Расчет светозащитных бленд в оптической системе “зеркальный Райт” с малым углом наклона зеркального планоида
УДК 535.311, 535.317
РАСЧЕТ СВЕТОЗАЩИТНЫХ БЛЕНД В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ “ЗЕРКАЛЬНЫЙ РАЙТ” С МАЛЫМ УГЛОМ НАКЛОНА ЗЕРКАЛЬНОГО ПЛАНОИДА
© 2011 г.
С. А. Чупраков, канд. техн. наук Институт солнечно-земной физики СО РАН, г. Иркутск Е-mail: chupr@iszf.irk.ru
Рассмотрены конструкции бленд для предотвращения попадания засветки нулевого порядка в фокальную плоскость системы “зеркальный Райт”. Бленды имеют вид трубы с “люком” для предметного пучка, “конуса центрального отверстия” в планоидном зеркале и “переднего экрана”. Форма “люка”, “конуса центрального отверстия” и окружность фокальной плоскости задают две линейчатые поверхности, с помощью которых можно приближенно определить геометрию “переднего экрана”.
Ключевые слова: светозащита, бленды, двухзеркальные оптические системы.
Коды OCIS: 220.2740
Поступила в редакцию 02.11.2010
В зеркальных оптических системах существует проблема защиты фокальной плоскости от попадания прямой засветки – лучей, которые до пересечения с рабочей фокальной плоскостью не пересекали входной зрачок в конусе угла поля зрения. Расчет геометрии с ветозащитных бленд проводится методом трассировки лучей и для известных оптических систем является инженерной задачей, решаемой распространенными оптическими CAD-пакетами, такими как ZEMAX и т. п. Вместе с тем существуют задачи определения связи геометрических параметров светозащитных бленд (формы, размеров, р асположения в пространстве) с гео метрическими параметрами малоизвестных зеркальных схем, когда требуется выяснить, решаема ли проблема светозащиты вообще, и каковы должны быть взаимные расположения зеркал, их светосила и поле зрения, чтобы светозащита была осуществима. Для решения таких задач методом трассировки лучей потребовались бы расчеты очень большого количества систем, в которых интересующие параметры перебирались бы с достаточным шагом, независимо друг от друга, а полученные результаты аппроксимировались специально подобранными функциями, связывающими их с перебираемыми параметрами. Такой способ, по понятным причинам, очень трудоемок и малоэффективен, несмотря
на большие возможности современной вычислительной техники. Поэтому, для первоначальных исследований геометрии светозащитных бленд в малоизвестных оптических схемах, целесообразно воспользоваться методами аналитической геометрии в той мере, в которой это позволяет сложность получаемых выражений.
Геометрия светозащитных бленд
В системе “зеркальный Райт” фокальная плоскость подвержена прямой засветке через отверстие в планоидном зеркале. Если не принимать никаких мер, то наблюдения в дневное время становятся невозможны точно так же, как и в других двухзеркальных системах – кассегреновского и грегорианского типа. Для устранения засветки применяются три бленды:
1. собственно “труба” с люком, контур которого представляет собой линию пересечения в первом приближении двух цилиндров;
2. “конус центрального отверстия”, представляющий собой пересечение конуса лучей, отраженных от главного зеркала, и цилиндра c радиусом, равным радиусу центрального отв ерстия в планоидном зеркале, ось которого п араллельна оси предметного пучка;
28 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
3. “передний экран”, установленный по ходу предметного пучка на некотором расстоянии перед вогнутым зеркалом.
В работах [1, 2] была приближенно определена геометрия описанной системы светозащиты – длина “конуса” kl и расстояние nm, а по существу только точка m. В дальнейшем, пространственная форма “конуса” была уточнена, но оставалась неизвестной форма и геометрические размеры “переднего экрана”.
Геометрия “трубы” и “конуса центрального отверстия” определяются достаточно произвольно. Они могут иметь и другую форму. Например, вместо трубы можно исполь зовать параллелепипед, а цилиндр, пересе кающий “конус центрального отверстия”, может быть не параллелен предметному пучку. Также конус может быть вырезан не цилиндром, а пересечен плоскостью и т. п. Поле зрения, страдающее от засветки, может иметь не круглую форму, а представлять собой произвольно ориентированный прямоугольник и даже несколько прямоугольников (крупные современные матричные фотоприемники делают составными). Таким образом, форма “люка” для предметного пучка, “конуса центрального отверстия” и форма фокальной плоскости однозначно определяют форму и положение в пространстве “переднего экрана” и к нему мо-
жет быть применена методика расчета, в целом сходная с описанной.
Все расчеты ведутся в следующей системе координат. Начало координат расположено в вершине планоидной поверхности, плоскость симметрии системы – YZ, положительное направление оси Z – от планоида к главному зеркалу, оптическая ось главного зеркала совпадает с осью Z. Очевидно, что координаты контура “люка” рассчитываются из уравнений двух цилиндров
ççæçè
X R1
ö÷÷÷ø÷2
+
æççèçç
Y R1
÷÷÷÷øö2
=
1,
èæççç
X R2
÷÷ø÷÷ö2
+
çççèæ
Y R2
øö÷÷÷÷2
=
1
(1)
при условии разворота цилиндра с радиусом образующей R1 вокруг вершины координат на угол θ в плоскости YZ
Y = Ycosθ + Zsinθ,
(2)
R2 – радиус образующей второго цилиндра, ось которого совпадает с осью Z. Выражения для координат XT и YT можно записать как функции координаты ZT, т. е. расстояния от вершины планоидного зеркала
XT
=
-
1 2
( ( ) ( ))-cscθ3 sinθ R22 -4R12 + 5ZT2 -8ZTcosθsinθ R22 - R12 + ZT2 + sin3θ R22 + ZT2 ,
YT = ZTctgθ - cscθ2sinθ R22- R12 + ZT2 .
(3)
Контур светозащитного “конуса центрального отверстия” рассчитывается из уравнений конуса лучей, отраженных от главного зеркала и цилиндра, радиус которого равен радиусу центрального отверстия в планоидном зеркале
èçççæ
X h
÷÷÷øö2
+
çççèæ
Y h
ø÷÷÷ö2
=
èçççæ
Z
+ c
c
ø÷÷÷ö2,
èçççæ
X h
ø÷÷÷ö2
+
èççççæ
Y h
ø÷÷÷÷ö2
=
1
(4)
так же при условии разворота цилиндра с радиусом образующей R1 вокруг вершины координат на угол θ в плоскости YZ (см. выше),
с – расстояние от вершины планоидного зеркала до точки схода конуса, рассчитываемое по формуле
c
=
∆
+
f2ω Dâõ.ç./2 -
fω,
(5)
где Dвх.з. – диаметр входного зрачка (зеркального планоида), f – фокусное расстояние главного зеркала, ω – половина угла поля зрения, Δ – вынос фокальной плоскости за поверхность зеркального планоида. Выражения для коор динат XС и YС можно записать как функции координаты ZС, т. е. расстояния от вершины планоидного зеркала
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
29
XC =
( ( ))= -12 cscθ3 èççæçZCèççæç5ZCc2 + 4h2sinθ2(2c + ZC )-4c3h2sinθ3 + ZC èçççæc3ZCsin3θ-8cosθ c2ZCsinθ2 2ch2 + ZC c2 + h2 ø÷÷ö÷ø÷÷÷öø÷÷÷÷ö,
( ( ))cscθ2
YC = ZCctgθ-
c2ZCsinθ2 2ch2 + ZC c2 + h2 c2
.
(6)
Очевидно, что граница тени является огибающей семейства кривых, представляющих собой центральную проекцию кривых (3) и (6), если центрами проецирования являются точки, лежащие на окружности, ограничивающей рабочую фокальную плоскость, на плоскость, перпендикулярную оптической оси и пересекающую предметный пучок в точке m (рис. 1а). Те участки этой плоскости, на которые лучи, выпущенные из точек, лежащих на окружности, ограничивающей фокальную плоскость, не попадают, могут быть удалены. Таким образом “передний экран” как бы “вырезается” двумя тенями – от “люка” и “конуса центрального отверстия”, и представляет собой световое пят-
но, которое было бы видимо на указанной плоскости, если бы окружность фокальной плоскости представляла собой “ламбертовский источник”.
Легко предположить, что для расчета выше упомянутой огибающей достаточно для каждой точки пространственных кривых (3) и (6) рассчитывать единственный луч, выпущенный из точки окружности фокальной плоскости, максимально удаленный в плоскости XY от точек (XC, YC) (6) и (XТ, YТ) (3). Очевидно, что проекция этого луча в плоскости XY пройдет через центр окружности, ограничивающей рабочую фокальную плоскость.
Для нахождения “переднего экрана” можно воспользоваться следующими упрощениями:
(а)
m n
ky l –y
–k
(б) (в)
Рис. 1. Конструкция системы светозащиты в “зеркальном Райте”. а – сечение плоскостью симметрии зеркального планоида (наиболее уязвимая для засветки точка (–y′) поля зрения (–y′y), б – труба с выходным “люком” для предметного пучка, представляющего собой линию пересечения двух цилиндров, в – “конус центрального отверстия”, представляющий собой конус лучей, отраженных главным зеркалом, и цилиндра с основанием, диаметр которого равен центральному отверстию.
30 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
1. Контуры теней от “люка” и “конуса центрального отверстия” представляют собой линейчатые поверхности.
2. Образующими линейчатых поверхностей являются: для “люка” – окружность поля зрения и линия, заданная точками (XT, YT, ZT), а для “конуса центрального отверстия” – также окружность поля зрения и линия, заданная точками (XС, YС, ZС).
3. Направляющие линейчатых поверхностей проходят через две точки, являющиеся точками пересечения образующих и плоскости, поворачивающейся вокруг оси главного зеркала. Данная плоскость будет пересекать каждую образующую в двух точках. Для расчетов берутся точки, расположенные по разные стороны от оси поворота плоскости (т. е. от оптической оси).
Сложный вид формул для (XT, YT, ZT) и (XС, YС, ZС) не позволяет найти точки пересечения контуров “люка” и “конуса центрального отверстия” с заданной плоскостью напрямую. Такой расчет представляет собой задачу пересечения трех поверхностей, поэтому для простоты расчеты велись следующим образом. Вначале задавалась точка (X, Y, Z), принад- лежащая контуру, затем через оптическую ось и эту точку проводилась плоскость. Соответствующие точки фокальной плоскости для “конуса центрального отверстия” находятся по формулам
xc =
-XCyf , XC2 + YC2
yc =
-YCyf , XC2 + YC2
(7)
а для “люка” по формулам:
xt =
-XT yf , XT2 + YT2
yt =
-YT yf , XT2 + YT2
(8)
где yf – радиус окружности фокальной плоскости. Значение zc = zt принимается равным –Δ. Экран расположен на расстоянии R > (f – Δ) от вершины планоидного зеркала. Координаты контуров тени находятся по формулам для “ конуса центрального отверстия”
xc
=
XC
+
(xc
-
XC
)ZZCC
-R +∆
,
yc
=
YC
+
(yc
-
YC
)ZZCC
+
R ∆
и для “люка”
(9)
xt
=
XT
+
(xt
-
XT)ZZTT
+
R ∆
,
yt
=
YT
+
(
yt
-
YT
)
ZT ZT
-R +∆
.
(10)
Таким образом, зная конструктивные пара
метры “зеркального Райта”:
1. Dвх.з. – диаметр входного зрачка (зеркального планоида),
2. f – фокусное расстояние главного зеркала,
3. ω – половину угла поля зрения,
4. Δ – вынос фокальной плоскости за поверхность зеркального планоида,
можно определить уравнения лучей, выпу-
щенных из точек, лежащих на окружности,
ограничивающей фокальную плоскость, и
пересекающих контуры, задаваемые уравне-
ниями (3) и (6). В дальнейшем, положение и
форма “переднего экрана” будет определяться
этими прямыми и поверхностью, которую они
пересекают. В данной работе эта поверхность,
как уже упоминалось, является плоскостью
XY, перпендикулярной оси вогнутого зеркала
и расположенной таким образом, что она пере-
секает предметный пучок в точке m (рис. 1).
На рис. 2 показаны контуры пересечения
рассмотренных линейчатых поверхностей:
1 – от “конуса центрального отверстия”, 2 –
от “люка”, расположенные на упомянутой
плоскости.
Рисунок получен для системы со следую-
щими параметрами: Dвх.з. = 150, f = 720, ω = = 0,8°, Δ = 110, R1 = 156, R2 = 182. Область, ограниченная пересекающимися линиями (1)
Миллиметры
1 140 2 130
120 110 100 90
– 100
– 80 – 60 – 40
Миллиметры
– 20
0
Рис. 2. Контуры пересечения линейчатых поверхностей с плоскостью, перпендикулярной
оптической оси и отстоящей от начала координат на расстояние до точки “m” (см. рис. 1а).
Начало координат соответствует точке пере-
сечения плоскости предметным пучком в точке “m”.
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
31
(а)
(б)
Ед. фокусного расстояния
Рис. 3. Результат пространственного моделирования области, ограниченной кривыми, приведенными на рис. 2.
и (2) является “передним экраном” “зеркального Райта”. На рис. 3 показан результат мо делирования “переднего экрана” для указанных конструктивных параметров.
В действительности контур будет иметь форму, слегка отличающуюся от рассчитываемой по предлагаемой методике из-за того, что реальные “труба” с люком и “конус централь ного отверстия” имеют конечную толщину. Таким образом, уравнения (3), (6), (9) и (10) позволяют исследовать поведение геометрических параметров светозащитных бленд в сис теме “зеркальный Райт” в зависимости от относительного отверстия, положения фокальной плоскости и поля зрения.
Расчет экранирования входного зрачка
Как уже отмечалось автором [3], конус центрального отверстия увеличивает экранирование входного зрачка из-за того, что внешняя сторона конуса центрального отверстия “перегораживает” лучи, отраженные от планоидного зеркала. В результате контур экранирования представляет собой фигуру, состоящую из двух частей – полуокружности c диаметром, равным центральному отверстию, и проекции линии, заданной выражениями (6) на плоскость входного зрачка пучком лучей, параллельных оси вогнутого зеркала. Полуокружность – проекция этой же линии на плоскость входного зрачка, но падающим предметным пучком до отражения от зеркального планоида. На рис. 4 показан контур экранирования, рассчитанный для системы с A = 4,6, ω = 0,8°, Δ = 0,153.
0,025 0,020 0,015 0,010 0,005
0
0,01
0,02
0,03
0,04
Ед. фокусного расстояния
0,05
Рис. 4. Экранирование входного зрачка “конусом центрального отверстия” в планоидном зеркале. а – полный контур экранирования, состоящий из перекрывающихся проекций “конуса центрального отверстия” пучком лучей до и после отражения от пла ноидного з еркала, б – половина контура заштрихованной области (см. рис. 4а) для системы с А = 4,6, ω = 0,8°, ∆ = 0,153, развернутая на 90° по часовой стрелке. Координаты по осям выр ажены в долях фокусного расстояния системы. Максимальное значение по оси ординат соответствует радиусу центрального отверстия в планоидном зеркале.
Для расчета экранирования достаточно вычислить следующее выражение для площади фигуры, показанной на рис. 4а,
òSobs
=
2
Y 0
¢
Yc
(Xc
)dXc
+
h2π 2
.
(11)
Интеграл в выражении (11) представляет собой площадь одной из ветвей контура, показанной на рис. 4б. Для вычисления интеграла тре буется выразить функцию Yс(Xс) и вычислить верхний предел интегрирования Y′, являю щийся корнем уравнения
Xc(Yc )= 0.
(12)
Уравнение (12), полученное из (6), представляет собой полином четвертой степени Yс, ко-
32 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
эффициенты которого имеют настолько сложный вид, что аналитическое решение не представляется возможным. Значительно проще найти решение численно, положив в качестве начального значения Y′ следующую величину:
Y0 max
=
-2h
cos2θcscæçèçç
Dâõ.ç./2 f
ωf
-
θ÷øö÷÷.
(13)
Представляет интерес исследование зависимости экранирования входного зрачка “конусом центрального отверстия” от таких геометрических параметров, как вынос фокальной плоскости Δ, поле зрения 2ω, относительное отверстие системы A. При этом, угол между падающим и отраженным от зеркального планоида пучками θ должен рассчитываться по формуле:
θ
£
Dâõ.ç. ( Dâõ.ç.
A -
+ 2ω) 2A∆
.
(14)
На рис. 5 показана зависимость экраниро-
вания входного зрачка от полевого угла ω при фиксированном значении относительного отверстия A = 1:4,5, полем зрения ω = 0,5° и выноса фокальной плоскости за планоидную поверхность Δ = 0,139f. При создании каждого графика два значения фиксировались, а вели-
чина θ пересчитывалась по формуле (14). Таким образом, в достаточно широких диа-
пазонах значений основных конструктивных
параметров оптической системы “зеркальный Райт” экранирование по площади входного зрачка “конусом центрального отверстия”
не превышает критические 13–15% площади
входного зрачка.
Зависимость геометрических параметров “переднего экрана” от конструктивных параметров системы
“зеркальный Райт”
“Передний экран” не вносит дополнительного экранирования входного зрачка. Но его положение в пространстве и геометрические размеры зависят от геометрии “конуса центрального отверстия” и “люка” в трубе, задаваемой выражениями соответственно (6) и (3). Предельно малый угол θ делает положение и размеры “переднего экрана” очень чувствительными к малейшему изменению любого из конструктивных параметров – относительному отверстию, полю зрения и положению фокальной плоскости. Эти зависимости также требуют
Отн. экранирование
Отн. экранирование
Отн. экранирование
0,12 (а)
0,10 0,08 0,06 0,04 0,02
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Полевой угол , угл. град. 0,10 (б)
0,08
0,06
0,04
0,02
1
0,05
0,10
0,15
Ед. фокусного расстояния
0,25 (в)
0,20
0,15
0,10
0,05
0,20
0,1 0,2
0,3 0,4
Относительное отверстие системы
Рис. 5. Зависимость экранирования входного зрачка в системе “зеркальный Райт” от конструктивных параметров. а – от полевого угла ω (градусы) при относительном отверстии А = 1:4,5 и выносе фокальной плоскости за планоидную поверхность ∆ = 1,139f, б – от выноса фокальной плоскости за планоидную поверхность при относительном отверстии А = 1,45 и полевом угле ω = 0,5°, в – от относительного отверстия системы при выносе фокальной плоскости за планоидную поверхность ∆ = 1,139f и полевом угле ω = 0,5°.
изучения, как и экранирование входного зрачка в предыдущем разделе. Основной интерес представляет зависимость размеров и положения переднего экрана от направления луча – y′lm (рис. 1). При увеличении угла пересечения конуса лучей, отраженных от главного
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
33
зеркала и цилиндра с диаметром основания, равным центральному отверстию (4), образующих “ конус центрального отверстия”, уменьшается длина конуса kl и экранирование (11) входного зрачка. Но при этом угол луча – y′lm с осью предметного пучка становится меньше, что приводит к увеличению длины системы, поскольку расстояние nm растет. Представляет интерес влияние длины конуса kl на размеры “переднего экрана” в направлении, перпендикулярном плоскости рис. 1, т. е. в направлении оси абсцисс рис. 2.
Для удобства представления расчетов введем угол Θ между пучком, отраженным от з еркального планоида, и осью цилиндра, который вырезает конус центрального отверстия. До этого мы рассматривали только случай Θ = θ, когда эта ось параллельна падающему пучку. Но если Θ > θ, то длина конуса центрального отверстия уменьшится, соответственно, уменьшится и экранирование входного зрачка. Графики зависимости экранирования входного зрачка, длины и поперечных размеров переднего экрана в объективе “зеркальный Райт” с конструктивными параметрами, рассматриваемыми выше, приведены на рис. 6.
Как следует из рис. 6, увеличение угла Θ всего на 1° позволяет уменьшить экранирование входного зрачка с 9% до 7,4%. Но при этом ближайшее возможное положение переднего экрана увеличивается в 15 раз, до 6f′, а ширина экрана увеличивается почти втрое, до 0,6f′ уже при Θ = 16,8°. Следует отметить, что уменьшение расстояния от главного зеркала до переднего экрана при заданном Θ приведет к экранированию входного зрачка или к появлению области паразитной засветки, что недопустимо.
Выводы
Для исследования геомерии светозащитных бленд оптической системы “зеркальный Райт” с малым углом наклона планоидного зеркала применен аналитический метод расчета. Формы и взаимное расположение в пространстве двух светозащитных бленд – “трубы” и “конуса центрального отверстия” в планоидном зеркале, а также светозащищенной фокальной плоскости были заданы в явном виде из конструктивных параметров оптической системы. Форму и расположение в пространстве третьей бленды (“переднего экрана”) также оказалось возможно рассчитать методами анали-
Ед. фокусного расстояния Ед. фокусного расстояния
Отн. экранирование
0,086
(а)
0,082
0,078
0,074 16,2
16,4
16,6
16,8
17,0
17,2
6 (б)
5 4 3 2
1 0 16,2
16,4
16,6
16,8
17,0
17,2
(в)
0,6
0,5
0,4
0,3
16,2
16,3
16,4
16,5 16,6
16,7 16,8
Угол , град.
Рис. 6. Исследование зависимости геометрических параметров “переднего экрана” в системе “зеркальный Райт” от формы “конуса центрального отверстия”. По оси абсцисс отложено значение угла θ между осью цилиндра, вырезающего конус центрального отверстия, и осью пучка, отраженного от зеркального планоида. При θ = 16,2° ось цилиндра совпадает с предметным пучком. а – экранирование входного зрачка “конусом центрального отверстия”, б – расстояние mn от точки пересечения предметного и отраженного пучков до плоскости переднего экрана, рассчитанное в единицах фокусного расстояния, в – половина ширины переднего экрана в направлении, перпендикулярном плоскости симметрии системы, выраженная в единицах фокусного расстояния.
тической геометрии и, следовательно, связать с конструктивными параметрами оптической системы. Такой подход представляется более удобным при исследовании геометрии систем
34 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
светозащиты в малоизученных оптических системах, в первую очередь, зеркальных вне осевых, по сравнению с традиционными методами трассировки лучей в оптических CADп рограммах.
Представляет интерес разработка аналогичного метода расчета светозащитных бленд в системе “зеркальный Шмидт” и “зеркальный Шмидт–Кассегрен” с малым углом наклона зеркального планоида.
* * * * *
Литература
1. Чупраков С.А., Бородин А.Н. Широкоугольный зеркальный объектив телескопа // Патент РФ № 2215314. 2003.
2. Чупраков С.А. Зеркальные объективы, основанные на применении центрально-симметричных планоидных зеркал // Оптический журнал. 2007. Т. 74. № 9. С. 45–49.
3. Чупраков С.А. Оптические системы на основе децентрированных, центрально-симметричных планоидных поверхностей // Автореф. канд. дис.: CПбГУ ИТМО. 2008. 23 с.
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
35
РАСЧЕТ СВЕТОЗАЩИТНЫХ БЛЕНД В ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ “ЗЕРКАЛЬНЫЙ РАЙТ” С МАЛЫМ УГЛОМ НАКЛОНА ЗЕРКАЛЬНОГО ПЛАНОИДА
© 2011 г.
С. А. Чупраков, канд. техн. наук Институт солнечно-земной физики СО РАН, г. Иркутск Е-mail: chupr@iszf.irk.ru
Рассмотрены конструкции бленд для предотвращения попадания засветки нулевого порядка в фокальную плоскость системы “зеркальный Райт”. Бленды имеют вид трубы с “люком” для предметного пучка, “конуса центрального отверстия” в планоидном зеркале и “переднего экрана”. Форма “люка”, “конуса центрального отверстия” и окружность фокальной плоскости задают две линейчатые поверхности, с помощью которых можно приближенно определить геометрию “переднего экрана”.
Ключевые слова: светозащита, бленды, двухзеркальные оптические системы.
Коды OCIS: 220.2740
Поступила в редакцию 02.11.2010
В зеркальных оптических системах существует проблема защиты фокальной плоскости от попадания прямой засветки – лучей, которые до пересечения с рабочей фокальной плоскостью не пересекали входной зрачок в конусе угла поля зрения. Расчет геометрии с ветозащитных бленд проводится методом трассировки лучей и для известных оптических систем является инженерной задачей, решаемой распространенными оптическими CAD-пакетами, такими как ZEMAX и т. п. Вместе с тем существуют задачи определения связи геометрических параметров светозащитных бленд (формы, размеров, р асположения в пространстве) с гео метрическими параметрами малоизвестных зеркальных схем, когда требуется выяснить, решаема ли проблема светозащиты вообще, и каковы должны быть взаимные расположения зеркал, их светосила и поле зрения, чтобы светозащита была осуществима. Для решения таких задач методом трассировки лучей потребовались бы расчеты очень большого количества систем, в которых интересующие параметры перебирались бы с достаточным шагом, независимо друг от друга, а полученные результаты аппроксимировались специально подобранными функциями, связывающими их с перебираемыми параметрами. Такой способ, по понятным причинам, очень трудоемок и малоэффективен, несмотря
на большие возможности современной вычислительной техники. Поэтому, для первоначальных исследований геометрии светозащитных бленд в малоизвестных оптических схемах, целесообразно воспользоваться методами аналитической геометрии в той мере, в которой это позволяет сложность получаемых выражений.
Геометрия светозащитных бленд
В системе “зеркальный Райт” фокальная плоскость подвержена прямой засветке через отверстие в планоидном зеркале. Если не принимать никаких мер, то наблюдения в дневное время становятся невозможны точно так же, как и в других двухзеркальных системах – кассегреновского и грегорианского типа. Для устранения засветки применяются три бленды:
1. собственно “труба” с люком, контур которого представляет собой линию пересечения в первом приближении двух цилиндров;
2. “конус центрального отверстия”, представляющий собой пересечение конуса лучей, отраженных от главного зеркала, и цилиндра c радиусом, равным радиусу центрального отв ерстия в планоидном зеркале, ось которого п араллельна оси предметного пучка;
28 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
3. “передний экран”, установленный по ходу предметного пучка на некотором расстоянии перед вогнутым зеркалом.
В работах [1, 2] была приближенно определена геометрия описанной системы светозащиты – длина “конуса” kl и расстояние nm, а по существу только точка m. В дальнейшем, пространственная форма “конуса” была уточнена, но оставалась неизвестной форма и геометрические размеры “переднего экрана”.
Геометрия “трубы” и “конуса центрального отверстия” определяются достаточно произвольно. Они могут иметь и другую форму. Например, вместо трубы можно исполь зовать параллелепипед, а цилиндр, пересе кающий “конус центрального отверстия”, может быть не параллелен предметному пучку. Также конус может быть вырезан не цилиндром, а пересечен плоскостью и т. п. Поле зрения, страдающее от засветки, может иметь не круглую форму, а представлять собой произвольно ориентированный прямоугольник и даже несколько прямоугольников (крупные современные матричные фотоприемники делают составными). Таким образом, форма “люка” для предметного пучка, “конуса центрального отверстия” и форма фокальной плоскости однозначно определяют форму и положение в пространстве “переднего экрана” и к нему мо-
жет быть применена методика расчета, в целом сходная с описанной.
Все расчеты ведутся в следующей системе координат. Начало координат расположено в вершине планоидной поверхности, плоскость симметрии системы – YZ, положительное направление оси Z – от планоида к главному зеркалу, оптическая ось главного зеркала совпадает с осью Z. Очевидно, что координаты контура “люка” рассчитываются из уравнений двух цилиндров
ççæçè
X R1
ö÷÷÷ø÷2
+
æççèçç
Y R1
÷÷÷÷øö2
=
1,
èæççç
X R2
÷÷ø÷÷ö2
+
çççèæ
Y R2
øö÷÷÷÷2
=
1
(1)
при условии разворота цилиндра с радиусом образующей R1 вокруг вершины координат на угол θ в плоскости YZ
Y = Ycosθ + Zsinθ,
(2)
R2 – радиус образующей второго цилиндра, ось которого совпадает с осью Z. Выражения для координат XT и YT можно записать как функции координаты ZT, т. е. расстояния от вершины планоидного зеркала
XT
=
-
1 2
( ( ) ( ))-cscθ3 sinθ R22 -4R12 + 5ZT2 -8ZTcosθsinθ R22 - R12 + ZT2 + sin3θ R22 + ZT2 ,
YT = ZTctgθ - cscθ2sinθ R22- R12 + ZT2 .
(3)
Контур светозащитного “конуса центрального отверстия” рассчитывается из уравнений конуса лучей, отраженных от главного зеркала и цилиндра, радиус которого равен радиусу центрального отверстия в планоидном зеркале
èçççæ
X h
÷÷÷øö2
+
çççèæ
Y h
ø÷÷÷ö2
=
èçççæ
Z
+ c
c
ø÷÷÷ö2,
èçççæ
X h
ø÷÷÷ö2
+
èççççæ
Y h
ø÷÷÷÷ö2
=
1
(4)
так же при условии разворота цилиндра с радиусом образующей R1 вокруг вершины координат на угол θ в плоскости YZ (см. выше),
с – расстояние от вершины планоидного зеркала до точки схода конуса, рассчитываемое по формуле
c
=
∆
+
f2ω Dâõ.ç./2 -
fω,
(5)
где Dвх.з. – диаметр входного зрачка (зеркального планоида), f – фокусное расстояние главного зеркала, ω – половина угла поля зрения, Δ – вынос фокальной плоскости за поверхность зеркального планоида. Выражения для коор динат XС и YС можно записать как функции координаты ZС, т. е. расстояния от вершины планоидного зеркала
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
29
XC =
( ( ))= -12 cscθ3 èççæçZCèççæç5ZCc2 + 4h2sinθ2(2c + ZC )-4c3h2sinθ3 + ZC èçççæc3ZCsin3θ-8cosθ c2ZCsinθ2 2ch2 + ZC c2 + h2 ø÷÷ö÷ø÷÷÷öø÷÷÷÷ö,
( ( ))cscθ2
YC = ZCctgθ-
c2ZCsinθ2 2ch2 + ZC c2 + h2 c2
.
(6)
Очевидно, что граница тени является огибающей семейства кривых, представляющих собой центральную проекцию кривых (3) и (6), если центрами проецирования являются точки, лежащие на окружности, ограничивающей рабочую фокальную плоскость, на плоскость, перпендикулярную оптической оси и пересекающую предметный пучок в точке m (рис. 1а). Те участки этой плоскости, на которые лучи, выпущенные из точек, лежащих на окружности, ограничивающей фокальную плоскость, не попадают, могут быть удалены. Таким образом “передний экран” как бы “вырезается” двумя тенями – от “люка” и “конуса центрального отверстия”, и представляет собой световое пят-
но, которое было бы видимо на указанной плоскости, если бы окружность фокальной плоскости представляла собой “ламбертовский источник”.
Легко предположить, что для расчета выше упомянутой огибающей достаточно для каждой точки пространственных кривых (3) и (6) рассчитывать единственный луч, выпущенный из точки окружности фокальной плоскости, максимально удаленный в плоскости XY от точек (XC, YC) (6) и (XТ, YТ) (3). Очевидно, что проекция этого луча в плоскости XY пройдет через центр окружности, ограничивающей рабочую фокальную плоскость.
Для нахождения “переднего экрана” можно воспользоваться следующими упрощениями:
(а)
m n
ky l –y
–k
(б) (в)
Рис. 1. Конструкция системы светозащиты в “зеркальном Райте”. а – сечение плоскостью симметрии зеркального планоида (наиболее уязвимая для засветки точка (–y′) поля зрения (–y′y), б – труба с выходным “люком” для предметного пучка, представляющего собой линию пересечения двух цилиндров, в – “конус центрального отверстия”, представляющий собой конус лучей, отраженных главным зеркалом, и цилиндра с основанием, диаметр которого равен центральному отверстию.
30 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
1. Контуры теней от “люка” и “конуса центрального отверстия” представляют собой линейчатые поверхности.
2. Образующими линейчатых поверхностей являются: для “люка” – окружность поля зрения и линия, заданная точками (XT, YT, ZT), а для “конуса центрального отверстия” – также окружность поля зрения и линия, заданная точками (XС, YС, ZС).
3. Направляющие линейчатых поверхностей проходят через две точки, являющиеся точками пересечения образующих и плоскости, поворачивающейся вокруг оси главного зеркала. Данная плоскость будет пересекать каждую образующую в двух точках. Для расчетов берутся точки, расположенные по разные стороны от оси поворота плоскости (т. е. от оптической оси).
Сложный вид формул для (XT, YT, ZT) и (XС, YС, ZС) не позволяет найти точки пересечения контуров “люка” и “конуса центрального отверстия” с заданной плоскостью напрямую. Такой расчет представляет собой задачу пересечения трех поверхностей, поэтому для простоты расчеты велись следующим образом. Вначале задавалась точка (X, Y, Z), принад- лежащая контуру, затем через оптическую ось и эту точку проводилась плоскость. Соответствующие точки фокальной плоскости для “конуса центрального отверстия” находятся по формулам
xc =
-XCyf , XC2 + YC2
yc =
-YCyf , XC2 + YC2
(7)
а для “люка” по формулам:
xt =
-XT yf , XT2 + YT2
yt =
-YT yf , XT2 + YT2
(8)
где yf – радиус окружности фокальной плоскости. Значение zc = zt принимается равным –Δ. Экран расположен на расстоянии R > (f – Δ) от вершины планоидного зеркала. Координаты контуров тени находятся по формулам для “ конуса центрального отверстия”
xc
=
XC
+
(xc
-
XC
)ZZCC
-R +∆
,
yc
=
YC
+
(yc
-
YC
)ZZCC
+
R ∆
и для “люка”
(9)
xt
=
XT
+
(xt
-
XT)ZZTT
+
R ∆
,
yt
=
YT
+
(
yt
-
YT
)
ZT ZT
-R +∆
.
(10)
Таким образом, зная конструктивные пара
метры “зеркального Райта”:
1. Dвх.з. – диаметр входного зрачка (зеркального планоида),
2. f – фокусное расстояние главного зеркала,
3. ω – половину угла поля зрения,
4. Δ – вынос фокальной плоскости за поверхность зеркального планоида,
можно определить уравнения лучей, выпу-
щенных из точек, лежащих на окружности,
ограничивающей фокальную плоскость, и
пересекающих контуры, задаваемые уравне-
ниями (3) и (6). В дальнейшем, положение и
форма “переднего экрана” будет определяться
этими прямыми и поверхностью, которую они
пересекают. В данной работе эта поверхность,
как уже упоминалось, является плоскостью
XY, перпендикулярной оси вогнутого зеркала
и расположенной таким образом, что она пере-
секает предметный пучок в точке m (рис. 1).
На рис. 2 показаны контуры пересечения
рассмотренных линейчатых поверхностей:
1 – от “конуса центрального отверстия”, 2 –
от “люка”, расположенные на упомянутой
плоскости.
Рисунок получен для системы со следую-
щими параметрами: Dвх.з. = 150, f = 720, ω = = 0,8°, Δ = 110, R1 = 156, R2 = 182. Область, ограниченная пересекающимися линиями (1)
Миллиметры
1 140 2 130
120 110 100 90
– 100
– 80 – 60 – 40
Миллиметры
– 20
0
Рис. 2. Контуры пересечения линейчатых поверхностей с плоскостью, перпендикулярной
оптической оси и отстоящей от начала координат на расстояние до точки “m” (см. рис. 1а).
Начало координат соответствует точке пере-
сечения плоскости предметным пучком в точке “m”.
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
31
(а)
(б)
Ед. фокусного расстояния
Рис. 3. Результат пространственного моделирования области, ограниченной кривыми, приведенными на рис. 2.
и (2) является “передним экраном” “зеркального Райта”. На рис. 3 показан результат мо делирования “переднего экрана” для указанных конструктивных параметров.
В действительности контур будет иметь форму, слегка отличающуюся от рассчитываемой по предлагаемой методике из-за того, что реальные “труба” с люком и “конус централь ного отверстия” имеют конечную толщину. Таким образом, уравнения (3), (6), (9) и (10) позволяют исследовать поведение геометрических параметров светозащитных бленд в сис теме “зеркальный Райт” в зависимости от относительного отверстия, положения фокальной плоскости и поля зрения.
Расчет экранирования входного зрачка
Как уже отмечалось автором [3], конус центрального отверстия увеличивает экранирование входного зрачка из-за того, что внешняя сторона конуса центрального отверстия “перегораживает” лучи, отраженные от планоидного зеркала. В результате контур экранирования представляет собой фигуру, состоящую из двух частей – полуокружности c диаметром, равным центральному отверстию, и проекции линии, заданной выражениями (6) на плоскость входного зрачка пучком лучей, параллельных оси вогнутого зеркала. Полуокружность – проекция этой же линии на плоскость входного зрачка, но падающим предметным пучком до отражения от зеркального планоида. На рис. 4 показан контур экранирования, рассчитанный для системы с A = 4,6, ω = 0,8°, Δ = 0,153.
0,025 0,020 0,015 0,010 0,005
0
0,01
0,02
0,03
0,04
Ед. фокусного расстояния
0,05
Рис. 4. Экранирование входного зрачка “конусом центрального отверстия” в планоидном зеркале. а – полный контур экранирования, состоящий из перекрывающихся проекций “конуса центрального отверстия” пучком лучей до и после отражения от пла ноидного з еркала, б – половина контура заштрихованной области (см. рис. 4а) для системы с А = 4,6, ω = 0,8°, ∆ = 0,153, развернутая на 90° по часовой стрелке. Координаты по осям выр ажены в долях фокусного расстояния системы. Максимальное значение по оси ординат соответствует радиусу центрального отверстия в планоидном зеркале.
Для расчета экранирования достаточно вычислить следующее выражение для площади фигуры, показанной на рис. 4а,
òSobs
=
2
Y 0
¢
Yc
(Xc
)dXc
+
h2π 2
.
(11)
Интеграл в выражении (11) представляет собой площадь одной из ветвей контура, показанной на рис. 4б. Для вычисления интеграла тре буется выразить функцию Yс(Xс) и вычислить верхний предел интегрирования Y′, являю щийся корнем уравнения
Xc(Yc )= 0.
(12)
Уравнение (12), полученное из (6), представляет собой полином четвертой степени Yс, ко-
32 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
эффициенты которого имеют настолько сложный вид, что аналитическое решение не представляется возможным. Значительно проще найти решение численно, положив в качестве начального значения Y′ следующую величину:
Y0 max
=
-2h
cos2θcscæçèçç
Dâõ.ç./2 f
ωf
-
θ÷øö÷÷.
(13)
Представляет интерес исследование зависимости экранирования входного зрачка “конусом центрального отверстия” от таких геометрических параметров, как вынос фокальной плоскости Δ, поле зрения 2ω, относительное отверстие системы A. При этом, угол между падающим и отраженным от зеркального планоида пучками θ должен рассчитываться по формуле:
θ
£
Dâõ.ç. ( Dâõ.ç.
A -
+ 2ω) 2A∆
.
(14)
На рис. 5 показана зависимость экраниро-
вания входного зрачка от полевого угла ω при фиксированном значении относительного отверстия A = 1:4,5, полем зрения ω = 0,5° и выноса фокальной плоскости за планоидную поверхность Δ = 0,139f. При создании каждого графика два значения фиксировались, а вели-
чина θ пересчитывалась по формуле (14). Таким образом, в достаточно широких диа-
пазонах значений основных конструктивных
параметров оптической системы “зеркальный Райт” экранирование по площади входного зрачка “конусом центрального отверстия”
не превышает критические 13–15% площади
входного зрачка.
Зависимость геометрических параметров “переднего экрана” от конструктивных параметров системы
“зеркальный Райт”
“Передний экран” не вносит дополнительного экранирования входного зрачка. Но его положение в пространстве и геометрические размеры зависят от геометрии “конуса центрального отверстия” и “люка” в трубе, задаваемой выражениями соответственно (6) и (3). Предельно малый угол θ делает положение и размеры “переднего экрана” очень чувствительными к малейшему изменению любого из конструктивных параметров – относительному отверстию, полю зрения и положению фокальной плоскости. Эти зависимости также требуют
Отн. экранирование
Отн. экранирование
Отн. экранирование
0,12 (а)
0,10 0,08 0,06 0,04 0,02
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Полевой угол , угл. град. 0,10 (б)
0,08
0,06
0,04
0,02
1
0,05
0,10
0,15
Ед. фокусного расстояния
0,25 (в)
0,20
0,15
0,10
0,05
0,20
0,1 0,2
0,3 0,4
Относительное отверстие системы
Рис. 5. Зависимость экранирования входного зрачка в системе “зеркальный Райт” от конструктивных параметров. а – от полевого угла ω (градусы) при относительном отверстии А = 1:4,5 и выносе фокальной плоскости за планоидную поверхность ∆ = 1,139f, б – от выноса фокальной плоскости за планоидную поверхность при относительном отверстии А = 1,45 и полевом угле ω = 0,5°, в – от относительного отверстия системы при выносе фокальной плоскости за планоидную поверхность ∆ = 1,139f и полевом угле ω = 0,5°.
изучения, как и экранирование входного зрачка в предыдущем разделе. Основной интерес представляет зависимость размеров и положения переднего экрана от направления луча – y′lm (рис. 1). При увеличении угла пересечения конуса лучей, отраженных от главного
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
33
зеркала и цилиндра с диаметром основания, равным центральному отверстию (4), образующих “ конус центрального отверстия”, уменьшается длина конуса kl и экранирование (11) входного зрачка. Но при этом угол луча – y′lm с осью предметного пучка становится меньше, что приводит к увеличению длины системы, поскольку расстояние nm растет. Представляет интерес влияние длины конуса kl на размеры “переднего экрана” в направлении, перпендикулярном плоскости рис. 1, т. е. в направлении оси абсцисс рис. 2.
Для удобства представления расчетов введем угол Θ между пучком, отраженным от з еркального планоида, и осью цилиндра, который вырезает конус центрального отверстия. До этого мы рассматривали только случай Θ = θ, когда эта ось параллельна падающему пучку. Но если Θ > θ, то длина конуса центрального отверстия уменьшится, соответственно, уменьшится и экранирование входного зрачка. Графики зависимости экранирования входного зрачка, длины и поперечных размеров переднего экрана в объективе “зеркальный Райт” с конструктивными параметрами, рассматриваемыми выше, приведены на рис. 6.
Как следует из рис. 6, увеличение угла Θ всего на 1° позволяет уменьшить экранирование входного зрачка с 9% до 7,4%. Но при этом ближайшее возможное положение переднего экрана увеличивается в 15 раз, до 6f′, а ширина экрана увеличивается почти втрое, до 0,6f′ уже при Θ = 16,8°. Следует отметить, что уменьшение расстояния от главного зеркала до переднего экрана при заданном Θ приведет к экранированию входного зрачка или к появлению области паразитной засветки, что недопустимо.
Выводы
Для исследования геомерии светозащитных бленд оптической системы “зеркальный Райт” с малым углом наклона планоидного зеркала применен аналитический метод расчета. Формы и взаимное расположение в пространстве двух светозащитных бленд – “трубы” и “конуса центрального отверстия” в планоидном зеркале, а также светозащищенной фокальной плоскости были заданы в явном виде из конструктивных параметров оптической системы. Форму и расположение в пространстве третьей бленды (“переднего экрана”) также оказалось возможно рассчитать методами анали-
Ед. фокусного расстояния Ед. фокусного расстояния
Отн. экранирование
0,086
(а)
0,082
0,078
0,074 16,2
16,4
16,6
16,8
17,0
17,2
6 (б)
5 4 3 2
1 0 16,2
16,4
16,6
16,8
17,0
17,2
(в)
0,6
0,5
0,4
0,3
16,2
16,3
16,4
16,5 16,6
16,7 16,8
Угол , град.
Рис. 6. Исследование зависимости геометрических параметров “переднего экрана” в системе “зеркальный Райт” от формы “конуса центрального отверстия”. По оси абсцисс отложено значение угла θ между осью цилиндра, вырезающего конус центрального отверстия, и осью пучка, отраженного от зеркального планоида. При θ = 16,2° ось цилиндра совпадает с предметным пучком. а – экранирование входного зрачка “конусом центрального отверстия”, б – расстояние mn от точки пересечения предметного и отраженного пучков до плоскости переднего экрана, рассчитанное в единицах фокусного расстояния, в – половина ширины переднего экрана в направлении, перпендикулярном плоскости симметрии системы, выраженная в единицах фокусного расстояния.
тической геометрии и, следовательно, связать с конструктивными параметрами оптической системы. Такой подход представляется более удобным при исследовании геометрии систем
34 “Оптический журнал”, 78, 11, 2011
светозащиты в малоизученных оптических системах, в первую очередь, зеркальных вне осевых, по сравнению с традиционными методами трассировки лучей в оптических CADп рограммах.
Представляет интерес разработка аналогичного метода расчета светозащитных бленд в системе “зеркальный Шмидт” и “зеркальный Шмидт–Кассегрен” с малым углом наклона зеркального планоида.
* * * * *
Литература
1. Чупраков С.А., Бородин А.Н. Широкоугольный зеркальный объектив телескопа // Патент РФ № 2215314. 2003.
2. Чупраков С.А. Зеркальные объективы, основанные на применении центрально-симметричных планоидных зеркал // Оптический журнал. 2007. Т. 74. № 9. С. 45–49.
3. Чупраков С.А. Оптические системы на основе децентрированных, центрально-симметричных планоидных поверхностей // Автореф. канд. дис.: CПбГУ ИТМО. 2008. 23 с.
“Оптический журнал”, 78, 11, 2011
35