МНОГОФОТОННАЯ ГЕНЕРАЦИЯ ЭЛЕКТРОН-ДЫРОЧНЫХ ПАР В КРИСТАЛЛАХ С ГЛУБОКИМИ ПРИМЕСЯМИ. I. ВЕРОЯТНОСТИ ДВУХФОТОННЫХ ПЕРЕХОДОВ “ЗОНА–ПРИМЕСЬ”
ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА
УДК 535.14
МНОГОФОТОННАЯ ГЕНЕРАЦИЯ ЭЛЕКТРОН-ДЫРОЧНЫХ ПАР В КРИСТАЛЛАХ С ГЛУБОКИМИ ПРИМЕСЯМИ. I. ВЕРОЯТНОСТИ ДВУХФОТОННЫХ ПЕРЕХОДОВ “ЗОНА–ПРИМЕСЬ”
© 2010 г. Р. С. Левицкий, канд. физ.-мат. наук; Е. Ю. Перлин, доктор физ.-мат. наук; А. А. Попов Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики
Центр “Информационные оптические технологии”, Санкт-Петербург E-mail: eyperlin@mail.ru
Выполнен расчет вероятностей двухфотонных переходов между электронными состояниями непрерывного спектра (в валентной зоне или зоне проводимости) и дискретными состояниями глубокой примеси в области запрещенной зоны. В расчетах использована двухзонная модель потенциала нулевого радиуса для описания состояний глубокой примеси.
Ключевые слова: многофотонные переходы, кристаллы с глубокими примесями, модель потенциала нулевого радиуса.
Коды OCIS: 190.4180, 270.4180, 260.5210
Поступила в редакцию 13.04.2010
Введение
В процессах генерации электрон-дырочных пар (ЭДП), вызванной мощным оптическим излучением в объемных диэлектриках, широкозонных полупроводниках, а также в гетероструктурах, важную роль играют многофотонные межзонные переходы (МФМП). Первые работы по МФМП в кристаллах были выполнены в начале 60-х годов вскоре после появления лазеров. В первую очередь были исследованы двухфотонные переходы (ДФП) [1–5]. Роль МФМП в установлении предельной мощности лазеров была отмечена в работе [6]. Использование нелинейного поглощения в полупроводниках для управления длительностью лазерного импульса и ограничения его интенсивности рассмотрено в работе [7].
Существует несколько подходов к вычислению вероятности n-фотонных переходов в твердых телах. Первый из них основан на использовании n-го порядка теории возмущений (ТВ) по полю электромагнитной волны и применялся для расчета скоростей ДФП, начиная с работ [2, 4], где использовалась трехзонная модель полупроводника. Затем с помощью ТВ рассчитывались вероятности трех- и четырехфотонных
переходов [8, 9]. Для модели двух изотропных параболических зон вероятность прямых трехфотонных переходов была получена в работе [10]. В работе [11] трехфотонные переходы рассчитывались с учетом вырождения потолка валентной зоны при k = 0 (k – волновой вектор электрона или дырки) либо в модели невырожденных, но близко расположенных валентных зон и анизотропных эффективных масс электронов и дырок. Расчеты вероятностей непрямых ДФП для полупроводников, у которых экстремумы валентной зоны и зоны проводимости находятся в различных точках k-пространства, были выполнены в работах [12–14]. Многофотонные процессы при взаимодействии длинноволнового оптического излучения с наноструктурами исследованы в работах [15–17].
Важную роль при вычислении вероятности МФМП играет выбор используемого в расчете вида взаимодействия электронной системы с полем световой волны. В зависимости от сделанного выбора может либо увеличиваться, либо уменьшаться относительный вклад различных каналов рассматриваемого процесса высокого порядка. Обозначим через E и A напряженность электрического поля и вектор-потенциал электромагнитной волны, а через x, v, p – операторы
“Оптический журнал”, 77, 10, 2010
3
координаты, скорости и импульса, действующие в электронной подсистеме; e, m обозначают заряд и массу свободного электрона, с – скорость света. Приближения, которые являются, к примеру, оправданными для случая взаимодействия в форме “eE · x”, могут оказаться плохими для взаимодействия в форме “(e/mc)A·p”. Игнорирование этого обстоятельства приводит к ошибочным результатам. Так в работе [18] межзонная часть взаимодействия, выбранная в форме “(e/mc)A · p”, учитывалась в первом порядке, а внутризонная часть – в n – 1 порядке. На самом же деле, отношение внутризонного матричного элемента электрон-фотонного взаимодействия к межзонному матричному элементу определяется параметром β ∝ [(nћω – Eg)/Eg]1/2, где Eg – ширина запрещенной зоны, ω − частота оптического излучения. Малость параметра β означает, что внутризонное взаимодействие в данном случае нужно учитывать в нижайшем порядке (нулевом или первом в зависимости от четности n). В задачах, где требуется вычислять внутризонные матричные элементы взаимодействия, форма “eE · x” неудобна из-за возникающих сингулярностей. В то же время при наличии в модельном гамильтониане задачи нелокальных потенциалов форма взаимодействия “(e/mc)A ·p” становится не вполне адекватной в силу того, что оператор скорости v перестает быть пропорциональным оператору импульса p. Детальный анализ спектров ДФП для ряда объемных полупроводников с учетом поправок к оператору импульса, связанных с нелокальностью псевдопотенциала, был выполнен в работе [19]. В работе [20], где рассматривались “калибровочно-инвариантные” ДФП в квантовых ямах, в этой связи использовалось взаимодействие в так называемой скоростной калибровке. Сравнение вероятностей ДФП в квантовых ямах структур на основе GaAs, вычисленных в работе [20] с использованием скоростной калибровки и “(e/mc)A· p”-взаимодействия, показывает, что имеющиеся различия носят скорее количественный, чем качественный характер. Использование же взаимодействия в скоростной калибровке для расчетов вероятностей n-фотонных переходов при n > 3 приведет даже в случае простых моделей электронного энергетического спектра квантовой ямы к исключительно сложным выражениям.
Критерием применимости стандартной ТВ является малость отношения энергии взаимодействия электронной системы со светом к энергии кванта света ω. Практически это условие почти всегда выполняется при интенсивностях света
j ~ 10–1 эВ. Специфика МФМП в субмиллиметровом диапазоне, когда критерий применимости ТВ нарушается, исследована в работе [21].
При непосредственном применении стандартной ТВ к расчету вероятностей n-фотонных переходов возникает проблема учета быстро возрастающего с увеличением n числа промежуточных виртуальных состояний. Получающиеся формулы становятся неудобными для численных оценок. В то же время, в некоторых случаях использование особенностей зонной структуры материала позволяет, не выходя за рамки ТВ, получить приемлемые выражения для вероятностей n-фотонных переходов при произвольных n. Примером может служить расчет вероятностей МФМП в полупроводниках со сложной структурой потолка валентной зоны при циркулярной поляризации света [22], а также работа [23], в которой для произвольных n в рамках ТВ получены простые формулы для вероятностей n-фотонной генерации ЭДП в полупроводниковых материалах с квантовыми ямами.
Проблемы, связанные с необходимостью учета большого числа каналов процесса высокого порядка по полю, в значительной мере устраняются в рамках подхода [24], где взаимодействие электронной системы со светом включено в волновые функции начального и конечного состояний, и вероятность n-фотонного перехода получается в первом порядке по межзонной части взаимодействия. Из-за неточности в расчетах в этой работе было получено, что частотная зависимость вероятностей n-фотонных переходов как при четных, так и при нечетных n, такая же, как у разрешенных однофотонных переходов, что противоречит результатам расчетов по стандартной ТВ. На эту неточность было указано в работе [25], где описанный выше подход [24] сформулирован в духе адиабатической ТВ. Однако в формулах работы [25] перепутаны четные и нечетные числа фотонов. Эта ошибка была исправлена в работе [26]. Подход [24–26] не сводится к двухзонному приближению: зоны, не совпадающие с теми, между которыми идет переход, неявно учитываются в предположении, что расстояние до них велико по сравнению с ћω. Попытки в явном виде учесть в рамках такого подхода многозонный спектр системы (см. например, [27]) приводили к формулам, громоздкость которых затрудняет их использование.
4 “Оптический журнал”, 77, 10, 2010
В работе [28] с помощью метода типа [24, 25] была рассчитана многофотонная генерация ЭДП и экситонов в сверхрешетке, потенциал которой моделировался периодической цепочкой δ-образных слабопроницаемых барьеров. В расчете не учитывалось смешивание светом различных минизон, принадлежащих валентной зоне и зоне проводимости. В результате были получены достаточно простые формулы для коэффициентов n-фотонного межзонного поглощения, которые оказались пропорциональными (n – 1)-й степени малого отношения ширины минизоны к ћω.
В работе [29] с помощью метода типа [24, 25] исследовался нелинейный эффект Франца–Келдыша. Было получено аналитическое выражение для n-фотонного межзонного коэффициента поглощения в прямозонном полупроводнике в присутствии постоянного электрического поля. Полученное выражение для случая n = 2 применялось для описания процесса туннелирования с участием ДФП.
Промежуточный между ТВ и подходом [24, 25] способ расчета вероятностей МФМП предложен в работе [30] и развит в [21]. Этот способ, основанный на диагонализации гамильтониана электронной системы в поле электромагнитной волны, позволяет включить взаимодействие электронной системы с полем в нулевое приближение и вычислять вероятности n-фотонных переходов в первом порядке по недиагональной части преобразованного гамильтониана. При n = 2, 3 формулы для вероятностей переходов получаются такими же, как в ТВ. При больших n асимптотика близка к получаемой в методе [24, 25].
В настоящее время остается недостаточно исследованным вопрос о влиянии примесей с дискретными уровнями в глубине запрещенной зоны на многофотонную генерацию ЭДП. Очевидно, что примесные состояния могут играть роль как промежуточных виртуальных состояний в процессе высокого порядка по полю, так и реальных промежуточных состояний в каскадной схеме генерации ЭДП. Именно такая схема и рассматривается в этой и последующих статьях. В данной статье в рамках ТВ рассматриваются ДФП типа “примесь–зона” и “зона–примесь”, причем примесные состояния описываются в рамках модели потенциала нулевого радиуса.
Модель кристалла и волновые функции
Рассмотрим диэлектрик или полупроводник с большой шириной Eg запрещенной зоны, облучаемый интенсивным светом с частотой ω.
Пусть в кристалле имеется некоторое количество одноуровневых центров (ОЦ) (рис. 1) либо двухуровневых (ДЦ) (рис. 2) глубоких примесных центров. Для определенности предположим, что энергетические зазоры как между уровнем примеси (нижним в случае ДЦ) и потолком валентной зоны ν, так и между уровнем примеси (верхним в случае ДЦ) и дном зоны проводимости c больше энергии ћω одного фотона, но меньше энергии 2ћω двух фотонов (см. рис. 1, 2).
Для оценки вероятностей оптических переходов между электронными состояниями непрерывного спектра (в валентной зоне или зоне проводимости) и дискретными состояниями глубокой примеси в области энергий запрещенной зоны воспользуемся известной моделью
с
2
1 2
Eg
1
ν
Рис. 1. Модель кристалла с одноуровневыми примесными центрами.
c
2 1
2 1
2 1
Eg
ν
Рис. 2. Модель кристалла с двухуровневыми примесными центрами.
“Оптический журнал”, 77, 10, 2010
5
потенциала нулевого радиуса [31, 32]. Волновая функция примесного электрона определяется из уравнения Шредингера
−
=2 2m
∇2ψλ
+
U(r)ψ
λ
+
V
(r)ψλ
=
Eλ
ψ
λ,
(1)
где U(r) − эффективный периодический потенциал решетки, λ — совокупность квантовых чисел, характеризующих состояние электрона, V(r) – потенциальная энергия электрона в поле примесного центра. Считая, что характерная длина волны свободного носителя заряда велика по сравнению с постоянной решетки, а также по сравнению с радиусом примеси, можем положить
V (r) = −V0δ(r).
(2)
При этом собственные значения энергии примес-
ного электрона Eλ находятся из соотношения
V0
∑
k.l
ψkl (0) 2 Ekl − Eλ
= 1,
(3)
где ψkl(r) – блоховская волновая функция l-й зоны, Ekl – соответствующая блоховская энергия. Как показано в работе [32], волновую функ-
цию примесного электрона ψλ можно представить в следующем виде:
ψλ
(r)
=
Nλ
∑
k.l
ψ∗kl (0)ψkl (r) Ekl − Eλ
,
(4)
где Nλ – нормировочная константа. Индекс λ принимает значения λ1, λ2 в случае ДЦ и λ1 в случае ОЦ. Функции ψkl будем нормировать на единицу в объеме Ω. Энергию будем отсчитывать от дна зоны проводимости c. У краев зон восполь-
зуемся простейшей аппроксимацией, полагая
для блоховских энергий зоны проводимости и
валентной зоны, что
Ekc = (ћk)2/(2mс), Ekν = −Eg − (ћk)2/(2mν), (5)
где mс и mν – эффективные массы электронов и дырок. При нашем выборе отсчета энергии Eλ < 0. Заменим ψ*kl(0) константой Ω−1/2. Из всей суммы по l сохраним два члена, отвечающие
зоне проводимости l = c и валентной зоне l = ν.
Тогда для волновой функции получим
∑ψλ (r) = NλΩ−1/2 ⎜⎝⎜⎜⎜⎛
k
eikr ukc =2k2/2mc + Eλ
+
∑+
k
eikr ukν −Eg −=2k2/2mν +
Eλ
⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎟.
(6)
Из условия нормировки имеем
( )Nλ2 =
mc3/2/
Eλ
23/2 π=3
1/2 + mν3/2/
Eg
+ Eλ
1/2 .
(7)
Вероятности двухфотонных переходов “зона–примесь” и “примесь–зона”
Вероятность ДФП между валентной зоной ν и примесным уровнем с энергией Eλ1 имеет вид
∫Wν(k1,ν
2) , λ1
=
2π =
Ω (2π)3
dkν Mν(1k,ν2,)λ1 2 ×
×δ⎜⎜⎜⎛⎝⎜ Eλ1
+
Eg
+
=2k2ν 2mν
− 2=ω⎞⎠⎟⎟⎟⎟,
(8)
где Mν(1k,ν2,)λ1 − составной матричный элемент процесса второго порядка. Верхние индексы (1) или (2) относятся к случаям ДФП для ОЦ и ДЦ соответственно.
Феймановские диаграммы, соответствующие различным каналам процесса второго порядка, приведены на рис. 3. В случае ОЦ вклад дает только левая диаграмма, а в случае ДЦ – обе диаграммы. Для составных матричных элементов перехода имеем
M(1)
=
Vνν Vνλ1 =ω
,
VV
M(2) = M(1) −
νλ2 λ2λ1
2=ω
,
(9)
где Vij – матричные элементы оператора взаимо-
дмеайгснтивтиняойэлвеоклтнрыонHноe−йpсhи=стmеecмAы⋅сpп. оИлмемееэмлектро-
Vνν
=
−
e= mν c
(A
⋅
kν
),
Vcc
=
e= mcc
(A
⋅
kc
),
(10)
1
2ν
ν
2
12
1
ν
1
Рис. 3. Фейнмановские диаграммы для матричного элемента двухфотонного перехода ν → λ1. Прямые линии со стрелками, направленными слева направо – электроны, прямые линии со стрелками, направленными справа налево – дырки, волнистые линии – фотоны.
6 “Оптический журнал”, 77, 10, 2010
V
νλ1,2
=
eN
λ1,2
mcΩ1/2
⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜
A⋅ pcv
=2kν2 2mc
+
E
λ1,2
−
−
m mν
Eg −
=(A⋅ kν )
=2kν2 2mν
+
E
λ1,2
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
( )Vλ2λ1
=
− (A ⋅
pcν )
emcmν Nλ1 2cmπ= 3
Nλ2
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎛
mν
1 Eg − Eλ1
−
+ Eλ2 mc
1
( )mν Eg − Eλ2 −
(11) Eλ1 mc ⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎞⎟⎟. (12)
Полученные выражения подставим в формулу (8) и, выполнив интегрирование по углу между векторами A и kν, снимем с помощью δ-функции
интегрирование по kν. В итоге для вероятности двухфотонного перехода “валентная зона – при-
месь” имеем
Wν(λ1)
=
4( Ae)4 kν2Nλ2 15πc4mν ω2= 3
⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪m2
5(mc pcν )2 ⎢⎣⎡(kν=)2 + 2 Eλ
mc ⎥⎦⎤2
+
⎢⎣⎡−2
Eλ1
mν
3(kν=)2 + 2 Eg mν
+
(=kν
)2
⎥⎦⎤2
⎪⎭⎪⎪⎪⎫⎪⎬⎪,
( )Wν(λ21)
= Wν(λ11)
+
(
Ae)4 kνmc2mv Nλ21 Nλ22 24c4m4 π3 ω2=11
pc2vβ ⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪
12mc2mν2Nλ22 pc2νβ 2 Eλ2 mc + =2kν2 2
+
( ) (( ) )+
2 Eg
4kν2m2=2 mν −2 Eλ2 mν + =2kν2
2
⎣⎢⎢⎢⎢⎡mν2Nλ22β − 25/2 π=3
2 Eg mν −2 Eλ2 mν + =2kν2 2 Eλ1 mc + =2kν2
+
( ( )( ) )+
25/2 π=3 2 Eg 2 Eλ2 mc + =2kν2
mν −2 Eλ2 mν + =2kν2 2 2 Eg mν −2 Eλ1 mν + =2kν2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎪⎪⎪⎪⎫⎪⎭⎬⎪⎪⎪,
где
( )A =
8πcj ε∞ ω2
,
kν =
2mν =2
Eλ1 − Eg + 2=ω ,
( ) ( )β = 1 + 1 .
mν Eg − Eλ1 − Eλ2 mc
mν Eg − Eλ1 − Eλ1 mc
j – интенсивность света, ε∞ – высокочастотная диэлектрическая проницаемость.
Аналогичным образом вычисляется вероятность двухфотонного перехода “примесь–зона проводимости”
Wλ(c1)
=
4( Ae)4 kc2Nλ2 15πc4mc ω2= 3
⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎪m2
⎣⎡⎢2
Eg
5(mν pcv )2 mν −2 Eλ1 mν
+ (kc=)2 ⎥⎦⎤2
+
3(kc=)2
⎣⎡⎢(kν=)2 + 2 Eλ1
mc ⎦⎤⎥2 ⎬⎪⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪,
“Оптический журнал”, 77, 10, 2010
(13) (14)
(15)
(16) 7
Wλ(22c)
= Wλ(21c)
+
( Ae)4 kcmcmν2Nλ21 Nλ22 24c4m4 π3 ω2=11
pc2vβ ⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨(2
Eg
12mc2mν2Nλ21 pc2vβ mν −2 Eλ1 mν + =2kc2)2
+
+
(2
4kc2m2=2 Eλ1 mc + =2kc2
)2
⎣⎢⎢⎡⎢mc2
Nλ21
β
−
25/2 (2 Eg
π=3 (2 Eλ1 mc + =2kc2) mν −2 Eλ2 mν + =2kc2
)
+
(2
Eλ2
25/2 π=3 (2 Eλ1 mc + =2kc2)(2 Eλ1
mc + =2kc2 mν −2 Eg
)2 mν
−
=
2kc2
)
⎦⎥⎥⎤⎥⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎫⎪⎬.
(17)
Обсуждение результатов
Формулы (13, 14) и (16, 17) могут быть представлены в виде
Wν(λ1)
Wν(λ21) Wλ(c1) Wλ(22c)
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎫⎪⎬⎪⎪
=
η(ν1λ)
η(ν2λ)1 η(λ1c) η(λ22)c
⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎫
j2
.
(18)
Для частот излучения, лежащих в длинноволновой области видимого спектра или в ближнем ИК диапазоне, и при типичных значениях параметров зонной структуры значения коэффициентов в правой части (18) составляют
η(ν1λ), η(λ1c) ≈ 103–104 см4 МВт−2 с−1,
η(ν2λ)1, η(λ22)c ≈ 106–107 см4 МВт−2 с−1.
Видно, что в случае двухуровневых примесных центров вероятности ДФП “зона–примесь” и “примесь–зона” оказываются существенно (на 2–3 порядка) выше, чем в случае одноуровневых центров. Это происходит благодаря наличию в случае ДЦ дополнительного “внутрицентрового” канала процесса второго порядка. Столь высокие значения вероятностей рассмотренных переходов указывают на высокую “конкурентоспособность” каскадных механизмов генерации неравновесных ЭДП с участием примесных уровней в запрещенной зоне.
Полученные результаты для вероятностей ДФП “примесь–зона” и “зона–примесь” будут использованы в следующих частях работы для анализа кинетики генерации неравновесных ЭДП излучением с энергией кванта, в 4–5 раз меньшей ширины запрещенной зоны кристалла. В рамках предложенной модели глубокой примеси с использованием метода потенциала нулевого радиуса будут также исследованы более сложные (и, при определенных условиях, более эффективные) двухэлектронные механизмы генерации ЭДП (в т.ч. механизм “оптического трамплина” [33]) и будут определены условия, при которых примесные механизмы многофотонной генерации ЭДП играют превалирующую роль.
Работа выполнена при поддержке Рособразования, гранты 2.1.1/2166, 2.1.1.2532, и РФФИ, грант 09-02-00223а.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kaiser W., Garrett. C.G. Two-Photon Excitation in CaF2: Eu2+ // Phys. Rev. Letters. 1961. V. 7. № 6. P. 229–232.
2. Loudon R. Theory of nonlinear optical processes in semiconductors and insulators // Proc. Phys. Soc. 1962. V. 80. № 4. P. 952–961.
3. Braunstein R. Nonlinear Optical Effects // Phys. Rev. 1962. V. 125. № 2. P. 475–482.
4. Braunstein R., Ockman N. Optical double-photon absorption in CdS // Phys. Rev. 1964. V. 134. P. 499–507.
5. Hopfield J.J., Worlock J.M. Two-Quantum Absorption Spectrum of KI and CsI // Phys. Rev. 1965. V. 137. № 5A. P. 1455–1464.
6. Бункин Ф.В., Прохоров А.И. Роль многофотонных процессов в установлении предельной мощности квантовых генераторов // ЖЭТФ. 1965. T. 48. № 4. С. 1084–1086.
7. Физика соединений AIIBVI // Под ред. А.Н. Георгобиани, М.К. Шейнкмана. М.: Наука. 1986. С. 184–245.
8. Арифжанов С.Б., Данишевский А.М., Ивченко Е.Л., Кочегаров С.Ф., Субашиев В.К. Роль различных типов переходов при трехфотонном поглощении в InAs // ЖЭТФ. 1978. Т. 74. № 1. С. 172–177.
9. Yee J. Four-photon transitions in semiconductors // Phys. Rev. B. 1971. V. 3. № 2. P. 355–360.
10. Бобрышева А.И., Москаленко С.А. Трехфотонные зонно-зонные переходы в полупроводниках // ФТП. 1969. Т. 3. № 11. С. 1601–1606.
11. Yee J. Three-photon transitions in semiconductors // Phys. Rev. B. 1972. V. 5. P. 449–458.
12. Ашкинадзе Б.М., Бобрышева А.И., Витиу Е.В., Коварский В.А., Леляков А.В., Москаленко С.А., Пышкин С.Л., Радауцан С.И. Некоторые нелинейные оптические эффекты в фосфиде галлия // Труды IV Междунар. конф. по физике полупроводников. Л.: Наука. 1969. Т. 1. С. 200–204.
13. Bassani F., Hassan A.R. Analysis of indirect twophoton transitions and of direct three-photon transitions in semiconductors // Nuovo Cimento. 1972. V. 7B. P. 313–319.
8 “Оптический журнал”, 77, 10, 2010
14. Yee J. Two-photon transitions in semiconductors with the shifted band extrema // J. Phys. Chem. Solids. 1972. V. 33. P. 643–649.
15. Diener J., Ben-Chorin M., Kovalev D.I., Ganichev S.D., Koch F. // Тез. докл. 2-й Российской конф. по физ. полупроводников. Зеленогорск. 1996. Т. 2. С. 204.
16. Вугальтер Г.А., Демиховский В.Я. // Тез. докл. 2-й Российской конф. по физ. полупроводников. Зеленогорск. 1996. Т. 2. С. 160.
17. Дмитриев А.П., Емельянов С.А., Иванов С.В., Терентьев Я.В. // Письма ЖЭТФ. 1995. Т. 62. № 8. С. 611–615.
18. Brandi H.S., de Araujo C.B. Multiphoton absorption coefficients in solids // J. Phys. C. 1983. V. 16. № 30. P. 5929–5936.
19. Murayama M., Nakayama T. Ab initio calculations of two-photon absorption spectra in semiconductors // Phys. Rev. B. 1995. V. 52. № 7. P. 4986–4997.
20. Pasquarello A., Quattropani A. Gauge-invariant twophoton transitions in quantum wells // Phys. Rev. B. 1988. V. 38. № 9. P. 6206–6210.
21. Ганичев С.Д., Емельянов С.А., Ивченко Е.Л., Перлин Е.Ю., Терентьев Я.В., Федоров А.В., Ярошецкий И.Д. Многофотонное поглощение в полупроводниках в субмиллиметровом диапазоне // ЖЭТФ. 1986. Т. 91. С. 1233–1248.
22. Перлин Е.Ю., Коварский В.А., Чеботарь В.Н. Многофотонное поглощение циркулярно поляризованного света в кубических кристаллах // ФТТ. 1976. Т. 18. № 1. С. 239–241.
23. Перлин Е.Ю. Многофотонная генерация электрондырочных пар в квантовой яме // Опт. и спектр. 1997. Т. 82. № 2. С. 259–265.
24. Келдыш Л.В. Ионизация в поле сильной электромагнитной волны // ЖЭТФ. 1964. Т. 47. № 5. С. 1945–1957.
25. Бычков Ю.А., Дыхне А.М. Пробой полупроводников в переменном электрическом поле // ЖЭТФ. 1970. Т. 58. № 5. С. 1734–1743.
26. Minasian H., Avetisyan S. Multiphoton absorption of intense electromagnetic laser radiation in narrow gap semiconductors // Phys. Rev. B. 1986. V. 34. № 2. P. 963–966.
27. Yacoby Y. High frequency Franz–Keldysh effect // Phys. Rev. B. 1968. V. 169. № 3. P. 610–619.
28. Монозон Б.С., Жилич А.Г. Межзонное многофотонное поглощение в сверхрешетках // ФТТ. 1995. Т. 37. № 3. С. 936–949.
29 . Garcia H. Tunneling assisted two-photon absorption: The nonlinear Franz-Keldysh effect // Phys. Rev. B. 2006. V. 74. P. 035212.
30. Kovarskii V.A., Perlin E.Yu. Multi-photon interband optical transitions in crystals // Phys. Stat. Sol. (b). 1971. V. 45. № 1. P. 47–56.
31. Lucovsky G. On the photoionization of deep impurity centers in semiconductors. Solid State Commun. 1965. V. 3. № 9. P. 299–302.
32. Бонч-Бруевич В.Л. К теории захвата носителей заряда глубокими носителями в гомеополярных полупроводниках // Вестник Московского университета. Сер. физика и астрономия. 1971. Т. 12. № 5. С. 586–593.
33. Перлин Е.Ю., Левицкий Р.С. Ионизация глубоких квантовых ям: эффект оптического трамплина // Опт. и спектр. 2007. Т. 102. № 2. С. 303–308.
“Оптический журнал”, 77, 10, 2010
9
УДК 535.14
МНОГОФОТОННАЯ ГЕНЕРАЦИЯ ЭЛЕКТРОН-ДЫРОЧНЫХ ПАР В КРИСТАЛЛАХ С ГЛУБОКИМИ ПРИМЕСЯМИ. I. ВЕРОЯТНОСТИ ДВУХФОТОННЫХ ПЕРЕХОДОВ “ЗОНА–ПРИМЕСЬ”
© 2010 г. Р. С. Левицкий, канд. физ.-мат. наук; Е. Ю. Перлин, доктор физ.-мат. наук; А. А. Попов Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики
Центр “Информационные оптические технологии”, Санкт-Петербург E-mail: eyperlin@mail.ru
Выполнен расчет вероятностей двухфотонных переходов между электронными состояниями непрерывного спектра (в валентной зоне или зоне проводимости) и дискретными состояниями глубокой примеси в области запрещенной зоны. В расчетах использована двухзонная модель потенциала нулевого радиуса для описания состояний глубокой примеси.
Ключевые слова: многофотонные переходы, кристаллы с глубокими примесями, модель потенциала нулевого радиуса.
Коды OCIS: 190.4180, 270.4180, 260.5210
Поступила в редакцию 13.04.2010
Введение
В процессах генерации электрон-дырочных пар (ЭДП), вызванной мощным оптическим излучением в объемных диэлектриках, широкозонных полупроводниках, а также в гетероструктурах, важную роль играют многофотонные межзонные переходы (МФМП). Первые работы по МФМП в кристаллах были выполнены в начале 60-х годов вскоре после появления лазеров. В первую очередь были исследованы двухфотонные переходы (ДФП) [1–5]. Роль МФМП в установлении предельной мощности лазеров была отмечена в работе [6]. Использование нелинейного поглощения в полупроводниках для управления длительностью лазерного импульса и ограничения его интенсивности рассмотрено в работе [7].
Существует несколько подходов к вычислению вероятности n-фотонных переходов в твердых телах. Первый из них основан на использовании n-го порядка теории возмущений (ТВ) по полю электромагнитной волны и применялся для расчета скоростей ДФП, начиная с работ [2, 4], где использовалась трехзонная модель полупроводника. Затем с помощью ТВ рассчитывались вероятности трех- и четырехфотонных
переходов [8, 9]. Для модели двух изотропных параболических зон вероятность прямых трехфотонных переходов была получена в работе [10]. В работе [11] трехфотонные переходы рассчитывались с учетом вырождения потолка валентной зоны при k = 0 (k – волновой вектор электрона или дырки) либо в модели невырожденных, но близко расположенных валентных зон и анизотропных эффективных масс электронов и дырок. Расчеты вероятностей непрямых ДФП для полупроводников, у которых экстремумы валентной зоны и зоны проводимости находятся в различных точках k-пространства, были выполнены в работах [12–14]. Многофотонные процессы при взаимодействии длинноволнового оптического излучения с наноструктурами исследованы в работах [15–17].
Важную роль при вычислении вероятности МФМП играет выбор используемого в расчете вида взаимодействия электронной системы с полем световой волны. В зависимости от сделанного выбора может либо увеличиваться, либо уменьшаться относительный вклад различных каналов рассматриваемого процесса высокого порядка. Обозначим через E и A напряженность электрического поля и вектор-потенциал электромагнитной волны, а через x, v, p – операторы
“Оптический журнал”, 77, 10, 2010
3
координаты, скорости и импульса, действующие в электронной подсистеме; e, m обозначают заряд и массу свободного электрона, с – скорость света. Приближения, которые являются, к примеру, оправданными для случая взаимодействия в форме “eE · x”, могут оказаться плохими для взаимодействия в форме “(e/mc)A·p”. Игнорирование этого обстоятельства приводит к ошибочным результатам. Так в работе [18] межзонная часть взаимодействия, выбранная в форме “(e/mc)A · p”, учитывалась в первом порядке, а внутризонная часть – в n – 1 порядке. На самом же деле, отношение внутризонного матричного элемента электрон-фотонного взаимодействия к межзонному матричному элементу определяется параметром β ∝ [(nћω – Eg)/Eg]1/2, где Eg – ширина запрещенной зоны, ω − частота оптического излучения. Малость параметра β означает, что внутризонное взаимодействие в данном случае нужно учитывать в нижайшем порядке (нулевом или первом в зависимости от четности n). В задачах, где требуется вычислять внутризонные матричные элементы взаимодействия, форма “eE · x” неудобна из-за возникающих сингулярностей. В то же время при наличии в модельном гамильтониане задачи нелокальных потенциалов форма взаимодействия “(e/mc)A ·p” становится не вполне адекватной в силу того, что оператор скорости v перестает быть пропорциональным оператору импульса p. Детальный анализ спектров ДФП для ряда объемных полупроводников с учетом поправок к оператору импульса, связанных с нелокальностью псевдопотенциала, был выполнен в работе [19]. В работе [20], где рассматривались “калибровочно-инвариантные” ДФП в квантовых ямах, в этой связи использовалось взаимодействие в так называемой скоростной калибровке. Сравнение вероятностей ДФП в квантовых ямах структур на основе GaAs, вычисленных в работе [20] с использованием скоростной калибровки и “(e/mc)A· p”-взаимодействия, показывает, что имеющиеся различия носят скорее количественный, чем качественный характер. Использование же взаимодействия в скоростной калибровке для расчетов вероятностей n-фотонных переходов при n > 3 приведет даже в случае простых моделей электронного энергетического спектра квантовой ямы к исключительно сложным выражениям.
Критерием применимости стандартной ТВ является малость отношения энергии взаимодействия электронной системы со светом к энергии кванта света ω. Практически это условие почти всегда выполняется при интенсивностях света
j ~ 10–1 эВ. Специфика МФМП в субмиллиметровом диапазоне, когда критерий применимости ТВ нарушается, исследована в работе [21].
При непосредственном применении стандартной ТВ к расчету вероятностей n-фотонных переходов возникает проблема учета быстро возрастающего с увеличением n числа промежуточных виртуальных состояний. Получающиеся формулы становятся неудобными для численных оценок. В то же время, в некоторых случаях использование особенностей зонной структуры материала позволяет, не выходя за рамки ТВ, получить приемлемые выражения для вероятностей n-фотонных переходов при произвольных n. Примером может служить расчет вероятностей МФМП в полупроводниках со сложной структурой потолка валентной зоны при циркулярной поляризации света [22], а также работа [23], в которой для произвольных n в рамках ТВ получены простые формулы для вероятностей n-фотонной генерации ЭДП в полупроводниковых материалах с квантовыми ямами.
Проблемы, связанные с необходимостью учета большого числа каналов процесса высокого порядка по полю, в значительной мере устраняются в рамках подхода [24], где взаимодействие электронной системы со светом включено в волновые функции начального и конечного состояний, и вероятность n-фотонного перехода получается в первом порядке по межзонной части взаимодействия. Из-за неточности в расчетах в этой работе было получено, что частотная зависимость вероятностей n-фотонных переходов как при четных, так и при нечетных n, такая же, как у разрешенных однофотонных переходов, что противоречит результатам расчетов по стандартной ТВ. На эту неточность было указано в работе [25], где описанный выше подход [24] сформулирован в духе адиабатической ТВ. Однако в формулах работы [25] перепутаны четные и нечетные числа фотонов. Эта ошибка была исправлена в работе [26]. Подход [24–26] не сводится к двухзонному приближению: зоны, не совпадающие с теми, между которыми идет переход, неявно учитываются в предположении, что расстояние до них велико по сравнению с ћω. Попытки в явном виде учесть в рамках такого подхода многозонный спектр системы (см. например, [27]) приводили к формулам, громоздкость которых затрудняет их использование.
4 “Оптический журнал”, 77, 10, 2010
В работе [28] с помощью метода типа [24, 25] была рассчитана многофотонная генерация ЭДП и экситонов в сверхрешетке, потенциал которой моделировался периодической цепочкой δ-образных слабопроницаемых барьеров. В расчете не учитывалось смешивание светом различных минизон, принадлежащих валентной зоне и зоне проводимости. В результате были получены достаточно простые формулы для коэффициентов n-фотонного межзонного поглощения, которые оказались пропорциональными (n – 1)-й степени малого отношения ширины минизоны к ћω.
В работе [29] с помощью метода типа [24, 25] исследовался нелинейный эффект Франца–Келдыша. Было получено аналитическое выражение для n-фотонного межзонного коэффициента поглощения в прямозонном полупроводнике в присутствии постоянного электрического поля. Полученное выражение для случая n = 2 применялось для описания процесса туннелирования с участием ДФП.
Промежуточный между ТВ и подходом [24, 25] способ расчета вероятностей МФМП предложен в работе [30] и развит в [21]. Этот способ, основанный на диагонализации гамильтониана электронной системы в поле электромагнитной волны, позволяет включить взаимодействие электронной системы с полем в нулевое приближение и вычислять вероятности n-фотонных переходов в первом порядке по недиагональной части преобразованного гамильтониана. При n = 2, 3 формулы для вероятностей переходов получаются такими же, как в ТВ. При больших n асимптотика близка к получаемой в методе [24, 25].
В настоящее время остается недостаточно исследованным вопрос о влиянии примесей с дискретными уровнями в глубине запрещенной зоны на многофотонную генерацию ЭДП. Очевидно, что примесные состояния могут играть роль как промежуточных виртуальных состояний в процессе высокого порядка по полю, так и реальных промежуточных состояний в каскадной схеме генерации ЭДП. Именно такая схема и рассматривается в этой и последующих статьях. В данной статье в рамках ТВ рассматриваются ДФП типа “примесь–зона” и “зона–примесь”, причем примесные состояния описываются в рамках модели потенциала нулевого радиуса.
Модель кристалла и волновые функции
Рассмотрим диэлектрик или полупроводник с большой шириной Eg запрещенной зоны, облучаемый интенсивным светом с частотой ω.
Пусть в кристалле имеется некоторое количество одноуровневых центров (ОЦ) (рис. 1) либо двухуровневых (ДЦ) (рис. 2) глубоких примесных центров. Для определенности предположим, что энергетические зазоры как между уровнем примеси (нижним в случае ДЦ) и потолком валентной зоны ν, так и между уровнем примеси (верхним в случае ДЦ) и дном зоны проводимости c больше энергии ћω одного фотона, но меньше энергии 2ћω двух фотонов (см. рис. 1, 2).
Для оценки вероятностей оптических переходов между электронными состояниями непрерывного спектра (в валентной зоне или зоне проводимости) и дискретными состояниями глубокой примеси в области энергий запрещенной зоны воспользуемся известной моделью
с
2
1 2
Eg
1
ν
Рис. 1. Модель кристалла с одноуровневыми примесными центрами.
c
2 1
2 1
2 1
Eg
ν
Рис. 2. Модель кристалла с двухуровневыми примесными центрами.
“Оптический журнал”, 77, 10, 2010
5
потенциала нулевого радиуса [31, 32]. Волновая функция примесного электрона определяется из уравнения Шредингера
−
=2 2m
∇2ψλ
+
U(r)ψ
λ
+
V
(r)ψλ
=
Eλ
ψ
λ,
(1)
где U(r) − эффективный периодический потенциал решетки, λ — совокупность квантовых чисел, характеризующих состояние электрона, V(r) – потенциальная энергия электрона в поле примесного центра. Считая, что характерная длина волны свободного носителя заряда велика по сравнению с постоянной решетки, а также по сравнению с радиусом примеси, можем положить
V (r) = −V0δ(r).
(2)
При этом собственные значения энергии примес-
ного электрона Eλ находятся из соотношения
V0
∑
k.l
ψkl (0) 2 Ekl − Eλ
= 1,
(3)
где ψkl(r) – блоховская волновая функция l-й зоны, Ekl – соответствующая блоховская энергия. Как показано в работе [32], волновую функ-
цию примесного электрона ψλ можно представить в следующем виде:
ψλ
(r)
=
Nλ
∑
k.l
ψ∗kl (0)ψkl (r) Ekl − Eλ
,
(4)
где Nλ – нормировочная константа. Индекс λ принимает значения λ1, λ2 в случае ДЦ и λ1 в случае ОЦ. Функции ψkl будем нормировать на единицу в объеме Ω. Энергию будем отсчитывать от дна зоны проводимости c. У краев зон восполь-
зуемся простейшей аппроксимацией, полагая
для блоховских энергий зоны проводимости и
валентной зоны, что
Ekc = (ћk)2/(2mс), Ekν = −Eg − (ћk)2/(2mν), (5)
где mс и mν – эффективные массы электронов и дырок. При нашем выборе отсчета энергии Eλ < 0. Заменим ψ*kl(0) константой Ω−1/2. Из всей суммы по l сохраним два члена, отвечающие
зоне проводимости l = c и валентной зоне l = ν.
Тогда для волновой функции получим
∑ψλ (r) = NλΩ−1/2 ⎜⎝⎜⎜⎜⎛
k
eikr ukc =2k2/2mc + Eλ
+
∑+
k
eikr ukν −Eg −=2k2/2mν +
Eλ
⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎟.
(6)
Из условия нормировки имеем
( )Nλ2 =
mc3/2/
Eλ
23/2 π=3
1/2 + mν3/2/
Eg
+ Eλ
1/2 .
(7)
Вероятности двухфотонных переходов “зона–примесь” и “примесь–зона”
Вероятность ДФП между валентной зоной ν и примесным уровнем с энергией Eλ1 имеет вид
∫Wν(k1,ν
2) , λ1
=
2π =
Ω (2π)3
dkν Mν(1k,ν2,)λ1 2 ×
×δ⎜⎜⎜⎛⎝⎜ Eλ1
+
Eg
+
=2k2ν 2mν
− 2=ω⎞⎠⎟⎟⎟⎟,
(8)
где Mν(1k,ν2,)λ1 − составной матричный элемент процесса второго порядка. Верхние индексы (1) или (2) относятся к случаям ДФП для ОЦ и ДЦ соответственно.
Феймановские диаграммы, соответствующие различным каналам процесса второго порядка, приведены на рис. 3. В случае ОЦ вклад дает только левая диаграмма, а в случае ДЦ – обе диаграммы. Для составных матричных элементов перехода имеем
M(1)
=
Vνν Vνλ1 =ω
,
VV
M(2) = M(1) −
νλ2 λ2λ1
2=ω
,
(9)
где Vij – матричные элементы оператора взаимо-
дмеайгснтивтиняойэлвеоклтнрыонHноe−йpсhи=стmеecмAы⋅сpп. оИлмемееэмлектро-
Vνν
=
−
e= mν c
(A
⋅
kν
),
Vcc
=
e= mcc
(A
⋅
kc
),
(10)
1
2ν
ν
2
12
1
ν
1
Рис. 3. Фейнмановские диаграммы для матричного элемента двухфотонного перехода ν → λ1. Прямые линии со стрелками, направленными слева направо – электроны, прямые линии со стрелками, направленными справа налево – дырки, волнистые линии – фотоны.
6 “Оптический журнал”, 77, 10, 2010
V
νλ1,2
=
eN
λ1,2
mcΩ1/2
⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜
A⋅ pcv
=2kν2 2mc
+
E
λ1,2
−
−
m mν
Eg −
=(A⋅ kν )
=2kν2 2mν
+
E
λ1,2
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
( )Vλ2λ1
=
− (A ⋅
pcν )
emcmν Nλ1 2cmπ= 3
Nλ2
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎛
mν
1 Eg − Eλ1
−
+ Eλ2 mc
1
( )mν Eg − Eλ2 −
(11) Eλ1 mc ⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎞⎟⎟. (12)
Полученные выражения подставим в формулу (8) и, выполнив интегрирование по углу между векторами A и kν, снимем с помощью δ-функции
интегрирование по kν. В итоге для вероятности двухфотонного перехода “валентная зона – при-
месь” имеем
Wν(λ1)
=
4( Ae)4 kν2Nλ2 15πc4mν ω2= 3
⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪m2
5(mc pcν )2 ⎢⎣⎡(kν=)2 + 2 Eλ
mc ⎥⎦⎤2
+
⎢⎣⎡−2
Eλ1
mν
3(kν=)2 + 2 Eg mν
+
(=kν
)2
⎥⎦⎤2
⎪⎭⎪⎪⎪⎫⎪⎬⎪,
( )Wν(λ21)
= Wν(λ11)
+
(
Ae)4 kνmc2mv Nλ21 Nλ22 24c4m4 π3 ω2=11
pc2vβ ⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪
12mc2mν2Nλ22 pc2νβ 2 Eλ2 mc + =2kν2 2
+
( ) (( ) )+
2 Eg
4kν2m2=2 mν −2 Eλ2 mν + =2kν2
2
⎣⎢⎢⎢⎢⎡mν2Nλ22β − 25/2 π=3
2 Eg mν −2 Eλ2 mν + =2kν2 2 Eλ1 mc + =2kν2
+
( ( )( ) )+
25/2 π=3 2 Eg 2 Eλ2 mc + =2kν2
mν −2 Eλ2 mν + =2kν2 2 2 Eg mν −2 Eλ1 mν + =2kν2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎪⎪⎪⎪⎫⎪⎭⎬⎪⎪⎪,
где
( )A =
8πcj ε∞ ω2
,
kν =
2mν =2
Eλ1 − Eg + 2=ω ,
( ) ( )β = 1 + 1 .
mν Eg − Eλ1 − Eλ2 mc
mν Eg − Eλ1 − Eλ1 mc
j – интенсивность света, ε∞ – высокочастотная диэлектрическая проницаемость.
Аналогичным образом вычисляется вероятность двухфотонного перехода “примесь–зона проводимости”
Wλ(c1)
=
4( Ae)4 kc2Nλ2 15πc4mc ω2= 3
⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎪m2
⎣⎡⎢2
Eg
5(mν pcv )2 mν −2 Eλ1 mν
+ (kc=)2 ⎥⎦⎤2
+
3(kc=)2
⎣⎡⎢(kν=)2 + 2 Eλ1
mc ⎦⎤⎥2 ⎬⎪⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪,
“Оптический журнал”, 77, 10, 2010
(13) (14)
(15)
(16) 7
Wλ(22c)
= Wλ(21c)
+
( Ae)4 kcmcmν2Nλ21 Nλ22 24c4m4 π3 ω2=11
pc2vβ ⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨(2
Eg
12mc2mν2Nλ21 pc2vβ mν −2 Eλ1 mν + =2kc2)2
+
+
(2
4kc2m2=2 Eλ1 mc + =2kc2
)2
⎣⎢⎢⎡⎢mc2
Nλ21
β
−
25/2 (2 Eg
π=3 (2 Eλ1 mc + =2kc2) mν −2 Eλ2 mν + =2kc2
)
+
(2
Eλ2
25/2 π=3 (2 Eλ1 mc + =2kc2)(2 Eλ1
mc + =2kc2 mν −2 Eg
)2 mν
−
=
2kc2
)
⎦⎥⎥⎤⎥⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎫⎪⎬.
(17)
Обсуждение результатов
Формулы (13, 14) и (16, 17) могут быть представлены в виде
Wν(λ1)
Wν(λ21) Wλ(c1) Wλ(22c)
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎫⎪⎬⎪⎪
=
η(ν1λ)
η(ν2λ)1 η(λ1c) η(λ22)c
⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎫
j2
.
(18)
Для частот излучения, лежащих в длинноволновой области видимого спектра или в ближнем ИК диапазоне, и при типичных значениях параметров зонной структуры значения коэффициентов в правой части (18) составляют
η(ν1λ), η(λ1c) ≈ 103–104 см4 МВт−2 с−1,
η(ν2λ)1, η(λ22)c ≈ 106–107 см4 МВт−2 с−1.
Видно, что в случае двухуровневых примесных центров вероятности ДФП “зона–примесь” и “примесь–зона” оказываются существенно (на 2–3 порядка) выше, чем в случае одноуровневых центров. Это происходит благодаря наличию в случае ДЦ дополнительного “внутрицентрового” канала процесса второго порядка. Столь высокие значения вероятностей рассмотренных переходов указывают на высокую “конкурентоспособность” каскадных механизмов генерации неравновесных ЭДП с участием примесных уровней в запрещенной зоне.
Полученные результаты для вероятностей ДФП “примесь–зона” и “зона–примесь” будут использованы в следующих частях работы для анализа кинетики генерации неравновесных ЭДП излучением с энергией кванта, в 4–5 раз меньшей ширины запрещенной зоны кристалла. В рамках предложенной модели глубокой примеси с использованием метода потенциала нулевого радиуса будут также исследованы более сложные (и, при определенных условиях, более эффективные) двухэлектронные механизмы генерации ЭДП (в т.ч. механизм “оптического трамплина” [33]) и будут определены условия, при которых примесные механизмы многофотонной генерации ЭДП играют превалирующую роль.
Работа выполнена при поддержке Рособразования, гранты 2.1.1/2166, 2.1.1.2532, и РФФИ, грант 09-02-00223а.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kaiser W., Garrett. C.G. Two-Photon Excitation in CaF2: Eu2+ // Phys. Rev. Letters. 1961. V. 7. № 6. P. 229–232.
2. Loudon R. Theory of nonlinear optical processes in semiconductors and insulators // Proc. Phys. Soc. 1962. V. 80. № 4. P. 952–961.
3. Braunstein R. Nonlinear Optical Effects // Phys. Rev. 1962. V. 125. № 2. P. 475–482.
4. Braunstein R., Ockman N. Optical double-photon absorption in CdS // Phys. Rev. 1964. V. 134. P. 499–507.
5. Hopfield J.J., Worlock J.M. Two-Quantum Absorption Spectrum of KI and CsI // Phys. Rev. 1965. V. 137. № 5A. P. 1455–1464.
6. Бункин Ф.В., Прохоров А.И. Роль многофотонных процессов в установлении предельной мощности квантовых генераторов // ЖЭТФ. 1965. T. 48. № 4. С. 1084–1086.
7. Физика соединений AIIBVI // Под ред. А.Н. Георгобиани, М.К. Шейнкмана. М.: Наука. 1986. С. 184–245.
8. Арифжанов С.Б., Данишевский А.М., Ивченко Е.Л., Кочегаров С.Ф., Субашиев В.К. Роль различных типов переходов при трехфотонном поглощении в InAs // ЖЭТФ. 1978. Т. 74. № 1. С. 172–177.
9. Yee J. Four-photon transitions in semiconductors // Phys. Rev. B. 1971. V. 3. № 2. P. 355–360.
10. Бобрышева А.И., Москаленко С.А. Трехфотонные зонно-зонные переходы в полупроводниках // ФТП. 1969. Т. 3. № 11. С. 1601–1606.
11. Yee J. Three-photon transitions in semiconductors // Phys. Rev. B. 1972. V. 5. P. 449–458.
12. Ашкинадзе Б.М., Бобрышева А.И., Витиу Е.В., Коварский В.А., Леляков А.В., Москаленко С.А., Пышкин С.Л., Радауцан С.И. Некоторые нелинейные оптические эффекты в фосфиде галлия // Труды IV Междунар. конф. по физике полупроводников. Л.: Наука. 1969. Т. 1. С. 200–204.
13. Bassani F., Hassan A.R. Analysis of indirect twophoton transitions and of direct three-photon transitions in semiconductors // Nuovo Cimento. 1972. V. 7B. P. 313–319.
8 “Оптический журнал”, 77, 10, 2010
14. Yee J. Two-photon transitions in semiconductors with the shifted band extrema // J. Phys. Chem. Solids. 1972. V. 33. P. 643–649.
15. Diener J., Ben-Chorin M., Kovalev D.I., Ganichev S.D., Koch F. // Тез. докл. 2-й Российской конф. по физ. полупроводников. Зеленогорск. 1996. Т. 2. С. 204.
16. Вугальтер Г.А., Демиховский В.Я. // Тез. докл. 2-й Российской конф. по физ. полупроводников. Зеленогорск. 1996. Т. 2. С. 160.
17. Дмитриев А.П., Емельянов С.А., Иванов С.В., Терентьев Я.В. // Письма ЖЭТФ. 1995. Т. 62. № 8. С. 611–615.
18. Brandi H.S., de Araujo C.B. Multiphoton absorption coefficients in solids // J. Phys. C. 1983. V. 16. № 30. P. 5929–5936.
19. Murayama M., Nakayama T. Ab initio calculations of two-photon absorption spectra in semiconductors // Phys. Rev. B. 1995. V. 52. № 7. P. 4986–4997.
20. Pasquarello A., Quattropani A. Gauge-invariant twophoton transitions in quantum wells // Phys. Rev. B. 1988. V. 38. № 9. P. 6206–6210.
21. Ганичев С.Д., Емельянов С.А., Ивченко Е.Л., Перлин Е.Ю., Терентьев Я.В., Федоров А.В., Ярошецкий И.Д. Многофотонное поглощение в полупроводниках в субмиллиметровом диапазоне // ЖЭТФ. 1986. Т. 91. С. 1233–1248.
22. Перлин Е.Ю., Коварский В.А., Чеботарь В.Н. Многофотонное поглощение циркулярно поляризованного света в кубических кристаллах // ФТТ. 1976. Т. 18. № 1. С. 239–241.
23. Перлин Е.Ю. Многофотонная генерация электрондырочных пар в квантовой яме // Опт. и спектр. 1997. Т. 82. № 2. С. 259–265.
24. Келдыш Л.В. Ионизация в поле сильной электромагнитной волны // ЖЭТФ. 1964. Т. 47. № 5. С. 1945–1957.
25. Бычков Ю.А., Дыхне А.М. Пробой полупроводников в переменном электрическом поле // ЖЭТФ. 1970. Т. 58. № 5. С. 1734–1743.
26. Minasian H., Avetisyan S. Multiphoton absorption of intense electromagnetic laser radiation in narrow gap semiconductors // Phys. Rev. B. 1986. V. 34. № 2. P. 963–966.
27. Yacoby Y. High frequency Franz–Keldysh effect // Phys. Rev. B. 1968. V. 169. № 3. P. 610–619.
28. Монозон Б.С., Жилич А.Г. Межзонное многофотонное поглощение в сверхрешетках // ФТТ. 1995. Т. 37. № 3. С. 936–949.
29 . Garcia H. Tunneling assisted two-photon absorption: The nonlinear Franz-Keldysh effect // Phys. Rev. B. 2006. V. 74. P. 035212.
30. Kovarskii V.A., Perlin E.Yu. Multi-photon interband optical transitions in crystals // Phys. Stat. Sol. (b). 1971. V. 45. № 1. P. 47–56.
31. Lucovsky G. On the photoionization of deep impurity centers in semiconductors. Solid State Commun. 1965. V. 3. № 9. P. 299–302.
32. Бонч-Бруевич В.Л. К теории захвата носителей заряда глубокими носителями в гомеополярных полупроводниках // Вестник Московского университета. Сер. физика и астрономия. 1971. Т. 12. № 5. С. 586–593.
33. Перлин Е.Ю., Левицкий Р.С. Ионизация глубоких квантовых ям: эффект оптического трамплина // Опт. и спектр. 2007. Т. 102. № 2. С. 303–308.
“Оптический журнал”, 77, 10, 2010
9