Mathematical model of mixing, based on two-layer turbulence model
УДК 664.011
Математическая модель перемешивания на основе двухслойной модели турбулентного пограничного слоя
Синявский Ю.В. melter@mail.ru
Филиал МЭИ в г. Смоленске
В статье рассматривается модель перемешивания, использующая для расчета момента сил со стороны корпуса аппарата двухслойную модель пограничного слоя. Для лопастной мешалки показана возможность определения констант модели с использованием экспериментальных данных, приведенных в литературе.
Ключевые слова: перемешивание, турбулентность, лопастная мешалка.
Mathematical model of mixing, based on two-layer turbulence model
Sinyavskiy Y.V. melter@mail.ru
The Smolensk branch of the National Research University «Moscow Power Engineering Institute»
The model of impeller based on two-layer turbulence model for evaluation wall toeque is presented. Parameters of this model can be estimated by using experimental dates. Application of the model for pitch-blade impeller is analised as an example.
Key words: Mixing, turbulence, pitch-blade impeller
Активное использование в пищевых продуктах биологически активных компонентов, наблюдающееся в последнее время, приводит к сближению требований безопасности пищевых производств и фармацевтической промышленности. При применении стандарта безопасности HACCP перемешивание стало рассматриваться как «критическая точка», а обеспечению заданной степени однородности стало уделяться повышенное внимание [1]. Одним из мероприятий, направленных на устранение опасности при перемешивании является определение соответствия реальной степени перемешивания заданной.
В качестве меры интенсивности перемешивания на микроуровне часто выступают величины, характеризующие микромасштаб турбулентного
переноса в аппарате с мешалкой, такие как колмогоровские длина lк и время tк, определяемые как [2]
lк =
3 1/ 4
tк =
где ν — кинематическая вязкость жидкости, ε — диссипация энергии в единице массы.
В настоящее время определение интенсивности диссипации энергии может быть проведено экспериментально, с использованием химических методов или лазерной доплерографии, или с помощью численного моделирования процессов перемешивания в рамках вычислительной гидродинамики [2],[3].
Однако обе этих группы методов являются достаточно сложными и дорогостоящими, что делает их малоприменимыми в производственной практике.
Таким образом, имеется необходимость в разработки математической модели, являющейся достаточно простой, и одновременно, обеспечивающей оценку параметров микромасшабной турбулентности.
В настоящее время, в основе расчета перемешивающих устройств в России лежит методика, разработанная в начале 80-х годов двадцатого века. Наиболее полное ее изложение приведено в [4].
В ее основе лежит утверждение о равенстве моментов, проложенных к жидкости со стороны перемешивающего органа Tвр и сил сопротивления со стороны ограждающих поверхностей и внутренних неподвижных устройств
Tк:
Tвр Tк = 0
(1)
При этом момент сил сопротивления со стороны корпуса при отсутсвии внутренних устройств, вычисляется как
Tк = 2 R2 H
где R — радиус корпуса аппарата, Н — высота жидкости в аппарате τ — касательное напряжение на корпусе аппарата.
Данная модель является достаточно простой для реализации и одновременно обладает потенциалом для развития, как это сделано, например
в известном программном продукте Turbulent™ 2Кх компании VisiMix Ltd
[5]. Подход,
позволяющий
анализировать
микромасштабную
турбулентность, так же представлен в [4], и базируется на оценке параметров
турбулентного пограничного слоя с помощью гипотезы Левича-Ландау о характере изменения турбулентной вязкости, что позволяет ввести удельную
диссипацию энергии в выражение для касательного напряжения на стенке
корпуса аппарата:
0,144 0.25 v(R)
где — средняя удельная диссипация энергии в аппарате.
Важно отметить, что в более точной модели вместо должно стоять значение удельной диссипации энергии вблизи стенки аппарата, которое существенно меньше [3].
Попытка учета результатов новых исследований [3] в этом направлении приводит к существенному занижению значения момента сопротивления со стороны корпуса.
Для построения уточненной модели сопротивления корпуса будем использовать общепринятую в настоящее время двухслойную модель.
Рис.1: Радиальное распределение тангенциальной составляющей скорости в аппарате с
мешалкой
Будем считать, что непосредственно к стенке аппарата примыкает вязкий
подслой толщиной δ на внешней границе которого скорость равна vп. За пределами вязкого подслоя располагается область с логарифмическим распределением скорости:
u y = vï + u0 ln y ,
где k — универсальная постоянная Прандтля, а координата y отсчитывается от стенки по направлению нормали к ней.
За пределами пограничного слоя распределение скорости соответствует традиционным представлениям [4] и описывается законом
v r = 1+ 1 + r
2
r02
где r0=d/2 — радиус перемешивающего устройства, ω — угловая скорость вращения перемешивающего устройства.
Согласование между распределение скорости в ядре потока и пограничном слое (рис.1.) осуществляется с использованием следующих допущений:
1. На границе между вязким подслоем и основным потоком, соответствующей координате y0 значения скорости одинаковы:
1+ 1 + 2 R y0
r02 = vï + u0 ln
y0
(2)
2. Производные скорости на границе вязкого слоя и основного потока так же равны:
1+ 1 + 2 R y0 2
r02 = u0
1 y0
(3)
3. Толщина вязкого подслоя подслоя может быть определена из выражения
= kδν u0
(4)
4. Скорость на границе вязкого подслоя может быть найдена из закона Колмагорова-Обухова:
vп = 1,5 kεε
(5)
δ
31/
ε = 4Eu n3d 5 , D2H
(6)
а коэффициент kε
Математическая модель перемешивания на основе двухслойной модели турбулентного пограничного слоя
Синявский Ю.В. melter@mail.ru
Филиал МЭИ в г. Смоленске
В статье рассматривается модель перемешивания, использующая для расчета момента сил со стороны корпуса аппарата двухслойную модель пограничного слоя. Для лопастной мешалки показана возможность определения констант модели с использованием экспериментальных данных, приведенных в литературе.
Ключевые слова: перемешивание, турбулентность, лопастная мешалка.
Mathematical model of mixing, based on two-layer turbulence model
Sinyavskiy Y.V. melter@mail.ru
The Smolensk branch of the National Research University «Moscow Power Engineering Institute»
The model of impeller based on two-layer turbulence model for evaluation wall toeque is presented. Parameters of this model can be estimated by using experimental dates. Application of the model for pitch-blade impeller is analised as an example.
Key words: Mixing, turbulence, pitch-blade impeller
Активное использование в пищевых продуктах биологически активных компонентов, наблюдающееся в последнее время, приводит к сближению требований безопасности пищевых производств и фармацевтической промышленности. При применении стандарта безопасности HACCP перемешивание стало рассматриваться как «критическая точка», а обеспечению заданной степени однородности стало уделяться повышенное внимание [1]. Одним из мероприятий, направленных на устранение опасности при перемешивании является определение соответствия реальной степени перемешивания заданной.
В качестве меры интенсивности перемешивания на микроуровне часто выступают величины, характеризующие микромасштаб турбулентного
переноса в аппарате с мешалкой, такие как колмогоровские длина lк и время tк, определяемые как [2]
lк =
3 1/ 4
tк =
где ν — кинематическая вязкость жидкости, ε — диссипация энергии в единице массы.
В настоящее время определение интенсивности диссипации энергии может быть проведено экспериментально, с использованием химических методов или лазерной доплерографии, или с помощью численного моделирования процессов перемешивания в рамках вычислительной гидродинамики [2],[3].
Однако обе этих группы методов являются достаточно сложными и дорогостоящими, что делает их малоприменимыми в производственной практике.
Таким образом, имеется необходимость в разработки математической модели, являющейся достаточно простой, и одновременно, обеспечивающей оценку параметров микромасшабной турбулентности.
В настоящее время, в основе расчета перемешивающих устройств в России лежит методика, разработанная в начале 80-х годов двадцатого века. Наиболее полное ее изложение приведено в [4].
В ее основе лежит утверждение о равенстве моментов, проложенных к жидкости со стороны перемешивающего органа Tвр и сил сопротивления со стороны ограждающих поверхностей и внутренних неподвижных устройств
Tк:
Tвр Tк = 0
(1)
При этом момент сил сопротивления со стороны корпуса при отсутсвии внутренних устройств, вычисляется как
Tк = 2 R2 H
где R — радиус корпуса аппарата, Н — высота жидкости в аппарате τ — касательное напряжение на корпусе аппарата.
Данная модель является достаточно простой для реализации и одновременно обладает потенциалом для развития, как это сделано, например
в известном программном продукте Turbulent™ 2Кх компании VisiMix Ltd
[5]. Подход,
позволяющий
анализировать
микромасштабную
турбулентность, так же представлен в [4], и базируется на оценке параметров
турбулентного пограничного слоя с помощью гипотезы Левича-Ландау о характере изменения турбулентной вязкости, что позволяет ввести удельную
диссипацию энергии в выражение для касательного напряжения на стенке
корпуса аппарата:
0,144 0.25 v(R)
где — средняя удельная диссипация энергии в аппарате.
Важно отметить, что в более точной модели вместо должно стоять значение удельной диссипации энергии вблизи стенки аппарата, которое существенно меньше [3].
Попытка учета результатов новых исследований [3] в этом направлении приводит к существенному занижению значения момента сопротивления со стороны корпуса.
Для построения уточненной модели сопротивления корпуса будем использовать общепринятую в настоящее время двухслойную модель.
Рис.1: Радиальное распределение тангенциальной составляющей скорости в аппарате с
мешалкой
Будем считать, что непосредственно к стенке аппарата примыкает вязкий
подслой толщиной δ на внешней границе которого скорость равна vп. За пределами вязкого подслоя располагается область с логарифмическим распределением скорости:
u y = vï + u0 ln y ,
где k — универсальная постоянная Прандтля, а координата y отсчитывается от стенки по направлению нормали к ней.
За пределами пограничного слоя распределение скорости соответствует традиционным представлениям [4] и описывается законом
v r = 1+ 1 + r
2
r02
где r0=d/2 — радиус перемешивающего устройства, ω — угловая скорость вращения перемешивающего устройства.
Согласование между распределение скорости в ядре потока и пограничном слое (рис.1.) осуществляется с использованием следующих допущений:
1. На границе между вязким подслоем и основным потоком, соответствующей координате y0 значения скорости одинаковы:
1+ 1 + 2 R y0
r02 = vï + u0 ln
y0
(2)
2. Производные скорости на границе вязкого слоя и основного потока так же равны:
1+ 1 + 2 R y0 2
r02 = u0
1 y0
(3)
3. Толщина вязкого подслоя подслоя может быть определена из выражения
= kδν u0
(4)
4. Скорость на границе вязкого подслоя может быть найдена из закона Колмагорова-Обухова:
vп = 1,5 kεε
(5)
δ
31/
ε = 4Eu n3d 5 , D2H
(6)
а коэффициент kε