НЕЛИНЕЙНАЯ ПУАССОНОВСКАЯ МОДЕЛЬ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДЕТЕКТИРОВАНИЯ
ÓÄÊ 621.383.029
ÍÅËÈÍÅÉÍÀß ÏÓÀÑÑÎÍÎÂÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÔÎÒÎÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÄÅÒÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈß
2008 ã. Þ. Í. Ðàêîâñêèé, êàíä. òåõí. íàóê ÍÏÊ “Ãîñóäàðñòâåííûé îïòè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ.È. Âàâèëîâà”, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
Âûõîäíîé ñèãíàë ôîòîäåòåêòîðà ðàññìîòðåí ñ ïîçèöèè òåîðèè ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè. Ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðâûõ äâóõ ìîìåíòîâ ñèãíàëà, ïîðîãà ÷óâñòâèòåëüíîñòè è äèíàìè÷åñêîãî äèàïàçîíà.
Êîäû OCIS: 040.5160, 160.2500.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 22.09.2008.
Ïðîöåññ ôîòîýëåêòðè÷åñêîãî äåòåêòèðîâàíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé: ïðåîáðàçîâàíèÿ èçëó÷åíèÿ (ïîòîêà ôîòîíîâ) â ïîòîê íîñèòåëåé çàðÿäà (ôîòîýëåêòðîíîâ) è ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîòîêà íîñèòåëåé çàðÿäà â âûõîäíîé ñèãíàë.  ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ â îñíîâíîì âòîðîå ïðåîáðàçîâàíèå.
Ïîëàãàÿ ïðèðàùåíèå âûõîäíîãî ñèãíàëà ïðîïîðöèîíàëüíûì ïðèðàùåíèþ ÷èñëà íîñèòåëåé çàðÿäà è ðàññìàòðèâàÿ ïðîöåññ íàêîïëåíèÿ çàðÿäà íà èíòåðâàëå [0, T], âûõîäíîé ñèãíàë ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå èíòåãðàëà Ñòèëòüåñà
T
u = ∫ G(t)dm(t), 0
(1)
ãäå G(t) – ôóíêöèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷èñëà ôîòîýëåêòðîíîâ â âûõîäíîé ñèãíàë (îòêëèê íà îäèí ôîòîýëåêòðîí), m(t) – ÷èñëî íîñèòåëåé çàðÿäà â ìîìåíò t.
Áóäåì ñ÷èòàòü ïîòîê íîñèòåëåé çàðÿäà îðäèíàðíûì è íåçàâèñèìûì (ïóàññîíîâñêèì). Ïðè ýòîì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ âûõîäíîãî ñèãíàëà â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Êýìïáåëëà [1] ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
T
U = 〈u〉 = ∫ G(t)d〈m(t)〉, 0
(2)
T
∫σ2 = G2 (t)d 〈m(t)〉. 0
(3)
Çäåñü 〈 〉 – ñèìâîë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ (MO), σ – ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå (ÑÊÎ).
Íå âñå ïîÿâëÿþùèåñÿ íîñèòåëè çàðÿäà âíîñÿò ñâîé âêëàä â âûõîäíîé ñèãíàë, íåêîòîðàÿ èõ ÷àñòü èñ÷åçàåò (ðåêîìáèíèðóåò). Ïîýòîìó çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ïîòîêà m(t) ìîæíî ðàññìîòðåòü ñ ïîçèöèè ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè.
Äëÿ îðäèíàðíîãî è íåçàâèñèìîãî ïîòîêà äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè èìååò âèä [2]
d〈m(t)〉/dt = µ(t)– γ(t)〈m(t)〉.
(4)
 âûðàæåíèè (4) µ(t) – èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà ïîÿâëåíèÿ íîñèòåëåé çàðÿäà (ÌÎ ïîÿâëÿþùèõñÿ çàðÿäîâ â åäèíèöó âðåìåíè), γ(t) – èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà ðàçðåæåíèÿ (ïîòîêà ãèáåëè). Óðàâíåíèå (4) íàçûâàåòñÿ òàêæå “êèíåòè÷åñêèì óðàâíåíèåì ðåêîìáèíàöèè”, à ôóíêöèÿ 1/γ(t) – èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ñðåäíåå âðåìÿ æèçíè íîñèòåëÿ çàðÿäà [3].
Èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà ïîÿâëåíèÿ çàðÿäîâ ïîëàãàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé ïîòîêó ôîòîíîâ:
µ(t) = ∫η(λ)νλ(t, λ)dλ,
(5)
ãäå νλ(t, λ) – ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èíòåíñèâíîñòè ïîòîêà ôîòîíîâ, η(λ) – âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ íîñèòåëÿ çàðÿäà ïîä âîçäåéñòâèåì ôîòîíà, λ – äëèíà âîëíû. Ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ
îáëàñòüþ çàäàíèÿ ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé.
Ââåäÿ îòíîñèòåëüíóþ ñïåêòðàëüíóþ õàðàêòå-
ðèñòèêó
ρ(λ) = η(λ)/η(λm), λm: η(λm) = ηmax = max (6)
è ýôôåêòèâíîå çíà÷åíèå èíòåíñèâíîñòè ïîòîêà ôîòîíîâ
ν(t) = ∫νλ(t, λ)ρ(λ)dλ,
âûðàæåíèå (5) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
(7)
µ(t) = ηmaxν(t).
(8)
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîìèìî ïàðàìåòðà (η), èìåþùåãî ñìûñë âåðîÿòíîñòè ïîÿâëåíèÿ (“ðîæäåíèÿ”) çàðÿäà, ôîòîäåòåêòîð õàðàêòåðèçóåòñÿ òàêæå ïàðàìåòðîì (ξ), èìåþùèì ñìûñë âåðîÿòíîñòè åãî èñ÷åçíîâåíèÿ (“ãèáåëè”). Òîãäà èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà ðàçðåæåíèÿ (ïîòîêà ãèáåëè) ñîñòàâèò [2]
γ(t) = ξµ(t).
(9)
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 12, 2008
11
Ðàññìîòðèì äåòåêòèðîâàíèå â ðåæèìå íàêîïëåíèÿ çàðÿäà ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Ïðè ýòîì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4) ñ ó÷åòîì (9) èìååò âèä
t
t
〈
m(t
)〉
=
∫
0
µ(
x)exp
−ξ∫ x
µ(
y)dy
dx,
à âõîäÿùåå â (2) è (3) ïðèðàùåíèå
(10)
∫ ∫d 〈m(t)〉
=
µ(t)
1 −
t
ξ
0
µ(
x)exp
t
−ξ
x
µ( y)dy dxdt.
(11)
Ôóíêöèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ â âèäå ðåçèñòèâíî-åìêîñòíîãî èíòåãðàòîðà (íàêîïèòåëÿ) ñ âåñîâîé ôóíêöèåé
G(t) = exp(–t/θ).
(12)
Ïàðàìåòð θ õàðàêòåðèçóåò “íåèäåàëüíîñòü” íàêîïèòåëÿ: ïðè θ = ∞ íàêîïèòåëü èäåàëüíûé (ñ÷åò÷èê ÷èñëà íîñèòåëåé çàðÿäà). Íåñóùåñòâåííûé äëÿ äàëüíåéøåãî àíàëèçà ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü â (12) îïóùåí.
Ðàñ÷åò âûõîäíîãî ñèãíàëà ïðè ïðîèçâîëüíîé çàâèñèìîñòè èíòåíñèâíîñòè µ îò âðåìåíè äîñòàòî÷íî ñëîæåí. Çäåñü ìû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà ïîÿâëåíèÿ íîñèòåëåé çàðÿäà íà èíòåðâàëå [0, T] ìîæíî ñ÷èòàòü ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííîé.  ýòîì ñëó÷àå
d〈m(t)〉 = µexp(–ξµt)dt.
(13)
Ïðè ýòîì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ñèãíàëà u ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
U(µ, T, θ, ξ) = = µθ[1 – exp(–(1 + ξµθ)T/θ)]/(1 + ξµθ), (14)
σ2(µ, T, θ, ξ) = U(µ, T, θ/2, ξ).
(15)
Êîððåêòíîñòü ìîäåëè ïðîâåðÿåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, âîçìîæíîñòüþ ñâåäåíèÿ åå ðåçóëüòàòîâ ê èçâåñòíûì ðàíåå ñîîòíîøåíèÿì ïóòåì ôèçè÷åñêè ïîíÿòíûõ ïðåäåëüíûõ ïåðåõîäîâ ïðè èçìåíåíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè.
Ïðè âåðîÿòíîñòè “ãèáåëè” íîñèòåëÿ çàðÿäà, ðàâíîé íóëþ, èìååì ëèíåéíóþ ìîäåëü
U(µ, T, θ, 0) = µθ[1 – exp(–T/θ]
(16)
– “íàêîïëåíèå íà ïîñòîÿííîé âðåìåíè” [4]. Åñëè, êðîìå òîãî, íàêîïèòåëü èäåàëüíûé, òî
U(µ, T, ∞, 0) = µT.
(17)
Î÷åâèäíî, ÷òî âûðàæåíèå (16) ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ïðèáëèæåíèå ïðè óñëîâèÿõ
ξµT
ÍÅËÈÍÅÉÍÀß ÏÓÀÑÑÎÍÎÂÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÔÎÒÎÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÄÅÒÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈß
2008 ã. Þ. Í. Ðàêîâñêèé, êàíä. òåõí. íàóê ÍÏÊ “Ãîñóäàðñòâåííûé îïòè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ.È. Âàâèëîâà”, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
Âûõîäíîé ñèãíàë ôîòîäåòåêòîðà ðàññìîòðåí ñ ïîçèöèè òåîðèè ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè. Ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðâûõ äâóõ ìîìåíòîâ ñèãíàëà, ïîðîãà ÷óâñòâèòåëüíîñòè è äèíàìè÷åñêîãî äèàïàçîíà.
Êîäû OCIS: 040.5160, 160.2500.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 22.09.2008.
Ïðîöåññ ôîòîýëåêòðè÷åñêîãî äåòåêòèðîâàíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé: ïðåîáðàçîâàíèÿ èçëó÷åíèÿ (ïîòîêà ôîòîíîâ) â ïîòîê íîñèòåëåé çàðÿäà (ôîòîýëåêòðîíîâ) è ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîòîêà íîñèòåëåé çàðÿäà â âûõîäíîé ñèãíàë.  ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ â îñíîâíîì âòîðîå ïðåîáðàçîâàíèå.
Ïîëàãàÿ ïðèðàùåíèå âûõîäíîãî ñèãíàëà ïðîïîðöèîíàëüíûì ïðèðàùåíèþ ÷èñëà íîñèòåëåé çàðÿäà è ðàññìàòðèâàÿ ïðîöåññ íàêîïëåíèÿ çàðÿäà íà èíòåðâàëå [0, T], âûõîäíîé ñèãíàë ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå èíòåãðàëà Ñòèëòüåñà
T
u = ∫ G(t)dm(t), 0
(1)
ãäå G(t) – ôóíêöèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷èñëà ôîòîýëåêòðîíîâ â âûõîäíîé ñèãíàë (îòêëèê íà îäèí ôîòîýëåêòðîí), m(t) – ÷èñëî íîñèòåëåé çàðÿäà â ìîìåíò t.
Áóäåì ñ÷èòàòü ïîòîê íîñèòåëåé çàðÿäà îðäèíàðíûì è íåçàâèñèìûì (ïóàññîíîâñêèì). Ïðè ýòîì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ âûõîäíîãî ñèãíàëà â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Êýìïáåëëà [1] ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
T
U = 〈u〉 = ∫ G(t)d〈m(t)〉, 0
(2)
T
∫σ2 = G2 (t)d 〈m(t)〉. 0
(3)
Çäåñü 〈 〉 – ñèìâîë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ (MO), σ – ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå (ÑÊÎ).
Íå âñå ïîÿâëÿþùèåñÿ íîñèòåëè çàðÿäà âíîñÿò ñâîé âêëàä â âûõîäíîé ñèãíàë, íåêîòîðàÿ èõ ÷àñòü èñ÷åçàåò (ðåêîìáèíèðóåò). Ïîýòîìó çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ïîòîêà m(t) ìîæíî ðàññìîòðåòü ñ ïîçèöèè ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè.
Äëÿ îðäèíàðíîãî è íåçàâèñèìîãî ïîòîêà äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëè èìååò âèä [2]
d〈m(t)〉/dt = µ(t)– γ(t)〈m(t)〉.
(4)
 âûðàæåíèè (4) µ(t) – èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà ïîÿâëåíèÿ íîñèòåëåé çàðÿäà (ÌÎ ïîÿâëÿþùèõñÿ çàðÿäîâ â åäèíèöó âðåìåíè), γ(t) – èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà ðàçðåæåíèÿ (ïîòîêà ãèáåëè). Óðàâíåíèå (4) íàçûâàåòñÿ òàêæå “êèíåòè÷åñêèì óðàâíåíèåì ðåêîìáèíàöèè”, à ôóíêöèÿ 1/γ(t) – èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ñðåäíåå âðåìÿ æèçíè íîñèòåëÿ çàðÿäà [3].
Èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà ïîÿâëåíèÿ çàðÿäîâ ïîëàãàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé ïîòîêó ôîòîíîâ:
µ(t) = ∫η(λ)νλ(t, λ)dλ,
(5)
ãäå νλ(t, λ) – ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èíòåíñèâíîñòè ïîòîêà ôîòîíîâ, η(λ) – âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ íîñèòåëÿ çàðÿäà ïîä âîçäåéñòâèåì ôîòîíà, λ – äëèíà âîëíû. Ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ
îáëàñòüþ çàäàíèÿ ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé.
Ââåäÿ îòíîñèòåëüíóþ ñïåêòðàëüíóþ õàðàêòå-
ðèñòèêó
ρ(λ) = η(λ)/η(λm), λm: η(λm) = ηmax = max (6)
è ýôôåêòèâíîå çíà÷åíèå èíòåíñèâíîñòè ïîòîêà ôîòîíîâ
ν(t) = ∫νλ(t, λ)ρ(λ)dλ,
âûðàæåíèå (5) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
(7)
µ(t) = ηmaxν(t).
(8)
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîìèìî ïàðàìåòðà (η), èìåþùåãî ñìûñë âåðîÿòíîñòè ïîÿâëåíèÿ (“ðîæäåíèÿ”) çàðÿäà, ôîòîäåòåêòîð õàðàêòåðèçóåòñÿ òàêæå ïàðàìåòðîì (ξ), èìåþùèì ñìûñë âåðîÿòíîñòè åãî èñ÷åçíîâåíèÿ (“ãèáåëè”). Òîãäà èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà ðàçðåæåíèÿ (ïîòîêà ãèáåëè) ñîñòàâèò [2]
γ(t) = ξµ(t).
(9)
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 12, 2008
11
Ðàññìîòðèì äåòåêòèðîâàíèå â ðåæèìå íàêîïëåíèÿ çàðÿäà ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Ïðè ýòîì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4) ñ ó÷åòîì (9) èìååò âèä
t
t
〈
m(t
)〉
=
∫
0
µ(
x)exp
−ξ∫ x
µ(
y)dy
dx,
à âõîäÿùåå â (2) è (3) ïðèðàùåíèå
(10)
∫ ∫d 〈m(t)〉
=
µ(t)
1 −
t
ξ
0
µ(
x)exp
t
−ξ
x
µ( y)dy dxdt.
(11)
Ôóíêöèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ â âèäå ðåçèñòèâíî-åìêîñòíîãî èíòåãðàòîðà (íàêîïèòåëÿ) ñ âåñîâîé ôóíêöèåé
G(t) = exp(–t/θ).
(12)
Ïàðàìåòð θ õàðàêòåðèçóåò “íåèäåàëüíîñòü” íàêîïèòåëÿ: ïðè θ = ∞ íàêîïèòåëü èäåàëüíûé (ñ÷åò÷èê ÷èñëà íîñèòåëåé çàðÿäà). Íåñóùåñòâåííûé äëÿ äàëüíåéøåãî àíàëèçà ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü â (12) îïóùåí.
Ðàñ÷åò âûõîäíîãî ñèãíàëà ïðè ïðîèçâîëüíîé çàâèñèìîñòè èíòåíñèâíîñòè µ îò âðåìåíè äîñòàòî÷íî ñëîæåí. Çäåñü ìû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà ïîÿâëåíèÿ íîñèòåëåé çàðÿäà íà èíòåðâàëå [0, T] ìîæíî ñ÷èòàòü ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííîé.  ýòîì ñëó÷àå
d〈m(t)〉 = µexp(–ξµt)dt.
(13)
Ïðè ýòîì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ñèãíàëà u ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
U(µ, T, θ, ξ) = = µθ[1 – exp(–(1 + ξµθ)T/θ)]/(1 + ξµθ), (14)
σ2(µ, T, θ, ξ) = U(µ, T, θ/2, ξ).
(15)
Êîððåêòíîñòü ìîäåëè ïðîâåðÿåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, âîçìîæíîñòüþ ñâåäåíèÿ åå ðåçóëüòàòîâ ê èçâåñòíûì ðàíåå ñîîòíîøåíèÿì ïóòåì ôèçè÷åñêè ïîíÿòíûõ ïðåäåëüíûõ ïåðåõîäîâ ïðè èçìåíåíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè.
Ïðè âåðîÿòíîñòè “ãèáåëè” íîñèòåëÿ çàðÿäà, ðàâíîé íóëþ, èìååì ëèíåéíóþ ìîäåëü
U(µ, T, θ, 0) = µθ[1 – exp(–T/θ]
(16)
– “íàêîïëåíèå íà ïîñòîÿííîé âðåìåíè” [4]. Åñëè, êðîìå òîãî, íàêîïèòåëü èäåàëüíûé, òî
U(µ, T, ∞, 0) = µT.
(17)
Î÷åâèäíî, ÷òî âûðàæåíèå (16) ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ïðèáëèæåíèå ïðè óñëîâèÿõ
ξµT