ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ ПОЛОСЫ РАВНОГО НАКЛОНА ПРИ БОЛЬШИХ УГЛАХ ПАДЕНИЯ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
УДК 535.41
ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ ПОЛОСЫ РАВНОГО НАКЛОНА ПРИ БОЛЬШИХ УГЛАХ ПАДЕНИЯ
© 2009 г. Ю. Н. Захаров, канд. физ.-мат. наук; Н. В. Чалкова Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород E-mail: zhrv@rf.unn.ru
Интерференция в тонких пленках, в том числе образование полос равного наклона, обычно рассматриваются для малых углов падения света. Однако в ряде случаев необходимо использовать большие углы падения лучей, когда замена синуса угла его аргументом неправомерна. В настоящей работе произведен точный расчет параметров интерференционной картины, образуемой при больших углах. При этом обнаруживается немонотонная зависимость расстояния между интерференционными полосами от угла падения. Кроме того, в работе получено выражение, связывающее расстояние между полосами с углом падения, длиной волны используемого источника света и толщиной образца, не ограниченное традиционным приближением и более точно описывающее полосы равного наклона. Экспериментальная проверка подтверждает полученные результаты.
Ключевые слова: интерференция, полосы равного наклона, угол падения.
Коды OCIS: 100.2650, 120.2650
Поступила в редакцию 24.07.2009
Введение
Интерференция в тонких пленках – явление хорошо известное как очевидная иллюстрация волновых свойств света. Его приложения имеют большое практическое значение, в частности для измерения и контроля толщины пленки, где используется ее связь с расстоянием между интерференционными полосами. Это соотношение приведено в любом курсе оптики. Совершенно ясно, что термин “тонкий” является историческим, и допустимые параметры пленки или пластинки зависят от когерентности падающего света. Особым случаем, когда для образования интерференционной картины не требуется пространственной когерентности, а максимальная толщина образца определяется длиной когерентности используемого излучения, является интерференционная картина, локализованная в бесконечности – полосы равного наклона [1].
В этом случае оптическая разность хода между интерферирующими лучами в точке P (рис. 1) будет определяться как
Δl0 = 2n′hcosΘ′,
(1)
где n′ – показатель преломления, а h – толщина
пластинки, n1, n2 – показатели преломления среды со стороны источника света и с противо-
положной стороны пластинки, Θ′ – угол пре-
ломления.
P
LF
n1
h ′
n′
n2
Рис. 1. Формирование интерференционных полос, локализованных в бесконечности.
“Оптический журнал”, 76, 11, 2009
75
Условие для образования светлой (или тем-
ной – в зависимости от соотношения показателей
преломления n1, n′, n2) полосы будет выглядеть следующим образом:
2n′hcosΘ′= mλ,
(2)
где m – целое число, λ – длина волны.
Для p-ой от центра полосы угол преломления
Θp′ определяется выражением
2n′h(1−cosΘ′p )= ( p −1+ e)λ,
(3)
здесь e – дробный порядок интерференции в центре.
Это уравнение не сложное, но неудобное, так как включает в себя угол преломления, а не угол падения, равный углу наблюдения. С помощью тригонометрических преобразований можно прийти к связи между номером полосы и углом падения в общем виде, но эта связь не получается в простом и наглядном выражении, видимо, поэтому окончательный результат приводится всегда в приближении малых углов падения. В этом случае
Θ
p
=
1 n1
n′λ h
p−1+ e.
(4)
Это хорошо известный результат пропор-
циональности углового масштаба интерференционной картины величине (λ/h)1/2, а радиус
интерференционной полосы пропорционален
квадратному корню из ее номера. Обычно более
удобно использовать расстояние между полосами
Δxp = xp – xp – 1, где xp и xp – 1 – координаты соседних интерференционных полос в фокальной
плоскости линзы LF (рис. 1), формируемых лучами, падающими под углом Θp и углом Θp – 1, F – фокусное расстояние этой линзы. Такое вы-
ражение
Δx
p
=
F n1
λn′ h
1 p ⎡⎣⎢1+ 1−1/ p⎤⎦⎥
(5)
для p ≥ 3 (но малых Θp) с 10% точностью может быть представлено в виде
Δx
p
=
F n1
λn′ 1 h 1,9
. p
(6)
Обратим внимание на тот факт, что вышесказанное справедливо для больших отношений h/λ для того, чтобы выполнялась малость углов преломления, соответствующих условию образования хотя бы нескольких интерференционных
полос. Следовательно, и случай малой толщины пленки (сравнимой с длиной волны), и случай больших углов падения света требуют отдельного рассмотрения.
Интерференционная картина при произвольных углах падения
Интерференция в тонких пленках. При использовании монохроматического света для получения интерференционных полос равного наклона, образованных действительно тонкими (порядка длины волны) пленками, необходимы широкоугольное освещение и линзы с большой числовой апертурой, поскольку в соответствии с выражением (3) угловое расстояние между соседними интерференционными полосами велико, если соотношение λ/n′h не является достаточно малым.
В этом случае не удается преобразовать общее выражение (3) в простую и удобную форму для определения толщины образца по положению интерференционных полос. Но в виде
4n′h(sin2Θ′p /2) = ( p −1+ e)λ
(7)
оно может быть более удобно для вычисления угловых радиусов полос и их общего числа pmax для данной толщины пластинки. А именно, pmax = 2n′h/λ. Поскольку для вычисления толщины по расстоянию между полосами с помощью формул (4) и (6) необходимы, по крайней мере, вторая и третья полосы малых угловых направлений, использование выражений (4−6) возможно при h > 6λ.
Возможное приближение для больших углов падения и наблюдения. Для некоторых способов измерений толщины или показателя преломления пленок необходимы большие углы падения световых лучей. Например, углы падения, близкие к углу Брюстера, находят применение при использовании поляризованного света. К тому же, часто удобство или технические возможности построения измерительных схем в тех или иных условиях приводят к использованию самых различных углов наблюдения интерференционной картины и, соответственно, углов падения света на объект, параметры или характеристики которого подлежат исследованию.
Анализ точного соотношения для угловых координат интерференционных полос (3) показывает, что тенденция уменьшения расстояния между полосами с увеличением их угловых координат сохраняется вплоть до углов падения, близких к одному радиану. В этом случае угловое
76 “Оптический журнал”, 76, 11, 2009
расстояние между интерференционными полосами становится малым по сравнению с углом падения. Запишем разность углового положения двух соседних полос как
4n′h⎜⎛⎜⎝⎜sin2
Θ′p 2
− sin2
Θ′p−1 2
⎟⎞⎟⎠⎟ =
λ
(8)
или
4n
′h⎛⎝⎜⎜⎜sin
Θ′p 2
+
sin
Θ′p−1 2
⎟⎟⎟⎞⎠×
×⎜⎜⎝⎜⎛sin
Θ′p 2
− sin
Θ′p−1 2
⎟⎟⎟⎞⎠ =
λ.
Принимая во внимание, что
Θ′p − Θ′p+1 = ΔΘ′p
УДК 535.41
ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ ПОЛОСЫ РАВНОГО НАКЛОНА ПРИ БОЛЬШИХ УГЛАХ ПАДЕНИЯ
© 2009 г. Ю. Н. Захаров, канд. физ.-мат. наук; Н. В. Чалкова Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород E-mail: zhrv@rf.unn.ru
Интерференция в тонких пленках, в том числе образование полос равного наклона, обычно рассматриваются для малых углов падения света. Однако в ряде случаев необходимо использовать большие углы падения лучей, когда замена синуса угла его аргументом неправомерна. В настоящей работе произведен точный расчет параметров интерференционной картины, образуемой при больших углах. При этом обнаруживается немонотонная зависимость расстояния между интерференционными полосами от угла падения. Кроме того, в работе получено выражение, связывающее расстояние между полосами с углом падения, длиной волны используемого источника света и толщиной образца, не ограниченное традиционным приближением и более точно описывающее полосы равного наклона. Экспериментальная проверка подтверждает полученные результаты.
Ключевые слова: интерференция, полосы равного наклона, угол падения.
Коды OCIS: 100.2650, 120.2650
Поступила в редакцию 24.07.2009
Введение
Интерференция в тонких пленках – явление хорошо известное как очевидная иллюстрация волновых свойств света. Его приложения имеют большое практическое значение, в частности для измерения и контроля толщины пленки, где используется ее связь с расстоянием между интерференционными полосами. Это соотношение приведено в любом курсе оптики. Совершенно ясно, что термин “тонкий” является историческим, и допустимые параметры пленки или пластинки зависят от когерентности падающего света. Особым случаем, когда для образования интерференционной картины не требуется пространственной когерентности, а максимальная толщина образца определяется длиной когерентности используемого излучения, является интерференционная картина, локализованная в бесконечности – полосы равного наклона [1].
В этом случае оптическая разность хода между интерферирующими лучами в точке P (рис. 1) будет определяться как
Δl0 = 2n′hcosΘ′,
(1)
где n′ – показатель преломления, а h – толщина
пластинки, n1, n2 – показатели преломления среды со стороны источника света и с противо-
положной стороны пластинки, Θ′ – угол пре-
ломления.
P
LF
n1
h ′
n′
n2
Рис. 1. Формирование интерференционных полос, локализованных в бесконечности.
“Оптический журнал”, 76, 11, 2009
75
Условие для образования светлой (или тем-
ной – в зависимости от соотношения показателей
преломления n1, n′, n2) полосы будет выглядеть следующим образом:
2n′hcosΘ′= mλ,
(2)
где m – целое число, λ – длина волны.
Для p-ой от центра полосы угол преломления
Θp′ определяется выражением
2n′h(1−cosΘ′p )= ( p −1+ e)λ,
(3)
здесь e – дробный порядок интерференции в центре.
Это уравнение не сложное, но неудобное, так как включает в себя угол преломления, а не угол падения, равный углу наблюдения. С помощью тригонометрических преобразований можно прийти к связи между номером полосы и углом падения в общем виде, но эта связь не получается в простом и наглядном выражении, видимо, поэтому окончательный результат приводится всегда в приближении малых углов падения. В этом случае
Θ
p
=
1 n1
n′λ h
p−1+ e.
(4)
Это хорошо известный результат пропор-
циональности углового масштаба интерференционной картины величине (λ/h)1/2, а радиус
интерференционной полосы пропорционален
квадратному корню из ее номера. Обычно более
удобно использовать расстояние между полосами
Δxp = xp – xp – 1, где xp и xp – 1 – координаты соседних интерференционных полос в фокальной
плоскости линзы LF (рис. 1), формируемых лучами, падающими под углом Θp и углом Θp – 1, F – фокусное расстояние этой линзы. Такое вы-
ражение
Δx
p
=
F n1
λn′ h
1 p ⎡⎣⎢1+ 1−1/ p⎤⎦⎥
(5)
для p ≥ 3 (но малых Θp) с 10% точностью может быть представлено в виде
Δx
p
=
F n1
λn′ 1 h 1,9
. p
(6)
Обратим внимание на тот факт, что вышесказанное справедливо для больших отношений h/λ для того, чтобы выполнялась малость углов преломления, соответствующих условию образования хотя бы нескольких интерференционных
полос. Следовательно, и случай малой толщины пленки (сравнимой с длиной волны), и случай больших углов падения света требуют отдельного рассмотрения.
Интерференционная картина при произвольных углах падения
Интерференция в тонких пленках. При использовании монохроматического света для получения интерференционных полос равного наклона, образованных действительно тонкими (порядка длины волны) пленками, необходимы широкоугольное освещение и линзы с большой числовой апертурой, поскольку в соответствии с выражением (3) угловое расстояние между соседними интерференционными полосами велико, если соотношение λ/n′h не является достаточно малым.
В этом случае не удается преобразовать общее выражение (3) в простую и удобную форму для определения толщины образца по положению интерференционных полос. Но в виде
4n′h(sin2Θ′p /2) = ( p −1+ e)λ
(7)
оно может быть более удобно для вычисления угловых радиусов полос и их общего числа pmax для данной толщины пластинки. А именно, pmax = 2n′h/λ. Поскольку для вычисления толщины по расстоянию между полосами с помощью формул (4) и (6) необходимы, по крайней мере, вторая и третья полосы малых угловых направлений, использование выражений (4−6) возможно при h > 6λ.
Возможное приближение для больших углов падения и наблюдения. Для некоторых способов измерений толщины или показателя преломления пленок необходимы большие углы падения световых лучей. Например, углы падения, близкие к углу Брюстера, находят применение при использовании поляризованного света. К тому же, часто удобство или технические возможности построения измерительных схем в тех или иных условиях приводят к использованию самых различных углов наблюдения интерференционной картины и, соответственно, углов падения света на объект, параметры или характеристики которого подлежат исследованию.
Анализ точного соотношения для угловых координат интерференционных полос (3) показывает, что тенденция уменьшения расстояния между полосами с увеличением их угловых координат сохраняется вплоть до углов падения, близких к одному радиану. В этом случае угловое
76 “Оптический журнал”, 76, 11, 2009
расстояние между интерференционными полосами становится малым по сравнению с углом падения. Запишем разность углового положения двух соседних полос как
4n′h⎜⎛⎜⎝⎜sin2
Θ′p 2
− sin2
Θ′p−1 2
⎟⎞⎟⎠⎟ =
λ
(8)
или
4n
′h⎛⎝⎜⎜⎜sin
Θ′p 2
+
sin
Θ′p−1 2
⎟⎟⎟⎞⎠×
×⎜⎜⎝⎜⎛sin
Θ′p 2
− sin
Θ′p−1 2
⎟⎟⎟⎞⎠ =
λ.
Принимая во внимание, что
Θ′p − Θ′p+1 = ΔΘ′p