СЕНСОРЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Н.В. Пилипенко
УДК 536.6
СЕНСОРЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Н.В. Пилипенко
Рассмотрены основные направления и объекты прикладной теплометрии, приведены математические модели преобразователей нестационарного теплового потока, которые прошли широкую апробацию в экспериментальных исследованиях энергоемких технологических процессов. Ключевые слова: методы и средства теплометрии, математические модели, прямые и обратные задачи теплопроводности.
Введение
Для ряда интенсивно развивающихся отраслей науки и техники решение основных проблем зависит от возможностей теплометрии – получения экспериментальной информации о плотностях тепловых потоков (ТП) в объектах исследования или проектирования. В частности, это теплоэнергетика, тепловые двигатели, металлургия, электронные устройства, теплозащита летательных аппаратов и их термовакуумные испытания, исследование процессов теплообмена в разреженных, сверхзвуковых, двухфазных, псевдоожиженных и других потоках, медицина, биология, приборы для измерения теплофизических свойств материалов и многое другое (рис. 1).
Направления и объекты прикладной теплометрии
Конвективный теплообмен
Аэродинамические трубы
Лопатки турбин
Устройства с использованием
фазовых превращений
Низкотемпературные псевдоожиженные слои
Лучистый теплообмен
Приборы измерения излучения
ПТП для измерения излучения
Топки
Космические летательные
аппараты
Кондуктивный теплообмен
Устройства с контактными сопротивлениями
Технологические процессы
Установки для определения
ТФХ
Сложный теплообмен
Тепловые потери
Высокотемпературные потоки
Диагностика плазмы
Камеры сгорания двигателей
внутреннего сгорания
Строительные конструкции
Трубопроводы, теплотрассы
Энергетическое оборудование
Высокотемпературные псевдоожиженные слои
Рис. 1. Направления и объекты прикладной теплометрии
Как видно, объекты прикладной теплометрии отличаются большим разнообразием, и разработка универсальной методологии для оценки тепловых параметров объектов является актуальной задачей.
Для решения ряда проблем в прикладной теплометрии разработаны различного типа приемники тепловых потоков (ПТП), которые, как правило, представляют собой автономные, достаточно миниатюрные устройства с одномерным теплопереносом и, в том числе, одноемкостные. По наличию или отсутствию статической характеристики (градуировки) они могут быть статическими или астатическими средствами прямых или косвенных измерений соответственно.
Измерения плотности переменного теплового потока q q() инерционными статическими ПТП,
также как и измерения q const и q q() астатическими ПТП, когда они работают в динамическом
режиме, относятся к области нестационарной теплометрии. В обоих случаях возникает необходимость расчетного определения (восстановления) плотности входящего в ПТП теплового потока по непосредственно измеряемым температурам или их перепадам в отдельных точках ПТП. Эти задачи относятся к нестационарным граничным обратным задачам теплопроводности (ОЗТ), решения которых связаны с рядом трудностей и частично рассмотрены в работах [1–5].
Все ПТП для нестационарной теплометрии условно можно разделить на градиентные, калориметрические и с элементами полупространства (рис. 2).
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
53
СЕНСОРЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Из-за существенных различий в условиях теплометрии большинство ПТП, иногда даже в рамках одной разновидности, существенно отличается как по устройству, так и по методам восстановления плотности теплового потока q() . Практически в литературе отсутствует единый подход к ПТП как
средствам измерений, к методологии и возможностям их использования в нестационарной теплометрии, а также к оценкам методических погрешностей измерений. Кроме того, анализ перспектив развития и совершенствования методов прикладной теплометрии показывает, что современный уровень измерительной техники и ее информационных технологий выдвигает перед средствами прикладной нестационарной теплометрии очевидные требования автономного функционирования в реальном времени проведения эксперимента. Важным условием его выполнения является оптимизация алгоритмов восстановления q() по критериям точности и вычислительной эффективности (быстродействия). Создание единого
подхода к прикладной теплометрии требует систематизации, обобщения и анализа обширной информации на основе математических моделей.
Математические модели сенсоров нестационарного теплового потока
Математические модели (ММ) являются количественным представлением процессов теплопереноса в ПТП, в которых учитываются особенности конструкции ПТП и их размещение на объекте исследования. ММ ПТП предназначены для решения прямых задач теплопереноса (ПЗТ) в ПТП с целью исследования статических и динамических свойств последних, а именно: реакции ПТП на различные вход-
ные воздействия q() , расчетов статических характеристик (градуировок), расчетов стандартных дина-
мических характеристик – переходных, импульсно-переходных, частотных и др., а также использованияпри решении граничных ОЗТ по восстановлению плотности входящих в ПТП тепловых потоков q()
произвольной формы. Основными требованиями к ММ ПТП являются:
высокая степень адекватности ММ реальным процессам, протекающим в ПТП, и точности их описания;
наличие оптимального по точности и вычислительной экономичности (быстродействию) алгоритма решения, удобного для реализации на ЭВМ. В соответствии с общепринятой методологией построения (идентификации) ММ адекватных реаль-
ным объектам вначале должна выполняться структурная идентификация ММ – выбор ее математический структуры и формы, а затем параметрическая идентификация – установление значений ее параметров (коэффициентов). Применительно к ПТП решение задачи структурной идентификации ММ обеспечивается учетом в тепловых моделях (ТМ) ПТП всех существенных факторов теплопереноса, в том числе:
особенности конструкции, наличие составляющих элементов из различных материалов, защитных слоев, контактных тепловых сопротивлений, воздушных зазоров и др.;
зависимость теплофизических характеристик (ТФХ) материалов от температуры и другие возможные нелинейности;
реальные граничные условия теплообмена на рабочей и тыльной поверхностях ПТП, и т.д. Анализ результатов модельных и натурных экспериментов [4, 5] показал, что из всего многообра-
зия ММ сформулированным выше требованиям удовлетворяют дифференциально-разностные модели (ДРМ) [4]. Теплоперенос в одномерных ПТП любого типа может быть описан системой обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка относительно составляющих ti вектора состояния T(τ),
которая в векторно-матричной форме имеет вид [4, 6]
d d
T()
T()
F
T()
GU().
(1)
Для однородного теплоизолированного стержня с граничными условиями второго рода q() на тор-
це векторы состояния T(τ) и управления U(τ), матрицы обратных связей F и управления G имеют вид [6]
1
T
t1 t2
tn
;
U
q1 () q2 ()
;
G
c 0
0
0
0 2b 2b 0 . 0
0 b 2b b . 0 ; F . . . . . . 0 0 . b 2b b 1 0 . 0 2b 2b c
Общее решение уравнения (1) может быть записано в виде:
T() (, 0)T(0) (,)GU()d,
0
где Ф(, 0) – переходная n n – матрица (матрица Коши, матрициант).
54 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
Н.В. Пилипенко
ПТП для нестационарной теплометрии
Градиентные
Анизотропные
С поперечным градиентом
С продольным градиентом
Однородные
Составные
Батарейные
Граничные условия на тыльной поверхности
Калориметрические
С регулярным тепловым режимом
Термоанемометрические Одноемкостные
Массивные
Болометры
Типа тонкой стенки
Естественные
Автономные
С элементами полупространства
Однородные
Составные
С заглубленными термопарами
С поверхностными термопарами
С градиентными ПТП Вставки
Коаксиальные термопары
Цилиндрические
q2 = 0
tп2 = const
п/б тело
tп2 = var
tc2; α2
Рис. 2. ПТП для нестационарной теплометрии
Переходная матрица Ф(, 0) отражает внутренние тепловые связи в ПТП, так как ее элементы
представляют собой переходные за период = – 0 процессы каждой составляющей вектора состояния от единичных возмущений по остальным его составляющим, протекающие в свободной системе (U = 0).
При численных решениях уравнения (1), в соответствии с требованиями к его точности, устанав-
ливается малый временной шаг . Тогда матрица Ф(, 0) определяется следующим бесконечным рядом:
(,
0)
I
F
1 2!
F2
()2
1 3!
F3
()3
...
1 p!
F
p
()
p,
где I – единичная матрица размерности n n , а решение имеет вид [1]
Tk
1
Tk
1 2
(I
)
G
Uk
,
(2)
где Tk T(k ) , Uk U(k ) , а k = k, k = 0, 1, 2….
При рассмотрении линейного теплопереноса переходная матрица Ф постоянна и вычисляется еди-
ножды. Однако, решение уравнения (2) может быть использовано и при зависимости теплопроводности
и теплоемкости с от температуры. В этом случае выполняется пошаговая, на один шаг вперед, линеари-
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
55
СЕНСОРЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
зация матрицы F: для k 1 -го шага значения и с относятся к температурам Tk , полученным на предыдущем шаге. Переходная матрица должна вычисляться для каждого k 1 -го временного шага.
ДРМ в виде (1) описывает процесс нестационарного теплопереноса в ПТП. При этом измерению подлежат либо температуры в отдельных точках, либо градиенты этих температур, либо среднеобъемные температуры чувствительных элементов. Эта информация, а также сведения о характере и величинах погрешностей в измерениях отражаются в следующей математической модели измерений ПТП:
Yk HTk εk , где Yk и εk – векторы измерений и погрешностей в измерениях; Н – матрица измерений.
Заключение
Проведен анализ направлений и объектов прикладной теплометрии, приведены основные типы приемников тепловых потоков, разработаны адекватные математические модели процессов теплопереноса в приемниках, а также созданы программы для определения с единых позиций динамических характеристик различных типов приемников для восстановления нестационарного теплового потока.
Автором разработаны и прошли многократную апробацию ДРМ различных типов ПТП, приведенных на рис. 2, составлены оригинальные программы определения с единых позиций динамических характеристик ПТП и восстановления нестационарных тепловых потоков.
Литература
1. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии. Ч. 1 // Изв. вузов. Приборостроение. – 2003. – Т. 46. – № 8. – С. 50–54.
2. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии. Ч. 2 // Изв. вузов. Приборостроение. – 2003. – Т. 46. – № 10. – С. 67–71.
3. Пилипенко Н.В. Методические погрешности определения нестационарных условий теплообмена при параметрической идентификации // Измерительная техника. – 2007. – № 8. – С. 54–59.
4. Пилипенко Н.В., Гладских Д.А. Решение прямых и обратных задач теплопроводности на основе дифференциально-разностных моделей теплопереноса // Изв. вузов. Приборостроение. – 2007. – Т. 50. – № 3. – C. 69–74.
5. Пилипенко Н.В., Кириллов К.В. Определение нестационарных условий теплообмена в энергетических установках // Приборы. – 2008. – № 9. – C. 21–25.
6. Pilipenko N. Parametrical identification of differential-difference heat transfer models in non-stationary thermal measurements // Heat Transfer Research. – 2008. – V. 39. – № 4. – P. 311–315.
Пилипенко Николай Васильевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, pilipenko38@mail.ru
56 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
УДК 536.6
СЕНСОРЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Н.В. Пилипенко
Рассмотрены основные направления и объекты прикладной теплометрии, приведены математические модели преобразователей нестационарного теплового потока, которые прошли широкую апробацию в экспериментальных исследованиях энергоемких технологических процессов. Ключевые слова: методы и средства теплометрии, математические модели, прямые и обратные задачи теплопроводности.
Введение
Для ряда интенсивно развивающихся отраслей науки и техники решение основных проблем зависит от возможностей теплометрии – получения экспериментальной информации о плотностях тепловых потоков (ТП) в объектах исследования или проектирования. В частности, это теплоэнергетика, тепловые двигатели, металлургия, электронные устройства, теплозащита летательных аппаратов и их термовакуумные испытания, исследование процессов теплообмена в разреженных, сверхзвуковых, двухфазных, псевдоожиженных и других потоках, медицина, биология, приборы для измерения теплофизических свойств материалов и многое другое (рис. 1).
Направления и объекты прикладной теплометрии
Конвективный теплообмен
Аэродинамические трубы
Лопатки турбин
Устройства с использованием
фазовых превращений
Низкотемпературные псевдоожиженные слои
Лучистый теплообмен
Приборы измерения излучения
ПТП для измерения излучения
Топки
Космические летательные
аппараты
Кондуктивный теплообмен
Устройства с контактными сопротивлениями
Технологические процессы
Установки для определения
ТФХ
Сложный теплообмен
Тепловые потери
Высокотемпературные потоки
Диагностика плазмы
Камеры сгорания двигателей
внутреннего сгорания
Строительные конструкции
Трубопроводы, теплотрассы
Энергетическое оборудование
Высокотемпературные псевдоожиженные слои
Рис. 1. Направления и объекты прикладной теплометрии
Как видно, объекты прикладной теплометрии отличаются большим разнообразием, и разработка универсальной методологии для оценки тепловых параметров объектов является актуальной задачей.
Для решения ряда проблем в прикладной теплометрии разработаны различного типа приемники тепловых потоков (ПТП), которые, как правило, представляют собой автономные, достаточно миниатюрные устройства с одномерным теплопереносом и, в том числе, одноемкостные. По наличию или отсутствию статической характеристики (градуировки) они могут быть статическими или астатическими средствами прямых или косвенных измерений соответственно.
Измерения плотности переменного теплового потока q q() инерционными статическими ПТП,
также как и измерения q const и q q() астатическими ПТП, когда они работают в динамическом
режиме, относятся к области нестационарной теплометрии. В обоих случаях возникает необходимость расчетного определения (восстановления) плотности входящего в ПТП теплового потока по непосредственно измеряемым температурам или их перепадам в отдельных точках ПТП. Эти задачи относятся к нестационарным граничным обратным задачам теплопроводности (ОЗТ), решения которых связаны с рядом трудностей и частично рассмотрены в работах [1–5].
Все ПТП для нестационарной теплометрии условно можно разделить на градиентные, калориметрические и с элементами полупространства (рис. 2).
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
53
СЕНСОРЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Из-за существенных различий в условиях теплометрии большинство ПТП, иногда даже в рамках одной разновидности, существенно отличается как по устройству, так и по методам восстановления плотности теплового потока q() . Практически в литературе отсутствует единый подход к ПТП как
средствам измерений, к методологии и возможностям их использования в нестационарной теплометрии, а также к оценкам методических погрешностей измерений. Кроме того, анализ перспектив развития и совершенствования методов прикладной теплометрии показывает, что современный уровень измерительной техники и ее информационных технологий выдвигает перед средствами прикладной нестационарной теплометрии очевидные требования автономного функционирования в реальном времени проведения эксперимента. Важным условием его выполнения является оптимизация алгоритмов восстановления q() по критериям точности и вычислительной эффективности (быстродействия). Создание единого
подхода к прикладной теплометрии требует систематизации, обобщения и анализа обширной информации на основе математических моделей.
Математические модели сенсоров нестационарного теплового потока
Математические модели (ММ) являются количественным представлением процессов теплопереноса в ПТП, в которых учитываются особенности конструкции ПТП и их размещение на объекте исследования. ММ ПТП предназначены для решения прямых задач теплопереноса (ПЗТ) в ПТП с целью исследования статических и динамических свойств последних, а именно: реакции ПТП на различные вход-
ные воздействия q() , расчетов статических характеристик (градуировок), расчетов стандартных дина-
мических характеристик – переходных, импульсно-переходных, частотных и др., а также использованияпри решении граничных ОЗТ по восстановлению плотности входящих в ПТП тепловых потоков q()
произвольной формы. Основными требованиями к ММ ПТП являются:
высокая степень адекватности ММ реальным процессам, протекающим в ПТП, и точности их описания;
наличие оптимального по точности и вычислительной экономичности (быстродействию) алгоритма решения, удобного для реализации на ЭВМ. В соответствии с общепринятой методологией построения (идентификации) ММ адекватных реаль-
ным объектам вначале должна выполняться структурная идентификация ММ – выбор ее математический структуры и формы, а затем параметрическая идентификация – установление значений ее параметров (коэффициентов). Применительно к ПТП решение задачи структурной идентификации ММ обеспечивается учетом в тепловых моделях (ТМ) ПТП всех существенных факторов теплопереноса, в том числе:
особенности конструкции, наличие составляющих элементов из различных материалов, защитных слоев, контактных тепловых сопротивлений, воздушных зазоров и др.;
зависимость теплофизических характеристик (ТФХ) материалов от температуры и другие возможные нелинейности;
реальные граничные условия теплообмена на рабочей и тыльной поверхностях ПТП, и т.д. Анализ результатов модельных и натурных экспериментов [4, 5] показал, что из всего многообра-
зия ММ сформулированным выше требованиям удовлетворяют дифференциально-разностные модели (ДРМ) [4]. Теплоперенос в одномерных ПТП любого типа может быть описан системой обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка относительно составляющих ti вектора состояния T(τ),
которая в векторно-матричной форме имеет вид [4, 6]
d d
T()
T()
F
T()
GU().
(1)
Для однородного теплоизолированного стержня с граничными условиями второго рода q() на тор-
це векторы состояния T(τ) и управления U(τ), матрицы обратных связей F и управления G имеют вид [6]
1
T
t1 t2
tn
;
U
q1 () q2 ()
;
G
c 0
0
0
0 2b 2b 0 . 0
0 b 2b b . 0 ; F . . . . . . 0 0 . b 2b b 1 0 . 0 2b 2b c
Общее решение уравнения (1) может быть записано в виде:
T() (, 0)T(0) (,)GU()d,
0
где Ф(, 0) – переходная n n – матрица (матрица Коши, матрициант).
54 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
Н.В. Пилипенко
ПТП для нестационарной теплометрии
Градиентные
Анизотропные
С поперечным градиентом
С продольным градиентом
Однородные
Составные
Батарейные
Граничные условия на тыльной поверхности
Калориметрические
С регулярным тепловым режимом
Термоанемометрические Одноемкостные
Массивные
Болометры
Типа тонкой стенки
Естественные
Автономные
С элементами полупространства
Однородные
Составные
С заглубленными термопарами
С поверхностными термопарами
С градиентными ПТП Вставки
Коаксиальные термопары
Цилиндрические
q2 = 0
tп2 = const
п/б тело
tп2 = var
tc2; α2
Рис. 2. ПТП для нестационарной теплометрии
Переходная матрица Ф(, 0) отражает внутренние тепловые связи в ПТП, так как ее элементы
представляют собой переходные за период = – 0 процессы каждой составляющей вектора состояния от единичных возмущений по остальным его составляющим, протекающие в свободной системе (U = 0).
При численных решениях уравнения (1), в соответствии с требованиями к его точности, устанав-
ливается малый временной шаг . Тогда матрица Ф(, 0) определяется следующим бесконечным рядом:
(,
0)
I
F
1 2!
F2
()2
1 3!
F3
()3
...
1 p!
F
p
()
p,
где I – единичная матрица размерности n n , а решение имеет вид [1]
Tk
1
Tk
1 2
(I
)
G
Uk
,
(2)
где Tk T(k ) , Uk U(k ) , а k = k, k = 0, 1, 2….
При рассмотрении линейного теплопереноса переходная матрица Ф постоянна и вычисляется еди-
ножды. Однако, решение уравнения (2) может быть использовано и при зависимости теплопроводности
и теплоемкости с от температуры. В этом случае выполняется пошаговая, на один шаг вперед, линеари-
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
55
СЕНСОРЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
зация матрицы F: для k 1 -го шага значения и с относятся к температурам Tk , полученным на предыдущем шаге. Переходная матрица должна вычисляться для каждого k 1 -го временного шага.
ДРМ в виде (1) описывает процесс нестационарного теплопереноса в ПТП. При этом измерению подлежат либо температуры в отдельных точках, либо градиенты этих температур, либо среднеобъемные температуры чувствительных элементов. Эта информация, а также сведения о характере и величинах погрешностей в измерениях отражаются в следующей математической модели измерений ПТП:
Yk HTk εk , где Yk и εk – векторы измерений и погрешностей в измерениях; Н – матрица измерений.
Заключение
Проведен анализ направлений и объектов прикладной теплометрии, приведены основные типы приемников тепловых потоков, разработаны адекватные математические модели процессов теплопереноса в приемниках, а также созданы программы для определения с единых позиций динамических характеристик различных типов приемников для восстановления нестационарного теплового потока.
Автором разработаны и прошли многократную апробацию ДРМ различных типов ПТП, приведенных на рис. 2, составлены оригинальные программы определения с единых позиций динамических характеристик ПТП и восстановления нестационарных тепловых потоков.
Литература
1. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии. Ч. 1 // Изв. вузов. Приборостроение. – 2003. – Т. 46. – № 8. – С. 50–54.
2. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии. Ч. 2 // Изв. вузов. Приборостроение. – 2003. – Т. 46. – № 10. – С. 67–71.
3. Пилипенко Н.В. Методические погрешности определения нестационарных условий теплообмена при параметрической идентификации // Измерительная техника. – 2007. – № 8. – С. 54–59.
4. Пилипенко Н.В., Гладских Д.А. Решение прямых и обратных задач теплопроводности на основе дифференциально-разностных моделей теплопереноса // Изв. вузов. Приборостроение. – 2007. – Т. 50. – № 3. – C. 69–74.
5. Пилипенко Н.В., Кириллов К.В. Определение нестационарных условий теплообмена в энергетических установках // Приборы. – 2008. – № 9. – C. 21–25.
6. Pilipenko N. Parametrical identification of differential-difference heat transfer models in non-stationary thermal measurements // Heat Transfer Research. – 2008. – V. 39. – № 4. – P. 311–315.
Пилипенко Николай Васильевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, pilipenko38@mail.ru
56 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)