Например, Бобцов

Алгоритм обработки сигнала интерференционного углового нуль-индикатора при калибровке призм с гранями без отражающего покрытия

УДК 531.74.089
АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ СИГНАЛА ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОГО УГЛОВОГО НУЛЬ-ИНДИКАТОРА ПРИ КАЛИБРОВКЕ ПРИЗМ С ГРАНЯМИ БЕЗ ОТРАЖАЮЩЕГО ПОКРЫТИЯ

© 2011 г. М. С. Николаев; Ю. В. Филатов, доктор техн. наук
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ” им. В.И. Ульянова (Ленина), Санкт-Петербург
Е-mail: maxim_um@pisem.net

Рассмотрен алгоритм, позволяющий разделять сигналы интерференционного нуль-индикатора угла от разных граней при калибровке призм, не имеющих отражающего покрытия.

Ключевые слова: динамический гониометр, нуль-индикатор, призма, калибровка, аппроксимация.

Коды OCIS: 120.0120, 120.3930

Поступила в редакцию 21.02.2011

Динамические гониометры – системы, предназначенные для измерения плоских углов, широко используются в последние годы в технике прецизионных угловых измерений, в фундаментальных физических и метрологических исследованиях, аттестации различных преобразователей угла, оценке статических и динамических параметров сложного углового движения объектов различного класса [1,  2]. Структурная схема динамического гониометра представлена на рис. 1. Процесс калибровки заключается в фиксации угловых положений ка-

либруемой призмы, при которых визирная ось нуль-индикатора (НИ) совпадает с нормалью к грани, для формирования моментов съема информации с образцового преобразователя угла.
Для привязки в динамике к граням призмы используется интерференционный НИ, принцип действия которого основан на интерференции пары световых пучков, отраженных от грани аттестуемой призмы. Один из возможных вариантов схемы построения такого НИ приведен на рис.  2. Пучок света от источника, проходя через призму Кестерса, расщепляется

6 45
1 2

12

4

4

3 Рис. 1. Схема динамического гониометра. 1  – датчик угла, 2  – поворотная платформа, 3 – привод, 4 – калибруемая призма, 5 – нульиндикатор, 6 – вычислительный блок. 16

3 Рис. 2. Схема интерференционного нульиндикатора с призмой Кестерса. 1 – источник света, 2  – призма Кестерса, 3  – отражающая поверхность, 4 – апертура фотоприемника.
“Оптический журнал”, 78, 10, 2011

на два параллельных пучка, которые падают на контролируемую отражающую поверхность. После отражения от контролируемой поверхности и прохождения призмы Кестерса пучки, угол между которыми пропорционален углу поворота отражающей поверхности α, попадают на фотоприемник, регистрирующий интегральную интенсивность света по всей апертуре. В результате при вращении отражающей поверхности на выходе фотоприемника формируется импульс, описываемый выражением

u(α)

=

γI0dbæçççèç1

+

sin(2πbβ/λ)
(2πbβ/λ)

si(n4(π4dπαd/αλ/)λ)´

´ cos{4π/λ[αh + l(n/2-1)]}),

где u(α) – выходной сигнал, α  – угол падения пучков на отражающую поверхность, γ  – чувствительность фотоприемника, I0  – интенсивность светового пучка, d и b – ширина и высота апертуры фотоприемника, λ  – длина волны, β  – угол разворота двух половин призмы Кестерса в вертикальной плоскости, h  – расстояние между световыми пучками при их падении на отражающую поверхность, l  – взаимное линейное смещение элементов призмы Кестерса при ее склейке, n  – показатель преломления материала призмы Кестерса [3].
При калибровке многогранных призм лазерный гониометр демонстрирует точностные характеристики на уровне эталонных систем. Однако потребность в таких высокоточных ­системах на мировом промышленном рынке не так велика. В  то же время, гораздо больший интерес представлял бы автоматический гониометр, предназначенный для калибровки различной формы неправильных трех-, четырехгранных призм с гранями без отражающего покрытия.
Отражение от граней таких призм происходит не только от внешних, но и от внутренних граней, что необходимо, так или иначе, учитывать. При этом наиболее сложным является вариант, при котором световые пучки, отраженные от наружной и внутренней граней, полностью или частично перекрываются. В  этом случае выходной сигнал с фотоприемника НИ может представлять собой как пару взаимно искаженных одиночных интерференционных импульсов, так и их сумму, что приводит к погрешностям определения положения нормали к грани. В  качестве примера на рис.  3 показаны формы выходного сигнала с фотоприемника НИ в случаях, когда взаимное наложение

2
U, B
1

21

0

– 20 – 10

0

10

, угл. с

 20

Рис. 3. Формы выходного сигнала с фотоприемника нуль-индикатора от двух граней. 1  –
наложенные импульсы наблюдаются раздельно, 2 – почти полное наложение импульсов.

импульсов позволяет наблюдать их раздельно (кривая 1), и при почти полном их наложении (кривая 2).
Для уменьшения этой погрешности может использоваться цифровая обработка выходного сигнала непосредственно с фотоприемника НИ. Ее суть сводится к оцифровке сигнала с фотоприемника НИ с привязкой к угловым положениям аттестуемой призмы и последующей аппроксимации полученных данных теоретической функцией.
Аппроксимирующая функция для суммы двух импульсов отыскивается в виде

U(j) = A0 +

å+

2 k=1

A1k

sin éëc1(j- j0k c1(j- j0k )

)ûù

cos

ëéc2

(j -

j0k

)+

c3

ûù

,

(1)

где A0  =  gI0db, A1k  =  gIkdbsin(2πbβ/λ)/(2πbβ/λ), I0  – суммарная интенсивность пучков от двух граней, Ik  – интенсивность световых пучков от k-й грани, c1  =  4πd/λ, c2  =  4πh/λ, c3  = = 4πl(n/2 – 1)/λ, j0k – положение, соответствующее нормальному падению пучков на k-ю грань. Таким образом, определив параметры аппроксимирующей функции, можно найти положения призмы, соответствующие нормальному падению пучков на каждую грань. Кроме того, соотношение найденных амплитуд, при наличии априорной информации о конфигурации призмы, может использоваться для определения положения, соответствующего

“Оптический журнал”, 78, 10, 2011

17

нормальному падению пучков на грань, непосредственно обращенную к НИ.
Разрешающая способность данного метода ограничена только конечной точностью вычислений и искажением выходного сигнала фотоприемника вследствие шумов в силу того, что аппроксимирующая функция может описывать сигнал, не имеющий двух выраженных пиков. То есть этот метод имеет более высокое разрешение, чем аппаратное формирование управляющего сигнала по фронту или по пику интерференционного импульса. Кроме того, он учитывает взаимное искажение близко расположенных раздельных импульсов, что позволяет уменьшить погрешность измерений. Метод не лишен недостатков, что связано со значительным объемом вычислений и, как следствие, невозможностью фиксации угловых положений в масштабе реального времени.
Процесс аппроксимации по методу наи­ меньших квадратов сводится к нахождению минимума функции

å=

S(A0, A11, A12, c1, c2, c3, j01, j02 )= ëêéU(ji, A0, A11, A12, c1, c2, c3, j01, j02 )-ui ùúû2,

(2)

i

где {ji} и {ui} – массивы исходных данных длиной n, i = 0, 1, …, n – 1.
Аналитический поиск минимума функции (2) не представляется возможным, поэтому поиск параметров аппроксимирующей функции (1) целесообразно проводить численными методами, что приводит к необходимости нахождения начального приближения этих па­ раметров.
Определение начальных значений j0i. В  зависимости от угла между положениями, соответствующими нормальному падению пучков на разные грани, сигнал с фотоприемника НИ может содержать как два выраженных пика, так и один, представляющий сумму двух импульсов от разных граней. В  первом случае в  качестве начальных значений можно принять положение этих пиков, во втором  – в качестве начальных значений j0i представляется целе­ сообразным выбор пары различных точек внут­ ри импульса. Так как этот угол а priori неизвестен, в качестве начального приближения необходимо рассматривать обе гипотезы. Кроме того, в общем случае в составе выходного си­ гнала НИ может присутствовать импульс только от одной грани (тогда в качестве начального приближения j0 берется положение максиму-

ма). При этом разность фаз интерферирующих пучков, вызванная неидеальностью призмы Кестерса, может привести к тому, что точка с максимальным значением выходного сигнала будет находиться дальше от положения, соответствующего нормальному падению пучка на грань, чем точка с минимальным значением. Следовательно, в качестве начального приближения целесообразно рассматривать также положения минимума выходного сигнала НИ. Таким образом, в общем случае необходимо иметь шесть возможных начальных значений параметров аппроксимирующей функции.
Определение начальных значений параметров A0 и A1i. В  качестве начального значения A0 представляется целесообразным использовать среднее значение выходного сигнала . А  в качестве начального приближения A1i  – разность между значением выходного сигнала в точке, соответствующей начальному приближению j0i и : A1i = u(j0i – ).
Определение начальных значений c1 и c2. Амплитудно-частотная характеристика переменной составляющей суммы двух импульсов в положительной области частот при условии c2  ≥  c1, что справедливо для интерференционного НИ с призмой Кестерса или Дове, имеет вид
{ }A(w) = (π/c1) H éêëw -(c2 - c1)ùûú - H êéëw -(c1 + c2 )ùûú ´
´ A121 + A122 + 2 A11 A12 cos êéëw(j01 - j02 )ûùú, (3)
где w – пространственная угловая частота, H(w)  – единичная ступенчатая функция Хевисайда.
Из выражения (3) видно, что спектр переменной составляющей сигнала лежит в интервале (c2 –  c1)  ≤  w  ≤  (c2 +  c1). Таким образом, определив границы спектра, можно найти начальное приближение значений коэффициентов c1 и c2.
Определение начальных значений с3. В  связи с тем, что начальное приближение параметров A1i и j0i находится приближенно, определение коэффициента c3 по спектру сигнала представляется нецелесообразным. Так как з­ ависимость от него периодическая с периодом 2π, его определяют простым перебором ­значений в диапазоне [–π, π] с выбором в качестве начального приближения значения, при котором значение выражения (2) минимально.
На начальном этапе проводится предварительный поиск минимума функции (2) из ше-

18 “Оптический журнал”, 78, 10, 2011

сти векторов начальных значений. Затем из каждой пары полученных векторов выбирается

5

один, при котором значение функции (2) мини-

мально. Далее осуществляется минимизация

3

  выч, угл. с

из оставшихся трех векторов параметров, после

чего из двух вариантов векторов параметров для пары импульсов выбирается один.

0

Таким образом, в результате аппроксима-

ции экспериментальных данных получены две аппроксимирующие функции: исходя из

– 3

гипотез, что сигнал НИ представляет сумму двух импульсов или одиночный импульс.
Далее проводится выбор в пользу той или иной гипотезы. В  качестве критерия выбора, в  первую очередь, выступает значение функции (2) для каждой гипотезы. Кроме того, принимая во внимание конечную точность расче-

– 5 – 5

– 2,5 0 2,5
  зад, угл. с

5

Рис. 4. Результаты математического экспе­ римента по проверке работоспособности алго-
ритма.

тов и то, что одиночный импульс может быть

аппроксимирован функцией для двух импуль-

сов с совпадающими или близкими положени-

ями j0i при разности положений меньше некоторого заданного значения, определяемого как

Как видно из рис. 4, при малых углах между пучками (в  данном случае менее 1″ при шири-

параметрами НИ, так и точностью вычислений, не интерференционного импульса порядка 5″)

анализируемый сигнал следует рассматривать ­разделения импульсов не происходит. Однако

как одиночный импульс. Как одиночный им- при этом минимальный угол, при котором про-

пульс следует расценивать и сигнал, при ап- исходит уверенное разделение импульсов, су-

проксимации которого функцией для пары щественно меньше ширины интерференцион­

импульсов соотношение амплитуд найденных ного импульса. Таким образом, данный метод

импульсов достаточно велико, либо положе- позволяет увеличить разрешающую способ-

ние одного из импульсов выходит за границы ность интерференционного НИ. Кроме того, в

интервала, на котором проводится аппрокси­ нем учитывается взаимное искажение близ-

мация.

ко расположенных импульсов, что позволяет

Для проверки работоспособности данного уменьшить ошибку измерений.

а­ лгоритма был поставлен математический экс-

Полученные результаты показывают, что

перимент: проведена генерация массивов дан- метод может быть использован при калибровке

ных, отвечающих форме выходного сигнала призм с гранями, не имеющими отражающего

НИ, в соответствии с выражением (1), которые покрытия, при наложении пучков, отражен-

затем были программно обработаны. Далее со- ных от разных граней.

поставлялись результаты расчетов с парамет­

Дальнейшее повышение разрешающей спо-

рами, использованными при генерации масси- собности интерференционного НИ возможно

вов. Результаты эксперимента при отсутствии путем оптимизации алгоритма обработки вы-

шумов приведены на рис. 4, где по оси абсцисс ходного сигнала, а также за счет уменьшения

отложено значение разности углов между пуч- ширины интерференционного импульса при

ками от разных граней, заданное при генера- использовании источника света с меньшей дли-

ции массивов данных Δjзад, а по оси ординат  – полученное по результатам вычислений Δjвыч.

ной волны и увеличении ширины пучков и расстояния между ними.

* * * * *

Литература

1. Бурнашев М.Н., Лукьянов Д.П., Павлов П.А., Филатов Ю.В. Развитие методов и средств лазерной дина­ мической гониометрии // Квант. электрон. 2000. Т. 30. № 2. С. 141–146.
2. Filatov Yu., Loukianov D.P., Probst R. Angle measurement by means of a ring laser goniometer // Metrologia. 1997. V. 34. P. 343–351.
3. Филатов Ю.В. Анализ работы интерференционного углового нуль-индикатора  // ОМП. 1989. №  4. С. 13–16.

“Оптический журнал”, 78, 10, 2011

19