Матрично-операторный метод расчета эффективных характеристик слоистых сред
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Холодильная техника и кондиционирование»
УДК 536.21, 517.93
№ 2, 2014
Матрично-операторный метод расчета эффективных характеристик слоистых сред
Канд. физ.-мат наук Старков А.С. stark55@rambler.ru канд. пед. наук Багаутдинова А.Ш. aliyabagaut@mail.ru
Университет ИТМО 191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9
Система тонких слоев из различных материалов по своим теплофизическим, электрическим, магнитным и упругим свойствам может быть заменена на один слой с некоторыми эффективными характеристиками. Для расчета этих характеристик используется матричнооператорный метод. В качестве примера рассматриваются эффективные теплофизические характеристики системы плоскопараллельных и цилиндрических слоев.
Ключевые слова: тонкие пленки, эффективная теплопроводность, эффективная теплоемкость, мультиферроики, магнитоэлектрический коэффициент.
Matrix-operator method for calculating the effective characteristics of layered media
Ph.D. Starkov A.S. stark55@rambler.ru Ph.D. Bagautdinova A.S. aliyabagaut@mail.ru
University ITMO 191002, Russia, St. Petersburg, Lomonosov str., 9
Layered system containing a number of materials which exhibit different thermophysical, electric, magnetic, and elastic properties can be replaced by a single layer with some effective characteristics. For calculation of these characteristics the matrix operator method is used. As an example of the model applicability, we have considered effective thermal properties of the system of plane-parallel and cylindrical layers.
Key words: thin films, the effective thermal conductivity, effective heat capacity, multiferroic, magnetoelectric coefficient.
Значительный интерес к пленочным слоистым структурам вызван широким спектром возможностей их применения, начиная от солнечных батарей и лазеров [1] и кончая твердотельными охладителями [2-5]. Каждый слой в таком охладителе является мультиферроиком – материалом, в котором проявляется взаимосвязь электрического, магнитного и упругого свойства [6]. Взаимодействие сил различной природы приводит к значительному увеличению охлаждающего эффекта. Для расчета распределения температуры и электромагнитоупругого полей в такой структуре приходится решать весьма сложную систему дифференциальных уравнений в частных производных [4]. С ростом числа слоев трудности численного решения многократно возрастают и требуется
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Холодильная техника и кондиционирование»
№ 2, 2014
найти альтернативный способ. В данной работе предлагается новый матричнооператорный метод, являющийся обобщением матричного метода усреднения [7]. В этом подходе многослойная среда заменяется на некоторую эффективную среду с постоянными физическими характеристиками, которые определяются свойствами слоев.
Рассмотрим слоистую среду 0 x h, состоящую из n слоев с границами
xx1,x2,.xn.1;.x0,0,xnh. Толщину слоя с номером i обозначим через
hi xi1 xi,i 1,2,..n,.а,относительную толщину через i hi h . Будем предполагать, что уравнения, описывающие поведение среды, могут быть записаны в виде
ddUxA,UVB.U
(1)
Здесь U = u1,u2 ,...,um ,tr V = v1, v2 ,...,vl tr – столбцы неизвестных, значок tr – означает
транспонирование. Матрицы А и В являются операторными матрицами и могут
содержать как другие переменные, так и производные по ним.
Рассмотрим вначале случай, когда А и В не зависят от координаты х. Тогда решение
ui в слое с номером i может быть представлено в виде
U(x) eAi(xxi)U(xi),
(2)
где Аi – значение матрицы А в слое i. Матрично-операторная экспонента в (2) задаѐтся в виде обычного ряда Маклорена. Применяя формулу (2) n раз, получаем связь значений
столбца U на внешних границах среды
.U(h)eAnhneAn1hn1.e.A1h1.U(0)
(3)
Учитывая формулу Кэмпбелла-Хаусдорфа для произведения матричных экспонент [8]
1
,ee eA1A2 A1A22[A1,A2]...
в которой [A1,A2]=A1A2 – A2A1 – коммутатор матриц A1 и A2, произведение матриц в правой части (3) можно приближенно записать следующим образом
,eAnhneAn1hn1.e.A1h.1 eAehff где матрица Aeff задана равенством
(4)
n
Aeff
Ai i .
i1
(5)
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Холодильная техника и кондиционирование»
№ 2, 2014
Если ввести столбец неизвестных Ueff, который удовлетворяет матричному уравнению
,dUeff AefUfeff
dx
(6)
то можно показать, что U и Ueff будут близки между собой, а отличие одного столбца от другого описывается отброшенными в (4) слагаемыми и
A1h12 A2h22..A.nhn2.
(7)
Таким образом, при малых можно заменять решение уравнений (1) с кусочнопостоянной матрицей А на решение системы (6) с постоянной матрицей Aeff , не зависящей от слоя. Аналогично, при подстановке полученного усредненного значения Ueff во второе уравнение (1), получаем формулу для эффективного значения матрицы В
n
Beff
Bi i .
i1
(8)
Формулы (5) и (6) означают, что эффективные значения матриц А и В получаются как взвешенные средние значения матриц Аi и Вi с весами, пропорциональными толщине слоя.
Перейдем теперь к исследованию случая, когда матрицы А и В могут зависеть от переменной х. Для тонких слоев изменение А и В в пределах одного слоя является малым, что позволяет записать приближенное решение в слое i в виде ряда
2
x
1x
U(x) IxiAi(t)d2txiAi(t)dt.U.(.xi).
(9)
Здесь I – единичная матрица размером m m . Пренебрегая в (9) квадратичным
слагаемым, получаем уравнение для определения эффективной матрицы Aeff в этом случае
h nxi1
Aef(tf)dt Ai(t)d. t
0 i1xi
Для Вeff имеем аналогичную формулу
(10)
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Холодильная техника и кондиционирование»
№ 2, 2014
h nxi1
Вef(tf)dt Вi(t)d. t
0 i1xi
(11)
В качестве примера применения полученных формул рассмотрим нестационарное уравнение теплопроводности в трансверсально-изотропной среде
CTt zz2T2 r
2T1T
r2 rr.
(12)
Здесь r, z – цилиндрические координаты, Т – температура, С – теплоемкость, z и r –
теплопроводность в соответствующем направлении. Если слои расположены параллельно друг другу и перпендикулярно оси z, то в
качестве столбца U выбираем U =
T, λ
T
tr
. Тогда
z
A C t
0
21 r r2 rr
1
z , B0.
0
(13)
Матрица А в этом случае не зависит от переменной z и применение формулы (5) позволяет определить эффективные характеристики среды в этом случае
Ñ eff = C,
11 λzeff = λ ,
.λreff = λr
(14)
Здесь и в дальнейшем используется следующее обозначение: черта над величиной означает еѐ усреднение по системе слоѐв с весом, пропорциональным толщине слоя
n
a ai i . i1
Отметим, что теплопроводность в радиальном направлении r и в направлении оси z z усредняются по разным формулам. Теплоемкость и теплопроводность r , в соответствии с формулой (14), являются аддитивными величинами. Отметим, что даже в том случае, когда каждый слой является однородным, эффективная среда, полученная в результате осреднения, будет являться анизоропной.
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Холодильная техника и кондиционирование»
№ 2, 2014
Если же слои являются цилиндрическими и границы слоев задаются уравнениями
r
r0,r1,..r.n,,
то
в
качестве
столбца
U
выбираем
следующий
U=
T, rλr
T r
tr
.
Тогда
матрица А имеет вид
0
A rC t
2T z z2
1
rr
.
0
Матрица также как и в предыдущем случае отсутствует, В = 0. В результате применения формулы (10) получаем значения усредненных величин
Сefrfn21r02in1ri2ri12Ci,
(15)
1 1 n lnriri 1
eff r
lnrnr0i 1
.
ri
(16)
Формула для
eff z
подобна формуле (15). Для цилиндрических слоев эффективные
значения теплоемкости и теплопроводности, как следует из (15), (16), зависят не только
от их значений в слоях, но и от радиусов слоев.
Выведенные выше формулы позволяют находить эффективную
температуропроводность слоистых структур и по критерию Фурье определять время,
необходимое для нагрева или охлаждения рассматриваемой структуры.
В качестве второго примера рассмотрим уравнения электромагнитоупругости для
трансверсально-изотропной среды [9]. В качестве столбцов U и V выбираем следующие
U = u1 ,u2 ,u3 ,σ13 ,σ23 ,σ33 ,D3 ,B3 , ,ψ ,tr
V = σ11 ,σ12 ,σ22 ,D1 ,D2 ,B1,B2 tr
Здесь ui, Di, Bi – компоненты векторов смещения, электрической и магнитной индукции, соответственно; ij – компоненты тензора напряжений, i, j = 1,2,3, , потенциалы электрического и магнитного поля. Разделение переменных на две группы проводилось по следующему принципу. В столбец U включены те величины, которые являются непрерывными на границах раздела сред. Переменные же из столбца V могут
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Холодильная техника и кондиционирование»
№ 2, 2014
испытывать на границах раздела разрыв первого рода. Явные формулы для матриц A (размером 10 10) и В ( 7 10 ) не выписываем в силу их громоздкости.
Результаты усреднения выпишем только для случая плоскопараллельных границ
раздела z z0,z1,..z.n,и только для интересующей нас части материальных параметров. Введем матрицу
c33 Q e33
f33
e33
33
g33
f33 g33.
33
В матрице Q коэффициент с33 есть модуль упругости, e33 и f33 – пьезоэлектрический и
пьезомагнитный модули, 33 – диэлектрическая постоянная, 33 – магнитная проницаемость, g33 – магнитоэлектрический коэффициент. Для эффективных параметров из матрицы Q согласно описанной выше схеме имеем
.Qeff Q1 1
(17)
Важным моментом является то, что величины, входящие в Q, при усреднении влияют друг на друга. И даже при отсутствии магнитоэлектрического коэффициента в
слоях усредненная среда
будет иметь отличный
от
0 модуль
g
ef 33
за счѐт упругого
взаимодействия. Именно этим и хороши композитные материалы: появлением у системы
свойств, которые отсутствуют у ее составляющих. Аналогичные формулы для
цилиндрических слоев позволяют объяснить усиление магнитоэлектрического эффекта,
вызванного наличием кривизны слоя [9]. Вариант матричного метода осреднения, предложенный в настоящей работе, может
быть использован для расчѐта эффективных характеристик не только слоистых, но и
блочных структур. Более того, этот метод годится для расчѐта структур, границы в
которых являются координатными поверхностями в такой системе координат, для
которой исходные уравнения допускают применение метода разделения переменных.
Список литературы
1. Ж.И. Алферов. История и будущее полупроводниковых гетероструктур // Физика и техника полупроводников, 1998, Т.32, №1, С.3-18.
2. A.S Starkov, S.F Karmanenko, O.V Pakhomov, Electrocaloric response of a ferroelectric capacitor to a periodic electric field // Physics of the Solid State , 2009, № 7, С.15101514.
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Холодильная техника и кондиционирование»
№ 2, 2014
3. А.С. Старков, О.В. Пахомов, И.А. Старков. Параметрическое усиление электрокалорического эффекта при периодическом изменении внешнего поля // Письмо в ЖТФ, 2011, № 23, С.105-110.
4. A.S. Starkov, O.V. Pakhomov, I.A. Starkov. Solid-State Cooler: New opportunities //
Ferroelectrics, 2012, v.430, P. 108-114. 5. S Karmanenko, A Semenov, A Dedyk, A Es’kov, New Approaches to Electrocaloric-
Based Multilayer Cooling //Electrocaloric Materials, Engineering Materials , 2014, v. 34,
P. 183-223. 6. А.П. Пятаков, А.К. Звездин. Магнитоэлектрические материалы и мультиферроики
// УФН, 2012, Т.182, №6, С.593-620. 7. Л.А.Молотков. Исследование распространения волн в пористых и трещиноватых
средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред. СПб.: Наука, 2001, 348с.
8. V.E. Nazaikinskii, V. E. Shatalov, B. Yu. Sternin Methods of Noncommutative
Analysis: Theory and Applications. Berlin: De Gruyter, 1996, 373p.
9. M.I. Bichurin, D. Viehland. Magnetoelectricity in composites. Pan Stanford Publishing
Ptd Ltd, 2012, 314c.
10.H.M. Wang, E. Pan, W.Q. Chen. Enhancing magnetoelectric effect via the curvature of
composite cylinder // J. Appl. Phys, 2010, v.107, P.093514.
УДК 536.21, 517.93
№ 2, 2014
Матрично-операторный метод расчета эффективных характеристик слоистых сред
Канд. физ.-мат наук Старков А.С. stark55@rambler.ru канд. пед. наук Багаутдинова А.Ш. aliyabagaut@mail.ru
Университет ИТМО 191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9
Система тонких слоев из различных материалов по своим теплофизическим, электрическим, магнитным и упругим свойствам может быть заменена на один слой с некоторыми эффективными характеристиками. Для расчета этих характеристик используется матричнооператорный метод. В качестве примера рассматриваются эффективные теплофизические характеристики системы плоскопараллельных и цилиндрических слоев.
Ключевые слова: тонкие пленки, эффективная теплопроводность, эффективная теплоемкость, мультиферроики, магнитоэлектрический коэффициент.
Matrix-operator method for calculating the effective characteristics of layered media
Ph.D. Starkov A.S. stark55@rambler.ru Ph.D. Bagautdinova A.S. aliyabagaut@mail.ru
University ITMO 191002, Russia, St. Petersburg, Lomonosov str., 9
Layered system containing a number of materials which exhibit different thermophysical, electric, magnetic, and elastic properties can be replaced by a single layer with some effective characteristics. For calculation of these characteristics the matrix operator method is used. As an example of the model applicability, we have considered effective thermal properties of the system of plane-parallel and cylindrical layers.
Key words: thin films, the effective thermal conductivity, effective heat capacity, multiferroic, magnetoelectric coefficient.
Значительный интерес к пленочным слоистым структурам вызван широким спектром возможностей их применения, начиная от солнечных батарей и лазеров [1] и кончая твердотельными охладителями [2-5]. Каждый слой в таком охладителе является мультиферроиком – материалом, в котором проявляется взаимосвязь электрического, магнитного и упругого свойства [6]. Взаимодействие сил различной природы приводит к значительному увеличению охлаждающего эффекта. Для расчета распределения температуры и электромагнитоупругого полей в такой структуре приходится решать весьма сложную систему дифференциальных уравнений в частных производных [4]. С ростом числа слоев трудности численного решения многократно возрастают и требуется
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Холодильная техника и кондиционирование»
№ 2, 2014
найти альтернативный способ. В данной работе предлагается новый матричнооператорный метод, являющийся обобщением матричного метода усреднения [7]. В этом подходе многослойная среда заменяется на некоторую эффективную среду с постоянными физическими характеристиками, которые определяются свойствами слоев.
Рассмотрим слоистую среду 0 x h, состоящую из n слоев с границами
xx1,x2,.xn.1;.x0,0,xnh. Толщину слоя с номером i обозначим через
hi xi1 xi,i 1,2,..n,.а,относительную толщину через i hi h . Будем предполагать, что уравнения, описывающие поведение среды, могут быть записаны в виде
ddUxA,UVB.U
(1)
Здесь U = u1,u2 ,...,um ,tr V = v1, v2 ,...,vl tr – столбцы неизвестных, значок tr – означает
транспонирование. Матрицы А и В являются операторными матрицами и могут
содержать как другие переменные, так и производные по ним.
Рассмотрим вначале случай, когда А и В не зависят от координаты х. Тогда решение
ui в слое с номером i может быть представлено в виде
U(x) eAi(xxi)U(xi),
(2)
где Аi – значение матрицы А в слое i. Матрично-операторная экспонента в (2) задаѐтся в виде обычного ряда Маклорена. Применяя формулу (2) n раз, получаем связь значений
столбца U на внешних границах среды
.U(h)eAnhneAn1hn1.e.A1h1.U(0)
(3)
Учитывая формулу Кэмпбелла-Хаусдорфа для произведения матричных экспонент [8]
1
,ee eA1A2 A1A22[A1,A2]...
в которой [A1,A2]=A1A2 – A2A1 – коммутатор матриц A1 и A2, произведение матриц в правой части (3) можно приближенно записать следующим образом
,eAnhneAn1hn1.e.A1h.1 eAehff где матрица Aeff задана равенством
(4)
n
Aeff
Ai i .
i1
(5)
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Холодильная техника и кондиционирование»
№ 2, 2014
Если ввести столбец неизвестных Ueff, который удовлетворяет матричному уравнению
,dUeff AefUfeff
dx
(6)
то можно показать, что U и Ueff будут близки между собой, а отличие одного столбца от другого описывается отброшенными в (4) слагаемыми и
A1h12 A2h22..A.nhn2.
(7)
Таким образом, при малых можно заменять решение уравнений (1) с кусочнопостоянной матрицей А на решение системы (6) с постоянной матрицей Aeff , не зависящей от слоя. Аналогично, при подстановке полученного усредненного значения Ueff во второе уравнение (1), получаем формулу для эффективного значения матрицы В
n
Beff
Bi i .
i1
(8)
Формулы (5) и (6) означают, что эффективные значения матриц А и В получаются как взвешенные средние значения матриц Аi и Вi с весами, пропорциональными толщине слоя.
Перейдем теперь к исследованию случая, когда матрицы А и В могут зависеть от переменной х. Для тонких слоев изменение А и В в пределах одного слоя является малым, что позволяет записать приближенное решение в слое i в виде ряда
2
x
1x
U(x) IxiAi(t)d2txiAi(t)dt.U.(.xi).
(9)
Здесь I – единичная матрица размером m m . Пренебрегая в (9) квадратичным
слагаемым, получаем уравнение для определения эффективной матрицы Aeff в этом случае
h nxi1
Aef(tf)dt Ai(t)d. t
0 i1xi
Для Вeff имеем аналогичную формулу
(10)
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Холодильная техника и кондиционирование»
№ 2, 2014
h nxi1
Вef(tf)dt Вi(t)d. t
0 i1xi
(11)
В качестве примера применения полученных формул рассмотрим нестационарное уравнение теплопроводности в трансверсально-изотропной среде
CTt zz2T2 r
2T1T
r2 rr.
(12)
Здесь r, z – цилиндрические координаты, Т – температура, С – теплоемкость, z и r –
теплопроводность в соответствующем направлении. Если слои расположены параллельно друг другу и перпендикулярно оси z, то в
качестве столбца U выбираем U =
T, λ
T
tr
. Тогда
z
A C t
0
21 r r2 rr
1
z , B0.
0
(13)
Матрица А в этом случае не зависит от переменной z и применение формулы (5) позволяет определить эффективные характеристики среды в этом случае
Ñ eff = C,
11 λzeff = λ ,
.λreff = λr
(14)
Здесь и в дальнейшем используется следующее обозначение: черта над величиной означает еѐ усреднение по системе слоѐв с весом, пропорциональным толщине слоя
n
a ai i . i1
Отметим, что теплопроводность в радиальном направлении r и в направлении оси z z усредняются по разным формулам. Теплоемкость и теплопроводность r , в соответствии с формулой (14), являются аддитивными величинами. Отметим, что даже в том случае, когда каждый слой является однородным, эффективная среда, полученная в результате осреднения, будет являться анизоропной.
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Холодильная техника и кондиционирование»
№ 2, 2014
Если же слои являются цилиндрическими и границы слоев задаются уравнениями
r
r0,r1,..r.n,,
то
в
качестве
столбца
U
выбираем
следующий
U=
T, rλr
T r
tr
.
Тогда
матрица А имеет вид
0
A rC t
2T z z2
1
rr
.
0
Матрица также как и в предыдущем случае отсутствует, В = 0. В результате применения формулы (10) получаем значения усредненных величин
Сefrfn21r02in1ri2ri12Ci,
(15)
1 1 n lnriri 1
eff r
lnrnr0i 1
.
ri
(16)
Формула для
eff z
подобна формуле (15). Для цилиндрических слоев эффективные
значения теплоемкости и теплопроводности, как следует из (15), (16), зависят не только
от их значений в слоях, но и от радиусов слоев.
Выведенные выше формулы позволяют находить эффективную
температуропроводность слоистых структур и по критерию Фурье определять время,
необходимое для нагрева или охлаждения рассматриваемой структуры.
В качестве второго примера рассмотрим уравнения электромагнитоупругости для
трансверсально-изотропной среды [9]. В качестве столбцов U и V выбираем следующие
U = u1 ,u2 ,u3 ,σ13 ,σ23 ,σ33 ,D3 ,B3 , ,ψ ,tr
V = σ11 ,σ12 ,σ22 ,D1 ,D2 ,B1,B2 tr
Здесь ui, Di, Bi – компоненты векторов смещения, электрической и магнитной индукции, соответственно; ij – компоненты тензора напряжений, i, j = 1,2,3, , потенциалы электрического и магнитного поля. Разделение переменных на две группы проводилось по следующему принципу. В столбец U включены те величины, которые являются непрерывными на границах раздела сред. Переменные же из столбца V могут
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Холодильная техника и кондиционирование»
№ 2, 2014
испытывать на границах раздела разрыв первого рода. Явные формулы для матриц A (размером 10 10) и В ( 7 10 ) не выписываем в силу их громоздкости.
Результаты усреднения выпишем только для случая плоскопараллельных границ
раздела z z0,z1,..z.n,и только для интересующей нас части материальных параметров. Введем матрицу
c33 Q e33
f33
e33
33
g33
f33 g33.
33
В матрице Q коэффициент с33 есть модуль упругости, e33 и f33 – пьезоэлектрический и
пьезомагнитный модули, 33 – диэлектрическая постоянная, 33 – магнитная проницаемость, g33 – магнитоэлектрический коэффициент. Для эффективных параметров из матрицы Q согласно описанной выше схеме имеем
.Qeff Q1 1
(17)
Важным моментом является то, что величины, входящие в Q, при усреднении влияют друг на друга. И даже при отсутствии магнитоэлектрического коэффициента в
слоях усредненная среда
будет иметь отличный
от
0 модуль
g
ef 33
за счѐт упругого
взаимодействия. Именно этим и хороши композитные материалы: появлением у системы
свойств, которые отсутствуют у ее составляющих. Аналогичные формулы для
цилиндрических слоев позволяют объяснить усиление магнитоэлектрического эффекта,
вызванного наличием кривизны слоя [9]. Вариант матричного метода осреднения, предложенный в настоящей работе, может
быть использован для расчѐта эффективных характеристик не только слоистых, но и
блочных структур. Более того, этот метод годится для расчѐта структур, границы в
которых являются координатными поверхностями в такой системе координат, для
которой исходные уравнения допускают применение метода разделения переменных.
Список литературы
1. Ж.И. Алферов. История и будущее полупроводниковых гетероструктур // Физика и техника полупроводников, 1998, Т.32, №1, С.3-18.
2. A.S Starkov, S.F Karmanenko, O.V Pakhomov, Electrocaloric response of a ferroelectric capacitor to a periodic electric field // Physics of the Solid State , 2009, № 7, С.15101514.
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Холодильная техника и кондиционирование»
№ 2, 2014
3. А.С. Старков, О.В. Пахомов, И.А. Старков. Параметрическое усиление электрокалорического эффекта при периодическом изменении внешнего поля // Письмо в ЖТФ, 2011, № 23, С.105-110.
4. A.S. Starkov, O.V. Pakhomov, I.A. Starkov. Solid-State Cooler: New opportunities //
Ferroelectrics, 2012, v.430, P. 108-114. 5. S Karmanenko, A Semenov, A Dedyk, A Es’kov, New Approaches to Electrocaloric-
Based Multilayer Cooling //Electrocaloric Materials, Engineering Materials , 2014, v. 34,
P. 183-223. 6. А.П. Пятаков, А.К. Звездин. Магнитоэлектрические материалы и мультиферроики
// УФН, 2012, Т.182, №6, С.593-620. 7. Л.А.Молотков. Исследование распространения волн в пористых и трещиноватых
средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред. СПб.: Наука, 2001, 348с.
8. V.E. Nazaikinskii, V. E. Shatalov, B. Yu. Sternin Methods of Noncommutative
Analysis: Theory and Applications. Berlin: De Gruyter, 1996, 373p.
9. M.I. Bichurin, D. Viehland. Magnetoelectricity in composites. Pan Stanford Publishing
Ptd Ltd, 2012, 314c.
10.H.M. Wang, E. Pan, W.Q. Chen. Enhancing magnetoelectric effect via the curvature of
composite cylinder // J. Appl. Phys, 2010, v.107, P.093514.