Например, Бобцов

Одно- и двухкомпонентные объективы, окуляры и конденсоры с асферическими поверхностями второго порядка

УДК 535.317
ОДНО- И ДВУХКОМПОНЕНТНЫЕ ОБЪЕКТИВЫ, ОКУЛЯРЫ И КОНДЕНСОРЫ С АСФЕРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

© 2012 г. Л. Н. Андреев, доктор техн. наук; В. В. Ежова, аспирант Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
Е-mail: evv_foist@mail.ru
Рассмотрены принципиальные оптические схемы и методика расчета систем с  асферическими поверхностями второго порядка. Для иллюстрации приводятся конструктивные элементы и результаты аберрационного расчета.
Ключевые слова: объектив, окуляр, конденсор, асферические поверхности, аберрации.

Коды OCIS: 180.0180, 110.0180.

Поступила в редакцию 09.11.2011.

Применение асферических поверхностей в  оптических системах позволяет повысить их оптические характеристики (относительное отверстие, угловое поле и др.), улучшить качество изображения (коррекцию аберраций), упростить оптическую схему (сократить количество линз). Общая теория аберраций третьего порядка оптических систем, содержащих линзы с асферическими поверхностями второго порядка, рассмотрена в [1,  2]. Относительное отверстие двухлинзовых склеенных объективов при удовлетворительной коррекции аберраций не превышает D/f  = = 1:5–1:4. Окуляры современных микроскопов также требуют улучшения качества изображения. Достаточно велики аберрации изображения, образованного конденсорами, рассчитанными на минимум сферической аберрации. Даже одна асферическая поверхность второго порядка позволяет существенно улучшить параметры названных оптических систем и повысить качество образованного ими изображения.
Методика расчета
Расчет однокомпонентного объектива. У  двухлинзовых склеенных объективов коррекции подлежат: сферическая аберрация, кома и хроматизм положения. Коэффициенты аберраций третьего порядка S1 и S2, определяющих сферическую аберрацию и кому для тонкого компонента [1], определяются как S1  =  P

и  S2  =  HP  +  W, где W и P  – основные параметры компонента, H  – приведенная высота пересечения второго параксиального луча с  компонентом. Решая систему уравнений относительно основных параметров тонкого компонента, находим, что S1  =  P  =  0 и S2 = HP + W = 0. При этом W = 0 и P = 0.
В табл.  1 приведена зависимость основных параметров компонента P и W от формы и показателя преломления стекла n [5].

Показатель преломления, n

Таблица 1. Зависимость основных параметров компонента P и W от формы и показателя преломления стекла n

Форма линзы

Выпуклоплоская

Двояковыпуклая

Плосковыпуклая

WPWPWP

1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

–0,78 –0,53 –0,33 –0,17 –0,03 0,07 0,16 0,24 0,30 0,37 0,42 0,46 0,50

3,68 2,90 2,32 1,96 1,62 1,50 1,36 1,26 1,17 1,11 1,06 1,03 1,00

1,36 1,35 1,33 1,32 1,31 1,30 1,29 1,28 1,28 1,27 1,27 1,26 1,25

4,15 3,68 3,32 3,07 2,84 2,66 2,52 2,39 2,38 2,33 2,27 2,21 2,00

3,50 3,22 3,00 2,82 2,67 2,54 2,43 2,33 2,25 2,18 2,11 2,05 2,00

12,25 10,37 9,00 7,94 7,11 6,44 5,90 5,44 5,06 4,74 4,46 4,21 4,00

10 “Оптический журнал”, 79, 5, 2012

Асферическая поверхность
F′
Хроматическая поверхность
Рис. 1. Оптическая схема однокомпонентного объектива.
В качестве исходной оптической системы выбирается выпукло-плоская линза из стекла с показателем преломления n  =  1,60–1,65, обращенная выпуклой поверхностью к плоскости предмета (рис.  1). У  такой линзы, как видно из табл. 1, сферическая аберрация близка к  минимуму (P), а кома  – к нулю (W). Расчет объектива ведется в следующей последовательности [6]. Определяется радиус кривизны первой поверхности линзы
r1 = f ¢(n -1), где f′ – фокусное расстояние объектива, n – показатель преломления стекла.
Для ахроматизации изображения в систему вводится одна или две “хроматические” поверхности, разделяющие оптические среды, у которых показатели преломления для основной длины волны близки, а коэффициенты средней дисперсии различны. Наиболее широкое применение находят комбинации стекол СТК9-ТФ4 и ТК16-Ф1.
Для апохроматической коррекции аберраций в качестве оптических сред линз следует использовать пары стекол, у которых кроме равенства показателей преломления и неравенства коэффициентов средней дисперсии равны относительные частные дисперсии. Для примера можно назвать такие пары стекол, как ОК1-ОФ1, ОК4-ЛК1.
В табл.  2 приведены оптические константы “хроматических” и “хроматическо-апохроматических” пар стекол  – показатель преломления стекла n, коэффициент средней дисперсии n, относительная частная дисперсия p. Оптические константы приведены для длины волны l = 546,07 нм.

Таблица 2. Оптические константы “хроматических” и “хроматическо-апохроматических” ком-
бинаций стекол

Марки Показатель Средняя Относительная стекла преломления, дисперсия, частная
n n дисперсия, p

ОФ3 ТК14 ТК16

1,615730 1,615506 1,615193

43,89 60,35 58,10

0,514 0,509 0,511

ОФ1 ОК1

1,531924 1,523894

51,58 75,99

0,512 0,509

ЛК1 ОК4

1,441384 1,448503

68,60 91,57

0,507 0,507

СТК3 ОФ4

1,662239 1,654189

57,11 43,26

0,511 0,515

СТК9 ТФ4

1,746048 1,746231

50,05 27,95

0,512 0,528

Радиус кривизны “хроматической” поверхности определяется из условия ахроматизации, используя выражение

rõð

=

-(n1

- n2 n2

)

(n

-1)f

¢,

где n1 и n2 – коэффициенты средней дисперсии, n  – показатель преломления для средней

длины волны стекол, f′  – фокусное расстояние

объектива.

Для окончательной коррекции сферической

аберрации первая сферическая поверхность

­заменяется асферической поверхностью вто­

рого порядка с уравнением

( )y2 = 2r0z- 1- e2 z2,

где r0 – радиус кривизны при вершине поверхности, е2  – квадрат эксцентриситета поверхности, y, z  – координаты асферической поверхности. Далее путем оптимизации величин е2 и  “хроматического” радиуса добиваются оптимальной коррекции аберраций объектива.
Расчет двухкомпонентного объектива. Оптическая схема такого объектива (рис.  2) включает одиночную линзу с асферической поверхностью, перед которой расположена плоскопараллельная пластинка, склеенная из “хроматической” или “хроматическо-апохроматической” комбинации стекол. Расчет одиночной линзы выполняется так же как в первом случае, а радиус “хроматической” поверхности определяется из условия ахроматизации

“Оптический журнал”, 79, 5, 2012

11

Асферическая поверхность Хроматическая поверхность
F′

Полевая диафрагма

Асферическая поверхность

F′

Выходной зрачок
Р′

Хроматическая поверхность
Рис. 3. Оптическая схема двухлинзового окуляра.

Плоскопараллельная пластинка
Рис. 2. Оптическая схема двухкомпонентного объектива.
rõð = -f ¢(dn2 -dn1)n3,
где f′ – фокусное расстояние объектива, dn1 и  dn2  – средние дисперсии стекол линз пластинки, ν3  – коэффициент средней дисперсии одиночной линзы. Заметим, что кривизна поверхности и астигматизм у объективов с асферической поверхностью, как и у двухлинзовых склеенных объективов со сферическими поверхностями.
Расчет окуляра. У окуляров микроскопа коррекции подлежат полевые аберрации: астигматизм, дисторсия и хроматизм увеличения. Аберрации точки на оси незначительны из-за малости относительного отверстия окуляров [4]. Из рассмотрения коэффициентов аберраций третьего порядка S3 и S5, определяющих астигматизм и дисторсию тонкого компонента [1], следует, что
S3 = H2P + 2HW +1, S5 = H3P + 3H2W + 3,7H.
Решив систему уравнений относительно основных параметров тонкого компонента, находим
S3 = P -2W +1 = 0, S5 = -P + 3W -3,7 = 0,
при W = 2,7 и P = 4,4. Наиболее близко этим требованиям удовлет-
воряет плоско-выпуклая линза из стекла с показателем преломления n = 1,6–1,7 и обращенная плоской поверхностью к выходному зрачку [5] (табл. 1).

Полевая диафрагма

Асферическая поверхность

F′

Выходной зрачок
Р′

Хроматическая поверхность
Рис. 4. Оптическая схема трехлинзового окуляра.

Радиус первой поверхности окуляра определяется из выражения

r1

=

f

¢(n

-1)

=

250 G

(n

-1),

где f′ – фокусное расстояние окуляра, G–  – ви-

димое увеличение окуляра. Далее, путем асфе-

ризации первой поверхности линзы и интерпо-

ляции е2 добиваемся необходимой коррекции

астигматизма и дисторсии. Хроматизм уве-

личения исправляется путем введения одной

или двух “хроматических” поверхностей. Оп-

тические схемы рассчитанных окуляров при­

ведены на рис. 3 и 4.

Расчет конденсора. У конденсоров коррек-

ции подлежат сферическая аберрация и кома.

Наибольшее распространение получили кон-

денсоры, рассчитанные на минимум сфериче-

ской аберрации, однако у них кома достигает

значительных величин.

Конденсор в виде одной выпукло-плоской

линзы с асферической поверхностью рассчи-

тывается как однокомпонентный объектив

и обеспечивает удовлетворительную коррек-

цию при числовой апертуре не более А  ≤  0,5

(рис.  5). Для повышения числовой апертуры за

12 “Оптический журнал”, 79, 5, 2012

Асферическая поверхность

Асферическая поверхность

Апланатический мениск

F′ F′

Рис. 5. Оптическая схема однокомпонентного конденсора.

Рис. 6. Оптическая схема двухкомпонентного конденсора.

плоско-выпуклой линзой располагается апланатический мениск с линейным увеличением b  =  n× (рис.  6). Фокусное расстояние плосковыпуклой линзы определяется из выражения
fë¢ = fê¢ ×n,
где fл′ и fк′ – фокусные расстояния линзы и конденсора, соответственно, n  – показатель преломления стекла апланатического мениска. Числовая апертура конденсора в этом случае может быть увеличена до A = 0,6–0,8.
Результаты расчетов
В табл.  3 и 4 приведены конструктивные элементы и аберрации для точки на оси двухкомпонентного апохроматического объектива с  f′ = 100 мм, D/f′ = 1:2,5, 2w = 4° (рис. 2).
В табл.  5 и 6 приведены конструктивные элементы и аберрации главного луча однокомпонентного окуляра с G–  =  10×, 2y′  =  20  мм, ­вычисленного в обратном ходе лучей (рис. 4).
В табл.  7 и 8 приведены конструктивные элементы и аберрации двухкомпонентного конденсора с f′ = 30 мм, A = 0,75 (рис. 6).
Расчет всех приведенных систем был выполнен при их нахождении в воздухе.
Обозначения величин в табл. 3–8 [3]: h  – относительная зрачковая координата, Ds′  – продольная составляющая сферической аберрации, Dy′  – поперечная составляющая сферической аберрации, h – отступление от условия неизопланатизма, определяющее кому, SF¢ ¢ - SC¢ ¢  – сферохроматическая аберрация, s′  – угол пересечения апертурного луча с оптической осью, w – угол пересечения главного луча

Таблица 3. Конструктивные параметры (апохроматический объектив)

Радиусы, мм

Осевые расстояния, мм

Марки стекол

∞ 5 ТФ4 72 15 СТК9

∞ 61,3*


1 Воздух 7 ТК14 ——

* асферическая поверхность, е2 = 0,61.

Таблица 4. Аберрации точки на оси (апохроматический объектив)
h tgs′×102 Ds′, мм Dy′, мм h, %

20,00 17,32 14,14 10,00
0

20,65 17,79 14,45 10,16
0

0,003 0,006 0,006 0,004
0

0,001 0,001 0,001
0 0

0,02 0,01
0 0 0

Таблица 5. Конструктивные параметры (однокомпонентный окуляр)

Радиусы, мм

Осевые расстояния, мм

Марки стекол

18,624*

7

–30 3

30 5

0—

* асферическая поверхность, е2 = 1,23.

СТК9 ТФ4 СТК9


“Оптический журнал”, 79, 5, 2012

13

Таблица 6. Аберрации главного луча (однокомпонентный окуляр)

w

sp, мм

sp′′, мм

y′, мм

z′m

zs′

–21°

24,04

–170

9,718

–1,24

–1,24

–15°

22,36

–170

6,825

–0,58

–0,57

0

20,68

–170

0

0

0

zs′ – zm′ 0
0,01 0

Dy′/y′, % yF′ ′ – yC′ ′/y′, %

1,39

0,41

0,71

0

0 –0,43

Таблица 7. Конструктивные параметры (двухкомпонентный конденсор)

Радиусы, мм

Осевые расстояния, мм

Марки стекол

матизма, zs¢ - zm¢ – астигматизм, Dy¢/y¢ – относительная дисторсия, óF¢ ¢ - óC¢ ¢/y¢ – хроматизм увеличения.

34,24*

10

ТК14

0 1 Воздух

16,46 10 СТК9

15,89





* асферическая поверхность, е2 = 0,60.

Таблица 8. Аберрации точки на оси (двухкомпонентный конденсор)
h tgs′×102 Ds′, мм Dy′, мм h, %

22,50

14,00 –0,08 –0,09 –0,17

19,49

85,89 –0,04 –0,03 –0,24

15,91

64,79 –0,01 –0,01 –0,23

11,25

40,52

0

0 –0,15

0 0 00 0

с оптической осью, y′ – величина изображения, z′m  – меридиональная составляющая астигматизма, z′s  – сагиттальная составляющая астиг-

Заключение
Анализируя результаты выполненных вычислений отметим, что применение асферических поверхностей позволяет существенно повысить параметры оптических систем и  улучшить качество изображения. Применение даже одной асферической поверхности второго порядка в рассчитанных однокомпонентных и двухкомпонентных объективах позволило в  два раза увеличить относительное отверстие при удовлетворительном качестве изображения.
Рассчитанные окуляры для микроскопа обладают анастигматической и ортоскопической коррекцией аберраций (астигматизма, дисторсии и хроматизма увеличения) и увеличенным линейным полем (коэффициент видимого поля K = 2y′G– > 175), по сравнению с окуляром Гюйгенса.
Конденсоры с асферической поверхностью имеют существенно лучшую коррекцию аберраций и более простую конструкцию по сравнению с конденсорами, рассчитанными на минимум сферической аберрации.

* * * * *

ЛИТЕРАТУРА
1. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1989. 379 с. 2. Русинов М.М. Композиция оптических систем. Л.: Машиностроение, 1989. 383 с. 3. Вычислительная оптика. Справочник. Под общ. ред. М.М. Русинова. Издательство: Книжный дом
“ЛИБРИКОМ”, 2009. 423 с. 4. Панов В.А., Андреев Л.Н. Оптика микроскопов. Л.: Машиностроение, 1976. 432 с. 5. Андреев Л.Н. Прикладная теория аберраций: Учебное пособие. СПб.: ГИТМО (ТУ), 2002. 100 с. 6. Андреев Л.Н., Ежова В.В. Двухлинзовые склеенные объективы с асферической поверхностью второго по-
рядка // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2011. № 01(71). C. 134–136.
14 “Оптический журнал”, 79, 5, 2012