Например, Бобцов

Теоретическое определение закономерностей распределения давления на лопасть лопастных мешалок в ёмкостном оборудовании

УДК 663.093
Теоретическое определение закономерностей распределения давления на лопасть лопастных мешалок в ёмкостном оборудовании
Николаев Б.Л., Арет В.А., Николаев Л.К. lev.nikolaew@yandex.ru
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
В статье приводятся формулы для расчѐта: распределения давления по длине лопасти, определение точки максимального давления, вычисления результирующей силы сопротивления среды и точки приложения результирующей силы.
Ключевые слова: давление, лопасть, мешалка, ѐмкость, неньютоновские жидкости, результирующая сила, степенной закон, эффективная вязкость.
Theoretical determination of distribution normality’s of blade pressure of melting blades in volume tanks
Nikolaev B.L., Aret V.A., Nikolaev L.K.
lev.nikolaew@yandex.ru
The article describes formulas for the procedure: pressure distribution on at full length impeller blade, determination bearing maximum pressure, computing resulting resistance force surroundings and point of resulting force application
Key words: pressure, blade, mixer, capacity, non-nekton dripping, resulting force, power law, effective viscosity
В различных отраслях пищевой промышленности находят широкое применение процессы перемешивания в ѐмкостях с лопастными мешалками сред, обладающих неньютоновскими свойствами [1].
В данной работе рассмотрена задача по определению расходуемой энергии при перемешивании вязких сред в ѐмкостном оборудовании с лопастными мешалками шиберного типа. Задача решается для малого угла наклона лопасти при ламинарном режиме течения. Такие условия являются преобладающими при перемешивании вязких жидкостей.
Для расчѐта мощности, затрачиваемой на перемешивание вязких сред в ѐмкостях с лопастными мешалками шиберного типа и для прочностных расчѐтов этих мешалок необходимо знать распределение давления по длине

лопасти и точку приложения результирующей силы. В известных работах [2÷4] по определению расходуемой энергии с использованием лопастных мешалок, но не шиберного типа, не уделялось должного внимания теоретическому нахождению точки приложения результирующей силы сопротивления обрабатываемой среды и распределению давления по длине лопасти для неньютоновских сред. Это создавало определѐнный пробел в теории данного вопроса. В данной работе предпринята попытка решить данную задачу теоретически.
Примем следующие допущения. Угол наклона лопасти к стенке ѐмкости будем считать малым, то есть не превышающим 15°. Примем также, что диаметр ѐмкости много больше, чем длина лопасти, поэтому стенку ѐмкости на участке, равном длине лопасти, приближѐнно можно считать плоскостью.
На рис 1. схематически изображена стенка ѐмкости с лопастью и приведены необходимые обозначения. Здесь: 1 – лопасть; 2 – стенка ѐмкости; 0x – ось абсцисс, проведѐнная по биссектрисе угла между стенкой ѐмкости и лопастью; 0y – ось ординат, перпендикулярная оси абсцисс; D – произвольно выбранная точка между лопастью и стенкой; x – координата точки D по оси абсцисс, м; y – координата точки D по оси ординат, м; yd – расстояние от стенки ѐмкости до точки D, м; h – расстояние от стенки ѐмкости до лопасти на уровне точки D, м; h0 – расстояние между началом лопасти и стенкой, м; h1 – расстояние между концом лопасти и стенкой, м; a – проекция длины лопасти на стенку ѐмкости, м; xm – координата точки с максимальным давлением по оси абсцисс, м; hm – расстояние между стенкой ѐмкости и лопастью на уровне точки с максимальным давлением, м.

Рис. 1. Схематическое изображение шиберной лопасти и участка стенки ѐмкости.

Из рис. 1 видно, что:

yd

y h.
2

(1)

Введѐм коэффициент наклона лопасти kн: kн

h1 h0 ,
h0

(2)

где kн – коэффициент наклона лопасти.

Важно понимать, что коэффициент наклона, как это видно из уравнения (2), не есть тангенс угла наклона лопасти к стенке ѐмкости.

Из (2) следует, что:

h

h0

1



x a

.

(3)

Скорость движения лопасти относительно стенки ѐмкости u можно вычислить по общеизвестной формуле:

u 2 n d,

(4)

где u – скорость движения лопасти, м/с; n – частота вращения вала мешалки, с1; d – расстояние от оси вращения мешалки до середины лопасти, м.

Будем считать, что жидкость подчиняется степенному закону течения:

эф k  m 1 ,

(5)

где эф – эффективная вязкость, Па·с; k – коэффициент Оствальда, Па·с;
 – градиент скорости, с-1; m – показатель неньютоновского поведения.
Для ламинарного режима течения в общем виде проекция уравнения движения на ось OX имеет вид [5]:

vx t

vx

vx x

vy

vx y

vz

vz z

p x

xx
x

yx
y

zx
z

gx ,

(6)

где – плотность жидкости, кг/м3; t – время, с; vx, vy, vz – проекции скорости частицы жидкости на, соответственно, оси 0x, 0y, 0z; p – избыточное
давление, Па; τxx, τyx, τzx – касательные напряжения на площадках, перпендикулярных первому индексу в направлении второго индекса;

gx – проекция ускорения свободного падения на ось 0x.
Так как ось 0x близка к горизонтали, gx=0. Будем считать поток стационарным, тогда vx 0 . Из-за малого наклона верхней пластины и
t
ламинарности потока vx 0 . Полагаем, что компоненты скорости по осям x
0y и 0z отсутствуют (vy=vz=0). Полагаем также, что напряжения сдвига не

меняются в направлениях 0x и 0z

xx zx 0 . Тогда напряжение xz

сдвига τyx будет функцией координаты y. Опуская индексы при напряжениях, получим из (6) уравнение движения равновесия:

Приняв ( y) 1 ( y)

p yx
2 ( y), получим:
d 1 d 2 dp;
d y d y dx

d 1 d p; d 2 0,
d y dx dy

(7) (8)

где τ1 – касательное напряжение под действием перепада давлений, Па; τ2 – касательное напряжение под действием движения пластины, Па.

Физически это означает разбиение данной задачи на две задачи: течение между неподвижными пластинами под действием перепада давлений и течение под действием движения нижней пластины при отсутствии перепада давлений. То есть во второй части задачи условно будем считать, что стенка ѐмкости движется относительно лопасти со скоростью u. Именно это условное направление движения нижней пластины (то есть стенки ѐмкости) показано на рис. 1, как u.

Интегрируя уравнение (8) для τ1, получим:

τ1

=

dp dx

·

y

+

C1

(9)

где C1 – константа.

В силу симметрии потока при y=0, τ1=0 и C1=0 реологическое уравнение можно записать в виде:

1

dvx1 эф dy

эф  ,

(10)

где vx1 – скорость движения жидкости между неподвижными пластинами под действием перепада давлений, м/с.
Тогда из (5) получим:

m

1

k

dvx1 dy

.

(11)

Из выражений (11) и (9) получим:

1

dvx1

1

dp

m

1
y m dy ,

k dx

и

(12)

1

vx1

m m1

1 dp m y m 1 m k dx

C2 ,

(13)

где C2 – константа. По условию прилипаемости жидкости к стенкам канала запишем:

y

h;
2

vx1

0.

(14)

Определив по условиям (14) константу интегрирования C2, запишем:

1

vx1

m m1

1 dp m k dx

y m1 m

h m1 m .
2

(15)

С учѐтом (1) уравнение (15) можно представить в виде:

1

vx1

m m1

1 dp m k dx

yd

h m1 m 2

h m1 m .
2

(16)

Проведѐм преобразование и интегрирование для движения потока под действием движения нижней пластины:

d 2 0 ; d k dvx2 0 ;
dy dy dy

x 2m 1

x

2 exp m ln u h m
x

h0

1 kн a

m

2 ln h 0

1 kн a

p

0

x

signum h m

h0

1 kн a

x

h0

1 kн a

;

m

k dvx2 dy

C3 ;

dvx2 dy

1
C3 m
k

C4 ; vx2

C4 y C5 ,

(17)

где vx2 – скорость движения жидкости под действием движения нижней пластины при отсутствии перепада давлений, м/с; C3, C4, C5 – константы.
Запишем краевые условия и определим константы интегрирования:

vx2

u;

vx2

h 2

0;

u

C4

h 2

C5 ;

0

C4

h 2

C5 ;

C5

u;
2

C4

u.
h

(18)

Тогда, при y

yd

h:
2

vx

u h

h

yd ,

где vx – результирующая скорость движения жидкости, м/с.

И по принципу адитивности решений получим:

vx

vx1 vx2

m m1

1 dp 1 m k dx

(19)

yd

h m1 m 2

h m1 m 2

u h

h

yd .

(20)

Полагая расход через любое поперечное сечение между лопастью и стенкой ѐмкости постоянным, можно записать:

h
v x dyd
0

Q,

где Q – расход жидкости, м3/с.

В результате интегрирования (21) получим:

(21)

1
m 2m
2 2m 1

1

1

dp

m

2m 1
hm

k dx

1 u h Q.
2

(22)

На участке x 0 a в точке с максимальным давлением xm выполняется условие dp 0. Тогда из уравнения (22) следует:
dx

Q

1 2

u

hm .

Подставив (23) в (22), запишем:

(23)

1
m 2m
2 2m 1

1

1

dp

m

2m 1
hm

k dx

Из (3) следует:

1uh 2

1 2

u

hm .

(24)

dx dh a .
h0 kн

(25)

Решим уравнение (24) относительно dp и в полученное решение подставим dx из (25). Получим:

dp

exp m ln u hm

h 2m 1 m

2ln h

signum hm h 2 a k dh ,
h h0 kн

(26)

где signum hm h – функция MathCAD, представляющая собой знак выражения: если hm h 0 , то signum = -1; если hm h 0 , то signum = +1.

Проинтегрировать выражение (26) по dh в явном виде не представляется возможным. Поэтому произведѐм следующие преобразования.

Полагая, что избыточное давление p, создаваемое движением жидкости между лопастью и стенкой ѐмкости, на концах лопасти равно 0, запишем условия:

p 0 при h h0 и

p 0 при h h1 h0 1 kн .

(27)

Исходя из данных условий, составим систему из двух уравнений. При помощи компьютера решим еѐ численными методами, поскольку явное аналитическое решение отсутствует. Опуская промежуточные преобразования, запишем конечный результат:

hm

2 h0

2

1 kн A1 k B1

,

(28)

где A1 и B1 – коэффициенты.

Компьютерная обработка позволила получить следующие формулы для расчѐта коэффициентов A1 и B1:

A1

1,68146 1,30487 m1,00506 1,98621 m1.00506

, B1

1,36332 1,11563 m1,0305 1,47902 m1,0305

(29)

Графически зависимость (28) для трѐх различных значений m показана на рис. 2. Верхняя кривая построена для m=0,2, средняя – для m=0,5, нижняя – для m=1.

Максимальная погрешность расчѐта hm по формулам (28) и (29) не превышает 0,25%. Столь высокая точность объясняется тем, что при составлении компьютерной программы для расчѐта коэффициентов авторы

hm/h0

k
Рис. 4.4.3.2. Зависимость отношения hm/h0 для различных значений m.

использовали не стандартный метод наименьших квадратов, минимизирующий абсолютную величину среднеквадратичного отклонения, а метод, при котором минимизируется среднеквадратичное процентное отклонение.
Теперь, зная hm, можно рассчитать избыточное давление в любой точке лопасти по формуле:

2m 1

2 exp m
h

ln u hm

h

m

p

h0 signum hm h h

2 ln h

a k dh .
h0 kн

(30)

В расчѐтах обычно фигурирует не расстояние между лопастью и стенкой h, а расстояние x от начала лопасти до данной точки. Поэтому, взяв h из (3), а dh из (25), получим:

x 2m 1

x

2 exp m
x

ln u hm

h0

1 kн a

m

2 ln h0 1 kн a

p

0

signum hm

h0

1



x a

h0

1



x a

kdx.

(31)

При современном уровне развития вычислительной техники выражение (31) легко просчитать на компьютере с использованием MathCAD для любого значения x, поэтому приводить какую-либо приближѐнную формулу и тем самым увеличивать погрешность вычислений авторы считают нецелесообразным.
Как следует из (27), интеграл в уравнении (31) равен 0 при верхнем пределе интегрирования, равном a. Поэтому при компьютерных расчѐтах можно для вычисления hm, входящего в (31), вместо приближѐнной формулы (28) пользоваться следующей зависимостью: hm root

2 exp m
a

ln u hm

h0

1



x a

2m 1 m

2 ln h0

1



x a

0

xx signum hm h0 1 kн a h0 1 kн a

· dx, hm ,

(32)

где, root – функция MathCAD, возвращающая значение переменной, стоящей
в скобках после запятой, то есть hm, при котором значение функции, стоящей в скобках до запятой, равно нулю.

Разумеется, в программе расчѐта формулу (32) нужно записывать перед формулой (31).

Зная hm, с учѐтом (3) можно рассчитать координату точки с максимальным давлением по оси 0x следующим образом:

xm

hm h0 a ,
h0 kн

(33)

где xm – координата x точки с максимальным давлением, м.

Теперь, исходя из формулы (31), можно вычислить суммарную силу давления на лопасть:

2 exp m
ax
F = b· k
00

ln u hm h0 signum hm

x 2m 1

1 kн a

m

h0

1



x a

h0

2 ln h0 1

1



x a

x kн a

dxdx

(34)
где F – суммарная сила давления потока, Н; b – высота лопасти, м.
Координату xс точки приложения результирующей силы давления вычислим, исходя из уравнения моментов. С учѐтом формулы (31) имеем:

xc

bk

a
x

F0

x 2m 1

x

2 exp m
x

ln u hm

h0

1 kн a

m

2 ln h0 1 kн a

0

signum hm

h0

1



x a

h0

1



x a

dxdx (35)

где xс – координата точки приложения результирующей силы давления по оси 0x, м.
Расчѐты показывают, что значение xс всегда несколько больше значения xm. То есть при таком взаимном расположении лопасти и стенки, которое показано на рис. 1, точка приложения результирующей силы давления будет всегда правее точки с максимальным давлением.

На рис. 3 в качестве примера представлен график распределения давления по длине лопасти.
Для вычисления плеча силы F значение xс, рассчитанное по формуле (35), подставляем в (3), и полученное значение отнимаем от половины диаметра ѐмкости. Таким образом, момент силы F будет равен:

M

F

D 2

h0

1



xc a

bk

x 2m 1

x

2 exp m
ax

ln u hm

h0

1

kн a

m

2 ln h0 1 kн a

00

signum hm

h0

1



x a

h0

1



x a

dxdx

D 2

h0

1



bk

a
x

a F0

2 exp m
x

ln u hm

h0

1



x a

2m 1 m

2 ln h0

1



x a

0

signum hm

h0

1



x a

h0

1



x a

Мощность, затрачиваемая всеми шиберными перемешивание, будет равна:

N 6,28 M n z

· dxdx

(36)

лопастями на

6,28 n z b k

2 exp m
ax

ln u hm

h0

0 0 signum hm

x 2m 1

1 kн a

m

h0

1



x a

h0

x 2 ln h0 1 kн a

1



x a

dxdx

D 2

h0

1



bk

a
x

a F0

2 exp m
x

ln u hm

h0

1



x a

2m 1 m

2 ln h0

1



x a

0

signum hm

h0

1



x a

h0

1



x a

dxdx

(37)

p, Па
x, м
Рис. 3. График распределения давления по длине шиберной лопасти (вертикальной штриховой линией показана координата приложения
результирующей силы давления xс). где z – число шиберных лопастей.
Формула (37), полученная теоретическим путѐм исключительно в результате математических преобразований, позволяет рассчитывать мощность, расходуемую перемешивающим устройством при угле установки лопастей менее 15°. Список литературы: 1 Антипов С.Т., Кретов И.Т., Остриков А.Н., Панфилов В.А., Ураков О.А. Машины и аппараты пищевых производств. В 3 кн.- 2е изд., - М.: Колос, 2009. – 610 с, 847 с, 551 с. 2. Бегачев В.И., Гурвич А.Р., Брагинский Л.Н. Обобщѐнный метод расчѐта мощности при перемешивании высоковязких ньютоновских и неньютоновских сред // Теоретические основы химической технологии. – 1980. – Т. 14. – № 1. вып.1. – С. 109.

3 Регер Э.О., Лацер И. О расходе энергии, теплообмене и времени пребывания в реакторах со скребковыми мешалками в области ламинарного течения // Теоретические основы химической технологии. – 1981. – Т. 15. вып.1.– С. 129.
4 Фройштетер Г.Б., Скурчинский В.А., Кравченко В.Р., Мамченко С.Д. Исследование закономерностей ламинарного течения и затрат мощности в скребковых аппаратах // Журнал прикладной химии. – 1978. – Том 51, вып. 1. – С. 107.
5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1973. – 848 с.