ПОСТРОЕНИЕ СЕМАНТИЧЕСКИ СОДЕРЖАТЕЛЬНЫХ ПРАВИЛ ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ В ЗАДАЧАХ С ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТЬЮ РЕШЕНИЯ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ
УДК 004.94
В. А. ТЕРЕХОВ, К. А. МАЙКОВ, С. М. ЖИРЯКОВ
ПОСТРОЕНИЕ СЕМАНТИЧЕСКИ СОДЕРЖАТЕЛЬНЫХ ПРАВИЛ ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ
В ЗАДАЧАХ С ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТЬЮ РЕШЕНИЯ
Предлагается метод построения логико-лингвистической модели коррекции нечеткого вывода с учетом прецедентов принятия решения. На основе обобщения базисных функций Фабера — Шаудера разработана модификация алгоритма нечеткого вывода Суджено, позволяющая редуцировать ошибки решения в условиях неизменности семантики начальных определений.
Ключевые слова: логико-лингвистическая модель, алгоритм Суджено, функции Фабера — Шаудера.
Введение. В настоящее время одним из средств подготовки специалистов, ориентиро-
ванных на решение сложных технических задач, являются интерактивные тренажеры, вклю-
чающие в себя экспертную подсистему, содержащую понятия и слабо формализуемые прави-
ла (эвристики), применяемые экспертом-инструктором для проверки основных вариантов
решения задачи, формируемых обучаемым. Сдерживающим фактором развития интерактив-
ных тренажеров, позволяющих заменить присутствие инструктора в процессе тренировки,
является необходимость удовлетворения противоречивых требований к применяемым мето-
дам поиска решения слабо формализуемых задач. С одной стороны, требуется обеспечить
возможность уменьшения погрешности решения, возникающей, в частных случаях в области
входных данных, вследствие слабой формализации правил его поиска. С другой стороны, не-
обходимо не допускать модификации определений понятий и эвристик, формируемых экс-
пертом-инструктором. Это требование обеспечивает компетентное интерактивное вмеша-
тельство системы в тренировочный процесс в целях информирующего или корректирующего
воздействия.
Модификация алгоритма нечеткого вывода Суджено. Рассмотрим возможность мо-
дификации алгоритма нечеткого вывода Суджено [1] с учетом прецедентов частных решений.
Для представления функциональной зависимости вида f : RN → RM в слабо формали-
зуемой задаче без ограничения общности можно полагать, что логико-лингвистическая мо-
дель задачи содержит правила получения решений rj с ядром ker rj =< Aj → B j > ,
{ }Aj =
(
X
j< k
,
TJ
(
j,k) )
|
k
= 1, N ,
X
j< k
∈
RN
; B j = (Z j> ,TJ ( j,k+1) ), Z j> ∈ RM , где
X
j< k
— опреде-
ляющие лингвистические переменные, Z j> — переменная вывода [2], TJ ( j,k) — базовое терм-множество.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
4 В. А. Терехов, К. А. Майков, С. М. Жиряков
Этап логического вывода алгоритма Суджено характеризует значение переменной вы-
вода Z как линейную комбинацию определяющих переменных [3]:
N
∑z(x1,..., xN ) = k0 + ki xi . i=1
(1)
В этом случае целевая поверхность отклика выводимой переменной аппроксимируется
гиперплоскостью, что может приводить на этапе композиции к получению неприемлемой по
величине погрешности [4]. Осуществим модификацию алгоритма Суджено, основываясь на
возможности аппроксимации функции произвольного числа переменных суммой значений
вкладов каждой определяющей переменной независимо друг от друга, что показано в работах
Колмогорова о представлении непрерывных функций нескольких переменных. Тогда требуе-
мая поверхность отклика выводимой переменной может быть представлена выражением [5]
LN
∑ ∑z(x1,..,
xN
)
=
lim
L→∞
l =1
δl,n
n=1
(
xn
)
,
(2)
где l — порядок (уровень) приближения, δl,n (xn ) — вклад переменной X n в значение z на l-м
уровне приближения.
Для обеспечения сходимости уравнения (2) необходимо использовать аналогию много-
мерного обобщения базисных функций системы Фабера — Шаудера [6] и осуществить раз-
биение пространства X1 × ...× X N на зоны решения Ωld , так что
Ωld
=
∪
i
Ωil +1 ,
Ωil+1 ∩ Ωlj+1 = ∅
при
i≠
j; i, j = 1, Dl+1,
∀L ∈ N (((x1,..., xN ) ∈ ΩdL ) → (∀ΩiL ,i ≠ d )(δiL = 0)),
(3)
N
∑где δld (x1,..., xN ) = δl,n (xn ) — общая поправка в зоне Ωld . n=1
С учетом разбиения пространства X1 × ...× X N на зоны и требований (3) значение выво-
димой переменной можно представить в виде
L D(l)
∑ ∑z(x1,..., xN
)
=
lim
L→∞
l =1
d =1
pdl
( x1 , ...,
xN
)δld
(x1,...,
xN
),
(4)
где
pdl
(
x1
,
...,
xN
)
=
⎪⎧1,
⎨ ⎩⎪
0,
(x1,..., xN иначе
)
∈
Ωld
,
— критерий необходимости учета поправки
δld
в ито-
говом решении.
Для расчета величины δld будем использовать преобразованное соотношение Суджено (1):
∑( )N
δld
=
z(x1,..., xL ) =
zdl ,0
+
K
l d
νld,i αi (xi ) ,
i=1
(5)
где Kdl — общий коэффициент зоны Ωld ; νld,i ∈[0,1] — коэффициент влияния переменной
Xi в общем значении поправки; αi (xi ) ∈[0,1] — значение функции принадлежности терма, расположенного в левой части продукционного правила, вычисленное на этапе фаззификации алгоритма нечеткого вывода.
Окончательно для этапа логического вывода модифицированного алгоритма Суджено значение выводимой переменной определяется как
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
Построение семантически содержательных правил экспертных систем
5
∑ ∑ ∑ ∑( )z(x1,..., xN ) = z0 +
N
ki xi +
L
D d =1
pdl
( x1 , ...,
xN
)
⎛ ⎜⎝⎜
zdl ,0
+
Kdl
N i=1
D
νld,iαi (xi )
⎞ ⎟⎟⎠ .
i=1 l=1
∑ pdl (x1,..., xN )
(6)
d =1
Модель редукции ошибок нечеткого вывода. Для редукции ошибок решения в соот-
ветствии с выражением (6) осуществляется построение логико-лингвистической продукцион-
ной модели на основе данных о частных решениях задачи — модели редукции ошибок. Мо-
дель редукции ошибок состоит из продукционных правил четырех видов:
( ) ( ) ( )если
Rx1 = TlR,dx1,k
и ... и
RxN
=
Tl
RxN ,d ,k
, то
Gk = TlG,dk
, k = 0, N ;
(7)
( ) ( ) ( )если G0 = TlG,d0 и ... и GN = TlG,dN , то Ω = TlΩ,d ;
(8)
( ) ( ) ( )если (Ω = TlΩ,d ) и
Dxl1
=
Tl
Dx1 ,d
и ... и
Dxl N = TlD,dxN
, то
Dl = T Dl
;
(9)
( ) ( )если D1 = T D1 и ... и DL = T DL , то (D = D1 + ... + DL ) .
(10)
Правила (7), (8) используются для локализации области поправки, правило (9) — для
вычисления величины поправки, правило (10) определяет суммарное значение поправки. Та-
ким образом, повышение практической приемлемости решения обеспечивается не модифи-
кацией исходной экспертной модели, с помощью которой объясняется решение, а введением
дополнительной модели редукции ошибок, построенной на основе обработки частных реше-
ний задачи.
Для определения параметров правил модели редукции используются алгоритмы обра-
ботки частных решений задачи, которые обеспечивают:
— разбиение пространства входных переменных X1 × ...× X N на иерархию вложенных
зон Ωld , удовлетворяющих условию (3); — построение продукционных правил вывода;
— определение положения функций принадлежности термов;
— расчет
значений
zdl ,0 ,
K
l d
,
νld ,i
для
продукционных
правил
вывода.
Для разбиения пространства входных переменных X1 × ...× X N на зоны Ωld использует-
{ }ся алгоритм обработки точек частных решений PZ = pt (x1,..., xN , z) | t = 1,TZ , задающих зна-
чение решения z0 при входных данных (x10 ,..., xN0 ) . Зоной решения называется упорядочен-
ная пара Ω =< B, c > , где c ∈ PZ — радиус-вектор основания зоны, B = {b1,..., bN } — система
из N линейно независимых векторов (базис зоны), причем bi = pt − c .
В процессе построения базис зоны может включать в себя как векторы стандартного ба-
зиса, так и векторы, образованные с помощью частных решений. Обработка частных реше-
ний строится таким образом, чтобы, в первую очередь, в базисах зон осуществить замещение
векторов стандартного базиса векторами, образованными с помощью частных решений. При
невозможности дополнения базиса формируются дополнительные зоны, смежные с первона-
чальными.
Основание зоны c и векторы ее базиса {b1,...,bN } задают положение гиперплоскости,
определяющей признак pdl (x1,..., xN ) учета поправки в итоговом решении и величину
δld (x1,..., xN ) этой поправки.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
6 В. А. Терехов, К. А. Майков, С. М. Жиряков
Значения pdl и δld рассчитываются следующим образом. Представив произвольный
вектор x ∈ X1 × X2 × ...× X N × Z в виде суммы его ортогональных составляющих
x0 ∈ X1 × X 2 × ...× X N и x⊥ ∈ Z , выразим поправку δld для зоны Ωld путем разложения x по
базису зоны Ωld :
N
∑δld = x⊥ = αnbn⊥ + cl⊥,d , n=1
(11)
где αn — коэффициенты разложения вектора x по базису зоны Ωld .
Обозначив Bn×n = (bi, j ) , Bn−×1n = (bi−,1j ) , выражение (11) преобразуем к виду
N
∑δld (x1,..., xN ) = kdl ,n xn* + δld , n=1
(12)
∑ ∑ ∑где kdl ,n = bn⊥ N b−j,1n , δld = cl⊥,d − N bn⊥cl,d ,n N b−j,1n . j=1 n=1 j=1
Для расчета pdl требуется выполнение условий
(x0 − cl0,d ) ⋅ h0k ≥ 0 ∀k ∈{1, 2, ..., N}) ; (x0 − cl0,d − b10 ) ⋅ h00 ≥ 0 ∀j ∈{1, 2, ..., N},
(13)
что справедливо при
∑ ∑qk (x1,..., xN ) =
N
xi qik
− qk
≥ 0 ∀k ∈{1, 2, ...,
N}
и
δ(
x1,
...,
xN
)
=
⎡ ⎢
N
xi si
−
s
⎤ ⎥
∈[0,
1]
,
(14)
i=1 ⎣⎢ i=1 ⎥⎦
где
∑ ∑ ∑qik
= bk,i
−
N⎛ ⎜
j =1 ⎜⎝
N −1⎛ m=1 ⎝⎜⎜
N −1 p=1
gnk,
p
g
k p,m
⎞ ⎠⎟⎟g
k j,m
⎞ ⎟ ⎟⎠
bk ,
j
;
∑ ∑ ∑ ∑qk
=
N cil,d
i=1
⎡ ⎢⎣⎢bk ,i
−
N⎛ ⎜
j=1⎝⎜
N −1⎛ m=1 ⎝⎜⎜
N −1 p=1
gnk,
p
g
k p,m
⎞ ⎟⎠⎟g
k j,m
⎞ ⎟ ⎟⎠
bk ,
j
⎤ ⎥ ⎦⎥
;
∑ ∑ ∑g
k p,m
— элемент матрицы
(GkT Gk )−1 ;
N
si = b−j,1i , i = 1, N ;
j=1
s
=
N⎛ j=1⎜⎜⎝
N i=1
bi−, 1j
⎠⎟⎟⎞clj,d
;
hk , k = 0, N , —
ортогональное дополнение к системе базисных векторов граней Gk , причем hk ⋅ bk ≥ 0 при
k = 1, N и h0 ⋅ b0 ≤ 0 .
Выражения (11), (12) для расчета поправки δld и (13), (14) — для критерия pdl позволя-
ют определить положение функций принадлежности термов в правилах модели редукции
N
∑ошибок. В общем случае линейная комбинация z = k0 + ki xi в зоне Ω с основанием i=1
c = (c1,..., cN +1) может быть выражена в виде
N
∑z = cN +1 + K (νiαi (xi )) , i=1
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
Построение семантически содержательных правил экспертных систем
7
∑( )где
νi
=
ki Ω i K
;
K=
N ki Ω i 2 ; Ω i — протяженность зоны вдоль оси, заданной ортом
i=1
стандартного базиса ei ; αi (xi ) — функция принадлежности треугольного вида [7].
Таким образом, учет частных решений задачи в модели редукции ошибок обеспечивает
локальную коррекцию результатов классического алгоритма нечеткого вывода Суджено и
повышает практическую приемлемость решения без изменения начальной экспертной модели
задачи.
Заключение. Рассмотренная модификация нечеткого вывода позволяет снизить влия-
ние субъективного фактора, ухудшающего качество решения из-за неточностей, вносимых
экспертом при описании системы. На практике в задачах управления и распознавания в об-
ласти исходных данных при недостаточной информации о закономерностях работы системы
известные алгоритмы нечеткого вывода приводят к ошибочным решениям. Предложенный
подход позволяет добиться желаемого решения в любой области исходных данных, включая
и те, где знания эксперта, выраженные в нечетком описании системы, оказываются неточны-
ми или ошибочными. Решение в этом случае достигается с помощью набора корректировоч-
ных данных. При этом корректировочные данные приводят не к модификации созданных
экспертом правил или определений характеристических функций, а к дополнению сущест-
вующего описания, что позволяет сохранить смысловое содержание нечеткого вывода реше-
ния в терминах, введенных экспертом.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wang L., Mendel J. M. Fuzzy basis functions, universal approximation, and orthogonal least-squares learning // IEEE Transact. Neural Networks. 1992 . Vol. 3, N 5. P. 807—814.
2. Kosko B. Fuzzy systems as universal approximators // IEEE Transact. on Computers. 1994. Vol. 43, N 11. P. 1329—1333.
3. Castro J. L., Delgado M. Fuzzy systems with defuzzification are universal approximators // IEEE Transact. on System, Man, and Cybernetics. 1995. Vol. 25, N 4. P. 629—635.
4. Tsukamoto T. An approach to fuzzy reasoning method // Advances in Fuzzy Set Theory and Applications. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1979. P. 137—149.
5. Жиряков С. М., Майков К. А., Рогозин О. В. Адаптация нечеткого вывода к критическим зонам ошибок управления в задачах управления // Приборы. 2009. № 2. С. 22—29.
6. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identificaton of systems and its applications to modeling and control // IEEE Transact. on System, Man, and Cybernetics. 1985. Vol. 15, N 1. P. 116—132.
7. Круглов В. В., Дли М. И. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. М.: Физматлит, 2001. 224 с.
Сведения об авторах
Владимир Анатольевич Терехов
— канд. техн. наук; Московский государственный технический универ-
ситет „Московский институт радиоэлектроники и автоматики“, ка-
федра технической электродинамики и электроники; профессор
Константин Анатольевич Майков — д-р техн. наук, профессор; Московский государственный техниче-
ский университет им. Н. Э. Баумана, кафедра программного обеспе-
чения ЭВМ и информационных технологий;
E-mail: maikov@mx.bmstu.ru
Сергей Михайлович Жиряков
— канд. техн. наук; ОАО «Российская самолетостроительная корпора-
ция „МиГ“», Инженерный центр „ОКБ им. А. И. Микояна“, Москва;
E-mail: zs-mailbox@mail.ru
Рекомендована Московским институтом радиоэлектроники и автоматики
Поступила в редакцию 28.06.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
УДК 004.94
В. А. ТЕРЕХОВ, К. А. МАЙКОВ, С. М. ЖИРЯКОВ
ПОСТРОЕНИЕ СЕМАНТИЧЕСКИ СОДЕРЖАТЕЛЬНЫХ ПРАВИЛ ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ
В ЗАДАЧАХ С ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТЬЮ РЕШЕНИЯ
Предлагается метод построения логико-лингвистической модели коррекции нечеткого вывода с учетом прецедентов принятия решения. На основе обобщения базисных функций Фабера — Шаудера разработана модификация алгоритма нечеткого вывода Суджено, позволяющая редуцировать ошибки решения в условиях неизменности семантики начальных определений.
Ключевые слова: логико-лингвистическая модель, алгоритм Суджено, функции Фабера — Шаудера.
Введение. В настоящее время одним из средств подготовки специалистов, ориентиро-
ванных на решение сложных технических задач, являются интерактивные тренажеры, вклю-
чающие в себя экспертную подсистему, содержащую понятия и слабо формализуемые прави-
ла (эвристики), применяемые экспертом-инструктором для проверки основных вариантов
решения задачи, формируемых обучаемым. Сдерживающим фактором развития интерактив-
ных тренажеров, позволяющих заменить присутствие инструктора в процессе тренировки,
является необходимость удовлетворения противоречивых требований к применяемым мето-
дам поиска решения слабо формализуемых задач. С одной стороны, требуется обеспечить
возможность уменьшения погрешности решения, возникающей, в частных случаях в области
входных данных, вследствие слабой формализации правил его поиска. С другой стороны, не-
обходимо не допускать модификации определений понятий и эвристик, формируемых экс-
пертом-инструктором. Это требование обеспечивает компетентное интерактивное вмеша-
тельство системы в тренировочный процесс в целях информирующего или корректирующего
воздействия.
Модификация алгоритма нечеткого вывода Суджено. Рассмотрим возможность мо-
дификации алгоритма нечеткого вывода Суджено [1] с учетом прецедентов частных решений.
Для представления функциональной зависимости вида f : RN → RM в слабо формали-
зуемой задаче без ограничения общности можно полагать, что логико-лингвистическая мо-
дель задачи содержит правила получения решений rj с ядром ker rj =< Aj → B j > ,
{ }Aj =
(
X
j< k
,
TJ
(
j,k) )
|
k
= 1, N ,
X
j< k
∈
RN
; B j = (Z j> ,TJ ( j,k+1) ), Z j> ∈ RM , где
X
j< k
— опреде-
ляющие лингвистические переменные, Z j> — переменная вывода [2], TJ ( j,k) — базовое терм-множество.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
4 В. А. Терехов, К. А. Майков, С. М. Жиряков
Этап логического вывода алгоритма Суджено характеризует значение переменной вы-
вода Z как линейную комбинацию определяющих переменных [3]:
N
∑z(x1,..., xN ) = k0 + ki xi . i=1
(1)
В этом случае целевая поверхность отклика выводимой переменной аппроксимируется
гиперплоскостью, что может приводить на этапе композиции к получению неприемлемой по
величине погрешности [4]. Осуществим модификацию алгоритма Суджено, основываясь на
возможности аппроксимации функции произвольного числа переменных суммой значений
вкладов каждой определяющей переменной независимо друг от друга, что показано в работах
Колмогорова о представлении непрерывных функций нескольких переменных. Тогда требуе-
мая поверхность отклика выводимой переменной может быть представлена выражением [5]
LN
∑ ∑z(x1,..,
xN
)
=
lim
L→∞
l =1
δl,n
n=1
(
xn
)
,
(2)
где l — порядок (уровень) приближения, δl,n (xn ) — вклад переменной X n в значение z на l-м
уровне приближения.
Для обеспечения сходимости уравнения (2) необходимо использовать аналогию много-
мерного обобщения базисных функций системы Фабера — Шаудера [6] и осуществить раз-
биение пространства X1 × ...× X N на зоны решения Ωld , так что
Ωld
=
∪
i
Ωil +1 ,
Ωil+1 ∩ Ωlj+1 = ∅
при
i≠
j; i, j = 1, Dl+1,
∀L ∈ N (((x1,..., xN ) ∈ ΩdL ) → (∀ΩiL ,i ≠ d )(δiL = 0)),
(3)
N
∑где δld (x1,..., xN ) = δl,n (xn ) — общая поправка в зоне Ωld . n=1
С учетом разбиения пространства X1 × ...× X N на зоны и требований (3) значение выво-
димой переменной можно представить в виде
L D(l)
∑ ∑z(x1,..., xN
)
=
lim
L→∞
l =1
d =1
pdl
( x1 , ...,
xN
)δld
(x1,...,
xN
),
(4)
где
pdl
(
x1
,
...,
xN
)
=
⎪⎧1,
⎨ ⎩⎪
0,
(x1,..., xN иначе
)
∈
Ωld
,
— критерий необходимости учета поправки
δld
в ито-
говом решении.
Для расчета величины δld будем использовать преобразованное соотношение Суджено (1):
∑( )N
δld
=
z(x1,..., xL ) =
zdl ,0
+
K
l d
νld,i αi (xi ) ,
i=1
(5)
где Kdl — общий коэффициент зоны Ωld ; νld,i ∈[0,1] — коэффициент влияния переменной
Xi в общем значении поправки; αi (xi ) ∈[0,1] — значение функции принадлежности терма, расположенного в левой части продукционного правила, вычисленное на этапе фаззификации алгоритма нечеткого вывода.
Окончательно для этапа логического вывода модифицированного алгоритма Суджено значение выводимой переменной определяется как
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
Построение семантически содержательных правил экспертных систем
5
∑ ∑ ∑ ∑( )z(x1,..., xN ) = z0 +
N
ki xi +
L
D d =1
pdl
( x1 , ...,
xN
)
⎛ ⎜⎝⎜
zdl ,0
+
Kdl
N i=1
D
νld,iαi (xi )
⎞ ⎟⎟⎠ .
i=1 l=1
∑ pdl (x1,..., xN )
(6)
d =1
Модель редукции ошибок нечеткого вывода. Для редукции ошибок решения в соот-
ветствии с выражением (6) осуществляется построение логико-лингвистической продукцион-
ной модели на основе данных о частных решениях задачи — модели редукции ошибок. Мо-
дель редукции ошибок состоит из продукционных правил четырех видов:
( ) ( ) ( )если
Rx1 = TlR,dx1,k
и ... и
RxN
=
Tl
RxN ,d ,k
, то
Gk = TlG,dk
, k = 0, N ;
(7)
( ) ( ) ( )если G0 = TlG,d0 и ... и GN = TlG,dN , то Ω = TlΩ,d ;
(8)
( ) ( ) ( )если (Ω = TlΩ,d ) и
Dxl1
=
Tl
Dx1 ,d
и ... и
Dxl N = TlD,dxN
, то
Dl = T Dl
;
(9)
( ) ( )если D1 = T D1 и ... и DL = T DL , то (D = D1 + ... + DL ) .
(10)
Правила (7), (8) используются для локализации области поправки, правило (9) — для
вычисления величины поправки, правило (10) определяет суммарное значение поправки. Та-
ким образом, повышение практической приемлемости решения обеспечивается не модифи-
кацией исходной экспертной модели, с помощью которой объясняется решение, а введением
дополнительной модели редукции ошибок, построенной на основе обработки частных реше-
ний задачи.
Для определения параметров правил модели редукции используются алгоритмы обра-
ботки частных решений задачи, которые обеспечивают:
— разбиение пространства входных переменных X1 × ...× X N на иерархию вложенных
зон Ωld , удовлетворяющих условию (3); — построение продукционных правил вывода;
— определение положения функций принадлежности термов;
— расчет
значений
zdl ,0 ,
K
l d
,
νld ,i
для
продукционных
правил
вывода.
Для разбиения пространства входных переменных X1 × ...× X N на зоны Ωld использует-
{ }ся алгоритм обработки точек частных решений PZ = pt (x1,..., xN , z) | t = 1,TZ , задающих зна-
чение решения z0 при входных данных (x10 ,..., xN0 ) . Зоной решения называется упорядочен-
ная пара Ω =< B, c > , где c ∈ PZ — радиус-вектор основания зоны, B = {b1,..., bN } — система
из N линейно независимых векторов (базис зоны), причем bi = pt − c .
В процессе построения базис зоны может включать в себя как векторы стандартного ба-
зиса, так и векторы, образованные с помощью частных решений. Обработка частных реше-
ний строится таким образом, чтобы, в первую очередь, в базисах зон осуществить замещение
векторов стандартного базиса векторами, образованными с помощью частных решений. При
невозможности дополнения базиса формируются дополнительные зоны, смежные с первона-
чальными.
Основание зоны c и векторы ее базиса {b1,...,bN } задают положение гиперплоскости,
определяющей признак pdl (x1,..., xN ) учета поправки в итоговом решении и величину
δld (x1,..., xN ) этой поправки.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
6 В. А. Терехов, К. А. Майков, С. М. Жиряков
Значения pdl и δld рассчитываются следующим образом. Представив произвольный
вектор x ∈ X1 × X2 × ...× X N × Z в виде суммы его ортогональных составляющих
x0 ∈ X1 × X 2 × ...× X N и x⊥ ∈ Z , выразим поправку δld для зоны Ωld путем разложения x по
базису зоны Ωld :
N
∑δld = x⊥ = αnbn⊥ + cl⊥,d , n=1
(11)
где αn — коэффициенты разложения вектора x по базису зоны Ωld .
Обозначив Bn×n = (bi, j ) , Bn−×1n = (bi−,1j ) , выражение (11) преобразуем к виду
N
∑δld (x1,..., xN ) = kdl ,n xn* + δld , n=1
(12)
∑ ∑ ∑где kdl ,n = bn⊥ N b−j,1n , δld = cl⊥,d − N bn⊥cl,d ,n N b−j,1n . j=1 n=1 j=1
Для расчета pdl требуется выполнение условий
(x0 − cl0,d ) ⋅ h0k ≥ 0 ∀k ∈{1, 2, ..., N}) ; (x0 − cl0,d − b10 ) ⋅ h00 ≥ 0 ∀j ∈{1, 2, ..., N},
(13)
что справедливо при
∑ ∑qk (x1,..., xN ) =
N
xi qik
− qk
≥ 0 ∀k ∈{1, 2, ...,
N}
и
δ(
x1,
...,
xN
)
=
⎡ ⎢
N
xi si
−
s
⎤ ⎥
∈[0,
1]
,
(14)
i=1 ⎣⎢ i=1 ⎥⎦
где
∑ ∑ ∑qik
= bk,i
−
N⎛ ⎜
j =1 ⎜⎝
N −1⎛ m=1 ⎝⎜⎜
N −1 p=1
gnk,
p
g
k p,m
⎞ ⎠⎟⎟g
k j,m
⎞ ⎟ ⎟⎠
bk ,
j
;
∑ ∑ ∑ ∑qk
=
N cil,d
i=1
⎡ ⎢⎣⎢bk ,i
−
N⎛ ⎜
j=1⎝⎜
N −1⎛ m=1 ⎝⎜⎜
N −1 p=1
gnk,
p
g
k p,m
⎞ ⎟⎠⎟g
k j,m
⎞ ⎟ ⎟⎠
bk ,
j
⎤ ⎥ ⎦⎥
;
∑ ∑ ∑g
k p,m
— элемент матрицы
(GkT Gk )−1 ;
N
si = b−j,1i , i = 1, N ;
j=1
s
=
N⎛ j=1⎜⎜⎝
N i=1
bi−, 1j
⎠⎟⎟⎞clj,d
;
hk , k = 0, N , —
ортогональное дополнение к системе базисных векторов граней Gk , причем hk ⋅ bk ≥ 0 при
k = 1, N и h0 ⋅ b0 ≤ 0 .
Выражения (11), (12) для расчета поправки δld и (13), (14) — для критерия pdl позволя-
ют определить положение функций принадлежности термов в правилах модели редукции
N
∑ошибок. В общем случае линейная комбинация z = k0 + ki xi в зоне Ω с основанием i=1
c = (c1,..., cN +1) может быть выражена в виде
N
∑z = cN +1 + K (νiαi (xi )) , i=1
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1
Построение семантически содержательных правил экспертных систем
7
∑( )где
νi
=
ki Ω i K
;
K=
N ki Ω i 2 ; Ω i — протяженность зоны вдоль оси, заданной ортом
i=1
стандартного базиса ei ; αi (xi ) — функция принадлежности треугольного вида [7].
Таким образом, учет частных решений задачи в модели редукции ошибок обеспечивает
локальную коррекцию результатов классического алгоритма нечеткого вывода Суджено и
повышает практическую приемлемость решения без изменения начальной экспертной модели
задачи.
Заключение. Рассмотренная модификация нечеткого вывода позволяет снизить влия-
ние субъективного фактора, ухудшающего качество решения из-за неточностей, вносимых
экспертом при описании системы. На практике в задачах управления и распознавания в об-
ласти исходных данных при недостаточной информации о закономерностях работы системы
известные алгоритмы нечеткого вывода приводят к ошибочным решениям. Предложенный
подход позволяет добиться желаемого решения в любой области исходных данных, включая
и те, где знания эксперта, выраженные в нечетком описании системы, оказываются неточны-
ми или ошибочными. Решение в этом случае достигается с помощью набора корректировоч-
ных данных. При этом корректировочные данные приводят не к модификации созданных
экспертом правил или определений характеристических функций, а к дополнению сущест-
вующего описания, что позволяет сохранить смысловое содержание нечеткого вывода реше-
ния в терминах, введенных экспертом.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wang L., Mendel J. M. Fuzzy basis functions, universal approximation, and orthogonal least-squares learning // IEEE Transact. Neural Networks. 1992 . Vol. 3, N 5. P. 807—814.
2. Kosko B. Fuzzy systems as universal approximators // IEEE Transact. on Computers. 1994. Vol. 43, N 11. P. 1329—1333.
3. Castro J. L., Delgado M. Fuzzy systems with defuzzification are universal approximators // IEEE Transact. on System, Man, and Cybernetics. 1995. Vol. 25, N 4. P. 629—635.
4. Tsukamoto T. An approach to fuzzy reasoning method // Advances in Fuzzy Set Theory and Applications. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1979. P. 137—149.
5. Жиряков С. М., Майков К. А., Рогозин О. В. Адаптация нечеткого вывода к критическим зонам ошибок управления в задачах управления // Приборы. 2009. № 2. С. 22—29.
6. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identificaton of systems and its applications to modeling and control // IEEE Transact. on System, Man, and Cybernetics. 1985. Vol. 15, N 1. P. 116—132.
7. Круглов В. В., Дли М. И. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. М.: Физматлит, 2001. 224 с.
Сведения об авторах
Владимир Анатольевич Терехов
— канд. техн. наук; Московский государственный технический универ-
ситет „Московский институт радиоэлектроники и автоматики“, ка-
федра технической электродинамики и электроники; профессор
Константин Анатольевич Майков — д-р техн. наук, профессор; Московский государственный техниче-
ский университет им. Н. Э. Баумана, кафедра программного обеспе-
чения ЭВМ и информационных технологий;
E-mail: maikov@mx.bmstu.ru
Сергей Михайлович Жиряков
— канд. техн. наук; ОАО «Российская самолетостроительная корпора-
ция „МиГ“», Инженерный центр „ОКБ им. А. И. Микояна“, Москва;
E-mail: zs-mailbox@mail.ru
Рекомендована Московским институтом радиоэлектроники и автоматики
Поступила в редакцию 28.06.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 1