АЛГОРИТМ ДИСКРЕТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ СГЛАЖИВАНИЕМ ОТСЧЕТОВ ВХОДНОГО СИГНАЛА
ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА
УДК 621.396:681.323
С. И. ЗИАТДИНОВ
АЛГОРИТМ ДИСКРЕТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ СГЛАЖИВАНИЕМ
ОТСЧЕТОВ ВХОДНОГО СИГНАЛА
Рассматривается алгоритм дискретной фильтрации с формированием промежуточных сумм отсчетов входного сигнала. Показано, что предложенный алгоритм фильтрации по статистическим характеристикам практически не уступает известным алгоритмам и обладает значительно большей вычислительной эффективностью.
Ключевые слова: дискретный сигнал, промежуточное суммирование, дискретная фильтрация, отношение сигнал/шум.
При реализации дискретных (цифровых) фильтров необходимо выполнять большое количество математических операций сложения и умножения, что требует значительных либо аппаратных, либо временных затрат. Предметом исследования в настоящей статье является создание алгоритма дискретной фильтрации с небольшим в единицу времени количеством операций сложения и умножения, который, однако, по своим характеристикам практически не уступает известным алгоритмам.
Суть предлагаемого алгоритма дискретной фильтрации заключается в следующем. Пусть на вход устройства фильтрации поступает с периодом T непрерывная последовательность отсчетов входного сигнала x[n] . С помощью сумматора осуществляется текущее сум-
мирование m отсчетов входного сигнала x[n], x[n−1] , …, x[n−(m−1)] и формируются про-
межуточные суммы
m−1
xΣ[n]= ∑ x[nL−i], i=0
(1)
где L=m+k; k=0,1,2, … Полученные промежуточные суммы отсчетов сигналов (1) далее поступают в дискрет-
ный фильтр (ДФ). На рис. 1 приведена схема рассматриваемого устройства дискретной
фильтрации, в котором электронный ключ (Кл) с периодом TΣ = LT подает промежуточные
суммы в ДФ. Проведем исследование характеристик данного устройства фильтрации. В качестве ана-
лога рассматриваемому устройству возьмем непрерывный фильтр нижних частот (ФНЧ) первого порядка с частотной передаточной функцией
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
50 С. И. Зиатдинов
W
(
p)
=
K 1+ pTф
,
(2)
где K, Tф — коэффициент передачи и постоянная времени фильтра соответственно; p = jω .
∑x[i]
m−1
x[nL −1]
i=0
Кл xΣ[n] Дискретный фильтр
y [n]
Рис. 1
Данной передаточной функции соответствует разностное уравнение [см. лит.]
y[n]= axΣ[n]+axΣ[n−1]−by[n−1],
(3)
в котором весовые коэффициенты определяются как
a = TΣ
TΣ + 2Tф
,
b
=
TΣ TΣ
− 2Tф + 2Tф
.
С помощью соотношения (1) разностное уравнение (3) записывается следующим образом:
m−1 m−1
y[n]= a ∑ x[nL−i]+a ∑ x[nL−i−1]−by[n−1].
i=0 i=0
Нетрудно показать, что данному разностному уравнению соответствует амплитудно-
частотная характеристика (АЧХ) [см. лит.]
Φ(ω) = K
∑ ∑2a2
⎢⎡⎢⎣⎜⎜⎝⎛
m−1 i=0
cos
iωT
⎞2 ⎟⎟⎠
+
⎛ ⎜⎜⎝
m−1 i=0
sin
1+2b cos ωLT
iωT +b2
⎞2 ⎟⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
(1+
cos
ωLT
)
.
Нормированные АЧХ Ф(f) при Tф / T =100, Tф = 0, 01 c, L=m для различного числа сумми-
руемых отсчетов m показаны на рис. 2. Здесь же приведена АЧХ W(f) непрерывного ФНЧ. Представленные графики показывают, что во всех случаях в полосе прозрачности (уровень –6 дБ) АЧХ фильтров практически совпадают.
W(f), Φ(f)
0,8
0,6
0,4
0,2
m=20 m=40
m=60
W(f) Φ(f)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 2πfT
Рис. 2
Для нахождения статистических характеристик выходного сигнала фильтра необходимо знать его импульсную характеристику, которая для непрерывного фильтра определяется соотношением
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
Алгоритм дискретной фильтрации с промежуточным сглаживанием отсчетов сигнала 51
c+ j∞
G(t) = ∫ ∑W ( p)e pt dp = res, c− j∞
где ∑ res — сумма вычетов в подынтегральной функции выражения (4), с = const.
Представим подынтегральную функцию в виде отношения двух функций:
(4)
W ( p)e pt = P( p) / Q( p).
Из формулы (2) следует, что для ФНЧ первого порядка функция P( p) / Q( p) имеет один вещественный полюс p1 = −1/ Tф. При этом вычет функции P( p) / Q( p) определяется формулой
res
=
P( p) ⎡ dQ( p)
⎤
=
Ke pt Tф
.
⎢⎣ dp ⎥⎦
Тогда в точке p = p1 получим следующее выражение для импульсной характеристики
непрерывного ФНЧ первого порядка:
G(t) = Ke−t Tф Tф .
(5)
Будем считать, что на входе рассматриваемого устройства действует непрерывная последовательность отсчетов аддитивной совокупности полезного сигнала и помехи. Причем отсчеты полезного сигнала имеют одинаковый уровень Uc , а отсчеты помехи не коррелиро-
ваны и имеют нулевое математическое ожидание и среднеквадратическое значение σx . При этом дисперсия помехи на выходе сумматора будет определяться выражением
σΣ2 = mσ2x .
С учетом соотношения (5) дисперсия помехи на выходе ДФ с точностью до постоянного
множителя равна
∞
∑σф2 = σΣ2 G2 (ti ), i=0
(6)
где G(ti ) — значения импульсной характеристики в моменты времени ti = iTL. При этом мощность полезного сигнала на выходе ДФ определяется соотношением
∑Pc
=
⎡ ⎢
∞
mUcG(ti )⎥⎤2 .
⎢⎣i=0 ⎥⎦
(7)
В результате отношение сигнал/шум на выходе ДФ можно записать в следующем виде:
∑Pc ∑σф2
=
⎡ ⎢
∞
mUcG(ti )⎤⎥2
⎢⎣i=0 ⎦⎥
∞ σΣ2 G2 (ti )
.
i=0
(8)
Для ДФ нижних частот без формирования промежуточных сумм отсчетов входного сигнала дисперсия помехи, мощность полезного сигнала, а также отношение сигнал/шум определяются из выражений
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
52 С. И. Зиатдинов
∑(σ*ф )2 = ∞ σ2xG2 (ti* ); i=0
∑Pc*
⎡ =⎢
∞
UcG(ti* )⎤⎥2
;
⎢⎣i=0 ⎥⎦
∑Pc* ∑(σ∗ф )2
=
⎡ ⎢
∞
UcG(ti* )⎤⎥2
⎢⎣i=0 ⎦⎥
∞ σ2xG2 (ti* )
,
i=0
(9)
где ti* = iT.
В реальных условиях постоянная времени фильтра Tф намного больше периода TΣ = LT
поступления промежуточных сумм в ДФ. Тогда в соотношениях (6)—(9) можно без сущест-
венной погрешности перейти от сумм к интегралам:
∫ ∫σф2
=
mσ2x LT
∞
G2 (t)dt;
0
Pc
=
m2U
2 c
(LT )2
⎡∞ ⎤2 ⎢ G(t)dt ⎥ ⎣⎢ 0 ⎥⎦
⎫ ;⎪⎪⎪
∫ ∫(σ*ф )2
=
σ2x T
∞
G2 (t)dt;
0
Pc*
=
Uc2 T2
⎡∞ ⎤2 ⎢ G(t)dt ⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥
.
⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
(10)
Полученные выражения (10) позволяют определить преимущество в отношении сиг-
нал/шум алгоритма фильтрации без промежуточного сглаживания перед предлагаемым алго-
ритмом:
q
=
P
* c
Pс
(σ*ф )2 σф2
=
L m
.
(11)
При этом количество суммируемых отсчетов входного сигнала m может принимать зна-
чения в диапазоне от 1 до L.
Из формулы (11) следует, что при m=L предлагаемый алгоритм дискретной фильтрации
по статистическим характеристикам практически не уступает алгоритму без промежуточного
сглаживания.
Если принять период поступления отсчетов входного сигнала равным T=100 мкс, коли-
чество суммируемых импульсов m=100 и L=m, то при реализации дискретного фильтра без
промежуточного сглаживания за 1 с необходимо выполнить 30 000 операций суммирования и
30 000 операций умножения. При реализации же предлагаемого алгоритма дискретной фильт-
рации с промежуточным сглаживанием за 1 с достаточно выполнить 30 000 операций сумми-
рования и всего 300 операций умножения без заметной потери качества фильтрации.
Полученные математические соотношения носят общий характер и будут справедливы
для сглаживающих фильтров с практически любой импульсной характеристикой.
ЛИТЕРАТУРА
Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.
Сведения об авторе Сергей Ильич Зиатдинов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный универси-
тет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: kaf.53@GUAP.ru
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 02.07.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
УДК 621.396:681.323
С. И. ЗИАТДИНОВ
АЛГОРИТМ ДИСКРЕТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ СГЛАЖИВАНИЕМ
ОТСЧЕТОВ ВХОДНОГО СИГНАЛА
Рассматривается алгоритм дискретной фильтрации с формированием промежуточных сумм отсчетов входного сигнала. Показано, что предложенный алгоритм фильтрации по статистическим характеристикам практически не уступает известным алгоритмам и обладает значительно большей вычислительной эффективностью.
Ключевые слова: дискретный сигнал, промежуточное суммирование, дискретная фильтрация, отношение сигнал/шум.
При реализации дискретных (цифровых) фильтров необходимо выполнять большое количество математических операций сложения и умножения, что требует значительных либо аппаратных, либо временных затрат. Предметом исследования в настоящей статье является создание алгоритма дискретной фильтрации с небольшим в единицу времени количеством операций сложения и умножения, который, однако, по своим характеристикам практически не уступает известным алгоритмам.
Суть предлагаемого алгоритма дискретной фильтрации заключается в следующем. Пусть на вход устройства фильтрации поступает с периодом T непрерывная последовательность отсчетов входного сигнала x[n] . С помощью сумматора осуществляется текущее сум-
мирование m отсчетов входного сигнала x[n], x[n−1] , …, x[n−(m−1)] и формируются про-
межуточные суммы
m−1
xΣ[n]= ∑ x[nL−i], i=0
(1)
где L=m+k; k=0,1,2, … Полученные промежуточные суммы отсчетов сигналов (1) далее поступают в дискрет-
ный фильтр (ДФ). На рис. 1 приведена схема рассматриваемого устройства дискретной
фильтрации, в котором электронный ключ (Кл) с периодом TΣ = LT подает промежуточные
суммы в ДФ. Проведем исследование характеристик данного устройства фильтрации. В качестве ана-
лога рассматриваемому устройству возьмем непрерывный фильтр нижних частот (ФНЧ) первого порядка с частотной передаточной функцией
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
50 С. И. Зиатдинов
W
(
p)
=
K 1+ pTф
,
(2)
где K, Tф — коэффициент передачи и постоянная времени фильтра соответственно; p = jω .
∑x[i]
m−1
x[nL −1]
i=0
Кл xΣ[n] Дискретный фильтр
y [n]
Рис. 1
Данной передаточной функции соответствует разностное уравнение [см. лит.]
y[n]= axΣ[n]+axΣ[n−1]−by[n−1],
(3)
в котором весовые коэффициенты определяются как
a = TΣ
TΣ + 2Tф
,
b
=
TΣ TΣ
− 2Tф + 2Tф
.
С помощью соотношения (1) разностное уравнение (3) записывается следующим образом:
m−1 m−1
y[n]= a ∑ x[nL−i]+a ∑ x[nL−i−1]−by[n−1].
i=0 i=0
Нетрудно показать, что данному разностному уравнению соответствует амплитудно-
частотная характеристика (АЧХ) [см. лит.]
Φ(ω) = K
∑ ∑2a2
⎢⎡⎢⎣⎜⎜⎝⎛
m−1 i=0
cos
iωT
⎞2 ⎟⎟⎠
+
⎛ ⎜⎜⎝
m−1 i=0
sin
1+2b cos ωLT
iωT +b2
⎞2 ⎟⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
(1+
cos
ωLT
)
.
Нормированные АЧХ Ф(f) при Tф / T =100, Tф = 0, 01 c, L=m для различного числа сумми-
руемых отсчетов m показаны на рис. 2. Здесь же приведена АЧХ W(f) непрерывного ФНЧ. Представленные графики показывают, что во всех случаях в полосе прозрачности (уровень –6 дБ) АЧХ фильтров практически совпадают.
W(f), Φ(f)
0,8
0,6
0,4
0,2
m=20 m=40
m=60
W(f) Φ(f)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 2πfT
Рис. 2
Для нахождения статистических характеристик выходного сигнала фильтра необходимо знать его импульсную характеристику, которая для непрерывного фильтра определяется соотношением
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
Алгоритм дискретной фильтрации с промежуточным сглаживанием отсчетов сигнала 51
c+ j∞
G(t) = ∫ ∑W ( p)e pt dp = res, c− j∞
где ∑ res — сумма вычетов в подынтегральной функции выражения (4), с = const.
Представим подынтегральную функцию в виде отношения двух функций:
(4)
W ( p)e pt = P( p) / Q( p).
Из формулы (2) следует, что для ФНЧ первого порядка функция P( p) / Q( p) имеет один вещественный полюс p1 = −1/ Tф. При этом вычет функции P( p) / Q( p) определяется формулой
res
=
P( p) ⎡ dQ( p)
⎤
=
Ke pt Tф
.
⎢⎣ dp ⎥⎦
Тогда в точке p = p1 получим следующее выражение для импульсной характеристики
непрерывного ФНЧ первого порядка:
G(t) = Ke−t Tф Tф .
(5)
Будем считать, что на входе рассматриваемого устройства действует непрерывная последовательность отсчетов аддитивной совокупности полезного сигнала и помехи. Причем отсчеты полезного сигнала имеют одинаковый уровень Uc , а отсчеты помехи не коррелиро-
ваны и имеют нулевое математическое ожидание и среднеквадратическое значение σx . При этом дисперсия помехи на выходе сумматора будет определяться выражением
σΣ2 = mσ2x .
С учетом соотношения (5) дисперсия помехи на выходе ДФ с точностью до постоянного
множителя равна
∞
∑σф2 = σΣ2 G2 (ti ), i=0
(6)
где G(ti ) — значения импульсной характеристики в моменты времени ti = iTL. При этом мощность полезного сигнала на выходе ДФ определяется соотношением
∑Pc
=
⎡ ⎢
∞
mUcG(ti )⎥⎤2 .
⎢⎣i=0 ⎥⎦
(7)
В результате отношение сигнал/шум на выходе ДФ можно записать в следующем виде:
∑Pc ∑σф2
=
⎡ ⎢
∞
mUcG(ti )⎤⎥2
⎢⎣i=0 ⎦⎥
∞ σΣ2 G2 (ti )
.
i=0
(8)
Для ДФ нижних частот без формирования промежуточных сумм отсчетов входного сигнала дисперсия помехи, мощность полезного сигнала, а также отношение сигнал/шум определяются из выражений
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
52 С. И. Зиатдинов
∑(σ*ф )2 = ∞ σ2xG2 (ti* ); i=0
∑Pc*
⎡ =⎢
∞
UcG(ti* )⎤⎥2
;
⎢⎣i=0 ⎥⎦
∑Pc* ∑(σ∗ф )2
=
⎡ ⎢
∞
UcG(ti* )⎤⎥2
⎢⎣i=0 ⎦⎥
∞ σ2xG2 (ti* )
,
i=0
(9)
где ti* = iT.
В реальных условиях постоянная времени фильтра Tф намного больше периода TΣ = LT
поступления промежуточных сумм в ДФ. Тогда в соотношениях (6)—(9) можно без сущест-
венной погрешности перейти от сумм к интегралам:
∫ ∫σф2
=
mσ2x LT
∞
G2 (t)dt;
0
Pc
=
m2U
2 c
(LT )2
⎡∞ ⎤2 ⎢ G(t)dt ⎥ ⎣⎢ 0 ⎥⎦
⎫ ;⎪⎪⎪
∫ ∫(σ*ф )2
=
σ2x T
∞
G2 (t)dt;
0
Pc*
=
Uc2 T2
⎡∞ ⎤2 ⎢ G(t)dt ⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥
.
⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
(10)
Полученные выражения (10) позволяют определить преимущество в отношении сиг-
нал/шум алгоритма фильтрации без промежуточного сглаживания перед предлагаемым алго-
ритмом:
q
=
P
* c
Pс
(σ*ф )2 σф2
=
L m
.
(11)
При этом количество суммируемых отсчетов входного сигнала m может принимать зна-
чения в диапазоне от 1 до L.
Из формулы (11) следует, что при m=L предлагаемый алгоритм дискретной фильтрации
по статистическим характеристикам практически не уступает алгоритму без промежуточного
сглаживания.
Если принять период поступления отсчетов входного сигнала равным T=100 мкс, коли-
чество суммируемых импульсов m=100 и L=m, то при реализации дискретного фильтра без
промежуточного сглаживания за 1 с необходимо выполнить 30 000 операций суммирования и
30 000 операций умножения. При реализации же предлагаемого алгоритма дискретной фильт-
рации с промежуточным сглаживанием за 1 с достаточно выполнить 30 000 операций сумми-
рования и всего 300 операций умножения без заметной потери качества фильтрации.
Полученные математические соотношения носят общий характер и будут справедливы
для сглаживающих фильтров с практически любой импульсной характеристикой.
ЛИТЕРАТУРА
Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.
Сведения об авторе Сергей Ильич Зиатдинов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный универси-
тет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: kaf.53@GUAP.ru
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 02.07.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9