Например, Бобцов

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ТЕНЗОРОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ

В.Г. Мельников

4 МЕХАНИКА И МЕХАТРОНИКА

УДК 681.5 + 531
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ТЕНЗОРОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ
В.Г. Мельников
Представлен метод определения шести инерционных параметров твердого тела в условиях неизвестной диссипации энергии, применяемый на его полупрограммном сферическом движении частного вида – неравномерной прецессии. Движение содержит этапы свободного неуправляемого торможения и управляемого обратного симметричного ускоренного движения по программе, рассчитанной по замерам предыдущего движения. Расчет инерционных параметров выполняется по замерам потребляемой электроэнергии. Предложено исполнительное робототехническое устройство. Ключевые слова: тензор инерции, параметрическая идентификация, реверсивно-симметричное сферическое движение, полупрограмная прецессия.
Введение
Точность экспериментального определения моментов и тензоров инерции существенно зависит от величины диссипации энергии через трение в устройстве и через сопротивление среды. В связи с этим обычно ограничиваются применением устройств с малым трением, с мультиплярными, торсионными и пружинными подвесами, газовыми подшипниками [1–5]. Применяют непосредственное определение сил, приложенных к телу, путем замеров упругих деформаций податливой платформы, тем самым исключая из рассмотрения сложное исполнительное устройство, но получая существенные погрешности от деформаций конструкции [6]. Применение теоремы моментов позволяет исключить из расчетных формул влияние на точность только сил внутреннего трения [7–8], в то же время не исключается отрицательное влияние внешних диссипативных сил. В [9–13] предложен метод идентификации осевых моментов инерции тел, согласно которому проблема борьбы с отрицательным влиянием диссипации на точность сведена к проблеме точного исполнения программных тестовых симметричных движений.
В статье предлагается модифицированный метод параметрической идентификации матрицы тензора инерции, по которому вместо шести программных осевых реверсивносимметричных вращений применено одно полупрограммное реверсивно-симметричное сферическое движение тела с одной обобщенной координатой – углом прецессии либо углом нутации, содержащее этап свободного непрограммного торможения, переходящего после реверса в этап программного обратного ускоренного движения на прежнем угловом интервале, согласованного с прежним этапом по свойству обратной реверсивной симметрии. Преимущество метода заключается в большей точности идентификации и быстродействии, поскольку вместо шести экспериментов с шестью выставками тела в шесть угловых положений выполняется только один эксперимент, кроме того, технически сложные замеры крутящего момента здесь заменены на текущие замеры расхода электроэнергии. Предложено исполнительное устройство с двухосным кардановым подвесом с одним электродвигателем и с упругим торсионным элементом.
Определения
Пусть тело размещено во внутренней осесимметричной цилиндрической рамке 1 двухосного карданова подвеса (см. рисунок) с горизонтальной осью собственного вра-

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)

59

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ТЕНЗОРОВ …

щения Oz и внешней рамки 2 с вертикальной осью прецессии Oz1 , соосной с торсио-
ном 3 и ротором электродвигателя 4. Планетарный механизм 5 передает вращение на внутреннюю рамку согласно уравнению голономной связи углов прецессии и собст-

венного вращения вида ψ=λφ при λ=1,235=tgβ=tg510 . Положение голономной системы

тело – устройство с одной степенью свободы задаем обобщенной координатой φ . На

двухоборотном

угловом

интервале

[φ0

=0,φ 10

=4π]

введем

промежуточные

узлы

[φ1=h,φ2 =2h,...,φ9 =9h], где h=2π/5 .

Рисунок. Исполнительное устройство

Реверсивной полупрограммной прецессией назовем сферическое двухосное движе-

ние тела с голономной связью ψ=λφ , состоящее из замедленного двухоборотного не-

программного вращения по φ с уравнением, определяемым по текущим замерам дви-

жения в виде

φ  p(t) при φ [φ0  0, φ10  4π], t [t0,t10] ,

(1)

переходящее после реверса с некоторого момента t '10  t10 в обратное программное

симметричное движение на интервале времени [t '10,t0 ] при t '0  t '10  t10  t0 , удовлетво-

ряющее уравнению

φ=f (t) при f (t)  p(t*), t*  t '10  t10 - t .

(2)

Динамические уравнения энергии прецессионного движения

Применим теорему об изменении кинетической энергии к системе тело– устройство (рисунок) на полнооборотных пересекающихся угловых интервалах Φi =[φi ,φi+5] при i 1,...,5 . Учитывая равенство нулю работы силы тяжести тела на
полных оборотах по φ независимо от ψ и симметричность движений, получаем:

Ti5  Ti  i  i5  Ai  Bi Vi , i  1,..., 5;

Ti  Ti5  i5  i  A'i  B 'i  V 'i ,

B 'i



Bi , V

'i

 Vi



ε2 i

.

(3)

Здесь Ti и i – узловые значения кинетической энергии системы и потенциаль-

ной энергии торсиона, Ai , A'i – работы момента электродвигателя на интервале Φi

тормозного и обратного движений, Bi , Bi – работы внутреннего трения в торсионе и

60 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)

В.Г. Мельников

сил сопротивления среды, одинаковые при цилиндрической форме кожуха, Vi ,Vi – работы сил трения в устройстве, в том числе в подшипниках электродвигателя, которые

могут отличаться на положительную величину εi2 в случае малого трения порядка εi . Из уравнений (3) получаем десять уравнений для работ сил и кинетических энергий:

A'i  Ai  2 | Bi Vi | εi2, 2Ti  2Ti5  2i5  2i  A'i  Ai  εi2 .

(4)

В случае Ai  0 , когда тормозное движение исполняется при выключенном элек-

тродвигателе, получаем A'i  2 | Bi Vi | εi2 , т.е. на обратном движении управляющий

момент электродвигателя работает в маломощном режиме компенсации малой дисси-

пации, следовательно, εi2  0 . Если вместо передаточного механизма применен второй электродвигатель, соосный с валом внутренней рамки, также имеем ε2  0 . Угловая

скорость сферического двухосного движения ω=φk+ψk1=μΩe при μ= 1+λ =1,5890 , где k, k1, e – орты осей Oz, Oz1 и мгновенной оси OL . Кинетическая энергия тела T  J (φ)μ2Ω2 / 2 , где J (φ) – момент инерции тела относительно OL , Jμ2 – приведен-

ный момент инерции тела. Для цилиндрической рамки имеем T  Iμ2Ω2 / 2 , где

I  const – момент инерции рамки относительно OL . Подставляя выражение кинетической энергии системы в уравнения (4), получим:

(Jiμ2



I )(i2



2 i5

)



2i5



2i



A

'
i



Ai



ε2 i

,

Ji



J

(φ i

)



J (φi5 )

.

Расчетные формулы для моментов инерции тела

Находим расчетные формулы моментов инерции тела относительно пяти мгно-

венных осей, равномерно распределенных в теле по круговому конусу с углом =51 между образующей OL и собственной осью Oz :

Ji



(A'i 

Ai

 2i5

 2i

 εi2 )(i2



2 i5

)2

μ

2

 Iμ2 ,

i 1,...,5..

(5)

Шестой момент инерции тела определяется на реверсивно-симметричном враще-

нии системы вокруг неподвижной оси Oz1 при угле =0 на конечном угле поворота

[ψ1,ψ2 ] по формуле

J6



J z1



( A'21

A12

 2(ψ2 )  2(ψ1))(ψ12



ψ2 2

)2



Iz1 ,

(6)

где Jz1 и Iz1 – осевые моменты инерции тела и устройства при φ  0 . Единое твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной вертикальной оси, оказывает динамическое

давление на подшипники, не зависящее от направления вращения, поэтому в (6) при-

нимаем

ε

2 6

=0

.

Работа

крутящего

момента

электродвигателя

равна

потребляемой

им

электроэнергии Ei за вычетом омических тепловых потерь в обмотках δi , в которые

включаем и расходы на приращение энергии электромагнитного поля

Ai



Ei



δ i

,

A 'i



Ei



δ i

.

Отсюда

A'i  Ai  E 'i  Ei  (δi  δi ), A'21 A12  E21  E12  (δ  δ) .

(7)

В результате осевые моменты инерции определены формулами (5)–(6), где разно-

сти работ активного момента электродвигателя определяются формулами (7) через раз-

ности расходов электроэнергии и разности омических потерь.

Расчетные формулы для матрицы тензора инерции
Моменты инерции тела относительно осей связаны с элементами тензора инерции – осевыми декартовыми и центробежными моментами инерции – следующими формулами:

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)

61

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ТЕНЗОРОВ …

Ji  IUi , i  1,...,5 при I  [J x J y J z J xy J yz J xz ],

Ui  [ei21, ei22 , ei23, 2ei1ei2 , 2ei2ei3, 2ei1ei3 ]T .
Здесь eix , eiy , eiz – проекции ортов осей, равные направляющим косинусам осей. Гори-
зонтальная конкатенация этих выражений приводит к матричному выражению векторстроки осевых моментов инерции через вектор-строку элементов тензора инерции, умноженную на квадратную матрицу перехода:
J = IU при J  [J1,..., J6 ], U  [U1,...,U6 ] . Отсюда получаем расчетную формулу для вектор-строки, составленной из моментов инерции относительно декартовых осей и центробежных моментов инерции:

 I = JU-1 или IT = U-1 T JT .

(8)

Для вышеуказанного пучка из шести осей имеем следующие вектор-строки ортов: ei  sin β [cos(iφ  φ),sin(iφ  φ),ctgβ], i 1,...,5; e6  [1,0, 0] Решение (8) хорошо обусловлено, поскольку det(U)  0,9657 .

Заключение

В статье излагается обобщение метода идентификации шести компонент тензора инерции твердого тела. Предложено вместо пяти программных тестирующих реверсивно-симметричных вращений вокруг неподвижных осей использовать одно сферическое неравномерное прецессионное движение. Кроме того, вместо программного движения использовано удобное для исполнения полупрограммное движение, состоящее из неуправляемого неравномерного движения и программного обратного управляемого движения, симметричного с предыдущим движением. Данный метод может быть реализован на предлагаемом робототехническом устройстве, а также на существующих в технике идентификационных устройствах при небольших изменениях в конструкции. Возможно применение метода в задачах идентификации крупногабаритных транспортных изделий – автомашин, спутников – при исполнении ими полупрограммных движений в условиях неизвестных диссипативных моментов.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Комитета по науке и высшей школе Санкт-Петербурга за 2009 г.

Литература

1. Гернет М.М., Ратобыльский В.Ф. Определение моментов инерции. – М.: Машиностроение, 1969.
2. Previati G., Mastinu G., Gobbi M, Advances on inertia tensor and centre of gravity measurement: The INTENSO+ system // SAWE paper. – 2009. – № 3465.
3. Беляков А.О., Блаженнова-Микулич Л.Ю. Идентификация инерционной матрицы консервативной колебательной системы // Вестн. Моск. ун-та. – 2005. – №3. – С. 25–28.
4. Беляков А.О., Сейранян А.П. Определение моментов инерции крупногабаритных тел по колебаниям в упругом подвесе // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. – 2008. – № 2. – С. 49–62.
5. Bogdanov V.V., Volobuev V.S., Kudryashov A.I., Travin V.V. A Suite for Measuring
Mass, Coordinates of the Center of Mass, and Moments of Inertia of Engineering Components // Measurement Techniques. – 2002. – V. 45. – № 2. – Р. 168–172.
6. Hahn H., Niebergall M. Development of a measurement robot for identifying all inertia
parameters of a rigid body in a single experiment// IEEE Trans. Control Systems Technol. – 2001. – № 9 (2). – Р. 416–423.

62 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)

П.А. Сергушин

7. Банит Ю.Р., Беляев М.Ю., Добринская Т.А., Ефимов Н.И., Сазонов В.В., Стажков В.М. Определение тензора инерции Международной космической станции по телеметрической информации // Космические исследования. – 2005. – Т. 43. – № 2. – С. 135–146.
8. Алексеев К.Б., Шадян А.В. Определение динамических параметров космического летательного аппарата по признакам динамической асимметрии // Машиностроение и инженерное образование. – 2007. – № 2. – С. 53–58.
9. Мельников В.Г. Метод идентификации тензоров инерции и центров масс твердых тел // III Всерос. совещание-семинар зав. каф. теоретической механики РФ – Пермь: ПГУ, 2004.
10. Мельников В.Г. Многочленные преобразования нелинейных систем управления// Известия вузов. Приборостроение. – 2007. – Т. 50. – № 5. – С. 20–25.
11. Патент РФ на изобр. №2262678. Мельников В.Г. Способ определения тензора инерции тела. – Опубл. БИ № 29, 20.10. 2005.
12. Мельников В.Г. Использование программных движений для идентификации тензора инерции и центра масс твердого тела // Известия вузов. Приборостроение. – 2007. – Т. 50. – № 8. – С. 33–36.
13. Шаховал С.Н. Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты инерции // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. – 2008. – № 47. – С. 196–201.

Мельников Виталий Геннадьевич

– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой,
melnikov@mail.ifmo.ru

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)

63