Применение уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств»
№ 2, 2014
УДК 532.5.01
Применение уравнения бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале
Канд. техн. наук Зайцев А.В. zai_@inbox.ru, канд. физ.-мат. наук Кудашов В.Н. kdslv@mail.ru
Университет ИТМО Институт холода и биотехнологий 921002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9
Расчет нестационарного течения вязкой жидкости в канале представляет собой сложную математическую задачу и производится обычно численными методами с применением вычислительной техники. Для исследования устойчивости и сходимости вычислительных алгоритмов предлагается использовать точные аналитические решения уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале.
Ключевые слова: динамика вязкой жидкости, уравнение Бюргерса, модельное уравнение, точное решение.
The use of burgers’ equation as a model equation for the dynamics of viscous medium in a channel
Ph.D. A.V. Zaitsev zai_@inbox.ru, Ph.D. V.N. Kudashov kdslv@mail.ru,
University ITMO Institute of Refrigeration and Biotechnologies 191002, Russia, St. Petersburg, Lomonosov str., 9
Calculating the transient flow of viscous fluids in a pipe is a complex mathematical problem usually solved by computer-aided numerical techniques. Burgers’ equation is offered as a tool for modelling the dynamics of viscous medium in a channel while studying convergence and stability of computing algorithms.
Keywords: dynamics of viscous fluids, Burgers’ equation, model equation, exact solution.
Решение сложной задачи нестационарного течения вязкой жидкости в канале с учетом реальных физических условий, таких, как зависимость теплофизических свойств от температуры, различные гидродинамические режимы течения, наличие объѐмных сил и др. сводится к решению системы дифференциальных уравнений, в том числе уравнения Навье-Стокса с известными проблемами существования и гладкости решений. Основным встречающемся в литературных источниках методом решения различных
Зайцев А.В. и др. Применение уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале/ А.В. ЗАЙЦЕВ, В.Н. КУДАШОВ // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2014. - №2. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств»
№ 2, 2014
задач при применении уравнений Навье-Стокса является конечно-разностная аппроксимация, например [1]. При этом главной проблемой является достижение устойчивости и сходимости. Известны условия сходимости, полученные для относительно простых задач. Однако при приближении постановки задачи к реальным условиям обеспечить сходимость возможно только в результате численного эксперимента на конкретной модели.
С этой целью предлагается применить методику численного исследования параметров сходимости и устойчивости выбираемых разностных схем. Для разработки такой методики следует иметь некое модельное уравнение и иметь его точное решение. Далее в качестве такого уравнения предлагается использовать уравнение Бюргерса, близкое по своему виду к стандартным уравнениям газовой динамики.
Запишем уравнение Бюргерса
u uu tx
2u x2
.
(1)
Здесь аналогами физических величин и функций процесса динамики вязких сред являются: u – скорость потока; t – время; х – координата вдоль потока; – вязкость.
Мы хотим построить решения уравнения Бюргерса при x [0, L] , t [0, ) , с
граничными условиями
u(0,t) u(L,t) 0,t [0, ).
(2)
Для построения таких решений воспользуемся преобразованием Коула-Хопфа [2], сводящее нелинейное уравнение (1) к уравнению теплопроводности, являющемся линейным.
Пусть функция v(x,t) является решением уравнения
v t
2v x2
.
(3)
Тогда функция
u 21v vx
(4)
Зайцев А.В. и др. Применение уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале/ А.В. ЗАЙЦЕВ, В.Н. КУДАШОВ // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2014. - №2. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств»
№ 2, 2014
удовлетворяет уравнению Бюргерса. Преобразование (4) называется преобразованием Коула-Хопфа.
Чтобы найти решения уравнения (1) с граничными условиями (2), как видно из (4), достаточно найти функцию v(x,t) , при x [0, L] , t [0, ) , удовлетворяющую
уравнению (3) и граничным условиям
v (0,t) v (L,t) 0,t [0, ). xx При этом необходимо, чтобы выполнялось неравенство
(5)
v(x,t) 0, x [0, L], t [0, ).
(6)
Используя метод Фурье (см. [3]) можно убедиться, что существует счѐтное множество функций, удовлетворяющих уравнению (3) и граничным условиям (5):
vn (x,t) e
2ntcos( nx),
n
n , n 1,2... L
(7)
Так как | vn(x,t) | 1 при t 0 , то функции vn(x,t) vn(x,t) C
(8)
являются решениями уравнения (3) с граничными условиями (5). Неравенство (6), очевидно, выполнено, если константа C 1.
Так как vn / x
n e 2ntsin( nx) , то из (4) получаем требуемые функции
un (x,t)
2 e
n e n2tsin( 2ntcos( n x)
nx) . C
Перепишем их в виде
un (x,t)
2 cos(
n sin( nx) nx) C e
n2t
,
n
n , n 1,2... L
(9)
Заметим, что n-ая функция un(x,t) имеет ровно n–1 корней внутри интервала (0, L).
Зайцев А.В. и др. Применение уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале/ А.В. ЗАЙЦЕВ, В.Н. КУДАШОВ // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2014. - №2. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств»
№ 2, 2014
На рис. 1, 2 приведены графики первых двух функций распределения величин u1 и u2 вдоль координаты x в различные моменты времени при 0,1, C 1,5 .
Таким образом, в дальнейшем развитие методики численного исследования сходимости и устойчивости может быть основано на использовании для построения разностной модели исходного уравнения (1) с граничными условиями (2), а получаемое сеточное решение может оцениваться в сравнении с точным решением (9).
u1 1
2 3
0 Lx
Рис. 1. Распределение u1 вдоль x: 1 – t = 0,3; 2 – t = 0,5; 3 – t = 0,7
u2 1
2 3 0
Lx
Рис. 2. Распределение u2 вдоль x: 1 – t = 0,3; 2 – t = 0,5; 3 – t = 0,7
Зайцев А.В. и др. Применение уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале/ А.В. ЗАЙЦЕВ, В.Н. КУДАШОВ // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2014. - №2. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств»
№ 2, 2014
Список литературы
1. Зайцев А.В., Пеленко Ф.В. Моделирование течения вязкой жидкости в трубе // Процессы и аппараты пищевых производств. 2012. № 1.
2. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны: Пер. с англ. / Под. ред А.Б. Шабата. – М.: Мир, 1977. – 622 с.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1988. – 512 с.
Зайцев А.В. и др. Применение уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале/ А.В. ЗАЙЦЕВ, В.Н. КУДАШОВ // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2014. - №2. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
№ 2, 2014
УДК 532.5.01
Применение уравнения бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале
Канд. техн. наук Зайцев А.В. zai_@inbox.ru, канд. физ.-мат. наук Кудашов В.Н. kdslv@mail.ru
Университет ИТМО Институт холода и биотехнологий 921002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9
Расчет нестационарного течения вязкой жидкости в канале представляет собой сложную математическую задачу и производится обычно численными методами с применением вычислительной техники. Для исследования устойчивости и сходимости вычислительных алгоритмов предлагается использовать точные аналитические решения уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале.
Ключевые слова: динамика вязкой жидкости, уравнение Бюргерса, модельное уравнение, точное решение.
The use of burgers’ equation as a model equation for the dynamics of viscous medium in a channel
Ph.D. A.V. Zaitsev zai_@inbox.ru, Ph.D. V.N. Kudashov kdslv@mail.ru,
University ITMO Institute of Refrigeration and Biotechnologies 191002, Russia, St. Petersburg, Lomonosov str., 9
Calculating the transient flow of viscous fluids in a pipe is a complex mathematical problem usually solved by computer-aided numerical techniques. Burgers’ equation is offered as a tool for modelling the dynamics of viscous medium in a channel while studying convergence and stability of computing algorithms.
Keywords: dynamics of viscous fluids, Burgers’ equation, model equation, exact solution.
Решение сложной задачи нестационарного течения вязкой жидкости в канале с учетом реальных физических условий, таких, как зависимость теплофизических свойств от температуры, различные гидродинамические режимы течения, наличие объѐмных сил и др. сводится к решению системы дифференциальных уравнений, в том числе уравнения Навье-Стокса с известными проблемами существования и гладкости решений. Основным встречающемся в литературных источниках методом решения различных
Зайцев А.В. и др. Применение уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале/ А.В. ЗАЙЦЕВ, В.Н. КУДАШОВ // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2014. - №2. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств»
№ 2, 2014
задач при применении уравнений Навье-Стокса является конечно-разностная аппроксимация, например [1]. При этом главной проблемой является достижение устойчивости и сходимости. Известны условия сходимости, полученные для относительно простых задач. Однако при приближении постановки задачи к реальным условиям обеспечить сходимость возможно только в результате численного эксперимента на конкретной модели.
С этой целью предлагается применить методику численного исследования параметров сходимости и устойчивости выбираемых разностных схем. Для разработки такой методики следует иметь некое модельное уравнение и иметь его точное решение. Далее в качестве такого уравнения предлагается использовать уравнение Бюргерса, близкое по своему виду к стандартным уравнениям газовой динамики.
Запишем уравнение Бюргерса
u uu tx
2u x2
.
(1)
Здесь аналогами физических величин и функций процесса динамики вязких сред являются: u – скорость потока; t – время; х – координата вдоль потока; – вязкость.
Мы хотим построить решения уравнения Бюргерса при x [0, L] , t [0, ) , с
граничными условиями
u(0,t) u(L,t) 0,t [0, ).
(2)
Для построения таких решений воспользуемся преобразованием Коула-Хопфа [2], сводящее нелинейное уравнение (1) к уравнению теплопроводности, являющемся линейным.
Пусть функция v(x,t) является решением уравнения
v t
2v x2
.
(3)
Тогда функция
u 21v vx
(4)
Зайцев А.В. и др. Применение уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале/ А.В. ЗАЙЦЕВ, В.Н. КУДАШОВ // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2014. - №2. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств»
№ 2, 2014
удовлетворяет уравнению Бюргерса. Преобразование (4) называется преобразованием Коула-Хопфа.
Чтобы найти решения уравнения (1) с граничными условиями (2), как видно из (4), достаточно найти функцию v(x,t) , при x [0, L] , t [0, ) , удовлетворяющую
уравнению (3) и граничным условиям
v (0,t) v (L,t) 0,t [0, ). xx При этом необходимо, чтобы выполнялось неравенство
(5)
v(x,t) 0, x [0, L], t [0, ).
(6)
Используя метод Фурье (см. [3]) можно убедиться, что существует счѐтное множество функций, удовлетворяющих уравнению (3) и граничным условиям (5):
vn (x,t) e
2ntcos( nx),
n
n , n 1,2... L
(7)
Так как | vn(x,t) | 1 при t 0 , то функции vn(x,t) vn(x,t) C
(8)
являются решениями уравнения (3) с граничными условиями (5). Неравенство (6), очевидно, выполнено, если константа C 1.
Так как vn / x
n e 2ntsin( nx) , то из (4) получаем требуемые функции
un (x,t)
2 e
n e n2tsin( 2ntcos( n x)
nx) . C
Перепишем их в виде
un (x,t)
2 cos(
n sin( nx) nx) C e
n2t
,
n
n , n 1,2... L
(9)
Заметим, что n-ая функция un(x,t) имеет ровно n–1 корней внутри интервала (0, L).
Зайцев А.В. и др. Применение уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале/ А.В. ЗАЙЦЕВ, В.Н. КУДАШОВ // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2014. - №2. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств»
№ 2, 2014
На рис. 1, 2 приведены графики первых двух функций распределения величин u1 и u2 вдоль координаты x в различные моменты времени при 0,1, C 1,5 .
Таким образом, в дальнейшем развитие методики численного исследования сходимости и устойчивости может быть основано на использовании для построения разностной модели исходного уравнения (1) с граничными условиями (2), а получаемое сеточное решение может оцениваться в сравнении с точным решением (9).
u1 1
2 3
0 Lx
Рис. 1. Распределение u1 вдоль x: 1 – t = 0,3; 2 – t = 0,5; 3 – t = 0,7
u2 1
2 3 0
Lx
Рис. 2. Распределение u2 вдоль x: 1 – t = 0,3; 2 – t = 0,5; 3 – t = 0,7
Зайцев А.В. и др. Применение уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале/ А.В. ЗАЙЦЕВ, В.Н. КУДАШОВ // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2014. - №2. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств»
№ 2, 2014
Список литературы
1. Зайцев А.В., Пеленко Ф.В. Моделирование течения вязкой жидкости в трубе // Процессы и аппараты пищевых производств. 2012. № 1.
2. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны: Пер. с англ. / Под. ред А.Б. Шабата. – М.: Мир, 1977. – 622 с.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1988. – 512 с.
Зайцев А.В. и др. Применение уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале/ А.В. ЗАЙЦЕВ, В.Н. КУДАШОВ // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2014. - №2. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru