АНАБЕРРАЦИОННЫЙ МЕНИСК В СХЕМЕ КОНТРОЛЯ ВЫПУКЛЫХ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ÐÀÑ×ÅÒ, ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈÅ È ÏÐÎÈÇÂÎÄÑÒÂÎ ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ
ÓÄÊ 535.317.1
ÀÍÀÁÅÐÐÀÖÈÎÍÍÛÉ ÌÅÍÈÑÊ Â ÑÕÅÌÅ ÊÎÍÒÐÎËß ÂÛÏÓÊËÛÕ ÍÅÑÔÅÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÅÉ ÂÐÀÙÅÍÈß ÂÒÎÐÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ
© 2008 ã. Å. Â. Åðìîëàåâà; Â. À. Çâåðåâ, äîêòîð òåõí. íàóê Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
 ðàáîòå ïðîâåäåí àíàëèç ñâîéñòâ àíàáåððàöèîííîãî ìåíèñêà êàê ýëåìåíòà àâòîêîëëèìàöèîííîé ñõåìû êîíòðîëÿ âûïóêëûõ íåñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðåäñòàâëåíû âàðèàíòû ñõåìû êîíòðîëÿ.
Êîäû OCIS: 220.0220, 220.2740, 220.1250.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 16.10.2007.
 êëàññè÷åñêèõ çåðêàëüíûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ àñòðîíîìè÷åñêèõ òåëåñêîïîâ ïåðâàÿ îòðàæàþùàÿ ïîâåðõíîñòü (ãëàâíîå çåðêàëî) èìååò ôîðìó ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ, à âòîðàÿ îòðàæàþùàÿ ïîâåðõíîñòü (âòîðè÷íîå çåðêàëî) – ôîðìó âîãíóòîãî ýëëèïñîèäà â ñèñòåìå Ãðåãîðè, âûïóêëîãî ãèïåðáîëîèäà â ñèñòåìå Êàññåãðåíà è ôîðìó âûïóêëîãî ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ â àôîêàëüíîé ñèñòåìå Ìåðñåííà.
Ïîòðåáíîñòü â ðàçâèòèè àñòðîíîìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ è äîñòèãíóòûé ê êîíöó XIX âåêà óðîâåíü òåõíîëîãèè èçãîòîâëåíèÿ çåðêàë ñ íåñôåðè÷åñêèìè îòðàæàþùèìè ïîâåðõíîñòÿìè îïðåäåëèëè âîçìîæíîñòü è öåëåñîîáðàçíîñòü èçãîòîâëåíèÿ êëàññè÷åñêèõ çåðêàëüíûõ ñèñòåì, ïðåäëîæåííûõ åùå â XVII âåêå. Îäíàêî øèðîêîå ïðèìåíåíèå â îáúåêòèâàõ àñòðîíîìè÷åñêèõ òåëåñêîïîâ ýòè ñèñòåìû ïîëó÷èëè ëèøü â ïðîøëîì ñòîëåòèè.
Ðàçðàáîòêà ïðèáîðîâ èíôðàêðàñíîé òåõíèêè è êðóïíîãàáàðèòíûõ ñðåäñòâ íàáëþäåíèÿ ðàçëè÷íîãî íàçíà÷åíèÿ îïðåäåëèëà íåîáõîäèìîñòü ñîçäàíèÿ çåðêàëüíûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì, ôîðìèðóþùèõ èçîáðàæåíèå âûñîêîãî êà÷åñòâà â ïðåäåëàõ øèðîêîãî óãëîâîãî ïîëÿ. Çàäà÷ó îäíîâðåìåííîé êîìïåíñàöèè ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè, êîìû, àñòèãìàòèçìà è êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè èçîáðàæåíèÿ ïðèíöèïèàëüíî ìîæíî ðåøèòü, åñëè ïðèìåíèòü äëÿ åãî îáðàçîâàíèÿ îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç òðåõ îòðàæàþùèõ ïîâåðõíîñòåé íåñôåðè÷åñêîé ôîðìû. Âòîðè÷íîå çåðêàëî òàêèõ ñèñòåì, êàê ïðàâèëî, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âûïóêëóþ îòðàæàþùóþ ïîâåðõíîñòü ëþáîé ôîðìû, îïèñûâàåìîé óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà.
Äîñòèãíóòîå â ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà âûñîêîå êà÷å-
ñòâî èçîáðàæåíèÿ, îáðàçîâàííîãî çåðêàëüíîé îïòè-
÷åñêîé ñèñòåìîé, â ïðîöåññå èçãîòîâëåíèÿ ìîæíî
ñîõðàíèòü, åñëè îòêëîíåíèÿ îòðàæàþùèõ ïîâåðõ-
íîñòåé îò íîìèíàëüíîé ôîðìû íå áóäóò ïðåâûøàòü
ïî êðàéíåé
ìåðå
1 8
λ.
Ýòî
óñëîâèå
îïðåäåëÿåò âåñü-
ìà âûñîêèå òðåáîâàíèÿ ê òî÷íîñòè êîíòðîëÿ ôîð-
ìû îòðàæàþùèõ ïîâåðõíîñòåé â ïðîöåññå èõ îáðà-
áîòêè. Îò òîãî íàñêîëüêî óäà÷íî âûáðàí ìåòîä êîí-
òðîëÿ è ñîçäàíû ñðåäñòâà äëÿ åãî îñóùåñòâëåíèÿ,
çàâèñèò íå òîëüêî òðóäîåìêîñòü, íî è ñàìà âîçìîæ-
íîñòü èçãîòîâëåíèÿ äåòàëåé îáúåêòèâà.
Äëÿ òîãî ÷òîáû äîñòè÷ü òðåáóåìîé äîñòîâåðíî-
ñòè ðåçóëüòàòîâ, ñõåìà êîíòðîëÿ äîëæíà áûòü ïðå-
äåëüíî ïðîñòîé, êîíñòðóêöèÿ êîíòðîëüíîãî óñòðîé-
ñòâà – òåõíîëîãè÷íîé â èçãîòîâëåíèè è óäîáíîé ïðè
þñòèðîâêå.
Ðåøåíèþ ïðîáëåìû êîíòðîëÿ íåñôåðè÷åñêèõ
ïîâåðõíîñòåé óäåëÿëîñü îãðîìíîå âíèìàíèå íà âñåì
ïðîòÿæåíèè ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ, î ÷åì êîñâåííî
ñâèäåòåëüñòâóåò îáøèðíàÿ áèáëèîãðàôèÿ, ïðèâå-
äåííàÿ â [1].
Ïðèìåíåíèå ôàçîâûõ (êèíîôîðìíûõ) îïòè÷åñêèõ
ýëåìåíòîâ ñóùåñòâåííî îáëåã÷àåò çàäà÷ó ñîçäàíèÿ
ñðåäñòâ êîíòðîëÿ âîãíóòûõ îòðàæàþùèõ ïîâåðõ-
íîñòåé. Îäíàêî êîíòðîëü âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé
è â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëîæíóþ
íàó÷íî-òåõíè÷åñêóþ ïðîáëåìó.
Ïðèíöèïèàëüíî èäåàëüíîé ñõåìîé êîíòðîëÿ
ôîðìû íåñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ âòî-
ðîãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ ñõåìà, îñíîâàííàÿ íà èñïîëü-
çîâàíèè àíàáåððàöèîííûõ òî÷åê (ãåîìåòðè÷åñêèõ
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 4, 2008
35
ôîêóñîâ) ïîâåðõíîñòåé. Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå òðóäíîäîñòóïíû ëèáî îäèí èç ôîêóñîâ (âîãíóòûé ïàðàáîëîèä, âîãíóòàÿ è âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà), ëèáî îáà (âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü ýëëèïñîèäà è ïàðàáîëîèäà). Ïîýòîìó ïðèìåíåíèå òàêîé ñõåìû òðåáóåò äîïîëíèòåëüíûõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ. Ïðèìåðîì óäà÷íîãî ïîñòðîåíèÿ òàêîé ñõåìû ìîæåò ñëóæèòü ñõåìà Õèíäëà äëÿ êîíòðîëÿ ôîðìû âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà, â êîòîðîé â êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîãî îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà ïðèìåíåíà ñôåðà, öåíòð êðèâèçíû êîòîðîé ñîâìåùåí ñ òðóäíîäîñòóïíûì ôîêóñîì ãèïåðáîëîèäà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 1.
Î÷åâèäíûì äîñòîèíñòâîì ñõåìû ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ëó÷è îòðàæàþòñÿ îò êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè â ïðÿìîì è îáðàòíîì õîäå, ò. å. äâàæäû, ÷òî åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïîâûøàåò òî÷íîñòü êîíòðîëÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé ñ êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòüþ, îòðàæåííûõ åþ â êðàé îòâåðñòèÿ âñïîìîãàòåëüíîé ñôåðû, îïðåäåëÿåò âíåøíþþ ãðàíèöó íåêîíòðîëèðóåìîé öåíòðàëüíîé çîíû ïîâåðõíîñòè. Ýòà çîíà òåì ìåíüøå, ÷åì äàëüøå ðàñïîëîæåíà ñôåðà îò êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè, ïðè ýòîì äèàìåòð ñôåðû D = 2Rsinθ, ãäå R = NC – ðàäèóñ êðèâèçíû ñôåðû.
Èç ïðîñòûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííóþ çàâèñèìîñòü äèàìåòðà êîíòðîëüíîãî ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà îò ïàðàìåòðîâ êîíòðîëèðóåìîé âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè è ðàçìåðîâ íåêîíòðîëèðóåìîé çîíû â âèäå
D
=
(1 +
2eDê ψ)(1 +
e)
−
2
,
(1)
ãäå Dê – äèàìåòð êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà, å – ýêñöåíòðèñèòåò â óðàâíåíèè ïîäâåèðàõìíåîòðñòíèåêxî2í+òðyî2ë=è2ðór0åzì–îé(1çî–íeû2)zï2î;âψåð=õíDDîíêñçò,èD. íç –
Çàìåòèì, ÷òî ñõåìó Õèíäëà ìîæíî ïðèìåíèòü è äëÿ êîíòðîëÿ âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé ýëëèïñîèäà
N 1
2
F1 A, A′
OC
θ OÃ
F2 C
Ðèñ. 1. Àâòîêîëëèìàöèîííàÿ ñõåìà êîíòðîëÿ âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà âðàùåíèÿ. 1 – ñôåðè÷åñêîå çåðêàëî, 2 – ãèïåðáîëîèäíîå çåðêàëî.
è ïàðàáîëîèäà. Îäíàêî ïðè ýòîì ñõåìó äëÿ êîíòðîëÿ ôîðìû ïîâåðõíîñòè ýëëèïñîèäà íåîáõîäèìî äîïîëíèòü îáúåêòèâîì, ôîðìèðóþùèì ïó÷îê ëó÷åé, ñõîäÿùèõñÿ â îäíîì èç åãî ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîêóñîâ, à ñõåìó äëÿ êîíòðîëÿ ôîðìû ïàðàáîëîèäà – îáúåêòèâîì, ôîðìèðóþùèì ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ëó÷åé, ò. å. êîëëèìàòîðîì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ïðèìåíåíèè ýòèõ ñõåì äèàìåòð êîíòðîëüíîé ñôåðû îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (1).
 ñëó÷àå ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ ýêñöåíòðèñèòåò å = 1 è ñîîòíîøåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä
D = Dê . ψ
(2)
Ïóñòü ψ = 0,3. Òîãäà D > 3Dê. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè êîíòðîëå ôîðìû ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà âðàùåíèÿ ïðè ψ ≥ 0,3 äèàìåòð D > 3Dê.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â óðàâíåíèè, îïðåäåëÿþùåì ýëëèïñîèä, e2 = 0,5. Ïðè ýòîì åñëè ψ = 0,3, òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (1) èìååì D > 6Dê. Òàêèì îáðàçîì, ïðè êîíòðîëå íåñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé â ñõåìå Õèíäëà íåîáõîäèìî ñôåðè÷åñêîå çåðêàëî, äèàìåòð êîòîðîãî â íåñêîëüêî ðàç áîëüøå äèàìåòðà êîíòðîëèðóåìîãî, ïðè÷åì îòêëîíåíèå ôîðìû êîíòðîëüíîãî çåðêàëà îò ñôåðû äîëæíî ñîñòàâëÿòü ëèøü ìàëóþ ÷àñòü îò îòêëîíåíèÿ ôîðìû êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè. Êðîìå òîãî, ïðè÷èíîé äåôîðìàöèè âîëíîâîãî ôðîíòà ìîæåò áûòü íå òîëüêî ïîãðåøíîñòü èçãîòîâëåíèÿ êîíòðîëèðóåìîé íåñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, íî è ïîãðåøíîñòè ñîâìåùåíèÿ òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ñ îäíèì èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîêóñîâ è öåíòðà êðèâèçíû êîíòðîëüíîé ñôåðû ñ äðóãèì. Îòäåëèòü ïîãðåøíîñòü èçãîòîâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè îò ïîãðåøíîñòè óñòàíîâêè ýëåìåíòîâ ñõåìû ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî [2]. Ïîýòîìó âûñîêèå òðåáîâàíèÿ ïðåäúÿâëÿþòñÿ ê âçàèìíîìó ïîëîæåíèþ ýëåìåíòîâ â êîíòðîëüíîé ñõåìå. Ê òîìó æå çàìåòèì, ÷òî ÷åì äàëüøå ðàçíåñåíû â ïðîñòðàíñòâå îòðàæàþùèå ïîâåðõíîñòè, òåì ñëîæíåå èõ âûñòàâèòü â òðåáóåìîå ïîëîæåíèå, ò. å. òåì ñëîæíåå ñáîðêà êîíòðîëüíîãî óñòðîéñòâà.
Êàê ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ (1), ÷åì áîëüøå çîíà íåêîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè, òåì ìåíüøå äèàìåòð êîíòðîëüíîãî çåðêàëà. Ïðè ψ = 1 íåçàâèñèìî îò ýêñöåíòðèñèòåòà ïîâåðõíîñòè D = Dê. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ñõåìà ñ ìåíèñêîâûì êîìïåíñàòîðîì äëÿ êîíòðîëÿ âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà, ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñ. 2.
 ýòîé ñõåìå, êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìîäèôèêàöèþ ñõåìû Õèíäëà, ïðèìåíåí àíàáåððàöèîííûé ìåíèñê 2, âîãíóòàÿ ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî, ðàñïîëîæåííàÿ íà êîíñòðóêòèâíî áëèçêîì ðàññòîÿíèè îò ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà, èãðàåò ðîëü âñïîìîãàòåëüíîé ñôåðû, êîíöåíòðè÷íîé ãåîìåò-
36 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 4, 2008
21
A A′ F1
OC OÃ
F2 C
Ðèñ. 2. Àâòîêîëëèìàöèîííàÿ ñõåìà êîíòðîëÿ âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà âðàùåíèÿ ñ àíàáåððàöèîííûì ìåíèñêîì.
ðè÷åñêîìó ôîêóñó F2 êîíòðîëèðóåìîãî ãèïåðáîëîèäà 1. Ðàäèóñ êðèâèçíû âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ìå-
íèñêà ñëóæèò êîððåêöèîííûì ïàðàìåòðîì äëÿ êîì-
ïåíñàöèè ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè, âíîñèìîé â èçîá-
ðàæåíèå ãåîìåòðè÷åñêîãî ôîêóñà F1, îáðàçîâàííîå ìåíèñêîì, åãî âîãíóòîé ïîâåðõíîñòüþ.
Ýòà ñõåìà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè î÷åâèäíûìè
äîñòîèíñòâàìè:
– äèàìåòð àíàáåððàöèîííîãî ìåíèñêà ïðàêòè÷åñ-
êè ðàâåí äèàìåòðó êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè
çåðêàëà,
– îòñóòñòâóåò çîíà íåêîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõ-
íîñòè,
– ôîðìó ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ëåãêî ïðîâå-
ðèòü â àâòîêîëëèìàöèîííîé ñõåìå èç öåíòðà êðè-
âèçíû, à êà÷åñòâî èçãîòîâëåíèÿ ìåíèñêà â öåëîì –
â àâòîêîëëèìàöèîííîé ñõåìå ñî ñôåðè÷åñêèì çåð-
êàëîì, êîíöåíòðè÷íûì ãåîìåòðè÷åñêîìó ôîêóñó F1. Âàæíî çàìåòèòü, ÷òî âîçìîæíîñòü êîíòðîëÿ êà÷å-
ñòâà èçîáðàæåíèÿ òî÷êè À, îïòè÷åñêè ñîïðÿæåííîé
ñ ãåîìåòðè÷åñêèì ôîêóñîì F1, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 2, îïðåäåëÿåò âîçìîæíîñòü èçìåíåíèÿ ïîïåðå÷-
íîãî óâåëè÷åíèÿ èçîáðàæåíèÿ, îáðàçîâàííîãî ìå-
íèñêîì, ïóòåì èçìåíåíèÿ ðàäèóñà êðèâèçíû åãî
âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè. Äëÿ êîìïåíñàöèè âîçíèêàþ-
ùåé ïðè ýòîì ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè â èçîáðàæå-
íèè òî÷êè ñôåðè÷åñêóþ ôîðìó âûïóêëîé ïîâåðõ-
íîñòè ìåíèñêà ìîæíî çàìåíèòü íåñôåðè÷åñêîé.
Îïðåäåëèì ïàðàìåòðû ñõåìû äëÿ êîíòðîëÿ ôîð-
ìû âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà. Ïîëîæå-
íèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîêóñîâ îòíîñèòåëüíî âåðøè-
íû ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà îïðåäåëÿþòñÿ ñëå-
äóþùèìè âûðàæåíèÿìè [2]:
f1
=
1
r0 −
e
,
(3)
f2
=
1
r0 +
e
,
(4)
ãäå r0 – ðàäèóñ êðèâèçíû â âåðøèíå ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà.
Ðàäèóñ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè ìåíèñêà, êîíöåíòðè÷íîé ôîêóñó F2 ãèïåðáîëîèäà, îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
R
=
r0 e +1
+
d0
,
(5)
ãäå d0 – ðàññòîÿíèå îò ýòîé ïîâåðõíîñòè ìåíèñêà äî âåðøèíû ãèïåðáîëîèäà.
Èç ôóíêöèîíàëüíîãî íàçíà÷åíèÿ ìåíèñêà â ðàññìàòðèâàåìîé êîíòðîëüíîé ñõåìå ñëåäóåò, ÷òî â èçîáðàæåíèè ãåîìåòðè÷åñêîãî ôîêóñà F1, îáðàçîâàííîãî ìåíèñêîì â îáðàòíîì õîäå ëó÷åé, ñôåðè÷åñêàÿ àáåððàöèÿ äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ. Ïîëîæèâ â îñíîâó ýòî óñëîâèå, îïðåäåëèì âçàèìîñâÿçü êîíñòðóêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ ìåíèñêà ñ ýêñöåíòðèñèòåòîì êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè.
Ïðåäñòàâèì ìåíèñê â îáðàòíîì õîäå ëó÷åé, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3à, ñ ïîìîùüþ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ îñåâûì âèðòóàëüíûì [4] ëó÷îì ñ îïòè÷åñêîé îñüþ, â âèäå [5]
α1 = 1 –R
(à)
OÃ OC d0
dÌ
α1 s1
A F1
A′ α′
α1 = 0 s1 = ∞
–R
–α′ OÏ
Oñ
F2 d0 dÌ
α1 = –1
(á) (â)
–R
F1
–α1
–α′ OÝ
OC
A A′ d0 dÌ –s1
Ðèñ. 3. Îïðåäåëåíèå êîíñòðóêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ ìåíèñêà ïðè êîíòðîëå ïîâåðõíîñòåé: à – ãèïåðáîëîèäà âðàùåíèÿ, á – ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ, â – ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ. ÎÃ, ÎÏ, ÎÝ – âåðøèíû êîíòðîëèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåé.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 4, 2008
37
α1 = 1 d2 = dì n1 = 1 α2 = α d2 = dì n2 = n α3 = α′ d2 = d n3 = 1. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó
n2α2
−
n1α1
=
h1
n2
− r1
n1
,
(6)
ãäå ïðè ïðèíÿòûõ íîðìèðîâêå óãëîâ è îáîçíà÷åíè-
ÿõ âåëè÷èí h1 = sH1α1 = sH1 =
R
=
r0 e+
1
+
d0,
ïîëó÷àåì
−
f1
−
d0
=
r0 e −1
−
d0,
r1
=
–R,
α
=
1
−
2
n
− n
1
e
e −
1
r0
+
r0 (e +
1)d0
.
(7)
Ïåðâè÷íàÿ ñôåðè÷åñêàÿ àáåððàöèÿ èçîáðàæåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ôîêóñà F1, îáðàçîâàííîãî ìåíèñêîì â îáðàòíîì õîäå ëó÷åé, îïðåäåëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì
i=2
∑SI = hi Pi = h1P1 + h2P2, i =1
(8)
ãäå
( )Pi
=
⎛ ⎜ ⎝
αi+1 − νi+1 −
αi νi
⎞2 ⎟ ⎠
νi+1αi+1 − νiαi
,
νi
=
1 ni
.
Ïîëîæèâ SI = 0, ïðè ïðèíÿòûõ íîðìèðîâêå è îáîçíà÷åíèÿõ óãëîâ αi è äðóãèõ âåëè÷èí ïîëó÷àåì óðàâíåíèå âèäà
α′3 − (2 + ν)αα′2 +
+
(1
+
2ν)α
2α′
−
να3
−
1
(1 − να)(1 − α)2
−
1−
å −1 (å −1)d0
αdì
= 0,
(9)
ãäå
dì
=
dì r0
,
d0
=
d0 r0
.
Èòàê, ïðè âûáðàííîì ìàòåðèàëå ìåíèñêà è òðåáóåìîì çíà÷åíèè ýêñöåíòðèñèòåòà êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè å èç ñîîòíîøåíèÿ (7) íàõîäèì çíà÷åíèå óãëà α. Íàéäåííîå çíà÷åíèå óãëà α è âûáðàííóþ òîëùèíó ìåíèñêà d∼ì ïîäñòàâëÿåì â óðàâíåíèå (9), ðåøèâ êîòîðîå, íàõîäèì óãîë α′. Çíàÿ óãëû α è α′, ëåãêî íàéòè êîíñòðóêòèâíûå ïàðàìåòðû ìåíèñêà. Êðîìå òîãî, îïðåäåëèâ óãîë α′, íàõîäèì çàäíèé îòðåçîê ìåíèñêà ïðè îáðàòíîì õîäå ëó÷åé, à èçìåíèâ åãî çíàê, ïîëó÷èì ïåðåäíèé îòðåçîê ïðè ïðÿìîì õîäå ëó÷åé
sH2′
=
−s1
=
h2 α′
=
1
− αdì α′
⎛ ⎜⎝
r0 e −1
−
d0
⎟⎞⎠.
(10)
Çàìåòèì, ÷òî ïðè D = Dê ðàññòîÿíèå d0 ðàâíî ðàçíîñòè ñòðåëîê ïðîãèáà êîíòðîëüíîé ñôåðè÷åñêîé
ïîâåðõíîñòè ìåíèñêà ïðè
1 4
D
2
=
1 4
Dê2
= 2Rzñô − zñ2ô
è êîíòðîëèðóåìîé íåñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ïðè
1 4
Dê2
=
2r0 zàñô − (1 − e)zà2ñô,
ò.
å.
d0 = zñô – zàñô.
Ïðè âûáîðå âåëè÷èíû d0 íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü êîíñòðóêòîðñêîå ðåøåíèå çàäà÷è òðåáóåìîãî ðàñïîëîæåíèÿ äåòàëåé â ñõåìå.  ïåðâîì ïðèáëèæåíèè âåëè÷èíó d0 ìîæíî íàéòè ïðè D = Dê, ðåøèâ óðàâíåíèå
( )d02
+
2
r0 e+
1
d
0
−
2er02 1− e2
2×
⎛ ×⎝⎜⎜1 −
1−
1 1− e2 4 r02
Dê2
⎞ ⎟⎟⎠
+
1 e2 4 1− e2
Dê2
=
0.
(11)
Äëÿ ïîñëåäóþùåãî àíàëèçà ñõåìû óäîáíî ïðèíÿòü d0 = 0. Ïðè ýòîì ôîðìóëà (7) ïðèíèìàåò âèä
α
=
1
−
2
n
− n
1
e
e −
1.
(12)
 ýòîì ñëó÷àå, êîãäà óãîë α = 0, ýêñöåíòðèñèòåò êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
e
=
2
n −
n.
(13)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âåðõíèé ïðåäåë çíà÷åíèé ýêñöåíòðèñèòåòà êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì 2 – n > 0, ò. å. ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n ìàòåðèàëà ìåíèñêà äîëæåí áûòü ìåíüøå 2. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îáëàñòü çíà÷åíèé ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ îïòè÷åñêîãî ñòåêëà ñóùåñòâóþùèõ ìàðîê îãðàíè÷åíà èíòåðâàëîì 1,5 ≤ n < 2. Ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ ýêñöåíòðèñèòåòà êîíòðîëèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåé äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ 3 ≤ e < ∞.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè α = 0 óðàâíåíèå (9) ïðèíèìàåò âèä α′3 – 1 = 0, îòêóäà α′ = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè α = 0, òî ïðè ïðîèçâîëüíîì ðàññòîÿíèè d0 è ïðîèçâîëüíîé òîëùèíå ìåíèñêà dì ðàäèóñû êðèâèçíû ïîâåðõíîñòåé ìåíèñêà ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
Ïóñòü ïðè d0 = 0 è dì = 0 .  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (9) ïðèíèìàåò âèä
( )(α′−1) α′2 + aα′+ b = 0,
ãäå a = 1 – (2 + ν)α, b = a + (1 + 2ν)α2.
(14)
38 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 4, 2008
Èç óðàâíåíèÿ (14) ñëåäóåò, ÷òî ïðè α′ = 1 è ïðî-
èçâîëüíîì çíà÷åíèè óãëà α, à ñëåäîâàòåëüíî, è âå-
ëè÷èí e è ν êîýôôèöèåíò SI = 0. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå çàäà÷è êîíòðîëÿ ôîðìû
âûïóêëîãî ãèïåðáîëîèäà, ýêñöåíòðèñèòåò êîòîðîãî
ñîîòâåòñòâóåò èíòåðâàëó 1 < e < 3, ïðè dì ≠ 0. Äëÿ ýòîãî âûáèðàåì çíà÷åíèÿ å èç ýòîãî èíòåðâàëà è ïîä-
ñòàâëÿåì â óðàâíåíèå (12), â ðåçóëüòàòå ÷åãî íàõî-
äèì ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ óãëà α. Çàòåì, ðåøàÿ óðàâíåíèå (9), ïðè d0 = 0 è ïðèíÿòîì d∼ì íàõîäèì çíà÷åíèå óãëà α′. Êðèâûå çàâèñèìîñòè óãëà α′
îò ýêñöåíòðèñèòåòà å êîíòðîëèðóåìîãî ãèïåðáîëî-
èäà âðàùåíèÿ â äèàïàçîíå 1 < e ≤ 10 ïðè n = 1,5 äëÿ ðÿäà âûáðàííûõ çíà÷åíèé d∼ì ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 4. Âèäíî, ÷òî ïðè å = 3 (ïðè ýòîì óãîë α = 0)
âñå êðèâûå ïåðåñåêàþòñÿ; ñ óìåíüøåíèåì å, îñî-
áåííî ïðè å < 1,5, è ïðè óâåëè÷åíèè òîëùèíû ìå-
íèñêà óãîë α′ êðóòî óìåíüøàåòñÿ. Ïîýòîìó òîëùè-
íà ìåíèñêà äîëæíà áûòü ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé èç
óñëîâèÿ òåõíîëîãè÷íîñòè åãî èçãîòîâëåíèÿ.
Ýêñöåíòðèñèòåò ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ å = 1.
Ïðè
ýòîì
f1 = ∞,
f2
=
1 2
r0
.
Â
ýòîì
ñëó÷àå
êîíòðîëü-
íûé ìåíèñê â îáðàòíîì õîäå ëó÷åé, êàê ïîêàçàíî íà
ðèñ. 3á, óäîáíî çàïèñàòü â âèäå
α1 = 0 d2 = dì n1 = 1
α2 = α d1 = dì n2 = n
α3 = α′ d2 = d n3 = 1.
ÈòRóñ=ïh1îfëï2üð+çèódíÿ0èô=ìîà12ðårìì0ó+ðëàdóâ0(í,6îó)é,ãíî1à2ëõrî0.äèÒìîãäαà=ïhð1ènnr−1r11=.–ÂRû, ãñäîå-
α
=
−
n
−1 n
r0
r0 + 2d0
.
(15)
 ýòîì ñëó÷àå èç óñëîâèÿ SI = 0 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
α′3
−
(2
+
ν)αα′2
+
(1
+
2ν)α2α′
+
να4dì 1 − αdì
= 0,
(16)
ãäå
dì =
2 r0
dì.
Ïðè
d0
=
0
óãîë
α
=
−
n −1 n
è
óðàâíåíèå
(16)
ïðè-
íèìàåò âèä
α′3
+
⎛ ⎝⎜
2
−
n+ n2
1
⎞ ⎠⎟
α′2
+
⎝⎜⎛1 −
3n − n3
2
⎞ ⎠⎟
α′
+
+
(n
− 1)4 n4
dì n + (n −1)dì
= 0.
α′ 1,4 3
2 1
1
0,6 0 2 4 6 8å
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòè óãëà α′ îò ýêñöåíòðèñèòåòà å êîíòðîëèðóåìîãî âûïóêëîãî ãèïåðáîëîèäà âðàùåíèÿ ïðè ðàçíûõ òîëùèíàõ ìåíèñêà. 1 – d~ì = 0,1, 2 – 0,2, 3 – 0,3.
Åñëè çíà÷åíèÿ ýêñöåíòðèñèòåòà ëåæàò â äèàïàçîíå 0 < e < 1, òî óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà îïðåäåëÿåò ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ.
Ïðè ýòîì ðàññòîÿíèÿ îò âåðøèíû ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ äî äàëüíåãî è áëèæíåãî ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîêóñîâ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû
f1
=
1
r0 −
e
,
f
2
=
1
r0 +
e
.
 ýòîì ñëó÷àå êîíòðîëüíûé ìåíèñê â îáðàòíîì õîäå ëó÷åé, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3â, óäîáíî çàïèñàòü â âèäå
α1 = –1 d2 = dì n1 = 1 α2 = α d1 = dì n2 = n α3 = α′ d2 = d n3 = 1.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (6), íàõîäèì, ÷òî óãîë
ãäå
α
=
−
1 n
+
h1
n −1, nr1
h1 =
sH1α1 = −s1 =
f1 + d0
=
1
r0 −
e
+ d0,
r1
=
−R,
R
=
f
2
+
d
0
=
1
r0 +
e
+ d0.
Âûïîëíèâ ñîîòâåòñòâóþùóþ çàìåíó âåëè÷èí, ïîëó÷àåì
α
=
−1
−
2
n
−1 n1
e −
e
r0
+
r0 (1 +
e)d0
.
(17)
 ýòîì ñëó÷àå
SI
=
h1
⎛ ⎝⎜
α ν
+ −
1 1
⎞2 ⎟⎠
(να
+
1)
+
h2
⎛ ⎝⎜
α′− α 1− ν
⎞2 ⎠⎟
(
α′−
να
).
Ïðè SI = 0 ýòî âûðàæåíèå ëåãêî ïðåîáðàçîâàòü â óðàâíåíèå âèäà
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 4, 2008
39
α′3 − (2 + ν)αα′2 + (1 + 2ν)α2α′− να3 +
+
1
(1 + −1+
να)(1 + α)2
1− e (1 − e)d0
αdì
= 0,
(18)
ãäå
dì
=
dì r0
,
d0
=
d0 r0
.
n
= È1,ñ5ïäîëëÿüçòóðÿåõôçîíðàì÷óåëíûèé(ò1î7ë)ùèèí(1û8)ì,åïíðèèñêdà 0d∼=ì
0è ïî-
ëó÷àåì êðèâûå çàâèñèìîñòè çíà÷åíèé óãëà α′ îò
ýêñöåíòðèñèòåòà â äèàïàçîíå 0 < e < 1, ïðåäñòàâ-
ëåííûå íà ðèñ. 5. Èç ðèñóíêà ñëåäóåò, ÷òî ïðè
e
=
2
n +
n
(ïðè
ýòîì
α
=
–n,
a
α′
=
–1)
è
e
→
0
(ïðè
ýòîì
α′
→
−
1 n
)
êðèâûå
ïåðåñåêàþòñÿ;
â
äèàïàçîíå
èçìåíåíèÿ ýêñöåíòðèñèòåòà ìåæäó òî÷êàìè ïåðåñå-
÷åíèÿ êðèâûõ çàâèñèìîñòü óãëà α′ îò òîëùèíû ìå-
íèñêà íåçíà÷èòåëüíà; ïðè e > 0,8 êðèâàÿ çàâèñèìî-
ñòè óãëà α′ îò ýêñöåíòðèñèòåòà e êðóòî ïàäàåò, ïðè-
÷åì òåì êðó÷å, ÷åì áîëüøå òîëùèíà ìåíèñêà dì. Ïîýòîìó ïðè êîíòðîëå ïîâåðõíîñòåé ýëëèïñîèäîâ
âðàùåíèÿ ñ ýêñöåíòðèñèòåòàìè, áëèçêèìè ê 1, òîëùèíà ìåíèñêà äîëæíà áûòü ìèíèìàëüíîé.
Èòàê, â ðåçóëüòàòå âûïîëíåííîãî àíàëèçà ñõåìû êîíòðîëÿ âûïóêëûõ íåñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé
âðàùåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ àíàáåððàöèîííûì ìå-
íèñêîì â êà÷åñòâå êîíòðîëüíîãî ýëåìåíòà ïîëó÷å-
íû ñîîòíîøåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå åãî ïàðàìåòðû. Äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ñâåòîâîãî äèàìåòðà ìåíèñêà è åãî àáåððàöèîííîãî ðàñ÷åòà íåîáõîäèìî çíàòü åãî ïåðåäíþþ ÷èñëîâóþ àïåðòóðó. Óäâîåííîå çíà÷åíèå ÷èñëîâîé àïåðòóðû âîãíóòîé ïîâåðõíîñòè ìåíèñêà ðàâíî
α′ –0,8
–1 1 2
–1,2 3
–1,4 0
0,2 0,4 0,6 0,8 å
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòè óãëà α′ îò ýêñöåíòðèñèòåòà å êîíòðîëèðóåìîãî âûïóêëîãî ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ ïðè ðàçíûõ òîëùèíàõ ìåíèñêà. 1 – d~ì = 0,1, 2 – 0,2, 3 – 0,3.
2sin ω
=
D 2
.
Ïåðåäíÿÿ
÷èñëîâàÿ
àïåðòóðà
ïðè
ðàñ-
÷åòå ìåíèñêà â îáðàòíîì õîäå ëó÷åé ðàâíà sinσ =
=
1 V
sin
ω,
ãäå
V
–
ïîïåðå÷íîå
óâåëè÷åíèå
èçîáðà-
æåíèÿ îïòè÷åñêè ñîïðÿæåííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ
ôîêóñîâ, ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøàåìîé çàäà÷å.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû ðàñ÷å-
òà îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ñõåìû êîíòðîëÿ âûïóêëîé
ïîâåðõíîñòè âòîðè÷íîãî çåðêàëà îáúåêòèâà Êàññåã-
ðåíà, èìåþùåé ôîðìó ãèïåðáîëîèäà âðàùåíèÿ.
Äèàìåòð çåðêàëà D = 143 ìì, âåðøèííûé ðàäèóñ r0 = 3090,235 ìì, ýêñöåíòðèñèòåò e = 6,334.
 ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ïîëó-
÷åíû ñëåäóþùèå êîíñòðóêòèâíûå ïàðàìåòðû:
r1 = 447,304 r2 = 451,357 r3 = 3090,235 r4 = 451,357 r5 = 3090,235 r6 = 451,357 r7 = 447,304
d1 = 15 d2 = 30 d3 = –30 d4 = 30 d5 = –30 d6 = –15
n1 = 1 n2 = K8 n3 = 1 n4 = –1 n5 = 1 n6 = –1 n7 = –K8 n8 = –1
Ïðè s = –544,874 ìì, sinσ = 0,13 è λ = 632,8 íì âîëíîâàÿ àáåððàöèÿ íå ïðåâîñõîäèò çíà÷åíèÿ W = 0,05λ.
Ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííîãî àíàëèçà ïîçâîëÿþò ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ðàññìîòðåííàÿ ñõåìà êîíòðîëÿ âûïóêëûõ íåñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû è çíàêà ïåðåäíåé ÷èñëîâîé àïåðòóðû âïîëíå ïðèìåíèìà êàê ñàìîñòîÿòåëüíî, òàê è â êà÷åñòâå ñîñòàâíîé ÷àñòè, íàïðèìåð, ñõåìû èíòåðôåðîìåòðà Ôèçî.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Îïòè÷åñêèé ïðîèçâîäñòâåííûé êîíòðîëü / Ïîä ðåä. Ä. Ìàëàêàðû. Ïåðåâîä ñ àíãë. Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1985. 400 ñ.
12. Ïóðÿåâ Ä.Ò. Ìåòîäû êîíòðîëÿ îïòè÷åñêèõ àñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé. Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1976. 262 ñ.
13. Simpson F.A., Oland B.H., Meckel J. Testing Convex Aspheric Lens Surfaces with a Modified Hindle Arrangement // Opt. Eng. 1974. V. 13. G101.
14. Çâåðåâ Â.À. Îñíîâû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. ÑÏá.: ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ, 2002. 218 ñ.
15. Çâåðåâ Â.À., Êðèâîïóñòîâà Å.Â. Îïòîòåõíèêà íåñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé. Ó÷åáíîå ïîñîáèå. ÑÏá.: ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ, 2006. 203 ñ.
40 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 4, 2008
ÓÄÊ 535.317.1
ÀÍÀÁÅÐÐÀÖÈÎÍÍÛÉ ÌÅÍÈÑÊ Â ÑÕÅÌÅ ÊÎÍÒÐÎËß ÂÛÏÓÊËÛÕ ÍÅÑÔÅÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÅÉ ÂÐÀÙÅÍÈß ÂÒÎÐÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ
© 2008 ã. Å. Â. Åðìîëàåâà; Â. À. Çâåðåâ, äîêòîð òåõí. íàóê Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
 ðàáîòå ïðîâåäåí àíàëèç ñâîéñòâ àíàáåððàöèîííîãî ìåíèñêà êàê ýëåìåíòà àâòîêîëëèìàöèîííîé ñõåìû êîíòðîëÿ âûïóêëûõ íåñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðåäñòàâëåíû âàðèàíòû ñõåìû êîíòðîëÿ.
Êîäû OCIS: 220.0220, 220.2740, 220.1250.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 16.10.2007.
 êëàññè÷åñêèõ çåðêàëüíûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ àñòðîíîìè÷åñêèõ òåëåñêîïîâ ïåðâàÿ îòðàæàþùàÿ ïîâåðõíîñòü (ãëàâíîå çåðêàëî) èìååò ôîðìó ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ, à âòîðàÿ îòðàæàþùàÿ ïîâåðõíîñòü (âòîðè÷íîå çåðêàëî) – ôîðìó âîãíóòîãî ýëëèïñîèäà â ñèñòåìå Ãðåãîðè, âûïóêëîãî ãèïåðáîëîèäà â ñèñòåìå Êàññåãðåíà è ôîðìó âûïóêëîãî ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ â àôîêàëüíîé ñèñòåìå Ìåðñåííà.
Ïîòðåáíîñòü â ðàçâèòèè àñòðîíîìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ è äîñòèãíóòûé ê êîíöó XIX âåêà óðîâåíü òåõíîëîãèè èçãîòîâëåíèÿ çåðêàë ñ íåñôåðè÷åñêèìè îòðàæàþùèìè ïîâåðõíîñòÿìè îïðåäåëèëè âîçìîæíîñòü è öåëåñîîáðàçíîñòü èçãîòîâëåíèÿ êëàññè÷åñêèõ çåðêàëüíûõ ñèñòåì, ïðåäëîæåííûõ åùå â XVII âåêå. Îäíàêî øèðîêîå ïðèìåíåíèå â îáúåêòèâàõ àñòðîíîìè÷åñêèõ òåëåñêîïîâ ýòè ñèñòåìû ïîëó÷èëè ëèøü â ïðîøëîì ñòîëåòèè.
Ðàçðàáîòêà ïðèáîðîâ èíôðàêðàñíîé òåõíèêè è êðóïíîãàáàðèòíûõ ñðåäñòâ íàáëþäåíèÿ ðàçëè÷íîãî íàçíà÷åíèÿ îïðåäåëèëà íåîáõîäèìîñòü ñîçäàíèÿ çåðêàëüíûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì, ôîðìèðóþùèõ èçîáðàæåíèå âûñîêîãî êà÷åñòâà â ïðåäåëàõ øèðîêîãî óãëîâîãî ïîëÿ. Çàäà÷ó îäíîâðåìåííîé êîìïåíñàöèè ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè, êîìû, àñòèãìàòèçìà è êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè èçîáðàæåíèÿ ïðèíöèïèàëüíî ìîæíî ðåøèòü, åñëè ïðèìåíèòü äëÿ åãî îáðàçîâàíèÿ îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç òðåõ îòðàæàþùèõ ïîâåðõíîñòåé íåñôåðè÷åñêîé ôîðìû. Âòîðè÷íîå çåðêàëî òàêèõ ñèñòåì, êàê ïðàâèëî, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âûïóêëóþ îòðàæàþùóþ ïîâåðõíîñòü ëþáîé ôîðìû, îïèñûâàåìîé óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà.
Äîñòèãíóòîå â ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà âûñîêîå êà÷å-
ñòâî èçîáðàæåíèÿ, îáðàçîâàííîãî çåðêàëüíîé îïòè-
÷åñêîé ñèñòåìîé, â ïðîöåññå èçãîòîâëåíèÿ ìîæíî
ñîõðàíèòü, åñëè îòêëîíåíèÿ îòðàæàþùèõ ïîâåðõ-
íîñòåé îò íîìèíàëüíîé ôîðìû íå áóäóò ïðåâûøàòü
ïî êðàéíåé
ìåðå
1 8
λ.
Ýòî
óñëîâèå
îïðåäåëÿåò âåñü-
ìà âûñîêèå òðåáîâàíèÿ ê òî÷íîñòè êîíòðîëÿ ôîð-
ìû îòðàæàþùèõ ïîâåðõíîñòåé â ïðîöåññå èõ îáðà-
áîòêè. Îò òîãî íàñêîëüêî óäà÷íî âûáðàí ìåòîä êîí-
òðîëÿ è ñîçäàíû ñðåäñòâà äëÿ åãî îñóùåñòâëåíèÿ,
çàâèñèò íå òîëüêî òðóäîåìêîñòü, íî è ñàìà âîçìîæ-
íîñòü èçãîòîâëåíèÿ äåòàëåé îáúåêòèâà.
Äëÿ òîãî ÷òîáû äîñòè÷ü òðåáóåìîé äîñòîâåðíî-
ñòè ðåçóëüòàòîâ, ñõåìà êîíòðîëÿ äîëæíà áûòü ïðå-
äåëüíî ïðîñòîé, êîíñòðóêöèÿ êîíòðîëüíîãî óñòðîé-
ñòâà – òåõíîëîãè÷íîé â èçãîòîâëåíèè è óäîáíîé ïðè
þñòèðîâêå.
Ðåøåíèþ ïðîáëåìû êîíòðîëÿ íåñôåðè÷åñêèõ
ïîâåðõíîñòåé óäåëÿëîñü îãðîìíîå âíèìàíèå íà âñåì
ïðîòÿæåíèè ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ, î ÷åì êîñâåííî
ñâèäåòåëüñòâóåò îáøèðíàÿ áèáëèîãðàôèÿ, ïðèâå-
äåííàÿ â [1].
Ïðèìåíåíèå ôàçîâûõ (êèíîôîðìíûõ) îïòè÷åñêèõ
ýëåìåíòîâ ñóùåñòâåííî îáëåã÷àåò çàäà÷ó ñîçäàíèÿ
ñðåäñòâ êîíòðîëÿ âîãíóòûõ îòðàæàþùèõ ïîâåðõ-
íîñòåé. Îäíàêî êîíòðîëü âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé
è â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëîæíóþ
íàó÷íî-òåõíè÷åñêóþ ïðîáëåìó.
Ïðèíöèïèàëüíî èäåàëüíîé ñõåìîé êîíòðîëÿ
ôîðìû íåñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ âòî-
ðîãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ ñõåìà, îñíîâàííàÿ íà èñïîëü-
çîâàíèè àíàáåððàöèîííûõ òî÷åê (ãåîìåòðè÷åñêèõ
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 4, 2008
35
ôîêóñîâ) ïîâåðõíîñòåé. Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå òðóäíîäîñòóïíû ëèáî îäèí èç ôîêóñîâ (âîãíóòûé ïàðàáîëîèä, âîãíóòàÿ è âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà), ëèáî îáà (âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü ýëëèïñîèäà è ïàðàáîëîèäà). Ïîýòîìó ïðèìåíåíèå òàêîé ñõåìû òðåáóåò äîïîëíèòåëüíûõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ. Ïðèìåðîì óäà÷íîãî ïîñòðîåíèÿ òàêîé ñõåìû ìîæåò ñëóæèòü ñõåìà Õèíäëà äëÿ êîíòðîëÿ ôîðìû âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà, â êîòîðîé â êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîãî îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà ïðèìåíåíà ñôåðà, öåíòð êðèâèçíû êîòîðîé ñîâìåùåí ñ òðóäíîäîñòóïíûì ôîêóñîì ãèïåðáîëîèäà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 1.
Î÷åâèäíûì äîñòîèíñòâîì ñõåìû ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ëó÷è îòðàæàþòñÿ îò êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè â ïðÿìîì è îáðàòíîì õîäå, ò. å. äâàæäû, ÷òî åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïîâûøàåò òî÷íîñòü êîíòðîëÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé ñ êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòüþ, îòðàæåííûõ åþ â êðàé îòâåðñòèÿ âñïîìîãàòåëüíîé ñôåðû, îïðåäåëÿåò âíåøíþþ ãðàíèöó íåêîíòðîëèðóåìîé öåíòðàëüíîé çîíû ïîâåðõíîñòè. Ýòà çîíà òåì ìåíüøå, ÷åì äàëüøå ðàñïîëîæåíà ñôåðà îò êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè, ïðè ýòîì äèàìåòð ñôåðû D = 2Rsinθ, ãäå R = NC – ðàäèóñ êðèâèçíû ñôåðû.
Èç ïðîñòûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííóþ çàâèñèìîñòü äèàìåòðà êîíòðîëüíîãî ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà îò ïàðàìåòðîâ êîíòðîëèðóåìîé âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè è ðàçìåðîâ íåêîíòðîëèðóåìîé çîíû â âèäå
D
=
(1 +
2eDê ψ)(1 +
e)
−
2
,
(1)
ãäå Dê – äèàìåòð êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà, å – ýêñöåíòðèñèòåò â óðàâíåíèè ïîäâåèðàõìíåîòðñòíèåêxî2í+òðyî2ë=è2ðór0åzì–îé(1çî–íeû2)zï2î;âψåð=õíDDîíêñçò,èD. íç –
Çàìåòèì, ÷òî ñõåìó Õèíäëà ìîæíî ïðèìåíèòü è äëÿ êîíòðîëÿ âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé ýëëèïñîèäà
N 1
2
F1 A, A′
OC
θ OÃ
F2 C
Ðèñ. 1. Àâòîêîëëèìàöèîííàÿ ñõåìà êîíòðîëÿ âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà âðàùåíèÿ. 1 – ñôåðè÷åñêîå çåðêàëî, 2 – ãèïåðáîëîèäíîå çåðêàëî.
è ïàðàáîëîèäà. Îäíàêî ïðè ýòîì ñõåìó äëÿ êîíòðîëÿ ôîðìû ïîâåðõíîñòè ýëëèïñîèäà íåîáõîäèìî äîïîëíèòü îáúåêòèâîì, ôîðìèðóþùèì ïó÷îê ëó÷åé, ñõîäÿùèõñÿ â îäíîì èç åãî ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîêóñîâ, à ñõåìó äëÿ êîíòðîëÿ ôîðìû ïàðàáîëîèäà – îáúåêòèâîì, ôîðìèðóþùèì ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ëó÷åé, ò. å. êîëëèìàòîðîì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ïðèìåíåíèè ýòèõ ñõåì äèàìåòð êîíòðîëüíîé ñôåðû îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (1).
 ñëó÷àå ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ ýêñöåíòðèñèòåò å = 1 è ñîîòíîøåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä
D = Dê . ψ
(2)
Ïóñòü ψ = 0,3. Òîãäà D > 3Dê. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè êîíòðîëå ôîðìû ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà âðàùåíèÿ ïðè ψ ≥ 0,3 äèàìåòð D > 3Dê.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â óðàâíåíèè, îïðåäåëÿþùåì ýëëèïñîèä, e2 = 0,5. Ïðè ýòîì åñëè ψ = 0,3, òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (1) èìååì D > 6Dê. Òàêèì îáðàçîì, ïðè êîíòðîëå íåñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé â ñõåìå Õèíäëà íåîáõîäèìî ñôåðè÷åñêîå çåðêàëî, äèàìåòð êîòîðîãî â íåñêîëüêî ðàç áîëüøå äèàìåòðà êîíòðîëèðóåìîãî, ïðè÷åì îòêëîíåíèå ôîðìû êîíòðîëüíîãî çåðêàëà îò ñôåðû äîëæíî ñîñòàâëÿòü ëèøü ìàëóþ ÷àñòü îò îòêëîíåíèÿ ôîðìû êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè. Êðîìå òîãî, ïðè÷èíîé äåôîðìàöèè âîëíîâîãî ôðîíòà ìîæåò áûòü íå òîëüêî ïîãðåøíîñòü èçãîòîâëåíèÿ êîíòðîëèðóåìîé íåñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, íî è ïîãðåøíîñòè ñîâìåùåíèÿ òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ñ îäíèì èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîêóñîâ è öåíòðà êðèâèçíû êîíòðîëüíîé ñôåðû ñ äðóãèì. Îòäåëèòü ïîãðåøíîñòü èçãîòîâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè îò ïîãðåøíîñòè óñòàíîâêè ýëåìåíòîâ ñõåìû ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî [2]. Ïîýòîìó âûñîêèå òðåáîâàíèÿ ïðåäúÿâëÿþòñÿ ê âçàèìíîìó ïîëîæåíèþ ýëåìåíòîâ â êîíòðîëüíîé ñõåìå. Ê òîìó æå çàìåòèì, ÷òî ÷åì äàëüøå ðàçíåñåíû â ïðîñòðàíñòâå îòðàæàþùèå ïîâåðõíîñòè, òåì ñëîæíåå èõ âûñòàâèòü â òðåáóåìîå ïîëîæåíèå, ò. å. òåì ñëîæíåå ñáîðêà êîíòðîëüíîãî óñòðîéñòâà.
Êàê ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ (1), ÷åì áîëüøå çîíà íåêîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè, òåì ìåíüøå äèàìåòð êîíòðîëüíîãî çåðêàëà. Ïðè ψ = 1 íåçàâèñèìî îò ýêñöåíòðèñèòåòà ïîâåðõíîñòè D = Dê. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ñõåìà ñ ìåíèñêîâûì êîìïåíñàòîðîì äëÿ êîíòðîëÿ âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà, ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñ. 2.
 ýòîé ñõåìå, êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìîäèôèêàöèþ ñõåìû Õèíäëà, ïðèìåíåí àíàáåððàöèîííûé ìåíèñê 2, âîãíóòàÿ ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî, ðàñïîëîæåííàÿ íà êîíñòðóêòèâíî áëèçêîì ðàññòîÿíèè îò ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà, èãðàåò ðîëü âñïîìîãàòåëüíîé ñôåðû, êîíöåíòðè÷íîé ãåîìåò-
36 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 4, 2008
21
A A′ F1
OC OÃ
F2 C
Ðèñ. 2. Àâòîêîëëèìàöèîííàÿ ñõåìà êîíòðîëÿ âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà âðàùåíèÿ ñ àíàáåððàöèîííûì ìåíèñêîì.
ðè÷åñêîìó ôîêóñó F2 êîíòðîëèðóåìîãî ãèïåðáîëîèäà 1. Ðàäèóñ êðèâèçíû âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ìå-
íèñêà ñëóæèò êîððåêöèîííûì ïàðàìåòðîì äëÿ êîì-
ïåíñàöèè ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè, âíîñèìîé â èçîá-
ðàæåíèå ãåîìåòðè÷åñêîãî ôîêóñà F1, îáðàçîâàííîå ìåíèñêîì, åãî âîãíóòîé ïîâåðõíîñòüþ.
Ýòà ñõåìà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè î÷åâèäíûìè
äîñòîèíñòâàìè:
– äèàìåòð àíàáåððàöèîííîãî ìåíèñêà ïðàêòè÷åñ-
êè ðàâåí äèàìåòðó êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè
çåðêàëà,
– îòñóòñòâóåò çîíà íåêîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõ-
íîñòè,
– ôîðìó ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ëåãêî ïðîâå-
ðèòü â àâòîêîëëèìàöèîííîé ñõåìå èç öåíòðà êðè-
âèçíû, à êà÷åñòâî èçãîòîâëåíèÿ ìåíèñêà â öåëîì –
â àâòîêîëëèìàöèîííîé ñõåìå ñî ñôåðè÷åñêèì çåð-
êàëîì, êîíöåíòðè÷íûì ãåîìåòðè÷åñêîìó ôîêóñó F1. Âàæíî çàìåòèòü, ÷òî âîçìîæíîñòü êîíòðîëÿ êà÷å-
ñòâà èçîáðàæåíèÿ òî÷êè À, îïòè÷åñêè ñîïðÿæåííîé
ñ ãåîìåòðè÷åñêèì ôîêóñîì F1, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 2, îïðåäåëÿåò âîçìîæíîñòü èçìåíåíèÿ ïîïåðå÷-
íîãî óâåëè÷åíèÿ èçîáðàæåíèÿ, îáðàçîâàííîãî ìå-
íèñêîì, ïóòåì èçìåíåíèÿ ðàäèóñà êðèâèçíû åãî
âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè. Äëÿ êîìïåíñàöèè âîçíèêàþ-
ùåé ïðè ýòîì ñôåðè÷åñêîé àáåððàöèè â èçîáðàæå-
íèè òî÷êè ñôåðè÷åñêóþ ôîðìó âûïóêëîé ïîâåðõ-
íîñòè ìåíèñêà ìîæíî çàìåíèòü íåñôåðè÷åñêîé.
Îïðåäåëèì ïàðàìåòðû ñõåìû äëÿ êîíòðîëÿ ôîð-
ìû âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà. Ïîëîæå-
íèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîêóñîâ îòíîñèòåëüíî âåðøè-
íû ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà îïðåäåëÿþòñÿ ñëå-
äóþùèìè âûðàæåíèÿìè [2]:
f1
=
1
r0 −
e
,
(3)
f2
=
1
r0 +
e
,
(4)
ãäå r0 – ðàäèóñ êðèâèçíû â âåðøèíå ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëîèäà.
Ðàäèóñ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè ìåíèñêà, êîíöåíòðè÷íîé ôîêóñó F2 ãèïåðáîëîèäà, îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
R
=
r0 e +1
+
d0
,
(5)
ãäå d0 – ðàññòîÿíèå îò ýòîé ïîâåðõíîñòè ìåíèñêà äî âåðøèíû ãèïåðáîëîèäà.
Èç ôóíêöèîíàëüíîãî íàçíà÷åíèÿ ìåíèñêà â ðàññìàòðèâàåìîé êîíòðîëüíîé ñõåìå ñëåäóåò, ÷òî â èçîáðàæåíèè ãåîìåòðè÷åñêîãî ôîêóñà F1, îáðàçîâàííîãî ìåíèñêîì â îáðàòíîì õîäå ëó÷åé, ñôåðè÷åñêàÿ àáåððàöèÿ äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ. Ïîëîæèâ â îñíîâó ýòî óñëîâèå, îïðåäåëèì âçàèìîñâÿçü êîíñòðóêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ ìåíèñêà ñ ýêñöåíòðèñèòåòîì êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè.
Ïðåäñòàâèì ìåíèñê â îáðàòíîì õîäå ëó÷åé, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3à, ñ ïîìîùüþ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ îñåâûì âèðòóàëüíûì [4] ëó÷îì ñ îïòè÷åñêîé îñüþ, â âèäå [5]
α1 = 1 –R
(à)
OÃ OC d0
dÌ
α1 s1
A F1
A′ α′
α1 = 0 s1 = ∞
–R
–α′ OÏ
Oñ
F2 d0 dÌ
α1 = –1
(á) (â)
–R
F1
–α1
–α′ OÝ
OC
A A′ d0 dÌ –s1
Ðèñ. 3. Îïðåäåëåíèå êîíñòðóêòèâíûõ ïàðàìåòðîâ ìåíèñêà ïðè êîíòðîëå ïîâåðõíîñòåé: à – ãèïåðáîëîèäà âðàùåíèÿ, á – ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ, â – ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ. ÎÃ, ÎÏ, ÎÝ – âåðøèíû êîíòðîëèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåé.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 4, 2008
37
α1 = 1 d2 = dì n1 = 1 α2 = α d2 = dì n2 = n α3 = α′ d2 = d n3 = 1. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó
n2α2
−
n1α1
=
h1
n2
− r1
n1
,
(6)
ãäå ïðè ïðèíÿòûõ íîðìèðîâêå óãëîâ è îáîçíà÷åíè-
ÿõ âåëè÷èí h1 = sH1α1 = sH1 =
R
=
r0 e+
1
+
d0,
ïîëó÷àåì
−
f1
−
d0
=
r0 e −1
−
d0,
r1
=
–R,
α
=
1
−
2
n
− n
1
e
e −
1
r0
+
r0 (e +
1)d0
.
(7)
Ïåðâè÷íàÿ ñôåðè÷åñêàÿ àáåððàöèÿ èçîáðàæåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ôîêóñà F1, îáðàçîâàííîãî ìåíèñêîì â îáðàòíîì õîäå ëó÷åé, îïðåäåëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì
i=2
∑SI = hi Pi = h1P1 + h2P2, i =1
(8)
ãäå
( )Pi
=
⎛ ⎜ ⎝
αi+1 − νi+1 −
αi νi
⎞2 ⎟ ⎠
νi+1αi+1 − νiαi
,
νi
=
1 ni
.
Ïîëîæèâ SI = 0, ïðè ïðèíÿòûõ íîðìèðîâêå è îáîçíà÷åíèÿõ óãëîâ αi è äðóãèõ âåëè÷èí ïîëó÷àåì óðàâíåíèå âèäà
α′3 − (2 + ν)αα′2 +
+
(1
+
2ν)α
2α′
−
να3
−
1
(1 − να)(1 − α)2
−
1−
å −1 (å −1)d0
αdì
= 0,
(9)
ãäå
dì
=
dì r0
,
d0
=
d0 r0
.
Èòàê, ïðè âûáðàííîì ìàòåðèàëå ìåíèñêà è òðåáóåìîì çíà÷åíèè ýêñöåíòðèñèòåòà êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè å èç ñîîòíîøåíèÿ (7) íàõîäèì çíà÷åíèå óãëà α. Íàéäåííîå çíà÷åíèå óãëà α è âûáðàííóþ òîëùèíó ìåíèñêà d∼ì ïîäñòàâëÿåì â óðàâíåíèå (9), ðåøèâ êîòîðîå, íàõîäèì óãîë α′. Çíàÿ óãëû α è α′, ëåãêî íàéòè êîíñòðóêòèâíûå ïàðàìåòðû ìåíèñêà. Êðîìå òîãî, îïðåäåëèâ óãîë α′, íàõîäèì çàäíèé îòðåçîê ìåíèñêà ïðè îáðàòíîì õîäå ëó÷åé, à èçìåíèâ åãî çíàê, ïîëó÷èì ïåðåäíèé îòðåçîê ïðè ïðÿìîì õîäå ëó÷åé
sH2′
=
−s1
=
h2 α′
=
1
− αdì α′
⎛ ⎜⎝
r0 e −1
−
d0
⎟⎞⎠.
(10)
Çàìåòèì, ÷òî ïðè D = Dê ðàññòîÿíèå d0 ðàâíî ðàçíîñòè ñòðåëîê ïðîãèáà êîíòðîëüíîé ñôåðè÷åñêîé
ïîâåðõíîñòè ìåíèñêà ïðè
1 4
D
2
=
1 4
Dê2
= 2Rzñô − zñ2ô
è êîíòðîëèðóåìîé íåñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ïðè
1 4
Dê2
=
2r0 zàñô − (1 − e)zà2ñô,
ò.
å.
d0 = zñô – zàñô.
Ïðè âûáîðå âåëè÷èíû d0 íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü êîíñòðóêòîðñêîå ðåøåíèå çàäà÷è òðåáóåìîãî ðàñïîëîæåíèÿ äåòàëåé â ñõåìå.  ïåðâîì ïðèáëèæåíèè âåëè÷èíó d0 ìîæíî íàéòè ïðè D = Dê, ðåøèâ óðàâíåíèå
( )d02
+
2
r0 e+
1
d
0
−
2er02 1− e2
2×
⎛ ×⎝⎜⎜1 −
1−
1 1− e2 4 r02
Dê2
⎞ ⎟⎟⎠
+
1 e2 4 1− e2
Dê2
=
0.
(11)
Äëÿ ïîñëåäóþùåãî àíàëèçà ñõåìû óäîáíî ïðèíÿòü d0 = 0. Ïðè ýòîì ôîðìóëà (7) ïðèíèìàåò âèä
α
=
1
−
2
n
− n
1
e
e −
1.
(12)
 ýòîì ñëó÷àå, êîãäà óãîë α = 0, ýêñöåíòðèñèòåò êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
e
=
2
n −
n.
(13)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âåðõíèé ïðåäåë çíà÷åíèé ýêñöåíòðèñèòåòà êîíòðîëèðóåìîé ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì 2 – n > 0, ò. å. ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n ìàòåðèàëà ìåíèñêà äîëæåí áûòü ìåíüøå 2. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îáëàñòü çíà÷åíèé ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ îïòè÷åñêîãî ñòåêëà ñóùåñòâóþùèõ ìàðîê îãðàíè÷åíà èíòåðâàëîì 1,5 ≤ n < 2. Ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ ýêñöåíòðèñèòåòà êîíòðîëèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåé äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ 3 ≤ e < ∞.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè α = 0 óðàâíåíèå (9) ïðèíèìàåò âèä α′3 – 1 = 0, îòêóäà α′ = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè α = 0, òî ïðè ïðîèçâîëüíîì ðàññòîÿíèè d0 è ïðîèçâîëüíîé òîëùèíå ìåíèñêà dì ðàäèóñû êðèâèçíû ïîâåðõíîñòåé ìåíèñêà ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
Ïóñòü ïðè d0 = 0 è dì = 0 .  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (9) ïðèíèìàåò âèä
( )(α′−1) α′2 + aα′+ b = 0,
ãäå a = 1 – (2 + ν)α, b = a + (1 + 2ν)α2.
(14)
38 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 4, 2008
Èç óðàâíåíèÿ (14) ñëåäóåò, ÷òî ïðè α′ = 1 è ïðî-
èçâîëüíîì çíà÷åíèè óãëà α, à ñëåäîâàòåëüíî, è âå-
ëè÷èí e è ν êîýôôèöèåíò SI = 0. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå çàäà÷è êîíòðîëÿ ôîðìû
âûïóêëîãî ãèïåðáîëîèäà, ýêñöåíòðèñèòåò êîòîðîãî
ñîîòâåòñòâóåò èíòåðâàëó 1 < e < 3, ïðè dì ≠ 0. Äëÿ ýòîãî âûáèðàåì çíà÷åíèÿ å èç ýòîãî èíòåðâàëà è ïîä-
ñòàâëÿåì â óðàâíåíèå (12), â ðåçóëüòàòå ÷åãî íàõî-
äèì ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ óãëà α. Çàòåì, ðåøàÿ óðàâíåíèå (9), ïðè d0 = 0 è ïðèíÿòîì d∼ì íàõîäèì çíà÷åíèå óãëà α′. Êðèâûå çàâèñèìîñòè óãëà α′
îò ýêñöåíòðèñèòåòà å êîíòðîëèðóåìîãî ãèïåðáîëî-
èäà âðàùåíèÿ â äèàïàçîíå 1 < e ≤ 10 ïðè n = 1,5 äëÿ ðÿäà âûáðàííûõ çíà÷åíèé d∼ì ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 4. Âèäíî, ÷òî ïðè å = 3 (ïðè ýòîì óãîë α = 0)
âñå êðèâûå ïåðåñåêàþòñÿ; ñ óìåíüøåíèåì å, îñî-
áåííî ïðè å < 1,5, è ïðè óâåëè÷åíèè òîëùèíû ìå-
íèñêà óãîë α′ êðóòî óìåíüøàåòñÿ. Ïîýòîìó òîëùè-
íà ìåíèñêà äîëæíà áûòü ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé èç
óñëîâèÿ òåõíîëîãè÷íîñòè åãî èçãîòîâëåíèÿ.
Ýêñöåíòðèñèòåò ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ å = 1.
Ïðè
ýòîì
f1 = ∞,
f2
=
1 2
r0
.
Â
ýòîì
ñëó÷àå
êîíòðîëü-
íûé ìåíèñê â îáðàòíîì õîäå ëó÷åé, êàê ïîêàçàíî íà
ðèñ. 3á, óäîáíî çàïèñàòü â âèäå
α1 = 0 d2 = dì n1 = 1
α2 = α d1 = dì n2 = n
α3 = α′ d2 = d n3 = 1.
ÈòRóñ=ïh1îfëï2üð+çèódíÿ0èô=ìîà12ðårìì0ó+ðëàdóâ0(í,6îó)é,ãíî1à2ëõrî0.äèÒìîãäαà=ïhð1ènnr−1r11=.–ÂRû, ãñäîå-
α
=
−
n
−1 n
r0
r0 + 2d0
.
(15)
 ýòîì ñëó÷àå èç óñëîâèÿ SI = 0 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
α′3
−
(2
+
ν)αα′2
+
(1
+
2ν)α2α′
+
να4dì 1 − αdì
= 0,
(16)
ãäå
dì =
2 r0
dì.
Ïðè
d0
=
0
óãîë
α
=
−
n −1 n
è
óðàâíåíèå
(16)
ïðè-
íèìàåò âèä
α′3
+
⎛ ⎝⎜
2
−
n+ n2
1
⎞ ⎠⎟
α′2
+
⎝⎜⎛1 −
3n − n3
2
⎞ ⎠⎟
α′
+
+
(n
− 1)4 n4
dì n + (n −1)dì
= 0.
α′ 1,4 3
2 1
1
0,6 0 2 4 6 8å
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòè óãëà α′ îò ýêñöåíòðèñèòåòà å êîíòðîëèðóåìîãî âûïóêëîãî ãèïåðáîëîèäà âðàùåíèÿ ïðè ðàçíûõ òîëùèíàõ ìåíèñêà. 1 – d~ì = 0,1, 2 – 0,2, 3 – 0,3.
Åñëè çíà÷åíèÿ ýêñöåíòðèñèòåòà ëåæàò â äèàïàçîíå 0 < e < 1, òî óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà îïðåäåëÿåò ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ.
Ïðè ýòîì ðàññòîÿíèÿ îò âåðøèíû ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ äî äàëüíåãî è áëèæíåãî ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîêóñîâ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû
f1
=
1
r0 −
e
,
f
2
=
1
r0 +
e
.
 ýòîì ñëó÷àå êîíòðîëüíûé ìåíèñê â îáðàòíîì õîäå ëó÷åé, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3â, óäîáíî çàïèñàòü â âèäå
α1 = –1 d2 = dì n1 = 1 α2 = α d1 = dì n2 = n α3 = α′ d2 = d n3 = 1.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (6), íàõîäèì, ÷òî óãîë
ãäå
α
=
−
1 n
+
h1
n −1, nr1
h1 =
sH1α1 = −s1 =
f1 + d0
=
1
r0 −
e
+ d0,
r1
=
−R,
R
=
f
2
+
d
0
=
1
r0 +
e
+ d0.
Âûïîëíèâ ñîîòâåòñòâóþùóþ çàìåíó âåëè÷èí, ïîëó÷àåì
α
=
−1
−
2
n
−1 n1
e −
e
r0
+
r0 (1 +
e)d0
.
(17)
 ýòîì ñëó÷àå
SI
=
h1
⎛ ⎝⎜
α ν
+ −
1 1
⎞2 ⎟⎠
(να
+
1)
+
h2
⎛ ⎝⎜
α′− α 1− ν
⎞2 ⎠⎟
(
α′−
να
).
Ïðè SI = 0 ýòî âûðàæåíèå ëåãêî ïðåîáðàçîâàòü â óðàâíåíèå âèäà
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 4, 2008
39
α′3 − (2 + ν)αα′2 + (1 + 2ν)α2α′− να3 +
+
1
(1 + −1+
να)(1 + α)2
1− e (1 − e)d0
αdì
= 0,
(18)
ãäå
dì
=
dì r0
,
d0
=
d0 r0
.
n
= È1,ñ5ïäîëëÿüçòóðÿåõôçîíðàì÷óåëíûèé(ò1î7ë)ùèèí(1û8)ì,åïíðèèñêdà 0d∼=ì
0è ïî-
ëó÷àåì êðèâûå çàâèñèìîñòè çíà÷åíèé óãëà α′ îò
ýêñöåíòðèñèòåòà â äèàïàçîíå 0 < e < 1, ïðåäñòàâ-
ëåííûå íà ðèñ. 5. Èç ðèñóíêà ñëåäóåò, ÷òî ïðè
e
=
2
n +
n
(ïðè
ýòîì
α
=
–n,
a
α′
=
–1)
è
e
→
0
(ïðè
ýòîì
α′
→
−
1 n
)
êðèâûå
ïåðåñåêàþòñÿ;
â
äèàïàçîíå
èçìåíåíèÿ ýêñöåíòðèñèòåòà ìåæäó òî÷êàìè ïåðåñå-
÷åíèÿ êðèâûõ çàâèñèìîñòü óãëà α′ îò òîëùèíû ìå-
íèñêà íåçíà÷èòåëüíà; ïðè e > 0,8 êðèâàÿ çàâèñèìî-
ñòè óãëà α′ îò ýêñöåíòðèñèòåòà e êðóòî ïàäàåò, ïðè-
÷åì òåì êðó÷å, ÷åì áîëüøå òîëùèíà ìåíèñêà dì. Ïîýòîìó ïðè êîíòðîëå ïîâåðõíîñòåé ýëëèïñîèäîâ
âðàùåíèÿ ñ ýêñöåíòðèñèòåòàìè, áëèçêèìè ê 1, òîëùèíà ìåíèñêà äîëæíà áûòü ìèíèìàëüíîé.
Èòàê, â ðåçóëüòàòå âûïîëíåííîãî àíàëèçà ñõåìû êîíòðîëÿ âûïóêëûõ íåñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé
âðàùåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ àíàáåððàöèîííûì ìå-
íèñêîì â êà÷åñòâå êîíòðîëüíîãî ýëåìåíòà ïîëó÷å-
íû ñîîòíîøåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå åãî ïàðàìåòðû. Äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ñâåòîâîãî äèàìåòðà ìåíèñêà è åãî àáåððàöèîííîãî ðàñ÷åòà íåîáõîäèìî çíàòü åãî ïåðåäíþþ ÷èñëîâóþ àïåðòóðó. Óäâîåííîå çíà÷åíèå ÷èñëîâîé àïåðòóðû âîãíóòîé ïîâåðõíîñòè ìåíèñêà ðàâíî
α′ –0,8
–1 1 2
–1,2 3
–1,4 0
0,2 0,4 0,6 0,8 å
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòè óãëà α′ îò ýêñöåíòðèñèòåòà å êîíòðîëèðóåìîãî âûïóêëîãî ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ ïðè ðàçíûõ òîëùèíàõ ìåíèñêà. 1 – d~ì = 0,1, 2 – 0,2, 3 – 0,3.
2sin ω
=
D 2
.
Ïåðåäíÿÿ
÷èñëîâàÿ
àïåðòóðà
ïðè
ðàñ-
÷åòå ìåíèñêà â îáðàòíîì õîäå ëó÷åé ðàâíà sinσ =
=
1 V
sin
ω,
ãäå
V
–
ïîïåðå÷íîå
óâåëè÷åíèå
èçîáðà-
æåíèÿ îïòè÷åñêè ñîïðÿæåííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ
ôîêóñîâ, ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøàåìîé çàäà÷å.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû ðàñ÷å-
òà îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ñõåìû êîíòðîëÿ âûïóêëîé
ïîâåðõíîñòè âòîðè÷íîãî çåðêàëà îáúåêòèâà Êàññåã-
ðåíà, èìåþùåé ôîðìó ãèïåðáîëîèäà âðàùåíèÿ.
Äèàìåòð çåðêàëà D = 143 ìì, âåðøèííûé ðàäèóñ r0 = 3090,235 ìì, ýêñöåíòðèñèòåò e = 6,334.
 ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ïîëó-
÷åíû ñëåäóþùèå êîíñòðóêòèâíûå ïàðàìåòðû:
r1 = 447,304 r2 = 451,357 r3 = 3090,235 r4 = 451,357 r5 = 3090,235 r6 = 451,357 r7 = 447,304
d1 = 15 d2 = 30 d3 = –30 d4 = 30 d5 = –30 d6 = –15
n1 = 1 n2 = K8 n3 = 1 n4 = –1 n5 = 1 n6 = –1 n7 = –K8 n8 = –1
Ïðè s = –544,874 ìì, sinσ = 0,13 è λ = 632,8 íì âîëíîâàÿ àáåððàöèÿ íå ïðåâîñõîäèò çíà÷åíèÿ W = 0,05λ.
Ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííîãî àíàëèçà ïîçâîëÿþò ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ðàññìîòðåííàÿ ñõåìà êîíòðîëÿ âûïóêëûõ íåñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû è çíàêà ïåðåäíåé ÷èñëîâîé àïåðòóðû âïîëíå ïðèìåíèìà êàê ñàìîñòîÿòåëüíî, òàê è â êà÷åñòâå ñîñòàâíîé ÷àñòè, íàïðèìåð, ñõåìû èíòåðôåðîìåòðà Ôèçî.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Îïòè÷åñêèé ïðîèçâîäñòâåííûé êîíòðîëü / Ïîä ðåä. Ä. Ìàëàêàðû. Ïåðåâîä ñ àíãë. Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1985. 400 ñ.
12. Ïóðÿåâ Ä.Ò. Ìåòîäû êîíòðîëÿ îïòè÷åñêèõ àñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé. Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1976. 262 ñ.
13. Simpson F.A., Oland B.H., Meckel J. Testing Convex Aspheric Lens Surfaces with a Modified Hindle Arrangement // Opt. Eng. 1974. V. 13. G101.
14. Çâåðåâ Â.À. Îñíîâû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. ÑÏá.: ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ, 2002. 218 ñ.
15. Çâåðåâ Â.À., Êðèâîïóñòîâà Å.Â. Îïòîòåõíèêà íåñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé. Ó÷åáíîå ïîñîáèå. ÑÏá.: ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ, 2006. 203 ñ.
40 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 4, 2008