ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНО КОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ В ТОНКОЙ ПЛЕНКЕ МЕТАМАТЕРИАЛА, ПОГРУЖЕННОЙ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКУЮ СРЕДУ
ÓÄÊ 535.32/58
ÏÐÅËÎÌËÅÍÈÅ ÏÐÅÄÅËÜÍÎ ÊÎÐÎÒÊÈÕ ÈÌÏÓËÜÑΠ ÒÎÍÊÎÉ ÏËÅÍÊÅ ÌÅÒÀÌÀÒÅÐÈÀËÀ, ÏÎÃÐÓÆÅÍÍÎÉ Â ÄÈÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÓÞ ÑÐÅÄÓ
© 2008 ã.
Ñ. Î. Åëþòèí, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê; Ñ. Ñ. Îæåíêî; À. È. Ìàéìèñòîâ, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê Ìîñêîâñêèé èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêèé èíñòèòóò, Ìîñêâà Å-mail: soelyutin@email.mephi.ru
Ðàññìîòðåíû ïðåëîìëåíèå è îòðàæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïðåäåëüíî êîðîòêîãî èìïóëüñà íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ äèýëåêòðèêîâ, íà êîòîðîé ðàñïîëîæåíà òîíêàÿ ïëåíêà ìåòàìàòåðèàëà. Îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà ïëåíêè îïèñûâàþòñÿ íà îñíîâå ìîäåëè äâóõ ñîðòîâ îñöèëëÿòîðîâ, îäèí èç êîòîðûõ îòâå÷àåò ëèíåéíîìó îòêëèêó íà ìàãíèòíîå ïîëå èìïóëüñà, äðóãîé – íåëèíåéíîìó îòêëèêó íà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. ×èñëåííûé àíàëèç ïîêàçûâàåò âîçìîæíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ îñöèëëÿòîðíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ýõà â íåîäíîðîäíîì àíñàìáëå ìåòààòîìîâ. Íàáëþäàåìûå êîãåðåíòíûå ýôôåêòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ èññëåäîâàíèÿ îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïëåíîê ìåòàìàòåðèàëîâ.
Êîäû OCIS: 190.4350, 240.0310, 310.6860, 350.3618.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 05.05.2008.
Ââåäåíèå
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ñîçäàíèå èñêóññòâåííûõ ìàòåðèàëîâ ñ íåîáû÷íûìè ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè âûçûâàåò îãðîìíûé èíòåðåñ ñïåöèàëèñòîâ â îáëàñòè ôèçèêè êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ, îïòèêè êîìïîçèòíûõ ñðåä è ëàçåðíîé ôèçèêè (ñì. îáçîðû [1–6]). ×òîáû ïîä÷åðêíóòü “ðóêîòâîðíîå” ïðîèñõîæäåíèå òàêèõ ñðåä, èõ ñòàëè íàçûâàòü ìåòàìàòåðèàëàìè. Ïîäîáíî òîìó, êàê îáû÷íûå ñðåäû ñîñòàâëåíû èç àòîìîâ (èëè ìîëåêóë), ìåòàìàòåðèàëû îáðàçîâàíû èç ýëåìåíòàðíûõ ñòðóêòóðíûõ åäèíèö, ðàçìåðû êîòîðûõ ïîðÿäêà ñîòåí è òûñÿ÷ íàíîìåòðîâ.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ìíîãî óñèëèé çàòðà÷èâàåòñÿ íà ñîçäàíèå ìåòàìàòåðèàëîâ äëÿ îïòè÷åñêîãî äèàïàçîíà [7–9], è óæå ñîçäàíû ñðåäû ñ îòðèöàòåëüíûì ïðåëîìëåíèåì â èíôðàêðàñíîì äèàïàçîíå [10, 11]. Åñòü ðÿä îáñòîÿòåëüñòâ, êîòîðûå ñëåäóåò îòìåòèòü. Âñå îáðàçöû òàêèõ ñðåä èçãîòîâëåíû â âèäå òîíêèõ ïëåíîê [12–14]. Êîíñòðóêòèâíîå ðàçíîîáðàçèå ýëåìåíòàðíûõ ñòðóêòóðíûõ åäèíèö çàòðóäíÿåò ñîçäàíèå óíèâåðñàëüíîé òåîðèè îïòè÷åñêèõ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé â ìåòàìàòåðèàëàõ, ïðèõîäèòñÿ ñòðîèòü ìîäåëü ýôôåêòèâíîé ñðåäû, ñâîéñòâà êîòîðîé ìåíÿþòñÿ îò îáðàçöà ê îáðàçöó [15]. Îäíàêî ìîæíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî íàèáîëåå îáùèå ñâîéñòâà ìåòàìàòåðèàëîâ óäàñòñÿ îïèñàòü â ðàìêàõ ïðîñòûõ îáîáùåíèé ìîäåëè Ëîðåíöà.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìîòðåíû ïðåëîìëåíèå è îòðàæåíèå ïðåäåëüíî êîðîòêîãî èìïóëüñà (ÏÊÈ) ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ (èìïóëüñà, èìåþùåãî îäíî èëè íåñêîëüêî êîëåáàíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ) íà íåëèíåéíîé ãðàíèöå ðàçäåëà äèýëåêòðè÷åñêèõ ñðåä. Åñëè òîëùèíà ïëåíêè ìåíüøå äëèíû îá-
ëàñòè, çàíèìàåìîé ÏÊÈ â ïðîñòðàíñòâå, òî îãèáàþùèå èìïóëüñîâ îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííîé âîëí ñâÿçàíû ñ ïàäàþùåé âîëíîé óñëîâèÿìè íåïðåðûâíîñòè. Ýâîëþöèþ ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè ïëåíêè ìîæíî îïðåäåëèòü, çàäàâ ìîäåëü ìåòàìàòåðèàëà. Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ ìîäåëü îñöèëëÿòîðîâ äëÿ ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè [16, 17], ó÷èòûâàþùàÿ íåëèíåéíûé îòêëèê ìåòàìàòåðèàëà [18].  ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïîä äåéñòâèåì êîðîòêèõ èìïóëüñîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ ôîðìèðóþòñÿ êîãåðåíòíûå îòêëèêè òèïà îïòè÷åñêèõ íóòàöèé è ôîòîííîãî ýõà. Òåì ñàìûì ïîêàçàíî, ÷òî ìåòîäû êîãåðåíòîé ñïåêòðîñêîïèè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ èññëåäîâàíèÿ îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìåòàìàòåðèàëîâ òàêîãî ñîðòà.
Îïèñàíèå ìîäåëè
Ïðè îïèñàíèè íåëèíåéíîãî îòêëèêà ïëåíêè èñïîëüçóåòñÿ ôåíîìåíîëîãè÷åñêàÿ ìîäåëü îñöèëëÿòîðîâ äëÿ ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè. Îáúåäèíÿÿ óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïîëÿðèçàöèþ è íàìàãíè÷åííîñòü ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà äâóõ ñðåä (ïëîñêîñòü yz), ìåæäó êîòîðûìè íàõîäèòñÿ ïëåíêà, ìîæíî ïîëó÷èòü ïîëíîþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ïðåëîìëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Çäåñü îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà âîëíîâîé âåêòîð ïàäàþùåé âîëíû ïåðïåíäèêóëÿðåí ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä (ïðè ýòîì ñòèðàåòñÿ ðàçëè÷èå ìåæäó âîëíàìè òèïà ÒÅ è ÒÌ, ïîòîìó èñïîëüçóåòñÿ âîëíîâîå óðàâíåíèÿ äëÿ ÒÅâîëí) è äëèòåëüíîñòü èìïóëüñîâ ìåíüøå âñåõ âðåìåí ðåëàêñàöèè.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè ìàòåðèàëà, èç êîòîðîãî îáðàçîâàíà òîíêàÿ ïëåí-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
21
êà, âûáèðàåòñÿ ìîäåëü, îñíîâàííàÿ íà ïðåäïîëîæå-
íèè, ÷òî ëèíåéíûé îòêëèê ìåòàìàòåðèàëà ìîæåò
áûòü îïèñàí ýôôåêòèâíûìè ýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòÿìè [16, 17] ε(ω) = 1 – ω2p/ω2 è μ(ω) = 1 + βmω2/(ωT2 – ω2). Ýòèì âåëè÷èíàì ñîîòâåòñòâóþò óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ïîëÿðèçàöèè
Py(t) è íàìàãíè÷åííîñòè Mz(t)
∂2 Py ∂t2
=
ω2p 4π
Ey
,
∂2M z ∂t2
+ ΩT2 M z
=
−
βm 4π
∂2Hz ∂t 2
,
(1)
â êîòîðûõ ωp – ïëàçìåííàÿ ÷àñòîòà, ΩT – ÷àñòîòa Òîìñîíà, βm – ïàðàìåòð, îïðåäåëÿþùèé ÝÄÑ èíäóêöèè ìàãíèòíûõ îñöèëëÿòîðîâ [19, 20]. Ñîãëàñíî ðàáîòå [18] ìîæíî ó÷åñòü ïîãëîùåíèå è íåëèíåéíîñòü îòêëèêà, çàïèñàâ äëÿ îáúåìíîé ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè ìàòåðèàëà òîíêîé ïëåíêè óðàâíåíèÿ
∂2 Py ∂t2
+ Ωd2 Py + Γe
∂Py ∂t
+ αPy3
=
ω2p 4π
Ey ,
∂2M z ∂t2
+ ΩT2 M z + Γm
∂M z ∂t
=
−
βm 4π
∂2Hz ∂t2
,
(2)
ãäå Ωd – ÷àñòîòà ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ íàíî÷àñòèö, α – êîýôôèöèåíò íåëèíåéíîñòè. Ïîòåðè, ñâÿçàííûå ñ çàòóõàíèåì ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé è îìè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì â êîíòóðàõ, ó÷èòûâàþòñÿ ïàðàìåòðàìè Γe è Γm. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëèòåëüíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíûõ èìïóëüñîâ çíà÷èòåëüíî êîðî÷å õàðàêòåðíîãî âðåìåíè çàòóõàíèÿ ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé, òîãäà äèññèïàòèâíûìè ñëàãàåìûìè â (2) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Ey è ìàãíèòíîãî ïîëÿ Hz, êîòîðûå âõîäÿò â óðàâíåíèÿõ (1) è (2), ÿâëÿþòñÿ íàïðÿæåííîñòÿìè ïîëåé âíóòðè ïëåíêè.
Îòâå÷àþùèå äàííîé ìîäåëè äèýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòè â ëèíåéíîì ïðåäåëå äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè
ε(ω)
=
1
+
ω2p
/(Ω
2 d
−
ω2
),
μ(ω) = 1 + βmω2/(ΩT2 − ω2).
Îïðåäåëÿåìûå îòñþäà íóëè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëå-
íèÿ
äîñòèãàþòñÿ
ïðè
÷àñòîòàõ
ω12 = ω2p
+
Ω
2 d
è
ω22
=
Ω
2 T
(
1
–
βm).
Îòðèöàòåëüíîå
ïðåëîìëåíèå
ñëåäóåò îæèäàòü â ïîëîñå ÷àñòîò max{Ωd, ωT} < ω <
< min{ω1, ω2}.
Ãîâîðÿ î ïðåäåëüíî êîðîòêèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ
èìïóëüñàõ, ñëåäóåò ðàçëè÷àòü äâà âèäà òàêèõ ÏÊÈ.
Ñóùåñòâóþò ÏÊÈ áåç íåñóùåé âîëíû, â êîòîðûõ íà-
ïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, â ÷àñòíîì ñëó-
÷àå ãàóññîâà èìïóëüñà, ìîæíî ïðåäñòàâèòü ôîðìó-
ëîé E(x, t) = E0exp{–(t ± x/c)2/2tp2}, ãäå tp – äëèòåëüíîñòü òàêîãî èìïóëüñà. Åãî ôóðüå-ñïåêòð (ïðè õ = 0)
E(0, ω) = E0tpexp{–tp2ω2/2} ëîêàëèçîâàí îêîëî ω = 0
è èìååò øèðèíó íà ïîëóâûñîòå Δω = 2 2ln2t−p1. Èíîãäà òàêîé èìïóëüñ íàçûâàþò âèäåîèìïóëüñîì èëè óíèïîëÿðíûì èìïóëüñîì. ÏÊÈ äðóãîãî âèäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå êàê èìïóëüñ êâàçèãàðìîíè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, ñæàòûé ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíûõ óñòðîéñòâ äî äëèòåëüíîñòè ïîðÿäêà ïåðèîäà êîëåáàíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ èñõîäíîãî ñèãíàëà. Åãî âðåìåííóþ ôîðìó (â ãàóññîâîì ïðèáëèæåíèè) ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
E(x,t) =
=
E0exp{− (t
±
x/c
)2/
2t
2 p
}exp{−iω0t
+
ik0 x}
+
c.c.,
ãäå ñ – ñêîðîñòü ñâåòà, ω0 – ÷àñòîòà íåñóùåé âîëíû è k0 = ω0/c, ñ.ñ. îçíà÷àåò êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííóþ âåëè÷èíó. Ïðè ýòîì tpω0 ≈ 1. Ôóðüå-ñïåêòð òàêîãî èìïóëüñà – ïóëüñîíà – îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
E(x
=
0,
ω)
=
E0t
p
exp{−t
2 p
(ω
−
ω0
)2
/2}
+
+
E0t
p
exp{−t
2 p
(ω
+
ω0
)2
/
2}.
Øèðèíà íà ïîëóâûñîòå ó ïóëüñîíà òàêàÿ æå, êàê è ó âèäåîèìïóëüñà, íî ñïåêòðàëüíûå êîìïîíåíòû ñäâèíóòû íà âåëè÷èíó ÷àñòîòû íåñóùåé âîëíû. Èçìåíÿÿ ω0, ìîæíî ïåðåìåùàòü ýòîò ÏÊÈ èç ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè, â êîòîðîé ìåòàìàòåðèàë õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ, â îáëàñòü îòðèöàòåëüíîãî ïðåëîìëåíèÿ. Ýòî ïîçâîëÿåò ñðàâíèâàòü îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà ñðåäû íà ÷àñòîòàõ, ãäå ñðåäà ïðîÿâëÿåò ëèáî ïîëîæèòåëüíîå, ëèáî îòðèöàòåëüíîå ïðåëîìëåíèå.
Ïóñòü ïëîñêàÿ âîëíà ïàäàåò ïî íîðìàëè íà ãðàíèöó ðàçäåëà ñî ñòîðîíû x < 0. Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äèýëåêòðè÷åñêèå ñðåäû íå îáëàäàþò äèñïåðñèåé.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü ðåøåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà äëÿ êàñàòåëüíîãî êîìïîíåíòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Ey(x, t) â âèäå
Ey
( x, t )
=
⎧ ⎨ ⎩
fa (t fb (t
− −
x/Va ) x/Vb )
+ ,
ga
(t
+
x/Va
)
,
x x
< >
00.
(3)
Çäåñü Va – ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ “óåäèíåííîé” âîëíû (èìïóëüñà) â ñðåäå ïðè x < 0,
Vb – ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ èìïóëüñà â ñðåäå ïðè x > 0. Ôóíêöèè fa, fb è ga îïèñûâàþò èìïóëüñû ïàäàþùåé, îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííûõ âîëí
ñîîòâåòñòâåííî. Áëàãîäàðÿ îòñóòñòâèþ äèñïåðñèè â
ýòèõ ñðåäàõ ãðóïïîâûå ñêîðîñòè ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿí-
íûìè âåëè÷èíàìè, õàðàêòåðèçóþùèìè ñðåäû. Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ ∂Ey/∂x = –c–1∂Hz/∂t ìîæíî íàéòè
H z (x,t) =
=
⎨⎩⎧((cc//VVab
)[ fa (t − x/Va ) ) fb (t − x/Vb ) ,
−
ga
(t
+
x/Va
)],
x x
< >
00.
(4)
22 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
Óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé
Ey (0−)
−
Ey
(0+)
=
4π c
∂ ∂t
M
( z
s)
,
H
z
(0−)
−
Hz
(0+)
=
+
4π c
∂ ∂t
Py(s)
(5)
äàþò ñîîòíîøåíèÿ, îáîáùàþùèå ôîðìóëû Ôðåíåëÿ íà ðàññìàòðèâàåìûé ñëó÷àé â îáùåì ñëó÷àå íåãàðìîíè÷åñêèõ âîëí
Etr (t)
=
2Vb Va + Vb
Ein (t)
−
4πVb c(Va + Vb )
×
×
⎛ ⎜ ⎝
∂ ∂t
M
( z
s
)
(t
)
+
Va c
∂ ∂t
Py(s
)
(t
)
⎞ ⎟
,
⎠
Eref
(t)
=
Vb − Va Va + Vb
Ein (t)
+
4πVa c(Va + Vb )
×
×
⎛∂
⎜ ⎝
∂
t
M
( z
s)
(t
)
−
Vb c
∂ ∂t
Py(
s)
(t
)
⎞ ⎟
.
⎠
(6)
 óðàâíåíèÿ (6) âõîäÿò ïîâåðõíîñòíûå ïîëÿðèçàöèÿ è íàìàãíè÷åííîñòü òîíêîé ïëåíêè, òîãäà êàê â óðàâíåíèÿõ (1) èëè (2) ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåìåííûå ñóòü îáúåìíûå ïîëÿðèçàöèÿ è íàìàãíè÷åííîñòü. Ýòè âåëè÷èíû ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèÿìè Py(s)(t) = Py(t)lf è Mz(s)(t) = Mz(t)lf , ãäå lf – òîëùèíà ïëåíêè. Çäåñü Ein(t) = fa(t) – íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ çàäàííîé ïàäàþùåé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ïðè x = 0–, ga(t) = Eref (t) è fb(t) = Etr(t) – íàïðÿæåííîñòè ïðåëîìëåííîé (ïðè x = 0+) è îòðàæåííîé (ïðè x = 0–) âîëí.
Ñîîòíîøåíèÿ (5) ïîêàçûâàþò, ÷òî èç-çà íàìàãíè÷åííîñòè è ïîëÿðèçóåìîñòè òîíêîé ïëåíêè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåé ðàçëè÷íû ïî ðàçíûå ñòîðîíû ïëåíêè. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè íåîáõîäèìî çíàòü ïîëå âíóòðè ïëåíêè, ÷òî ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëàì
Ey,z (x = 0) = Ey,z (x = 0−) + + 0,5[Ey,z (x = 0+) − Ey,z (x = 0−)] = = 0,5[Ey,z (x = 0+) + Ey,z (x = 0−)],
H y,z (x = 0) = H y,z (x = 0−) + + 0,5[H y,z (x = 0+) − H y,z (x = 0−)] = = 0,5[H y,z (x = 0+) + H y,z (x = 0−)].
(7)
Îòñþäà äëÿ íàïðÿæåííîñòåé ïîëåé âíóòðè ïëåíêè ñëåäóþò âûðàæåíèÿ
E(t) = [Etr (t) + Ein (t) + Eref (t)]/2,
H (t) = ⎣⎡(c/Vb )Etr (t) + (c/Va )( Ein(t) − Eref (t))⎤⎦ /2 =
{ }= εb Etr (t) + εa Ein (t) − εa Eref (t) /2,
ãäå èíäåêñû y è z îïóùåíû. Äëÿ ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ ïðåëîìëåíèÿ
ÏÊÈ íà íåëèíåéíîé ãðàíèöå ðàçäåëà óäîáíî ïåðåéòè ê áåçðàçìåðíûì ïåðåìåííûì è èñêëþ÷èòü íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ â (2).
Ïóñòü íîðìèðîâàííûå ïåðåìåííûå îïðåäåëåíû ñîîòíîøåíèÿìè etr = Etr/E0, ein = Ein/E0, q = 4πPy/E0, m = 4πn1Mz/E0 è τ = ωpt. Óðàâíåíèÿ â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷åííûå èç (2) è (6), èìåþò âèä
etr
(t)
=
F0ein
(t)
−
g
∂ ∂τ
(〈q〉d
+
〈m〉T
)
,
eref
(t)
=
R0 ein (t )
−
g
∂ ∂τ
(〈q〉d
−
n12 〈m〉T
),
(8)
∂2q ∂τ2
+
ωd2
(r)q
+
γe
∂q ∂τ
+
κq3
=
1 2
( etr
+
ein
+
eref
),
∂2m ∂τ2
+
ωT2
(r)m
+
γm
∂m ∂τ
=
(9)
{ }=
−
βm n12 2
∂2 ∂τ2
n12etr + ein − eref
,
ãäå q è m – íîðìèðîâàííûå îáúåìíûå ïîëÿðèçàöèÿ
è íàìàãíè÷åííîñòü ìàòåðèàëà ïëåíêè, n1,2 = εa,b , n12 = εb/εa , κ = α(E0/4πωp)2 – áåçðàçìåðíûé ïàðà-
ìåòð êóáè÷åñêîé íåëèíåéíîñòè ïëåíêè, γe, m = Γe, m/ωp – íîðìèðîâàííûå êîýôôèöèåíòû ïîòåðü. Íîðìèðî-
âàííûå ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ýëåêòðè-
÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî îñöèëëÿòîðîâ îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè ω2d (r) = Ω2d(r)/ω2p è ω2T (r) = Ω2T (r)/ω2p. Êîíñòàíòà ñâÿçè g è êîýôôèöèåíòû ïðåëîìëåíèÿ F0 è îòðàæåíèÿ R0, çàâèñÿùèå îò ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ îêðóæàþùèõ ïëåíêó ñðåä, îïðåäåëåíû
âûðàæåíèÿìè
( )g = c
lf ωp
, F0 =
εa + εb
2 εb εa + εb
,
R0 =
εb − εa . εa + εb
E0 – íåêîòîðîå çíà÷åíèå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, íà êîòîðîå ïðîâîäèòñÿ íîðìèðîâêà, è â êà÷åñòâå êîòîðîãî ìîæíî âçÿòü àìïëèòóäó ïàäàþùåãî èìïóëüñà.
 (8) óãîëêîâûå ñêîáêè 〈 〉d, 〈 〉Ò îáîçíà÷àþò óñðåäíåíèå ïî ÷àñòîòàì ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ äëÿ àíñàìáëåé íàíî÷àñòèö è íàíîêîíòóðîâ ñîîòâåòñòâåííî. ×àñòîòû ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ äëÿ îñ-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
23
öèëëÿòîðîâ ωd(r) è êîíòóðîâ ωT (r) ÿâëÿþòñÿ ôóíê-
öèÿìè îò èõ íîðìèðîâàííîãî íà åäèíèöó ðàçìåðà r,
÷òî ìîæíî ïðåäñòàâèòü ωT (r) = ω–TT(r) Ïàðàìåòðû
â ω–d
âèäå è ω–T
ωd(r) = ω–dd(r) è îòâå÷àþò íîðìè-
ðîâàííûì çíà÷åíèÿì ÷àñòîò â îïèñûâàåìûõ ðàñïðå-
äåëåíèÿõ. Ñïåöèôè÷íàÿ ôîðìà ôóíêöèé d(r) è T(r)
îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè ìåòàìàòåðèàëà. Â íàñòîÿ-
ùåì èññëåäîâàíèè èñïîëüçîâàëèñü ðàñïðåäåëåíèÿ
d(r) = T(r) = exp[–(r – 1)].
Påçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ
Ñèñòåìû óðàâíåíèé (8), (9) îòíîñèòåëüíî âåëè÷èí etr(t), eref(t) ðåøàëèñü ÷èñëåííî ñ ïîìîùüþ èòåðàöèîííîé ïðîöåäóðû “ïðîãíîç-êîððåêöèÿ” ïðè çàäàííîì ïîëå ïàäàþùåãî èìïóëüñà ein(t). Ïðè ýòîì èìåëàñü îïðåäåëåííàÿ òðóäíîñòü, ñâÿçàííàÿ ñ òåì, ÷òî ïîëÿðèçàöèÿ è íàìàãíè÷åííîñòü îòäåëüíûõ ìåòààòîìîâ îïðåäåëÿþòñÿ ïîëÿìè, êîòîðûå â ñâîþ î÷åðåäü çàâèñÿò îò ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè, ïîëó÷åííîé â ðåçóëüòàòå óñðåäíåíèÿ ïî àíñàìáëþ âñåõ ìåòààòîìîâ. Ïðîáëåìà ïðåîäîëåâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ äîïîëíèòåëüíîé èòåðàöèîííîé ïðîöåäóðû âû÷èñëåíèÿ ïîëåé ïðåëîìëåííîé è îòðàæåííîé âîëí. Ïðè ýòîì â ðîëè íà÷àëüíûõ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé ïîëåé áðàëèñü çíà÷åíèÿ, ïîëó÷åííûå ïî ôîðìóëàì Ôðåíåëÿ, îòâå÷àþùèå ñëó÷àþ ãðàíèöû ðàçäåëà áåç òîíêîé ïëåíêè. Ïîñëå äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè ïðîöåññ èòåðàöèé çàâåðøàëñÿ.
Íàäî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî íàáëþäàåìûå ñèãíàëû ýõî-îòêëèêîâ èìåþò òó æå ïðèðîäó, ÷òî è èçâåñòíîå îñöèëëÿòîðíîå (ïëàçìåííîå) ýõî [21, 22], òàê êàê è â íàøåì ñëó÷àå îíî ôîðìèðîâàëîñü àíñàìáëåì ýëåêòðè÷åñêèõ (ïëàçìîííûõ) îñöèëëÿòîðîâ. Ìàãíèòíûå îñöèëëÿòîðû äàþò äîïîëíèòåëüíûé âêëàä â ãåíåðèðóåìûå ñèãíàëû è ïðèâîäÿò ê åãî óñèëåíèþ ïðè âûïîëíåíèè ðåçîíàíñíûõ óñëîâèé.
Îñöèëëÿòîðíîå ýõî âîçíèêàåò â ôîðìå ýêâèäèñòàíòíîé öåïî÷êè ñèãíàëîâ â ìîìåíòû ïîñëå äâóêðàòíîãî âîçáóæäåíèÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû ÏÊÈ (pèñ. 1). Ãðàôèêè íà pèñ. 1 ïîêàçûâàþò, ÷òî ýôôåêò îñöèëëÿòîðíîãî ýõà ïîëíîñòüþ èñ÷åçàåò, åñëè áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð êóáè÷åñêîé íåëèíåéíîñòè ïëåíêè κ ïîëîæèòü ðàâíûì íóëþ (pèñ. 1). Íà âñòàâêå (ðèñ. 1â) ïîêàçàíû ôîðìôàêòîð íåîäíîðîäíî óøèðåííîãî àíñàìáëÿ ìåòààòîìîâ è çàâèñèìîñòü íîðìèðîâàííîé ÷àñòîòû ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ ωd îò r – íîðìèðîâàííîãî ðàçìåðà ìåòààòîìîâ (íàíî÷àñòèö, íàíîêîíòóðîâ, íàíîïðîâîëî÷åê).
Îáëó÷åíèå òîíêîé ïëåíêè ïóëüñîíàìè ïîçâîëÿåò, ìåíÿÿ ÷àñòîòó íåñóùåé âîëíû ω0, âîçáóæäàòü ðàçëè÷íûå ñïåêòðàëüíûå îáëàñòè èññëåäóåìîé ñèñòåìû ìåòààòîìîâ. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî âûäåðæàòü óñëîâèå tpω0 ≈ π2/2, êîòîðîå îçíà÷àåò, ÷òî ñäâèã ÷àñòîòû ñïåêòðà ïóëüñîíà äîëæåí ñîïðîâîæäàòüñÿ èçìåíåíèåì ïîëíîé äëèòåëüíîñòè ïóëüñîíà.
Ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî ýôôåêò îñöèëëÿòîðíîãî ýõà â àíñàìáëå ìåòààòîìîâ óñèëèâàåòñÿ, êîãäà ÷àñ-
(à) 1,0
1 0,8
0,6 2
0
(á) 1,0 2 (â)
12
0,8 1 1
0,6 2 0 0 1 2r
0
Àìïëèòóäû, îòí. åä.
–0,2
3 κ = 0,2
–0,2
3 κ=0
–0,4 0
100 200 τ –0,4 0
100 200 τ
Ðèñ. 1. Ýôôåêò îñöèëëÿòîðíîãî eref. ω0 = 0,8, ω–d = 0,7, ω–T = 0,9, ωa
ýõà â òîíêîé ïëåíêå èç ìåòàìàòåðèàëà ïðè κ = 0,2 (a) è κ = 0 (á). 1 = 1,22, ωb = 1,01, δpuls = ωptp2,0; â – çàâèñèìîñòè îò r ôîðìôàêòîðà
– ein, (1) è
2 – etr, 3 – íîðìèðî-
âàííîé ÷àñòîòû ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ ωd (2). Îñòàëüíûå ïîÿñíåíèÿ ñì. â òåêñòå.
24 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
òîòà ïóëüñîíà ïîïàäàåò â îáëàñòü îòðèöàòåëüíîãî ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ (ÎÏÏ). Ýòîò ñëó÷àé èëëþñòðèðóåòñÿ íà pèñ. 2. Ýõî ãåíåðèðîâàëîñü ïàðîé ïóëüñîíîâ ñ íåñóùåé ÷àñòîòîé, ëåæàùåé â ãðàíèìöàèõωîa2á=ëà1ñò+èω–Îd2,ÏωÏb2 ,=ωω–aT2è(1ω–b,βîmï)–ð1å.äÍåàëâåñíòíàûâõêåô(îððèìñ.ó2ëáà)ïîêàçàíî ïîâåäåíèå ýôôåêòèâíûõ äèýëåêòðè÷åñêîé τ(ω) è ìàãíèòíîé μ(ω) ïðîíèöàåìîñòåé è ýôôåêòèâíîãî ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ nf (ω). Òåìíàÿ òî÷êà óêàçûâàåò ïîëîæåíèå ÷àñòîòû íåñóùåé âîëíû ïóëüñîíîâ â îáëàñòè ÎÏÏ.
Ðèñóíîê 3 ïîêàçûâàåò, êàê ìåíÿåòñÿ ôîðìà ïðåëîìëåííîãî (à) è îòðàæåííîãî (á) ÏÊÈ â çàâèñèìîñòè îò ÷àñòîòû ω0. Îêîëî ýëåêòðîäèïîëüíîãî è ìàãíèòîäèïîëüíîãî ðåçîíàíñîâ âîçíèêàåò íóòàöèîííîå ïîâåäåíèå íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé. Ýòî î÷åâèäíîå ïðîÿâëåíèå êîãåðåíòíîãî õàðàêòåðà âçàèìîäåéñòâèÿ ÏÊÈ ñ ìåòààòîìàìè òîíêîé ïëåíêè. Íà ðèñ. 3â ïîêàçàíû çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ è ïðîïóñêàíèÿ ÏÊÈ, èëëþñòðèðóþùèå ïåðåðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ìåæäó îòðàæåííûì è ïðîøåäøèì ÏÊÈ â çàâèñèìîñòè îò ÷àñòîòû ïóëüñîíà. Êîýôôèöèåíòû ïðîïóñêàíèÿ è îòðàæåíèÿ îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè
∞∞
∫ ∫F = n12 et2r (τ)d τ
ei2n (τ)d τ ,
−∞ −∞
∞∞
∫ ∫R = er2ef (τ)dτ ei2n (τ)dτ.
−∞ −∞
 ïðåäñòàâëåííûõ çäåñü ðåçóëüòàòàõ ðàñ÷åòîâ èñïîëüçîâàëèñü ñëåäóþùèå ïàðèìåòðû òîíêîé ïëåíêè: n12 = 1,5, βm = 0,2, g = 0,15, γe, m = 0,01, κ = 0,2.
Çàêëþ÷åíèå
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñâîéñòâ èñêóññòâåííî ñîçäàííûõ êîìïîçèòíûõ ìàòåðèàëîâ, ïîëó÷èâøèõ íàçâàíèå ìåòàìàòåðèàëû. Ïðåäñòàâëåíà íàèáîëåå ïðîñòàÿ ìîäåëü, îïèñûâàþùàÿ ïðîõîæäåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ÷åðåç òîíêóþ ïëåíêó ìåòàìàòåðèàëà. Ïðè ýòîì äëÿ îïèñàíèÿ îòêëèêà ìåòàìàòåðèàëà èñïîëüçîâàëàñü îáîáùåííàÿ íà íåëèíåéíûé ñëó÷àé ìîäåëü Ëîðåíöà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ òîíêóþ ïëåíêó ìåòàìàòåðèàëà êàê íàáîð èç ìíîæåñòâà ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ îñöèëëÿòîðîâ, èìåþùèõ ðàçëè÷íûå ÷àñòîòû
(à)
2 1
12 3
0
(á)
43
2 0 0,6 0,8
ωd 1 ωT 2
–4
ÎÏÏ
ω0 2
1,2
1,4
3 ω
ωa, ωb
Àìïëèòóäû, îòí. åä.
–1 ýõî
0 100 200 τ
Ðèñ. 2. a – ýôôåêò îñöèëëÿòîðíîãî ýõà â òîíêîé ïëåíêå èç ìåòàìàòåðèàëà, õàðàêòåðèçóåìîé ñïåêòðàëüíûìè ïàðàìåòðàìè ω–d = 0,5, ω–T = 1,0, ωa = 1,12, ωb = 1,12, îáëó÷àåìîé ïàðîé ïóëüñîíîâ ñ íåñóùåé (íîðìèðîâàííîé) ÷àñòîòîé ω0 = 1,05, δpuls = 4,77. 1 – ein, 2 – etr, 3 – eref; á – çàâèñèìîñòè îò ω ýôôåêòèâíûõ äèýëåêòðè÷åñêîé ε(ω) è ìàãíèòíîé μ(ω) ïðîíèöàåìîñòåé è ýôôåêòèâíîãî ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ nf (ω) (1, 2 è 3 ñîîòâåòñòâåííî).
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
25
(à)
0 40 τ 80 120
etr 0,2 0
3
2 ω0
1
(á) eref 0,2
0
3
0 40 τ 80 120
(â)
13
0,8 2 0,6
0,4 1
0,2
2 ω0
1
0 1 2 3 ω0
Ðèñ. 3. Èçìåíåíèå âðåìåííîãî ïðîôèëÿ ïðåëîìëåííîãî (à) è îòðàæåííîãî (á) ÏÊÈ â çàâèñèìîñòè îò ÷àñòîòû ïóëüñàöèé ω0 â òîíêîé ïëåíêå èç ìåòàìàòåðèàëà, õàðàêòåðèçóåìîé ñïåêòðàëüíûìè ïàðàìåòðàìè ω–d = 1,0, ω–T = 3,0, ωa = 1,22, ωb = 1,01; â – çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ R (1) è ïðîïóñêàíèÿ F (2) îò ÷àñòîòû ω0, 3 – R + F.
ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ. Íà îñíîâå ýòîé ìîäåëè ðàññìîòðåíû îòðàæåíèå è ïðîõîæäåíèå èìïóëüñîâ ïðîèçâîëüíîé äëèòåëüíîñòè, â òîì ÷èñëå ïðåäåëüíî êîðîòêèõ èìïóëüñîâ, ÷åðåç òîíêóþ ïëåíêó ìåòàìàòåðèàëà, ÷òî ïîçâîëÿåò ðàññìîòðåòü ñàìûé øèðîêèé êðóã îïòè÷åñêèõ ýôôåêòîâ. Ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäåìîíñòðèðîâàíà ãåíåðàöèÿ êîãåðåíòíûõ îòêëèêîâ òèïà ôîòîííîãî ýõà â ñèñòåìå ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ îñöèëëÿòîðîâ,
ñâÿçàííûõ ÷åðåç îáùåå ïîëå âîçáóæäàþùèõ èìïóëüñîâ. Íàéäåíî, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè êîãåðåíòíûõ îòêëèêîâ ðàçëè÷íû äëÿ ÷àñòîòûõ îáëàñòåé ïîëîæèòåëüíîãî è îòðèöàòåëüíîãî ïðåëîìëåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, èçó÷åíèå ñâîéñòâ òàêèõ ñèãíàëîâ ïîçâîëÿåò â êàêîé-òî ñòåïåíè ñóäèòü î ïàðàìåòðàõ ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, ñîñòàâëÿþùèõ ìåòàìàòåðèàë.
Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëåííûå â ðàáîòå ðåçóëüòàòû îòêðûâàþò øèðîêèå âîçìîæíîñòè äëÿ èññëåäîâàíèé ìåòàìàòåðèàëîâ.
Íàì äîñòàâëÿåò óäîâîëüñòâèå ïîáëàãîäàðèòü êîëëåã È.Ð. Ãàáèòîâà, À.Ì. Áàøàðîâà, Í.Ì. Ëè÷èíèöåð çà ïîëåçíûå äèñêóññèè è çàìå÷àíèÿ, êàñàþùèåñÿ ðàññìîòðåííûõ çäåñü ïðîáëåì, è Äåïàðòàìåíò ìàòåìàòèêè Óíèâåðñèòåòà Àðèçîíû çà ïîääåðæêó. Ðàáîòà ÷àñòè÷íî ïîääåðæèâàëàñü ÐÔÔÈ (ãðàíò ¹ 06-02-16406).
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Pendry J.B. Negative refraction // Contemporary Physics. 2004. V. 45. Ð. 191–202.
12. Ramakrishna S.A. Physics of negative refractive index materials // Rep. Prog. Phys. 2005. V. 68. P. 449–521.
13. Àãðàíîâè÷ Â.Ì., Ãàðòøòåéí Þ.Í. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèñïåðñèÿ è îòðèöàòåëüíîå ïðåëîìëåíèå ñâåòà // ÓÔÍ. 2006. Ò. 176. Ñ. 1051–1068.
14. Veselago V., Braginsky L., Shklover V., Hafner Ch. Negative Refractive Index Materials // J. Comp. and Theor. Nanoscience. 2006. V. 3. ¹ 1. P. 1–30
15. Maimistov A.I., Gabitov I.R. Nonlinear optical effects in artificial materials // Eur. Phys. J. Special Topics. 2007. V. 147. ¹ 1. Ð. 265–286.
16. Litchinitser N.M., Gabitov I.R., Maimistov A.I., Shalaev V.M. Negative Refractive Index Metamaterials in Optics // Progress in Optics / Åd. E. Wolf. 2008. V. 51. Ð. 1–68.
17. Shalaev V.M., Cai W., Chettiar U.K., Yuan H.-K., Sarychev A.K., Drachev V.P., Kildishev A.V. Negative index of refraction in optical metamaterials // Opt. Lett. 2005. V. 30. P. 3356–3358.
18. Drachev V.P., Cai W., Chettiar U., Yuan H.-K., Sarychev A.K., Kildishev A.V., Klimeck G., Shalaev V.M. Experimental verification of an optical negative-index material // Laser Phys. Lett. 2006. V. 3. Ð. 49–55.
19. Shalaev V.M., Cai W., Chettiar U., Yuan H.-K., Sarychev A.K., Drachev V. P., Kildishev A.V. Negative index of refraction in optical metamaterials // Opt. Lett. 2005. V. 30. Ð. 3356– 3358.
10. Dolling G., Wegener M., Soukoulis C. M., Linden S. Negative-index metamaterial at 780 nm wavelength // Opt. Lett. 2007. V. 32. P. 53–55.
11. Chettiar U.K., Kildishev A.V., Yuan H.-K., Cai W., Xiao Sh., Drachev V.P., Shalaev V.M. Dual-band negative index metamaterial: double negative at 813 nm and single negative at 772 nm // Opt. Lett. 2007. V. 32. P. 1671–1673.
26 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
12. Cai W., Chettiar U.K., Yuan H.-K., de Silva V.C., Kildishev A.V., Drachev V.P., Shalaev V.M. Metamagnetics with rainbow colors // Opt. Express. 2007. V. 15. P. 3333–3341.
13. Chettiar U.K., Kildishev A.V., Klar Th.A., Shalaev V.M. Negative index metamaterial combining magnetic resonators with metal films // Optics Express. 2006. V. 14. ¹ 17. P. 7872–7877.
14. Lomakin V., Fainman Y., Urzhumov Y., Shvets G. Doubly negative metamaterials in the near infrared and visible regimes based on thin film nanocomposites // Optics Express. 2006. V. 14. ¹ 23. P. 11164–11177.
15. Koschny T., Kafesaki M., Economou E.N., Soukoulis C.M. Effective Medium Theory of Left-Handed Materials // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 93. ¹ 10. 107402.
16. Ziolkowski R.W., Heyman E. Wave propagation in media having negative permittivity and permeability // Phys.Rev. B. 2001. V. 64. ¹ 5. P. 056625.
17. Ziolkowski R.W. Propagation in and scattering from a
matched metamaterial having a zero index of refraction // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. ¹ 4. P. 046608.
18. Gabitov I.R., Indik R.A., Litchinitser N.M., Maimistov A.I., Shalaev V.M., Soneson J.E. Double-resonant optical materials with embedded metal nanostructures // JOSA. B. 2006. V. 23. ¹ 3. P. 535–542.
19. Smith D.R., Schultz S., Markos P., Soukoulis C.M. Determination of effective permittivity and permeability of metamaterials from reflection and transmission coefficients // Phys. Rev. B. 2002. V. 65. ¹ 19. P. 195104.
20. Katsarakis N., Koschny T., Kafesaki M., Economou E.N., Soukoulis C.M. Electric coupling to the magnetic resonance of split ring resonators // Appl. Phys. Lett. 2004. V. 84. ¹ 15. P. 2943–2945.
21. Gould R.W. Echoes in collision-free plasma // Phys. Lett. A. 1967. V. 25. ¹ 7. P. 559–560.
22. Gould R.W., O’Neil T.M., Malmberg J.H. Plasma Wave Echo // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. ¹ 5. P. 219–222.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
27
ÏÐÅËÎÌËÅÍÈÅ ÏÐÅÄÅËÜÍÎ ÊÎÐÎÒÊÈÕ ÈÌÏÓËÜÑΠ ÒÎÍÊÎÉ ÏËÅÍÊÅ ÌÅÒÀÌÀÒÅÐÈÀËÀ, ÏÎÃÐÓÆÅÍÍÎÉ Â ÄÈÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÓÞ ÑÐÅÄÓ
© 2008 ã.
Ñ. Î. Åëþòèí, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê; Ñ. Ñ. Îæåíêî; À. È. Ìàéìèñòîâ, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê Ìîñêîâñêèé èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêèé èíñòèòóò, Ìîñêâà Å-mail: soelyutin@email.mephi.ru
Ðàññìîòðåíû ïðåëîìëåíèå è îòðàæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïðåäåëüíî êîðîòêîãî èìïóëüñà íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ äèýëåêòðèêîâ, íà êîòîðîé ðàñïîëîæåíà òîíêàÿ ïëåíêà ìåòàìàòåðèàëà. Îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà ïëåíêè îïèñûâàþòñÿ íà îñíîâå ìîäåëè äâóõ ñîðòîâ îñöèëëÿòîðîâ, îäèí èç êîòîðûõ îòâå÷àåò ëèíåéíîìó îòêëèêó íà ìàãíèòíîå ïîëå èìïóëüñà, äðóãîé – íåëèíåéíîìó îòêëèêó íà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. ×èñëåííûé àíàëèç ïîêàçûâàåò âîçìîæíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ îñöèëëÿòîðíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ýõà â íåîäíîðîäíîì àíñàìáëå ìåòààòîìîâ. Íàáëþäàåìûå êîãåðåíòíûå ýôôåêòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ èññëåäîâàíèÿ îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïëåíîê ìåòàìàòåðèàëîâ.
Êîäû OCIS: 190.4350, 240.0310, 310.6860, 350.3618.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 05.05.2008.
Ââåäåíèå
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ñîçäàíèå èñêóññòâåííûõ ìàòåðèàëîâ ñ íåîáû÷íûìè ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè âûçûâàåò îãðîìíûé èíòåðåñ ñïåöèàëèñòîâ â îáëàñòè ôèçèêè êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ, îïòèêè êîìïîçèòíûõ ñðåä è ëàçåðíîé ôèçèêè (ñì. îáçîðû [1–6]). ×òîáû ïîä÷åðêíóòü “ðóêîòâîðíîå” ïðîèñõîæäåíèå òàêèõ ñðåä, èõ ñòàëè íàçûâàòü ìåòàìàòåðèàëàìè. Ïîäîáíî òîìó, êàê îáû÷íûå ñðåäû ñîñòàâëåíû èç àòîìîâ (èëè ìîëåêóë), ìåòàìàòåðèàëû îáðàçîâàíû èç ýëåìåíòàðíûõ ñòðóêòóðíûõ åäèíèö, ðàçìåðû êîòîðûõ ïîðÿäêà ñîòåí è òûñÿ÷ íàíîìåòðîâ.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ìíîãî óñèëèé çàòðà÷èâàåòñÿ íà ñîçäàíèå ìåòàìàòåðèàëîâ äëÿ îïòè÷åñêîãî äèàïàçîíà [7–9], è óæå ñîçäàíû ñðåäû ñ îòðèöàòåëüíûì ïðåëîìëåíèåì â èíôðàêðàñíîì äèàïàçîíå [10, 11]. Åñòü ðÿä îáñòîÿòåëüñòâ, êîòîðûå ñëåäóåò îòìåòèòü. Âñå îáðàçöû òàêèõ ñðåä èçãîòîâëåíû â âèäå òîíêèõ ïëåíîê [12–14]. Êîíñòðóêòèâíîå ðàçíîîáðàçèå ýëåìåíòàðíûõ ñòðóêòóðíûõ åäèíèö çàòðóäíÿåò ñîçäàíèå óíèâåðñàëüíîé òåîðèè îïòè÷åñêèõ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé â ìåòàìàòåðèàëàõ, ïðèõîäèòñÿ ñòðîèòü ìîäåëü ýôôåêòèâíîé ñðåäû, ñâîéñòâà êîòîðîé ìåíÿþòñÿ îò îáðàçöà ê îáðàçöó [15]. Îäíàêî ìîæíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî íàèáîëåå îáùèå ñâîéñòâà ìåòàìàòåðèàëîâ óäàñòñÿ îïèñàòü â ðàìêàõ ïðîñòûõ îáîáùåíèé ìîäåëè Ëîðåíöà.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìîòðåíû ïðåëîìëåíèå è îòðàæåíèå ïðåäåëüíî êîðîòêîãî èìïóëüñà (ÏÊÈ) ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ (èìïóëüñà, èìåþùåãî îäíî èëè íåñêîëüêî êîëåáàíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ) íà íåëèíåéíîé ãðàíèöå ðàçäåëà äèýëåêòðè÷åñêèõ ñðåä. Åñëè òîëùèíà ïëåíêè ìåíüøå äëèíû îá-
ëàñòè, çàíèìàåìîé ÏÊÈ â ïðîñòðàíñòâå, òî îãèáàþùèå èìïóëüñîâ îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííîé âîëí ñâÿçàíû ñ ïàäàþùåé âîëíîé óñëîâèÿìè íåïðåðûâíîñòè. Ýâîëþöèþ ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè ïëåíêè ìîæíî îïðåäåëèòü, çàäàâ ìîäåëü ìåòàìàòåðèàëà. Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ ìîäåëü îñöèëëÿòîðîâ äëÿ ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè [16, 17], ó÷èòûâàþùàÿ íåëèíåéíûé îòêëèê ìåòàìàòåðèàëà [18].  ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïîä äåéñòâèåì êîðîòêèõ èìïóëüñîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ ôîðìèðóþòñÿ êîãåðåíòíûå îòêëèêè òèïà îïòè÷åñêèõ íóòàöèé è ôîòîííîãî ýõà. Òåì ñàìûì ïîêàçàíî, ÷òî ìåòîäû êîãåðåíòîé ñïåêòðîñêîïèè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ èññëåäîâàíèÿ îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìåòàìàòåðèàëîâ òàêîãî ñîðòà.
Îïèñàíèå ìîäåëè
Ïðè îïèñàíèè íåëèíåéíîãî îòêëèêà ïëåíêè èñïîëüçóåòñÿ ôåíîìåíîëîãè÷åñêàÿ ìîäåëü îñöèëëÿòîðîâ äëÿ ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè. Îáúåäèíÿÿ óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïîëÿðèçàöèþ è íàìàãíè÷åííîñòü ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà äâóõ ñðåä (ïëîñêîñòü yz), ìåæäó êîòîðûìè íàõîäèòñÿ ïëåíêà, ìîæíî ïîëó÷èòü ïîëíîþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ïðåëîìëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Çäåñü îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà âîëíîâîé âåêòîð ïàäàþùåé âîëíû ïåðïåíäèêóëÿðåí ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä (ïðè ýòîì ñòèðàåòñÿ ðàçëè÷èå ìåæäó âîëíàìè òèïà ÒÅ è ÒÌ, ïîòîìó èñïîëüçóåòñÿ âîëíîâîå óðàâíåíèÿ äëÿ ÒÅâîëí) è äëèòåëüíîñòü èìïóëüñîâ ìåíüøå âñåõ âðåìåí ðåëàêñàöèè.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè ìàòåðèàëà, èç êîòîðîãî îáðàçîâàíà òîíêàÿ ïëåí-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
21
êà, âûáèðàåòñÿ ìîäåëü, îñíîâàííàÿ íà ïðåäïîëîæå-
íèè, ÷òî ëèíåéíûé îòêëèê ìåòàìàòåðèàëà ìîæåò
áûòü îïèñàí ýôôåêòèâíûìè ýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòÿìè [16, 17] ε(ω) = 1 – ω2p/ω2 è μ(ω) = 1 + βmω2/(ωT2 – ω2). Ýòèì âåëè÷èíàì ñîîòâåòñòâóþò óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ïîëÿðèçàöèè
Py(t) è íàìàãíè÷åííîñòè Mz(t)
∂2 Py ∂t2
=
ω2p 4π
Ey
,
∂2M z ∂t2
+ ΩT2 M z
=
−
βm 4π
∂2Hz ∂t 2
,
(1)
â êîòîðûõ ωp – ïëàçìåííàÿ ÷àñòîòà, ΩT – ÷àñòîòa Òîìñîíà, βm – ïàðàìåòð, îïðåäåëÿþùèé ÝÄÑ èíäóêöèè ìàãíèòíûõ îñöèëëÿòîðîâ [19, 20]. Ñîãëàñíî ðàáîòå [18] ìîæíî ó÷åñòü ïîãëîùåíèå è íåëèíåéíîñòü îòêëèêà, çàïèñàâ äëÿ îáúåìíîé ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè ìàòåðèàëà òîíêîé ïëåíêè óðàâíåíèÿ
∂2 Py ∂t2
+ Ωd2 Py + Γe
∂Py ∂t
+ αPy3
=
ω2p 4π
Ey ,
∂2M z ∂t2
+ ΩT2 M z + Γm
∂M z ∂t
=
−
βm 4π
∂2Hz ∂t2
,
(2)
ãäå Ωd – ÷àñòîòà ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ íàíî÷àñòèö, α – êîýôôèöèåíò íåëèíåéíîñòè. Ïîòåðè, ñâÿçàííûå ñ çàòóõàíèåì ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé è îìè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì â êîíòóðàõ, ó÷èòûâàþòñÿ ïàðàìåòðàìè Γe è Γm. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëèòåëüíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíûõ èìïóëüñîâ çíà÷èòåëüíî êîðî÷å õàðàêòåðíîãî âðåìåíè çàòóõàíèÿ ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé, òîãäà äèññèïàòèâíûìè ñëàãàåìûìè â (2) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Ey è ìàãíèòíîãî ïîëÿ Hz, êîòîðûå âõîäÿò â óðàâíåíèÿõ (1) è (2), ÿâëÿþòñÿ íàïðÿæåííîñòÿìè ïîëåé âíóòðè ïëåíêè.
Îòâå÷àþùèå äàííîé ìîäåëè äèýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòè â ëèíåéíîì ïðåäåëå äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè
ε(ω)
=
1
+
ω2p
/(Ω
2 d
−
ω2
),
μ(ω) = 1 + βmω2/(ΩT2 − ω2).
Îïðåäåëÿåìûå îòñþäà íóëè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëå-
íèÿ
äîñòèãàþòñÿ
ïðè
÷àñòîòàõ
ω12 = ω2p
+
Ω
2 d
è
ω22
=
Ω
2 T
(
1
–
βm).
Îòðèöàòåëüíîå
ïðåëîìëåíèå
ñëåäóåò îæèäàòü â ïîëîñå ÷àñòîò max{Ωd, ωT} < ω <
< min{ω1, ω2}.
Ãîâîðÿ î ïðåäåëüíî êîðîòêèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ
èìïóëüñàõ, ñëåäóåò ðàçëè÷àòü äâà âèäà òàêèõ ÏÊÈ.
Ñóùåñòâóþò ÏÊÈ áåç íåñóùåé âîëíû, â êîòîðûõ íà-
ïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, â ÷àñòíîì ñëó-
÷àå ãàóññîâà èìïóëüñà, ìîæíî ïðåäñòàâèòü ôîðìó-
ëîé E(x, t) = E0exp{–(t ± x/c)2/2tp2}, ãäå tp – äëèòåëüíîñòü òàêîãî èìïóëüñà. Åãî ôóðüå-ñïåêòð (ïðè õ = 0)
E(0, ω) = E0tpexp{–tp2ω2/2} ëîêàëèçîâàí îêîëî ω = 0
è èìååò øèðèíó íà ïîëóâûñîòå Δω = 2 2ln2t−p1. Èíîãäà òàêîé èìïóëüñ íàçûâàþò âèäåîèìïóëüñîì èëè óíèïîëÿðíûì èìïóëüñîì. ÏÊÈ äðóãîãî âèäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå êàê èìïóëüñ êâàçèãàðìîíè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, ñæàòûé ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíûõ óñòðîéñòâ äî äëèòåëüíîñòè ïîðÿäêà ïåðèîäà êîëåáàíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ èñõîäíîãî ñèãíàëà. Åãî âðåìåííóþ ôîðìó (â ãàóññîâîì ïðèáëèæåíèè) ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
E(x,t) =
=
E0exp{− (t
±
x/c
)2/
2t
2 p
}exp{−iω0t
+
ik0 x}
+
c.c.,
ãäå ñ – ñêîðîñòü ñâåòà, ω0 – ÷àñòîòà íåñóùåé âîëíû è k0 = ω0/c, ñ.ñ. îçíà÷àåò êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííóþ âåëè÷èíó. Ïðè ýòîì tpω0 ≈ 1. Ôóðüå-ñïåêòð òàêîãî èìïóëüñà – ïóëüñîíà – îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
E(x
=
0,
ω)
=
E0t
p
exp{−t
2 p
(ω
−
ω0
)2
/2}
+
+
E0t
p
exp{−t
2 p
(ω
+
ω0
)2
/
2}.
Øèðèíà íà ïîëóâûñîòå ó ïóëüñîíà òàêàÿ æå, êàê è ó âèäåîèìïóëüñà, íî ñïåêòðàëüíûå êîìïîíåíòû ñäâèíóòû íà âåëè÷èíó ÷àñòîòû íåñóùåé âîëíû. Èçìåíÿÿ ω0, ìîæíî ïåðåìåùàòü ýòîò ÏÊÈ èç ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè, â êîòîðîé ìåòàìàòåðèàë õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ, â îáëàñòü îòðèöàòåëüíîãî ïðåëîìëåíèÿ. Ýòî ïîçâîëÿåò ñðàâíèâàòü îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà ñðåäû íà ÷àñòîòàõ, ãäå ñðåäà ïðîÿâëÿåò ëèáî ïîëîæèòåëüíîå, ëèáî îòðèöàòåëüíîå ïðåëîìëåíèå.
Ïóñòü ïëîñêàÿ âîëíà ïàäàåò ïî íîðìàëè íà ãðàíèöó ðàçäåëà ñî ñòîðîíû x < 0. Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äèýëåêòðè÷åñêèå ñðåäû íå îáëàäàþò äèñïåðñèåé.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü ðåøåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà äëÿ êàñàòåëüíîãî êîìïîíåíòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Ey(x, t) â âèäå
Ey
( x, t )
=
⎧ ⎨ ⎩
fa (t fb (t
− −
x/Va ) x/Vb )
+ ,
ga
(t
+
x/Va
)
,
x x
< >
00.
(3)
Çäåñü Va – ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ “óåäèíåííîé” âîëíû (èìïóëüñà) â ñðåäå ïðè x < 0,
Vb – ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ èìïóëüñà â ñðåäå ïðè x > 0. Ôóíêöèè fa, fb è ga îïèñûâàþò èìïóëüñû ïàäàþùåé, îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííûõ âîëí
ñîîòâåòñòâåííî. Áëàãîäàðÿ îòñóòñòâèþ äèñïåðñèè â
ýòèõ ñðåäàõ ãðóïïîâûå ñêîðîñòè ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿí-
íûìè âåëè÷èíàìè, õàðàêòåðèçóþùèìè ñðåäû. Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ ∂Ey/∂x = –c–1∂Hz/∂t ìîæíî íàéòè
H z (x,t) =
=
⎨⎩⎧((cc//VVab
)[ fa (t − x/Va ) ) fb (t − x/Vb ) ,
−
ga
(t
+
x/Va
)],
x x
< >
00.
(4)
22 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
Óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé
Ey (0−)
−
Ey
(0+)
=
4π c
∂ ∂t
M
( z
s)
,
H
z
(0−)
−
Hz
(0+)
=
+
4π c
∂ ∂t
Py(s)
(5)
äàþò ñîîòíîøåíèÿ, îáîáùàþùèå ôîðìóëû Ôðåíåëÿ íà ðàññìàòðèâàåìûé ñëó÷àé â îáùåì ñëó÷àå íåãàðìîíè÷åñêèõ âîëí
Etr (t)
=
2Vb Va + Vb
Ein (t)
−
4πVb c(Va + Vb )
×
×
⎛ ⎜ ⎝
∂ ∂t
M
( z
s
)
(t
)
+
Va c
∂ ∂t
Py(s
)
(t
)
⎞ ⎟
,
⎠
Eref
(t)
=
Vb − Va Va + Vb
Ein (t)
+
4πVa c(Va + Vb )
×
×
⎛∂
⎜ ⎝
∂
t
M
( z
s)
(t
)
−
Vb c
∂ ∂t
Py(
s)
(t
)
⎞ ⎟
.
⎠
(6)
 óðàâíåíèÿ (6) âõîäÿò ïîâåðõíîñòíûå ïîëÿðèçàöèÿ è íàìàãíè÷åííîñòü òîíêîé ïëåíêè, òîãäà êàê â óðàâíåíèÿõ (1) èëè (2) ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåìåííûå ñóòü îáúåìíûå ïîëÿðèçàöèÿ è íàìàãíè÷åííîñòü. Ýòè âåëè÷èíû ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèÿìè Py(s)(t) = Py(t)lf è Mz(s)(t) = Mz(t)lf , ãäå lf – òîëùèíà ïëåíêè. Çäåñü Ein(t) = fa(t) – íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ çàäàííîé ïàäàþùåé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ïðè x = 0–, ga(t) = Eref (t) è fb(t) = Etr(t) – íàïðÿæåííîñòè ïðåëîìëåííîé (ïðè x = 0+) è îòðàæåííîé (ïðè x = 0–) âîëí.
Ñîîòíîøåíèÿ (5) ïîêàçûâàþò, ÷òî èç-çà íàìàãíè÷åííîñòè è ïîëÿðèçóåìîñòè òîíêîé ïëåíêè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåé ðàçëè÷íû ïî ðàçíûå ñòîðîíû ïëåíêè. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè íåîáõîäèìî çíàòü ïîëå âíóòðè ïëåíêè, ÷òî ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëàì
Ey,z (x = 0) = Ey,z (x = 0−) + + 0,5[Ey,z (x = 0+) − Ey,z (x = 0−)] = = 0,5[Ey,z (x = 0+) + Ey,z (x = 0−)],
H y,z (x = 0) = H y,z (x = 0−) + + 0,5[H y,z (x = 0+) − H y,z (x = 0−)] = = 0,5[H y,z (x = 0+) + H y,z (x = 0−)].
(7)
Îòñþäà äëÿ íàïðÿæåííîñòåé ïîëåé âíóòðè ïëåíêè ñëåäóþò âûðàæåíèÿ
E(t) = [Etr (t) + Ein (t) + Eref (t)]/2,
H (t) = ⎣⎡(c/Vb )Etr (t) + (c/Va )( Ein(t) − Eref (t))⎤⎦ /2 =
{ }= εb Etr (t) + εa Ein (t) − εa Eref (t) /2,
ãäå èíäåêñû y è z îïóùåíû. Äëÿ ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ ïðåëîìëåíèÿ
ÏÊÈ íà íåëèíåéíîé ãðàíèöå ðàçäåëà óäîáíî ïåðåéòè ê áåçðàçìåðíûì ïåðåìåííûì è èñêëþ÷èòü íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ â (2).
Ïóñòü íîðìèðîâàííûå ïåðåìåííûå îïðåäåëåíû ñîîòíîøåíèÿìè etr = Etr/E0, ein = Ein/E0, q = 4πPy/E0, m = 4πn1Mz/E0 è τ = ωpt. Óðàâíåíèÿ â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷åííûå èç (2) è (6), èìåþò âèä
etr
(t)
=
F0ein
(t)
−
g
∂ ∂τ
(〈q〉d
+
〈m〉T
)
,
eref
(t)
=
R0 ein (t )
−
g
∂ ∂τ
(〈q〉d
−
n12 〈m〉T
),
(8)
∂2q ∂τ2
+
ωd2
(r)q
+
γe
∂q ∂τ
+
κq3
=
1 2
( etr
+
ein
+
eref
),
∂2m ∂τ2
+
ωT2
(r)m
+
γm
∂m ∂τ
=
(9)
{ }=
−
βm n12 2
∂2 ∂τ2
n12etr + ein − eref
,
ãäå q è m – íîðìèðîâàííûå îáúåìíûå ïîëÿðèçàöèÿ
è íàìàãíè÷åííîñòü ìàòåðèàëà ïëåíêè, n1,2 = εa,b , n12 = εb/εa , κ = α(E0/4πωp)2 – áåçðàçìåðíûé ïàðà-
ìåòð êóáè÷åñêîé íåëèíåéíîñòè ïëåíêè, γe, m = Γe, m/ωp – íîðìèðîâàííûå êîýôôèöèåíòû ïîòåðü. Íîðìèðî-
âàííûå ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ýëåêòðè-
÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî îñöèëëÿòîðîâ îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè ω2d (r) = Ω2d(r)/ω2p è ω2T (r) = Ω2T (r)/ω2p. Êîíñòàíòà ñâÿçè g è êîýôôèöèåíòû ïðåëîìëåíèÿ F0 è îòðàæåíèÿ R0, çàâèñÿùèå îò ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ îêðóæàþùèõ ïëåíêó ñðåä, îïðåäåëåíû
âûðàæåíèÿìè
( )g = c
lf ωp
, F0 =
εa + εb
2 εb εa + εb
,
R0 =
εb − εa . εa + εb
E0 – íåêîòîðîå çíà÷åíèå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, íà êîòîðîå ïðîâîäèòñÿ íîðìèðîâêà, è â êà÷åñòâå êîòîðîãî ìîæíî âçÿòü àìïëèòóäó ïàäàþùåãî èìïóëüñà.
 (8) óãîëêîâûå ñêîáêè 〈 〉d, 〈 〉Ò îáîçíà÷àþò óñðåäíåíèå ïî ÷àñòîòàì ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ äëÿ àíñàìáëåé íàíî÷àñòèö è íàíîêîíòóðîâ ñîîòâåòñòâåííî. ×àñòîòû ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ äëÿ îñ-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
23
öèëëÿòîðîâ ωd(r) è êîíòóðîâ ωT (r) ÿâëÿþòñÿ ôóíê-
öèÿìè îò èõ íîðìèðîâàííîãî íà åäèíèöó ðàçìåðà r,
÷òî ìîæíî ïðåäñòàâèòü ωT (r) = ω–TT(r) Ïàðàìåòðû
â ω–d
âèäå è ω–T
ωd(r) = ω–dd(r) è îòâå÷àþò íîðìè-
ðîâàííûì çíà÷åíèÿì ÷àñòîò â îïèñûâàåìûõ ðàñïðå-
äåëåíèÿõ. Ñïåöèôè÷íàÿ ôîðìà ôóíêöèé d(r) è T(r)
îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè ìåòàìàòåðèàëà. Â íàñòîÿ-
ùåì èññëåäîâàíèè èñïîëüçîâàëèñü ðàñïðåäåëåíèÿ
d(r) = T(r) = exp[–(r – 1)].
Påçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ
Ñèñòåìû óðàâíåíèé (8), (9) îòíîñèòåëüíî âåëè÷èí etr(t), eref(t) ðåøàëèñü ÷èñëåííî ñ ïîìîùüþ èòåðàöèîííîé ïðîöåäóðû “ïðîãíîç-êîððåêöèÿ” ïðè çàäàííîì ïîëå ïàäàþùåãî èìïóëüñà ein(t). Ïðè ýòîì èìåëàñü îïðåäåëåííàÿ òðóäíîñòü, ñâÿçàííàÿ ñ òåì, ÷òî ïîëÿðèçàöèÿ è íàìàãíè÷åííîñòü îòäåëüíûõ ìåòààòîìîâ îïðåäåëÿþòñÿ ïîëÿìè, êîòîðûå â ñâîþ î÷åðåäü çàâèñÿò îò ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè, ïîëó÷åííîé â ðåçóëüòàòå óñðåäíåíèÿ ïî àíñàìáëþ âñåõ ìåòààòîìîâ. Ïðîáëåìà ïðåîäîëåâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ äîïîëíèòåëüíîé èòåðàöèîííîé ïðîöåäóðû âû÷èñëåíèÿ ïîëåé ïðåëîìëåííîé è îòðàæåííîé âîëí. Ïðè ýòîì â ðîëè íà÷àëüíûõ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé ïîëåé áðàëèñü çíà÷åíèÿ, ïîëó÷åííûå ïî ôîðìóëàì Ôðåíåëÿ, îòâå÷àþùèå ñëó÷àþ ãðàíèöû ðàçäåëà áåç òîíêîé ïëåíêè. Ïîñëå äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè ïðîöåññ èòåðàöèé çàâåðøàëñÿ.
Íàäî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî íàáëþäàåìûå ñèãíàëû ýõî-îòêëèêîâ èìåþò òó æå ïðèðîäó, ÷òî è èçâåñòíîå îñöèëëÿòîðíîå (ïëàçìåííîå) ýõî [21, 22], òàê êàê è â íàøåì ñëó÷àå îíî ôîðìèðîâàëîñü àíñàìáëåì ýëåêòðè÷åñêèõ (ïëàçìîííûõ) îñöèëëÿòîðîâ. Ìàãíèòíûå îñöèëëÿòîðû äàþò äîïîëíèòåëüíûé âêëàä â ãåíåðèðóåìûå ñèãíàëû è ïðèâîäÿò ê åãî óñèëåíèþ ïðè âûïîëíåíèè ðåçîíàíñíûõ óñëîâèé.
Îñöèëëÿòîðíîå ýõî âîçíèêàåò â ôîðìå ýêâèäèñòàíòíîé öåïî÷êè ñèãíàëîâ â ìîìåíòû ïîñëå äâóêðàòíîãî âîçáóæäåíèÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû ÏÊÈ (pèñ. 1). Ãðàôèêè íà pèñ. 1 ïîêàçûâàþò, ÷òî ýôôåêò îñöèëëÿòîðíîãî ýõà ïîëíîñòüþ èñ÷åçàåò, åñëè áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð êóáè÷åñêîé íåëèíåéíîñòè ïëåíêè κ ïîëîæèòü ðàâíûì íóëþ (pèñ. 1). Íà âñòàâêå (ðèñ. 1â) ïîêàçàíû ôîðìôàêòîð íåîäíîðîäíî óøèðåííîãî àíñàìáëÿ ìåòààòîìîâ è çàâèñèìîñòü íîðìèðîâàííîé ÷àñòîòû ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ ωd îò r – íîðìèðîâàííîãî ðàçìåðà ìåòààòîìîâ (íàíî÷àñòèö, íàíîêîíòóðîâ, íàíîïðîâîëî÷åê).
Îáëó÷åíèå òîíêîé ïëåíêè ïóëüñîíàìè ïîçâîëÿåò, ìåíÿÿ ÷àñòîòó íåñóùåé âîëíû ω0, âîçáóæäàòü ðàçëè÷íûå ñïåêòðàëüíûå îáëàñòè èññëåäóåìîé ñèñòåìû ìåòààòîìîâ. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî âûäåðæàòü óñëîâèå tpω0 ≈ π2/2, êîòîðîå îçíà÷àåò, ÷òî ñäâèã ÷àñòîòû ñïåêòðà ïóëüñîíà äîëæåí ñîïðîâîæäàòüñÿ èçìåíåíèåì ïîëíîé äëèòåëüíîñòè ïóëüñîíà.
Ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî ýôôåêò îñöèëëÿòîðíîãî ýõà â àíñàìáëå ìåòààòîìîâ óñèëèâàåòñÿ, êîãäà ÷àñ-
(à) 1,0
1 0,8
0,6 2
0
(á) 1,0 2 (â)
12
0,8 1 1
0,6 2 0 0 1 2r
0
Àìïëèòóäû, îòí. åä.
–0,2
3 κ = 0,2
–0,2
3 κ=0
–0,4 0
100 200 τ –0,4 0
100 200 τ
Ðèñ. 1. Ýôôåêò îñöèëëÿòîðíîãî eref. ω0 = 0,8, ω–d = 0,7, ω–T = 0,9, ωa
ýõà â òîíêîé ïëåíêå èç ìåòàìàòåðèàëà ïðè κ = 0,2 (a) è κ = 0 (á). 1 = 1,22, ωb = 1,01, δpuls = ωptp2,0; â – çàâèñèìîñòè îò r ôîðìôàêòîðà
– ein, (1) è
2 – etr, 3 – íîðìèðî-
âàííîé ÷àñòîòû ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ ωd (2). Îñòàëüíûå ïîÿñíåíèÿ ñì. â òåêñòå.
24 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
òîòà ïóëüñîíà ïîïàäàåò â îáëàñòü îòðèöàòåëüíîãî ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ (ÎÏÏ). Ýòîò ñëó÷àé èëëþñòðèðóåòñÿ íà pèñ. 2. Ýõî ãåíåðèðîâàëîñü ïàðîé ïóëüñîíîâ ñ íåñóùåé ÷àñòîòîé, ëåæàùåé â ãðàíèìöàèõωîa2á=ëà1ñò+èω–Îd2,ÏωÏb2 ,=ωω–aT2è(1ω–b,βîmï)–ð1å.äÍåàëâåñíòíàûâõêåô(îððèìñ.ó2ëáà)ïîêàçàíî ïîâåäåíèå ýôôåêòèâíûõ äèýëåêòðè÷åñêîé τ(ω) è ìàãíèòíîé μ(ω) ïðîíèöàåìîñòåé è ýôôåêòèâíîãî ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ nf (ω). Òåìíàÿ òî÷êà óêàçûâàåò ïîëîæåíèå ÷àñòîòû íåñóùåé âîëíû ïóëüñîíîâ â îáëàñòè ÎÏÏ.
Ðèñóíîê 3 ïîêàçûâàåò, êàê ìåíÿåòñÿ ôîðìà ïðåëîìëåííîãî (à) è îòðàæåííîãî (á) ÏÊÈ â çàâèñèìîñòè îò ÷àñòîòû ω0. Îêîëî ýëåêòðîäèïîëüíîãî è ìàãíèòîäèïîëüíîãî ðåçîíàíñîâ âîçíèêàåò íóòàöèîííîå ïîâåäåíèå íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé. Ýòî î÷åâèäíîå ïðîÿâëåíèå êîãåðåíòíîãî õàðàêòåðà âçàèìîäåéñòâèÿ ÏÊÈ ñ ìåòààòîìàìè òîíêîé ïëåíêè. Íà ðèñ. 3â ïîêàçàíû çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ è ïðîïóñêàíèÿ ÏÊÈ, èëëþñòðèðóþùèå ïåðåðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ìåæäó îòðàæåííûì è ïðîøåäøèì ÏÊÈ â çàâèñèìîñòè îò ÷àñòîòû ïóëüñîíà. Êîýôôèöèåíòû ïðîïóñêàíèÿ è îòðàæåíèÿ îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè
∞∞
∫ ∫F = n12 et2r (τ)d τ
ei2n (τ)d τ ,
−∞ −∞
∞∞
∫ ∫R = er2ef (τ)dτ ei2n (τ)dτ.
−∞ −∞
 ïðåäñòàâëåííûõ çäåñü ðåçóëüòàòàõ ðàñ÷åòîâ èñïîëüçîâàëèñü ñëåäóþùèå ïàðèìåòðû òîíêîé ïëåíêè: n12 = 1,5, βm = 0,2, g = 0,15, γe, m = 0,01, κ = 0,2.
Çàêëþ÷åíèå
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñâîéñòâ èñêóññòâåííî ñîçäàííûõ êîìïîçèòíûõ ìàòåðèàëîâ, ïîëó÷èâøèõ íàçâàíèå ìåòàìàòåðèàëû. Ïðåäñòàâëåíà íàèáîëåå ïðîñòàÿ ìîäåëü, îïèñûâàþùàÿ ïðîõîæäåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ÷åðåç òîíêóþ ïëåíêó ìåòàìàòåðèàëà. Ïðè ýòîì äëÿ îïèñàíèÿ îòêëèêà ìåòàìàòåðèàëà èñïîëüçîâàëàñü îáîáùåííàÿ íà íåëèíåéíûé ñëó÷àé ìîäåëü Ëîðåíöà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ òîíêóþ ïëåíêó ìåòàìàòåðèàëà êàê íàáîð èç ìíîæåñòâà ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ îñöèëëÿòîðîâ, èìåþùèõ ðàçëè÷íûå ÷àñòîòû
(à)
2 1
12 3
0
(á)
43
2 0 0,6 0,8
ωd 1 ωT 2
–4
ÎÏÏ
ω0 2
1,2
1,4
3 ω
ωa, ωb
Àìïëèòóäû, îòí. åä.
–1 ýõî
0 100 200 τ
Ðèñ. 2. a – ýôôåêò îñöèëëÿòîðíîãî ýõà â òîíêîé ïëåíêå èç ìåòàìàòåðèàëà, õàðàêòåðèçóåìîé ñïåêòðàëüíûìè ïàðàìåòðàìè ω–d = 0,5, ω–T = 1,0, ωa = 1,12, ωb = 1,12, îáëó÷àåìîé ïàðîé ïóëüñîíîâ ñ íåñóùåé (íîðìèðîâàííîé) ÷àñòîòîé ω0 = 1,05, δpuls = 4,77. 1 – ein, 2 – etr, 3 – eref; á – çàâèñèìîñòè îò ω ýôôåêòèâíûõ äèýëåêòðè÷åñêîé ε(ω) è ìàãíèòíîé μ(ω) ïðîíèöàåìîñòåé è ýôôåêòèâíîãî ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ nf (ω) (1, 2 è 3 ñîîòâåòñòâåííî).
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
25
(à)
0 40 τ 80 120
etr 0,2 0
3
2 ω0
1
(á) eref 0,2
0
3
0 40 τ 80 120
(â)
13
0,8 2 0,6
0,4 1
0,2
2 ω0
1
0 1 2 3 ω0
Ðèñ. 3. Èçìåíåíèå âðåìåííîãî ïðîôèëÿ ïðåëîìëåííîãî (à) è îòðàæåííîãî (á) ÏÊÈ â çàâèñèìîñòè îò ÷àñòîòû ïóëüñàöèé ω0 â òîíêîé ïëåíêå èç ìåòàìàòåðèàëà, õàðàêòåðèçóåìîé ñïåêòðàëüíûìè ïàðàìåòðàìè ω–d = 1,0, ω–T = 3,0, ωa = 1,22, ωb = 1,01; â – çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ R (1) è ïðîïóñêàíèÿ F (2) îò ÷àñòîòû ω0, 3 – R + F.
ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ. Íà îñíîâå ýòîé ìîäåëè ðàññìîòðåíû îòðàæåíèå è ïðîõîæäåíèå èìïóëüñîâ ïðîèçâîëüíîé äëèòåëüíîñòè, â òîì ÷èñëå ïðåäåëüíî êîðîòêèõ èìïóëüñîâ, ÷åðåç òîíêóþ ïëåíêó ìåòàìàòåðèàëà, ÷òî ïîçâîëÿåò ðàññìîòðåòü ñàìûé øèðîêèé êðóã îïòè÷åñêèõ ýôôåêòîâ. Ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäåìîíñòðèðîâàíà ãåíåðàöèÿ êîãåðåíòíûõ îòêëèêîâ òèïà ôîòîííîãî ýõà â ñèñòåìå ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ îñöèëëÿòîðîâ,
ñâÿçàííûõ ÷åðåç îáùåå ïîëå âîçáóæäàþùèõ èìïóëüñîâ. Íàéäåíî, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè êîãåðåíòíûõ îòêëèêîâ ðàçëè÷íû äëÿ ÷àñòîòûõ îáëàñòåé ïîëîæèòåëüíîãî è îòðèöàòåëüíîãî ïðåëîìëåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, èçó÷åíèå ñâîéñòâ òàêèõ ñèãíàëîâ ïîçâîëÿåò â êàêîé-òî ñòåïåíè ñóäèòü î ïàðàìåòðàõ ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, ñîñòàâëÿþùèõ ìåòàìàòåðèàë.
Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëåííûå â ðàáîòå ðåçóëüòàòû îòêðûâàþò øèðîêèå âîçìîæíîñòè äëÿ èññëåäîâàíèé ìåòàìàòåðèàëîâ.
Íàì äîñòàâëÿåò óäîâîëüñòâèå ïîáëàãîäàðèòü êîëëåã È.Ð. Ãàáèòîâà, À.Ì. Áàøàðîâà, Í.Ì. Ëè÷èíèöåð çà ïîëåçíûå äèñêóññèè è çàìå÷àíèÿ, êàñàþùèåñÿ ðàññìîòðåííûõ çäåñü ïðîáëåì, è Äåïàðòàìåíò ìàòåìàòèêè Óíèâåðñèòåòà Àðèçîíû çà ïîääåðæêó. Ðàáîòà ÷àñòè÷íî ïîääåðæèâàëàñü ÐÔÔÈ (ãðàíò ¹ 06-02-16406).
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Pendry J.B. Negative refraction // Contemporary Physics. 2004. V. 45. Ð. 191–202.
12. Ramakrishna S.A. Physics of negative refractive index materials // Rep. Prog. Phys. 2005. V. 68. P. 449–521.
13. Àãðàíîâè÷ Â.Ì., Ãàðòøòåéí Þ.Í. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèñïåðñèÿ è îòðèöàòåëüíîå ïðåëîìëåíèå ñâåòà // ÓÔÍ. 2006. Ò. 176. Ñ. 1051–1068.
14. Veselago V., Braginsky L., Shklover V., Hafner Ch. Negative Refractive Index Materials // J. Comp. and Theor. Nanoscience. 2006. V. 3. ¹ 1. P. 1–30
15. Maimistov A.I., Gabitov I.R. Nonlinear optical effects in artificial materials // Eur. Phys. J. Special Topics. 2007. V. 147. ¹ 1. Ð. 265–286.
16. Litchinitser N.M., Gabitov I.R., Maimistov A.I., Shalaev V.M. Negative Refractive Index Metamaterials in Optics // Progress in Optics / Åd. E. Wolf. 2008. V. 51. Ð. 1–68.
17. Shalaev V.M., Cai W., Chettiar U.K., Yuan H.-K., Sarychev A.K., Drachev V.P., Kildishev A.V. Negative index of refraction in optical metamaterials // Opt. Lett. 2005. V. 30. P. 3356–3358.
18. Drachev V.P., Cai W., Chettiar U., Yuan H.-K., Sarychev A.K., Kildishev A.V., Klimeck G., Shalaev V.M. Experimental verification of an optical negative-index material // Laser Phys. Lett. 2006. V. 3. Ð. 49–55.
19. Shalaev V.M., Cai W., Chettiar U., Yuan H.-K., Sarychev A.K., Drachev V. P., Kildishev A.V. Negative index of refraction in optical metamaterials // Opt. Lett. 2005. V. 30. Ð. 3356– 3358.
10. Dolling G., Wegener M., Soukoulis C. M., Linden S. Negative-index metamaterial at 780 nm wavelength // Opt. Lett. 2007. V. 32. P. 53–55.
11. Chettiar U.K., Kildishev A.V., Yuan H.-K., Cai W., Xiao Sh., Drachev V.P., Shalaev V.M. Dual-band negative index metamaterial: double negative at 813 nm and single negative at 772 nm // Opt. Lett. 2007. V. 32. P. 1671–1673.
26 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
12. Cai W., Chettiar U.K., Yuan H.-K., de Silva V.C., Kildishev A.V., Drachev V.P., Shalaev V.M. Metamagnetics with rainbow colors // Opt. Express. 2007. V. 15. P. 3333–3341.
13. Chettiar U.K., Kildishev A.V., Klar Th.A., Shalaev V.M. Negative index metamaterial combining magnetic resonators with metal films // Optics Express. 2006. V. 14. ¹ 17. P. 7872–7877.
14. Lomakin V., Fainman Y., Urzhumov Y., Shvets G. Doubly negative metamaterials in the near infrared and visible regimes based on thin film nanocomposites // Optics Express. 2006. V. 14. ¹ 23. P. 11164–11177.
15. Koschny T., Kafesaki M., Economou E.N., Soukoulis C.M. Effective Medium Theory of Left-Handed Materials // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 93. ¹ 10. 107402.
16. Ziolkowski R.W., Heyman E. Wave propagation in media having negative permittivity and permeability // Phys.Rev. B. 2001. V. 64. ¹ 5. P. 056625.
17. Ziolkowski R.W. Propagation in and scattering from a
matched metamaterial having a zero index of refraction // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. ¹ 4. P. 046608.
18. Gabitov I.R., Indik R.A., Litchinitser N.M., Maimistov A.I., Shalaev V.M., Soneson J.E. Double-resonant optical materials with embedded metal nanostructures // JOSA. B. 2006. V. 23. ¹ 3. P. 535–542.
19. Smith D.R., Schultz S., Markos P., Soukoulis C.M. Determination of effective permittivity and permeability of metamaterials from reflection and transmission coefficients // Phys. Rev. B. 2002. V. 65. ¹ 19. P. 195104.
20. Katsarakis N., Koschny T., Kafesaki M., Economou E.N., Soukoulis C.M. Electric coupling to the magnetic resonance of split ring resonators // Appl. Phys. Lett. 2004. V. 84. ¹ 15. P. 2943–2945.
21. Gould R.W. Echoes in collision-free plasma // Phys. Lett. A. 1967. V. 25. ¹ 7. P. 559–560.
22. Gould R.W., O’Neil T.M., Malmberg J.H. Plasma Wave Echo // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. ¹ 5. P. 219–222.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
27