidel ,
Li
=
⎧ ⎪ln ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪ln ⎪⎩
⎛ ⎝⎜⎜1 ⎛ ⎝⎜⎜1
− −
idpzos iiref idnzeg iiref
⎞ ⎠⎟⎟ , ⎞ ⎠⎟⎟ ,
iiref iiref
> 0, < 0.
(6)
Таким образом, выражения (1), (5) и (6) позволяют определить параметры модели
(1)—(2) [1].
Более сложная модель гидрораспределителя может быть построена на базе модели (1) [1]
и идентифицирована с использованием процедуры оптимизации. Рассмотрим модель гидро-
распределителя с линейной подсистемой второго порядка с единичным коэффициентом уси-
ления. Тогда уравнение (1) [1] может быть представлено следующим образом:
τ1x1 = Projx1 (x2 ), τ2x2 = ks i − x1 − x2
⎫ ,⎬⎪
xef (t) = fdz (x1).
⎪ ⎭
(7)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Моделирование и идентификация динамики золотникового гидрораспределителя
59
Отметим, что подстановка τ2 = 0 сводит модель (7) к (1) [1] с τ = τ1. Система (7) содержит
шесть неизвестный параметров ⎣⎡τ1 τ2 xsmax xsmin xsleft xsright ⎤⎦ . Параметры xsleft , xsright ,
xsmin , xsmax находятся согласно (1). Решение системы (7) зависит от вида корней характеристиче-
ского уравнения, и задача идентификации не может быть сведена к линейной форме, подобной
(4). Обозначим оценки неизвестных параметров как τˆ1, τˆ2 . Тогда система (7) может быть числен-
но решена, и оценка задержки tidel между подачей входного сигнала iiref и достижением границы
мертвой зоны штоком золотника является функцией оценок неизвестных параметров
tˆidel = tˆidel (τˆ1, τˆ2 ).
(8)
Представим критерий правдоподобия как сумму квадратов отклонений между задерж-
ками tidel , полученными в ходе эксперимента, и их оценками, полученными численным моде-
лированием системы (7)
N
∑J (τˆ1, τˆ2 ) = (tidel − tˆidel )2. i=1
Тогда задача идентификации вектора неизвестных параметров τ = [τ1
(9)
τ2 ] может быть сфор-
мулирована как задача оптимизации
τ
=
arg
min
τ
J
(τ )
,
(10)
которая может быть решена с привлечением численных методов. Таким образом, выражения
(1), (10) позволяют определить параметры модели (7).
Экспериментальные исследования проводились для гидропривода телескопического
звена крана-манипулятора, использующегося в лесотехнической промышленности [2]. Со-
гласно описанной выше методике, были проведены эксперименты по подаче постоянного
входного сигнала. В результате экспериментов получено 45 значений пар iiref , tidel : 15 слу-
чайно выбранных значений использовались для идентификации, а оставшиеся 30 — для ве-
рификации. Идентификация проводилась для двух моделей гидропривода — модели с линей-
ной подсистемой первого порядка (1)—(2) [1] и с линейной подсистемой второго порядка (7).
Задача (10) была решена с использованием симплекс-метода Нелдера—Мида.
На рисунке представлена диаграмма, иллюстрирующая результаты идентификации. По оси абсцисс отложены значения входного сигнала
iref , а по оси ординат — полученная
t del 0,08
Эксперимент Подсистема 2-го порядка Подсистема 1-го порядка
экспериментально задержка tdel и ее
оценки при использовании моделей с линейной подсистемой первого и вто-
0,04
рого порядков. Из диаграммы видно,
что предложенные модели позволяют
описать и спрогнозировать наблюдаемые экспериментально задержки,
0
0,5
0,6 0,7 0,8 iref
чего нельзя достичь с использованием идеальной пропорциональной модели [3, 4]. Из ре-
зультатов эксперимента видно, что модель с подсистемой второго порядка позволяет более
точно аппроксимировать результаты эксперимента, чем модель с подсистемой первого
порядка. При этом проведенные исследования показали, что при дальнейшем увеличении по-
рядка модели точность аппроксимации увеличивается незначительно.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
60 С. В. Арановский, Л. Б. Фрейдович, Л. В. Никифорова, А. А. Лосенков
Заключение. При анализе переходных процессов в гидравлических системах можно выявить задержку между подачей входного сигнала и началом переходных процессов давлений в полостях гидропривода, причем величина задержки меняется при изменении амплитуды входного сигнала. Данная задержка не описывается пропорциональными моделями гидрораспределителя, однако может быть аппроксимирована моделью с нелинейностью типа „мертвая зона“. В работе предложена соответствующая модель, состоящая из линейной подсистемы и нелинейностей типа „насыщение“ и „мертвая зона“.
Предложен метод идентификации, который, в отличие от большинства аналогов, не требует прямого измерения параметров золотника или установки датчика положения штока золотника; в нем используется только измерение давления в полостях гидроцилиндра. Для модели с подсистемой первого порядка предложенный метод позволяет свести задачу идентификации к задаче оценивания параметров линейной регрессии. Для подсистемы второго порядка задача идентификации сводится к задаче минимизации критерия, построенного на невязке модели.
Предложенная модель позволяет спрогнозировать задержку в отклике гидропривода на входное воздействие, давая более точную оценку, чем идеальная (пропорциональная) модель, учитывающая только статическое трение. Предложенная модель может использоваться при прогнозировании максимально достижимого быстродействия гидропривода и манипулятора на его основе, при планировании оптимальных (по времени) траекторий движения, при построении законов управления, при моделировании замкнутых систем и оценке их робастности и т.д.
Приведенные результаты экспериментальных исследований иллюстрируют применимость предложенной модели и метода идентификации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арановский С. В., Фрейдович Л. Б., Никифорова Л. В., Лосенков А. А. Моделирование и идентификация динамики золотникового гидрораспределителя. Часть I. Моделирование // Изв. вузов. Приборостроение. 2013. Т. 56, № 4. С. 52—56.
2. La Hera P. M., Mettin U., Westerberg S., Shiriaev A. S. Modeling and control of hydraulic rotary actuators used in forestry cranes // IEEE Intern. Conf. on Robotics and Automation. 2009. Р. 1315—1320.
3. Gray J., Krstic M., Chaturvedi N. Parameter Identification for Electrohydraulic Valvetrain Systems // J. of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 2011. N 6. P. 064 502.
4. Sohl G. A., Bobrow J. E. Experiments and simulations on the nonlinear control of a hydraulic servosystem // Control Systems Technology, IEEE Transactions. 1999. N 2. P. 238—247.
Станислав Владимирович Арановский Леонид Борисович Фрейдович Лилия Вальтеровна Никифорова Андрей Андреевич Лосенков
Сведения об авторах — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследова-
тельский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; старший научный сотрудник; E-mail: s.aranovskiy@gmail.com — канд. физ.-мат. наук; Университет Умео, департамент прикладной физики и электроники, Швеция; доцент; E-mail: leonid.freidovich@umu.se — Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: liliya.nikiforova@gmail.com — Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; лаборант; E-mail: alosenkov@yandex.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 13.12.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
57
УДК 681.5.015
С. В. АРАНОВСКИЙ, Л. Б. ФРЕЙДОВИЧ, Л. В. НИКИФОРОВА, А. А. ЛОСЕНКОВ
МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИКИ ЗОЛОТНИКОВОГО ГИДРОРАСПРЕДЕЛИТЕЛЯ
ЧАСТЬ II. ИДЕНТИФИКАЦИЯ*
Предложен метод идентификации параметров модели, использующий датчики давления и не требующий измерения положения штока золотника. Приведены результаты экспериментов.
Ключевые слова: золотник, гидравлическая система, математическая модель, идентификация.
В настоящей работе, в продолжение статьи [1], рассматривается задача моделирования и идентификации одного из ключевых элементов гидропривода — золотникового гидрораспределителя.
Идентификация параметров. В работе [1] была предложена модель гидрораспределителя (1)—(5). При разработке метода идентификации параметров авторы исходили из следующего: согласно модели (3)—(5) [1], при открытии золотника (когда значение xef становится отличным от нуля) изменение в положении штока X произойдет, когда гидравлическая сила Fhydr превысит по абсолютной величине статическое трение. При этом изменение в дав-
лении начинается сразу же, задержкой распространения давления в жидкости в шлангах между гидрораспределителем и гидроцилиндром можно пренебречь.
Рассмотрим следующий эксперимент. На вход системы подается постоянный управляющий сигнал (постоянный ток). По измерениям давления определяется задержка между подачей постоянного входного сигнала и началом изменения давления. По измерениям положения штока гидроцилиндра определяется установившаяся скорость движения. Эксперимент повторяется несколько раз, входной ток варьируется от минимального до максимального с некоторым шагом. В результате экспериментов фиксируются следующие величины: idnzeg , idpzos — отрицательное и положительное граничные значения тока, при которых начинается изменение давления; isnaetg , ispaots — отрицательное и положительное граничные значения тока, при превышении которых установившееся значение скорости не меняется (при отсутствии датчика положения штока гидроцилиндра для оценки величин isnaetg , ispaots может использоваться установившееся значение давления, так как при наличии вязкого трения оно будет увеличиваться вместе с ростом скорости); iiref ,tidel , i = 1,…, N — набор значений тока и задержки для тех N экспериментов, в которых ток превышал границы idnzeg , idpzos . С учетом единичного коэффициента ks для нормализованных величин справедливы следующие соотношения:
* Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.0778 „Разработка методов построения и настройки систем управления, а также функциональной автоматизации многозвенных гидравлических кранов на подвижных платформах (ГКПП) для лесозаготовительной промышленности“.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
58 С. В. Арановский, Л. Б. Фрейдович, Л. В. Никифорова, А. А. Лосенков
idnzeg = xsleft ks = xsleft ,
⎫ ⎪
idpzos isnaetg
= xsright = xsmin
ks = xsright ,⎪⎪
ks
= xsmin ,
⎬ ⎪
ispaots = xsmax
ks
=
xsmax .
⎪ ⎪⎭
(1)
Решение системы (1)—(2) [1] при постоянном входном сигнале i(t) = i0 для интервала
времени xsmin ≤ xs ≤ xsmax имеет вид
xs (t) = ksi0 (1− exp(−λt)) + xs (0)exp(−λt) ,
(2)
где λ = 1 / τ . Так как во всех экспериментах в начальный момент времени гидрораспредели-
тель был закрыт и шток золотника находился в нейтральном положении, то можно принять
xs (0) =0. Тогда задержку между подачей входного сигнала и достижением границы мертвой зоны штоком золотника можно найти как:
iiref (1− exp(−λtidel )) = idpzos , iiref (1− exp(−λtidel )) = idnzeg , i = 1,…, N,
iiref iiref
> 0,⎫ ⎪
< 0,⎬ ⎪ ⎭
или
(3)
−λtidel
=
ln
⎛ ⎝⎜⎜1
−
idpzos iiref
⎞ ⎠⎟⎟ ,
iiref
⎫ > 0,⎪
⎪⎪
−λtidel
=
ln
⎛ ⎜⎝⎜1
−
idnzeg iiref
⎞ ⎟⎟⎠ ,
iiref
⎬ < 0.⎪⎪
⎭⎪
(4)
Система (4) образует линейную регрессию и оценка λˆ может быть получена методом
наименьших квадратов
λˆ = (T T T )−1T T L ,
(5)
где ( N ×1 )-матрицы T и L задаются как Ti = tidel ,
Li
=
⎧ ⎪ln ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪ln ⎪⎩
⎛ ⎝⎜⎜1 ⎛ ⎝⎜⎜1
− −
idpzos iiref idnzeg iiref
⎞ ⎠⎟⎟ , ⎞ ⎠⎟⎟ ,
iiref iiref
> 0, < 0.
(6)
Таким образом, выражения (1), (5) и (6) позволяют определить параметры модели
(1)—(2) [1].
Более сложная модель гидрораспределителя может быть построена на базе модели (1) [1]
и идентифицирована с использованием процедуры оптимизации. Рассмотрим модель гидро-
распределителя с линейной подсистемой второго порядка с единичным коэффициентом уси-
ления. Тогда уравнение (1) [1] может быть представлено следующим образом:
τ1x1 = Projx1 (x2 ), τ2x2 = ks i − x1 − x2
⎫ ,⎬⎪
xef (t) = fdz (x1).
⎪ ⎭
(7)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Моделирование и идентификация динамики золотникового гидрораспределителя
59
Отметим, что подстановка τ2 = 0 сводит модель (7) к (1) [1] с τ = τ1. Система (7) содержит
шесть неизвестный параметров ⎣⎡τ1 τ2 xsmax xsmin xsleft xsright ⎤⎦ . Параметры xsleft , xsright ,
xsmin , xsmax находятся согласно (1). Решение системы (7) зависит от вида корней характеристиче-
ского уравнения, и задача идентификации не может быть сведена к линейной форме, подобной
(4). Обозначим оценки неизвестных параметров как τˆ1, τˆ2 . Тогда система (7) может быть числен-
но решена, и оценка задержки tidel между подачей входного сигнала iiref и достижением границы
мертвой зоны штоком золотника является функцией оценок неизвестных параметров
tˆidel = tˆidel (τˆ1, τˆ2 ).
(8)
Представим критерий правдоподобия как сумму квадратов отклонений между задерж-
ками tidel , полученными в ходе эксперимента, и их оценками, полученными численным моде-
лированием системы (7)
N
∑J (τˆ1, τˆ2 ) = (tidel − tˆidel )2. i=1
Тогда задача идентификации вектора неизвестных параметров τ = [τ1
(9)
τ2 ] может быть сфор-
мулирована как задача оптимизации
τ
=
arg
min
τ
J
(τ )
,
(10)
которая может быть решена с привлечением численных методов. Таким образом, выражения
(1), (10) позволяют определить параметры модели (7).
Экспериментальные исследования проводились для гидропривода телескопического
звена крана-манипулятора, использующегося в лесотехнической промышленности [2]. Со-
гласно описанной выше методике, были проведены эксперименты по подаче постоянного
входного сигнала. В результате экспериментов получено 45 значений пар iiref , tidel : 15 слу-
чайно выбранных значений использовались для идентификации, а оставшиеся 30 — для ве-
рификации. Идентификация проводилась для двух моделей гидропривода — модели с линей-
ной подсистемой первого порядка (1)—(2) [1] и с линейной подсистемой второго порядка (7).
Задача (10) была решена с использованием симплекс-метода Нелдера—Мида.
На рисунке представлена диаграмма, иллюстрирующая результаты идентификации. По оси абсцисс отложены значения входного сигнала
iref , а по оси ординат — полученная
t del 0,08
Эксперимент Подсистема 2-го порядка Подсистема 1-го порядка
экспериментально задержка tdel и ее
оценки при использовании моделей с линейной подсистемой первого и вто-
0,04
рого порядков. Из диаграммы видно,
что предложенные модели позволяют
описать и спрогнозировать наблюдаемые экспериментально задержки,
0
0,5
0,6 0,7 0,8 iref
чего нельзя достичь с использованием идеальной пропорциональной модели [3, 4]. Из ре-
зультатов эксперимента видно, что модель с подсистемой второго порядка позволяет более
точно аппроксимировать результаты эксперимента, чем модель с подсистемой первого
порядка. При этом проведенные исследования показали, что при дальнейшем увеличении по-
рядка модели точность аппроксимации увеличивается незначительно.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
60 С. В. Арановский, Л. Б. Фрейдович, Л. В. Никифорова, А. А. Лосенков
Заключение. При анализе переходных процессов в гидравлических системах можно выявить задержку между подачей входного сигнала и началом переходных процессов давлений в полостях гидропривода, причем величина задержки меняется при изменении амплитуды входного сигнала. Данная задержка не описывается пропорциональными моделями гидрораспределителя, однако может быть аппроксимирована моделью с нелинейностью типа „мертвая зона“. В работе предложена соответствующая модель, состоящая из линейной подсистемы и нелинейностей типа „насыщение“ и „мертвая зона“.
Предложен метод идентификации, который, в отличие от большинства аналогов, не требует прямого измерения параметров золотника или установки датчика положения штока золотника; в нем используется только измерение давления в полостях гидроцилиндра. Для модели с подсистемой первого порядка предложенный метод позволяет свести задачу идентификации к задаче оценивания параметров линейной регрессии. Для подсистемы второго порядка задача идентификации сводится к задаче минимизации критерия, построенного на невязке модели.
Предложенная модель позволяет спрогнозировать задержку в отклике гидропривода на входное воздействие, давая более точную оценку, чем идеальная (пропорциональная) модель, учитывающая только статическое трение. Предложенная модель может использоваться при прогнозировании максимально достижимого быстродействия гидропривода и манипулятора на его основе, при планировании оптимальных (по времени) траекторий движения, при построении законов управления, при моделировании замкнутых систем и оценке их робастности и т.д.
Приведенные результаты экспериментальных исследований иллюстрируют применимость предложенной модели и метода идентификации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арановский С. В., Фрейдович Л. Б., Никифорова Л. В., Лосенков А. А. Моделирование и идентификация динамики золотникового гидрораспределителя. Часть I. Моделирование // Изв. вузов. Приборостроение. 2013. Т. 56, № 4. С. 52—56.
2. La Hera P. M., Mettin U., Westerberg S., Shiriaev A. S. Modeling and control of hydraulic rotary actuators used in forestry cranes // IEEE Intern. Conf. on Robotics and Automation. 2009. Р. 1315—1320.
3. Gray J., Krstic M., Chaturvedi N. Parameter Identification for Electrohydraulic Valvetrain Systems // J. of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 2011. N 6. P. 064 502.
4. Sohl G. A., Bobrow J. E. Experiments and simulations on the nonlinear control of a hydraulic servosystem // Control Systems Technology, IEEE Transactions. 1999. N 2. P. 238—247.
Станислав Владимирович Арановский Леонид Борисович Фрейдович Лилия Вальтеровна Никифорова Андрей Андреевич Лосенков
Сведения об авторах — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследова-
тельский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; старший научный сотрудник; E-mail: s.aranovskiy@gmail.com — канд. физ.-мат. наук; Университет Умео, департамент прикладной физики и электроники, Швеция; доцент; E-mail: leonid.freidovich@umu.se — Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: liliya.nikiforova@gmail.com — Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; лаборант; E-mail: alosenkov@yandex.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 13.12.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4