ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕННЫХ СИСТЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ АППРОКСИМАЦИЙ ЧЕБЫШЕВА
В.Г. Мельников
7 МЕХАНИКА И МЕХАТРОНИКА
УДК 531.01+681.5.03+531.07
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕННЫХ СИСТЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ АППРОКСИМАЦИЙ ЧЕБЫШЕВА
В.Г. Мельников
Рассматривается процесс преобразований уравнений автономных механических систем многочленной структуры со многими степенями свободы, связанный с методом нормализации Пуанкаре–Дюлака. Вносится изменение в метод, состоящее в аппроксимации остаточных членов высоких степеней многочленами меньших степеней с сохранением их в уравнениях, обеспечивающее существенное повышение точности преобразованной системы. При этом используется свойство мономов высоких степеней содержать переменные в высоких степенях, допускающих применение метода экономизации Чебышева. Ключевые слова: автономная система динамических уравнений, многочленное преобразование фазовых координат, нормальные формы Пуанкаре–Дюлака, экономизации Чебышева.
Введение
Важным этапом исследования движения каждой динамической системы с сосредоточенными параметрами в конечной окрестности нуля фазового пространства является преобразование ее в систему уравнений с уменьшенным количеством параметров, символьных констант [1–3]. Минимизация количества существенных констант упрощает последующий аналитический и численный анализ. Вначале обычно выполняется преобразование подобия – изменение масштабов переменных, затем выполняется замена переменных, соответствующая структуре уравнений. Для автономных уравнений возмущенного движения широко используется метод нормализации Пуанкаре–Дюлака, формального многочленного преобразования дифференциальных уравнений с сохранением в преобразованной системе множества неустранимых «резонансных» или близких к резонансным констант – коэффициентов при мономах. При этом сходимость рядов гарантирована лишь при весьма жестких ограничениях, поэтому метод относят в основном к асимптотическим методам [4–6]. В случае сходимости рядов формальная эквивалентность преобразованной и исходной систем становится аналитической эквивалентностью в некоторой области сходимости, которая может оказаться весьма малой. При практическом применении асимптотического метода рекомендуется проверка идентичности существенных динамических свойств исходной и преобразованной систем [2]. В [5, 7] рассмотрены, в частности, автономные системы с правыми частями в виде многочленов высокой степени, для которых развит метод многочленного преобразования с сохранением в преобразованной системе мономов с резонансными и близкими к резонансным индексами во избежание появления малых делителей, в [8] метод применен к системе управления.
В настоящей работе предлагается существенное изменение метода многочленных преобразований в направлении уменьшения невязок, повышения точности преобразованной модели. Уточнение преобразованной модели достигается тем, что в процессе выполнения преобразований остаточные члены уравнений, составленные из мономов высоких степеней, не отбрасываются, они аппроксимируются многочленами меньших степеней по методу экономизации Чебышева [9–13] и включаются в преобразованные уравнения, а к пренебрегаемым членам отнесены лишь погрешности этих аппроксимаций. Данный прием основан на очевидном свойстве каждого монома достаточно высокой степени содержать фазовые коор-
динаты в степенях s 3 , допускающих приближение многочленами меньших степеней с небольшой от-
носительной погрешностью. Расчетные алгебраические формулы для констант модифицированного метода преобразований не рекуррентны, поэтому константы вычисляются с применением метода малого параметра, причем за порождающие решения алгебраической системы принимаются решения по методу Пуанкаре–Дюлака. Модифицированный метод приводит, в общем случае, к некоторым изменениям собственных значений матрицы линейной части преобразованной системы.
Постановка задачи
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с правыми частями в виде сумм однородных многочленов степеней 1, 2, ..., m с малыми коэффициентами при нелинейных членах:
dxi
dt
m
X ai ,
| |1
i 1,..., n,
xD .
(1)
Здесь
ai
a(1...n ) i
O()
при
| | 2 ; (1... n )
– векторные индексы суммирования;
X
x1 1
...xn
n
–
мономы степеней | | 1 ... n ; D {x [x1,..., xn ] Rn : | xi | r, i 1,..., n,} – окрестность нуля фазо-
вого пространства. Однородные линейные многочлены в (1) вида
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 4 (80)
85
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕННЫХ СИСТЕМ …
x ai x1aie1 ... xneien x1ai1 ... xnain записаны с применением единичных векторных индексов
| |1
ej (0...010...0) , собственные числа [1 ,..., n ] матрицы A [aij ]1n линейной части системы предпо-
лагаем существенно различными, i j при i j .
Считаем, что система (1) описывает движение некоторого класса механических систем с сосредоточенными параметрами с пренебрежимо малыми погрешностями.
Ставится задача о многочленном преобразовании степени m фазовых переменных, где m max(m, 2n) , с измененными формулами для определения констант. Изменение состоит в том, что
остаточными членами, составленными из мономов степеней больших, чем m , которые появляются в процессе преобразования, не пренебрегаем, сохраняем их приближенно в уравнениях в виде аппроксимирующих многочленов степени m , найденных методом экономизации Чебышева.
Замечание. Если система (1) получена из классических автономных уравнений возмущенного движения посредством приближения голоморфных функций частичными суммами в O() – окрестности
нуля фазового пространства и масштабного преобразования окрестности в единичную область D , то в (1) можно считать ai O(| |1) при | | 2 , что не влияет на процесс преобразований.
Целесообразна проверка преобразованной модели с позиции сохранения существенных динамических свойств, например, методом функций Ляпунова [2, 7, 14].
Многочленные преобразования со встроенными экономизациями Чебышева
Введем в рассмотрение множество особых (резонансных) индексов Ni Ni2 Ni3 Nim , где
подмножества Nik находятся как семейства целочисленных неотрицательных решений системы двух алгебраических уравнений:
Nik () 1ik ,..., ink : 1ik 1 ... ink n i 0, 1k nk k , i 1,..., n .
(2)
Введем замену фазовых переменных в форме многочленов назначаемой степени m с комплекс-
ными константами
m nm
yi X bi x jbij X bik , m max (m, 2n), i 1,..., n ,
| |1
j 1 |k|2
(3)
с неособой матрицей B [bij ]1n , с малыми коэффициентами bik O() при | k | 2 , k (k1...kn ) . Назовем невязками i (x) следующие дифференциальные выражения, вычисляемые на решениях системы (1) с
подлежащими определению комплексными константами pi :
i
dyi dt
i yi
m
Y
|| 2
pi
Ni
i 1,..., n .
(4)
Ставится задача выбора коэффициентов преобразования (3) и резонансных коэффициентов pi из
условия минимизации невязок i . В силу уравнений (1) и выражений (3) получаем невязки в виде разности двух многочленов сте-
пеней (m m 1) и m2 вида
i
X e j bi aj j
j, ,
X 'b1
1
...
x
'bn
n
pi ,
i 1,..., n .
(5)
Каждую функцию (5) представляем посредством приведения подобных членов в виде суммы од-
нородных многочленов степеней 1,..., m и дополнительных многочленов i (x) со степенями мономов
m 1, m 2,..., m2 :
m m2
i (x) X hi i (x), при i
X ri , i O(2 ) .
| |1
| |m1
(6)
Вносим изменение в классический метод преобразований. Вместо отбрасывания функций i (x)
аппроксимируем их многочленами степени m и присоединяем эти многочлены к первой сумме выраже-
ния (6), пренебрегаем лишь погрешностями этих аппроксимаций. Здесь используем очевидное утвержде-
ние: любой моном
x
x1 1
...xnn
степени
| | m
при
m 2n 1
содержит, по меньшей мере, один множи-
тель
x j j
в степени j 3 , в связи с чем его можно приблизить с небольшой погрешностью многочленом
меньшей степени на единичном интервале по формулам экономизаций Чебышева [10–12]. Например, на
86 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 4 (80)
В.Г. Мельников
интервалах r xj r с оценками погрешностей 0, 25r3; 0,13r4 ; 0, 06r5; 0, 03r6 имеем аппроксима-
ции
x3j
3 4
r2xj,
x
4 j
r 2 x2j
r4 8
,
x5j
5 4
r 2 x3j
5 16
r
4
x
j
,
x6j
3 2
r
2
x
4 j
9 16
r
4
x
2 j
1 r6. 32
В аппроксимациях некоторых мономов четных степеней могут выделяться постоянные слагаемые.
Для исключения таких случаев используем альтернативные аппроксимации, например,
x4j
x j x3j
3 4
x
2 j
r
2
,
x6j
5 4
x
4 j
r
2
5 16
x
2 j
r
4
.
Процесс
последовательных
экономизаций
можно
заменить
пред-
ставлением мономов через функции Чебышева с отбрасыванием функций высоких степеней с малыми множителями [10–12]. В результате выполнения последовательности экономизаций все мономы степени
| | m аппроксимируются многочленами со степенями не превосходящими m .
Посредством выделения квадратичного множителя можно ценою некоторого понижения точности
выполнить экономизации без линейных и свободных членов, например, x5j x2j x3j 3x3j / 4 . При двукрат-
ном понижении степени получаем x5j 5x j / 8, x6j 5x2j / 8 .
Допустим, что в (6) дополнительные многочлены высоких степеней i (x) O(2 ) аппроксимированы многочленами степени m без выделения свободных членов:
m
i X ci i (x), i 1,..., n, x D . | |1
(7)
Подставляя выражения (7) в (6), получаем невязки i в форме многочленов от переменных xj
степени m с погрешностями i (x)
m
i (x) X (hi ci ) i , i 1,..., n, x D . | |1
(8)
Константы bi , pi будем определять из условий равенства нулю всех коэффициентов при X в выражениях (8):
hi ci 0 , 1,..., n : | | 1,..., m, i 1,..., n, 1,
(9)
где формальным множителем 1 отмечены малые слагаемые ci O(2 ) , выделенные из дополнительных многочленов высоких степеней.
Алгебраическую систему (9), содержащую неизвестные bi , pi , следует доопределить посредством назначения некоторых коэффициентов преобразования и преобразованной системы. Минимальное коли-
чество неустранимых констант pi преобразованной системы определяется по множеству резонансных индексов вида (2). Потребуем приведения линейной части преобразованной системы к диагональному
виду и обнуления всех коэффициентов pi с нерезонансными индексами:
pi 0 Ni , [ piej ]1n [ pij ]1n diag[1* ,..., *n ], 1* 1 2i , i 1,..., n .
(10)
Здесь слагаемые 2i , выделенные из i , считаем малыми, не изменяющими множества индексов
(2), т.е. {Ni ()} {Ni (* )} , i 1,..., n . Из (4) согласно (8), (9), получаем преобразованную систему вида
dyi / dt *i yi
Y pi i (x),
Y
y 1 1
yn n
,
i 1,..., n ,
Ni
где i (x) O(3 ) – погрешности аппроксимаций функций i (x) O(2 ) с измененными значениями
собственных чисел i на i* . Итак, заменой фазовых переменных (3), при условии выполнения уравне-
ний (9), (10), система (1) преобразуется в систему
dyi / dt *i yi
Y pi ,
Y
y 1 1
yn n
,
i 1,..., n .
Ni
(11)
При этом предполагаем, что эти изменения малы и не меняют множества индексов (2).
Система (11) имеет невязки i (x) на решениях исходной системы (1), примерно на порядок мень-
шие по сравнению с невязками в виде остаточных сумм известного метода многочленных преобразова-
ний.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 4 (80)
87
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕННЫХ СИСТЕМ …
Случай аппроксимации невязок без изменения линейных форм
Рассмотрим частный случай, когда применением альтернативных аппроксимаций остаточные члены не приводит к поправкам в линейную часть преобразованной системы. В таком случае аппроксими-
рующая алгебраическая система (9) не содержит поправок ci при | | 1:
hi ci 0, | | 2, 3,, m, ci || |1 0, i 1,..., n .
В этом случае систему (1) и выражения (3), (4) целесообразно привести к виду c диагональной матрицей. Тогда упрощается замена переменных, а невязка по-прежнему имеет вид (4):
dxi
dt
m
i xi X ai ,
| |2
m
yi xi X bi ,
| |2
i 1,..., n,
i
dyi dt
i yi
m
|| 2
y 1 1
yn n
p(1n ) i
Ni
,
i 1,..., n .
Получаем, временно опуская для краткости знаки суммирования:
i
( xi
X ej jbi x j ) i (xi
X bi
) (x1
X b1
)1 (xn
X bn
) p(1n ) i
,
X (ai
( j j
i )bi )
X pi
X b bk k ej i i i
(3, i
m
)
(m1,m2 ) i
где
, (3,m) i
(m1,m2 ) i
– многочлены со степенями мономов
(3, 4,, m) ,
(m 1, m 2, , m2 )
соответствен-
но. Пусть методом экономизации Чебышева получены приближения
m
(m1,m2 ) i
Xci i (x) .
| |2
Получаем выражения невязок
mn
m
i X (ai (i j j )bi di ci ) X pi i ,
| |2
j 1
|| 2
Ni
где
di
– коэффициенты многочленов
(3,m) i
.
Потребуем
тождественного
равенства
нулю
всех
коэффици-
ентов многочленов степени m , т.е. – выполнения условий i i . Получаем алгебраические уравнения,
в которых формально введем параметр 1 перед малыми членами:
n
bi (ai di ci ) / (i j j ), 2, 3,, m, Ni , j 1
bi 0, pi ai di ci , Ni , i 1,, n. Система нелинейных алгебраических уравнений решается методом итераций, причем за порождающее решение принимается решение классической системы, получаемой приравниванием к нулю всех поправок экономизации Чебышева ci 0 .
Пример. Система уравнений второго порядка
Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений с кубическими однородными формами и
различными отрицательными корнями характеристического уравнения 2 1 0 :
xi i xi X i , X i
x x a ,1 2 (12 ) 12i
x D,
i 1, 2 ,
| |3
где D x (x1, x2 ) :| x1 | r,| x2 | r . Предполагаем, что отсутствуют резонансные индексы третьей сте-
пени, определяемые из условий 11 23 i 0, | | 1 2 3, i 1, 2 31 2 . Нелинейной заменой переменных с кубическими формами
yi xi Ui при Ui
x x b ,k1 k2 (k1k2 ) 1 2i
i 1, 2 ,
|k|3
приводим систему к линейному виду, с точностью до невязок i :
yi i yi i , при i Fi 2i , i 1, 2 , где
(12)
Fi
Xi
Ui x1
1 x1
U i x2
2 x2
iUi
x x [a1 2 12
(1 2 ) i
| |3
b ],(1 ,2 ) (1 ,2 ) ii
(1 , 2 ) i
i
11
22 ,
i
Ui x1
1 X1
Ui x2
2 X2.
88 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 4 (80)
В.Г. Мельников
Имеем с переобозначениями индексов суммирования: i i , и повторно – 1 1 k1 1 ,
2 2 k2 , а в другой сумме 1 1 k1 , 2 2 k2 1 :
,i
b(k1k2 ) i
( x x k a x x k a ) k1 11 k2 2
(1 2 )
1 1 11
k1 1 k2 2 1
(1 2 )
11
22
x x h1 2 (12 ) 11 i
|k|3
'
| |5
h (12 ) i
b ( k1k2 i
)
(1 k1 1, 2 k2 ) k a k a 1 1
(1 k1 , 2 k2 ) 22
|k|3
1 2 5
(3,0) (1 2, 2 )
3b a b (2a a ) b (a 2a ) 3b a .i 1
( 2 ,1) i
(1 1, 2 1) 1
(1 2, 2 ) 2
(1,2) (1 , 2 2) i1
(1 1, 2 1) 1
(0,3) (1 , 2 2) i2
Аппроксимируя в D однородные формы i кубическими формами, получим:
i fi i при fi
x x c ,1 2 (12 ) 1 2i
i 1, 2 .
| |3
при
c(30) i
3 4
h(50) i
,
c(03) i
3 4
h(05) i
,
c ( 21) i
3 4
h ( 41) i
h ( 23) i
,
c(13) i
3 4
h(32) i
h(14) i
Отметим, что коэффициенты
c(1 2 ) i
линейно зависят от
b .k1k2 i
Потребуем
выполнения
условия
(Fi 2 f ) 0 отсутствия в невязках кубических форм, тогда имеем i 2i , получаем две алгебраических системы
a b c 0,(12 ) i
(1 2 ) (1 2 ) ii
(1 2 ) i
i 1, 2 .
(13)
Приближенное решение уравнений (13), определенное по методу малого параметра, имеет вид
b a / ,(1,2 ) i
(1 , 2 ) i
(1 , 2 ) i
b b c / ,(1,2 ) i
(1 , 2 ) i
(1 , 2 ) i
(1 , 2 ) i
i 1, 2,
где
c(1 ,2 ) i
–
результат
подстановки
в
коэффициенты
c(1 ,2 ) i
выражений
b(1 ,2 ) i
.
Дифференциальные
урав-
нения (12) с точностью до невязок 2i имеют вид yi i yi 0, i 1, 2 .
Заключение
Рассмотрена нелинейная автономная динамическая система с несколькими степенями свободы с правой частью в форме степенных многочленов в конечной окрестности положения равновесия. Методом нормализации в многочленном варианте выполнено преобразование. С целью повышения точности преобразованной модели остаточные члены высоких степеней включаются в преобразованную систему посредством аппроксимаций Чебышева многочленами меньших степеней. Метод продемонстрирован на примере.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 10-08-01046-а.
Литература
1. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. – М.: МЦНМО, 2005. – 464 с.
2. Васильев С.Н., Козлов Р.И. Ульянов С.А. Анализ координатных и других преобразований моделей динамических систем методом редукции // Труды Института математики и механики. – УрО РАН, 2009. – Т. 15. – № 3. – С. 1–18.
3. Мельников В.Г. Энергетический метод параметрической идентификации тензоров инерции тел // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 1 (65). – С. 59–63.
4. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. – М.: Наука, Физматлит, 1998. – 288 с.
5. Мельников Г.И. О приближенном интегрировании уравнений возмущенного движения // Вестник Ленинградского госуниверситета. – 1963. – № 19. – Вып. 14. – С. 112–123; 1964. – № 1. – Вып. 1. – С. 88–98.
6. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – СПб: Лань, 2011. – 304 с. 7. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. – Л.: Машино-
строение, 1975. – 198 с. 8. Мельников В.Г. Многочленные преобразования нелинейных систем управления // Изв. вузов. Прибо-
ростроение. – 2007. – Т. 5. – № 50. – С. 20–25. 9. Melnikov V.G. Chebyshev economization in Poincare-Dulac transformations of nonlinear systems // Non-
linear Analysis. – 2005. – V. 63. – № (5–7). – P. 351–355. 10. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. – М.: Издательство физико-математической
литературы, 1961. – 524 с. 11. Hamming R.W. Numerical methods for scientists and engineers. – Dover, 1986. – 721 p.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 4 (80)
89
АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ …
12. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. – СПб: Лань, 2010. – 400 с.
13. Мельников В.Г. Применение метода экономизации К. Ланцоша при исследовании нелинейных колебаний механических систем // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2004. – Т. 50. – № 15. – С. 16–18.
14. Матросов В.М., Румянцев В.В., Карапетян А.В. Нелинейная механика. – М.: Физматлит, 2001. – 432 с.
Мельников Виталий Геннадьевич
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой, melnikov@mail.ifmo.ru
90 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 4 (80)
7 МЕХАНИКА И МЕХАТРОНИКА
УДК 531.01+681.5.03+531.07
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕННЫХ СИСТЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ АППРОКСИМАЦИЙ ЧЕБЫШЕВА
В.Г. Мельников
Рассматривается процесс преобразований уравнений автономных механических систем многочленной структуры со многими степенями свободы, связанный с методом нормализации Пуанкаре–Дюлака. Вносится изменение в метод, состоящее в аппроксимации остаточных членов высоких степеней многочленами меньших степеней с сохранением их в уравнениях, обеспечивающее существенное повышение точности преобразованной системы. При этом используется свойство мономов высоких степеней содержать переменные в высоких степенях, допускающих применение метода экономизации Чебышева. Ключевые слова: автономная система динамических уравнений, многочленное преобразование фазовых координат, нормальные формы Пуанкаре–Дюлака, экономизации Чебышева.
Введение
Важным этапом исследования движения каждой динамической системы с сосредоточенными параметрами в конечной окрестности нуля фазового пространства является преобразование ее в систему уравнений с уменьшенным количеством параметров, символьных констант [1–3]. Минимизация количества существенных констант упрощает последующий аналитический и численный анализ. Вначале обычно выполняется преобразование подобия – изменение масштабов переменных, затем выполняется замена переменных, соответствующая структуре уравнений. Для автономных уравнений возмущенного движения широко используется метод нормализации Пуанкаре–Дюлака, формального многочленного преобразования дифференциальных уравнений с сохранением в преобразованной системе множества неустранимых «резонансных» или близких к резонансным констант – коэффициентов при мономах. При этом сходимость рядов гарантирована лишь при весьма жестких ограничениях, поэтому метод относят в основном к асимптотическим методам [4–6]. В случае сходимости рядов формальная эквивалентность преобразованной и исходной систем становится аналитической эквивалентностью в некоторой области сходимости, которая может оказаться весьма малой. При практическом применении асимптотического метода рекомендуется проверка идентичности существенных динамических свойств исходной и преобразованной систем [2]. В [5, 7] рассмотрены, в частности, автономные системы с правыми частями в виде многочленов высокой степени, для которых развит метод многочленного преобразования с сохранением в преобразованной системе мономов с резонансными и близкими к резонансным индексами во избежание появления малых делителей, в [8] метод применен к системе управления.
В настоящей работе предлагается существенное изменение метода многочленных преобразований в направлении уменьшения невязок, повышения точности преобразованной модели. Уточнение преобразованной модели достигается тем, что в процессе выполнения преобразований остаточные члены уравнений, составленные из мономов высоких степеней, не отбрасываются, они аппроксимируются многочленами меньших степеней по методу экономизации Чебышева [9–13] и включаются в преобразованные уравнения, а к пренебрегаемым членам отнесены лишь погрешности этих аппроксимаций. Данный прием основан на очевидном свойстве каждого монома достаточно высокой степени содержать фазовые коор-
динаты в степенях s 3 , допускающих приближение многочленами меньших степеней с небольшой от-
носительной погрешностью. Расчетные алгебраические формулы для констант модифицированного метода преобразований не рекуррентны, поэтому константы вычисляются с применением метода малого параметра, причем за порождающие решения алгебраической системы принимаются решения по методу Пуанкаре–Дюлака. Модифицированный метод приводит, в общем случае, к некоторым изменениям собственных значений матрицы линейной части преобразованной системы.
Постановка задачи
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с правыми частями в виде сумм однородных многочленов степеней 1, 2, ..., m с малыми коэффициентами при нелинейных членах:
dxi
dt
m
X ai ,
| |1
i 1,..., n,
xD .
(1)
Здесь
ai
a(1...n ) i
O()
при
| | 2 ; (1... n )
– векторные индексы суммирования;
X
x1 1
...xn
n
–
мономы степеней | | 1 ... n ; D {x [x1,..., xn ] Rn : | xi | r, i 1,..., n,} – окрестность нуля фазо-
вого пространства. Однородные линейные многочлены в (1) вида
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 4 (80)
85
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕННЫХ СИСТЕМ …
x ai x1aie1 ... xneien x1ai1 ... xnain записаны с применением единичных векторных индексов
| |1
ej (0...010...0) , собственные числа [1 ,..., n ] матрицы A [aij ]1n линейной части системы предпо-
лагаем существенно различными, i j при i j .
Считаем, что система (1) описывает движение некоторого класса механических систем с сосредоточенными параметрами с пренебрежимо малыми погрешностями.
Ставится задача о многочленном преобразовании степени m фазовых переменных, где m max(m, 2n) , с измененными формулами для определения констант. Изменение состоит в том, что
остаточными членами, составленными из мономов степеней больших, чем m , которые появляются в процессе преобразования, не пренебрегаем, сохраняем их приближенно в уравнениях в виде аппроксимирующих многочленов степени m , найденных методом экономизации Чебышева.
Замечание. Если система (1) получена из классических автономных уравнений возмущенного движения посредством приближения голоморфных функций частичными суммами в O() – окрестности
нуля фазового пространства и масштабного преобразования окрестности в единичную область D , то в (1) можно считать ai O(| |1) при | | 2 , что не влияет на процесс преобразований.
Целесообразна проверка преобразованной модели с позиции сохранения существенных динамических свойств, например, методом функций Ляпунова [2, 7, 14].
Многочленные преобразования со встроенными экономизациями Чебышева
Введем в рассмотрение множество особых (резонансных) индексов Ni Ni2 Ni3 Nim , где
подмножества Nik находятся как семейства целочисленных неотрицательных решений системы двух алгебраических уравнений:
Nik () 1ik ,..., ink : 1ik 1 ... ink n i 0, 1k nk k , i 1,..., n .
(2)
Введем замену фазовых переменных в форме многочленов назначаемой степени m с комплекс-
ными константами
m nm
yi X bi x jbij X bik , m max (m, 2n), i 1,..., n ,
| |1
j 1 |k|2
(3)
с неособой матрицей B [bij ]1n , с малыми коэффициентами bik O() при | k | 2 , k (k1...kn ) . Назовем невязками i (x) следующие дифференциальные выражения, вычисляемые на решениях системы (1) с
подлежащими определению комплексными константами pi :
i
dyi dt
i yi
m
Y
|| 2
pi
Ni
i 1,..., n .
(4)
Ставится задача выбора коэффициентов преобразования (3) и резонансных коэффициентов pi из
условия минимизации невязок i . В силу уравнений (1) и выражений (3) получаем невязки в виде разности двух многочленов сте-
пеней (m m 1) и m2 вида
i
X e j bi aj j
j, ,
X 'b1
1
...
x
'bn
n
pi ,
i 1,..., n .
(5)
Каждую функцию (5) представляем посредством приведения подобных членов в виде суммы од-
нородных многочленов степеней 1,..., m и дополнительных многочленов i (x) со степенями мономов
m 1, m 2,..., m2 :
m m2
i (x) X hi i (x), при i
X ri , i O(2 ) .
| |1
| |m1
(6)
Вносим изменение в классический метод преобразований. Вместо отбрасывания функций i (x)
аппроксимируем их многочленами степени m и присоединяем эти многочлены к первой сумме выраже-
ния (6), пренебрегаем лишь погрешностями этих аппроксимаций. Здесь используем очевидное утвержде-
ние: любой моном
x
x1 1
...xnn
степени
| | m
при
m 2n 1
содержит, по меньшей мере, один множи-
тель
x j j
в степени j 3 , в связи с чем его можно приблизить с небольшой погрешностью многочленом
меньшей степени на единичном интервале по формулам экономизаций Чебышева [10–12]. Например, на
86 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 4 (80)
В.Г. Мельников
интервалах r xj r с оценками погрешностей 0, 25r3; 0,13r4 ; 0, 06r5; 0, 03r6 имеем аппроксима-
ции
x3j
3 4
r2xj,
x
4 j
r 2 x2j
r4 8
,
x5j
5 4
r 2 x3j
5 16
r
4
x
j
,
x6j
3 2
r
2
x
4 j
9 16
r
4
x
2 j
1 r6. 32
В аппроксимациях некоторых мономов четных степеней могут выделяться постоянные слагаемые.
Для исключения таких случаев используем альтернативные аппроксимации, например,
x4j
x j x3j
3 4
x
2 j
r
2
,
x6j
5 4
x
4 j
r
2
5 16
x
2 j
r
4
.
Процесс
последовательных
экономизаций
можно
заменить
пред-
ставлением мономов через функции Чебышева с отбрасыванием функций высоких степеней с малыми множителями [10–12]. В результате выполнения последовательности экономизаций все мономы степени
| | m аппроксимируются многочленами со степенями не превосходящими m .
Посредством выделения квадратичного множителя можно ценою некоторого понижения точности
выполнить экономизации без линейных и свободных членов, например, x5j x2j x3j 3x3j / 4 . При двукрат-
ном понижении степени получаем x5j 5x j / 8, x6j 5x2j / 8 .
Допустим, что в (6) дополнительные многочлены высоких степеней i (x) O(2 ) аппроксимированы многочленами степени m без выделения свободных членов:
m
i X ci i (x), i 1,..., n, x D . | |1
(7)
Подставляя выражения (7) в (6), получаем невязки i в форме многочленов от переменных xj
степени m с погрешностями i (x)
m
i (x) X (hi ci ) i , i 1,..., n, x D . | |1
(8)
Константы bi , pi будем определять из условий равенства нулю всех коэффициентов при X в выражениях (8):
hi ci 0 , 1,..., n : | | 1,..., m, i 1,..., n, 1,
(9)
где формальным множителем 1 отмечены малые слагаемые ci O(2 ) , выделенные из дополнительных многочленов высоких степеней.
Алгебраическую систему (9), содержащую неизвестные bi , pi , следует доопределить посредством назначения некоторых коэффициентов преобразования и преобразованной системы. Минимальное коли-
чество неустранимых констант pi преобразованной системы определяется по множеству резонансных индексов вида (2). Потребуем приведения линейной части преобразованной системы к диагональному
виду и обнуления всех коэффициентов pi с нерезонансными индексами:
pi 0 Ni , [ piej ]1n [ pij ]1n diag[1* ,..., *n ], 1* 1 2i , i 1,..., n .
(10)
Здесь слагаемые 2i , выделенные из i , считаем малыми, не изменяющими множества индексов
(2), т.е. {Ni ()} {Ni (* )} , i 1,..., n . Из (4) согласно (8), (9), получаем преобразованную систему вида
dyi / dt *i yi
Y pi i (x),
Y
y 1 1
yn n
,
i 1,..., n ,
Ni
где i (x) O(3 ) – погрешности аппроксимаций функций i (x) O(2 ) с измененными значениями
собственных чисел i на i* . Итак, заменой фазовых переменных (3), при условии выполнения уравне-
ний (9), (10), система (1) преобразуется в систему
dyi / dt *i yi
Y pi ,
Y
y 1 1
yn n
,
i 1,..., n .
Ni
(11)
При этом предполагаем, что эти изменения малы и не меняют множества индексов (2).
Система (11) имеет невязки i (x) на решениях исходной системы (1), примерно на порядок мень-
шие по сравнению с невязками в виде остаточных сумм известного метода многочленных преобразова-
ний.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 4 (80)
87
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕННЫХ СИСТЕМ …
Случай аппроксимации невязок без изменения линейных форм
Рассмотрим частный случай, когда применением альтернативных аппроксимаций остаточные члены не приводит к поправкам в линейную часть преобразованной системы. В таком случае аппроксими-
рующая алгебраическая система (9) не содержит поправок ci при | | 1:
hi ci 0, | | 2, 3,, m, ci || |1 0, i 1,..., n .
В этом случае систему (1) и выражения (3), (4) целесообразно привести к виду c диагональной матрицей. Тогда упрощается замена переменных, а невязка по-прежнему имеет вид (4):
dxi
dt
m
i xi X ai ,
| |2
m
yi xi X bi ,
| |2
i 1,..., n,
i
dyi dt
i yi
m
|| 2
y 1 1
yn n
p(1n ) i
Ni
,
i 1,..., n .
Получаем, временно опуская для краткости знаки суммирования:
i
( xi
X ej jbi x j ) i (xi
X bi
) (x1
X b1
)1 (xn
X bn
) p(1n ) i
,
X (ai
( j j
i )bi )
X pi
X b bk k ej i i i
(3, i
m
)
(m1,m2 ) i
где
, (3,m) i
(m1,m2 ) i
– многочлены со степенями мономов
(3, 4,, m) ,
(m 1, m 2, , m2 )
соответствен-
но. Пусть методом экономизации Чебышева получены приближения
m
(m1,m2 ) i
Xci i (x) .
| |2
Получаем выражения невязок
mn
m
i X (ai (i j j )bi di ci ) X pi i ,
| |2
j 1
|| 2
Ni
где
di
– коэффициенты многочленов
(3,m) i
.
Потребуем
тождественного
равенства
нулю
всех
коэффици-
ентов многочленов степени m , т.е. – выполнения условий i i . Получаем алгебраические уравнения,
в которых формально введем параметр 1 перед малыми членами:
n
bi (ai di ci ) / (i j j ), 2, 3,, m, Ni , j 1
bi 0, pi ai di ci , Ni , i 1,, n. Система нелинейных алгебраических уравнений решается методом итераций, причем за порождающее решение принимается решение классической системы, получаемой приравниванием к нулю всех поправок экономизации Чебышева ci 0 .
Пример. Система уравнений второго порядка
Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений с кубическими однородными формами и
различными отрицательными корнями характеристического уравнения 2 1 0 :
xi i xi X i , X i
x x a ,1 2 (12 ) 12i
x D,
i 1, 2 ,
| |3
где D x (x1, x2 ) :| x1 | r,| x2 | r . Предполагаем, что отсутствуют резонансные индексы третьей сте-
пени, определяемые из условий 11 23 i 0, | | 1 2 3, i 1, 2 31 2 . Нелинейной заменой переменных с кубическими формами
yi xi Ui при Ui
x x b ,k1 k2 (k1k2 ) 1 2i
i 1, 2 ,
|k|3
приводим систему к линейному виду, с точностью до невязок i :
yi i yi i , при i Fi 2i , i 1, 2 , где
(12)
Fi
Xi
Ui x1
1 x1
U i x2
2 x2
iUi
x x [a1 2 12
(1 2 ) i
| |3
b ],(1 ,2 ) (1 ,2 ) ii
(1 , 2 ) i
i
11
22 ,
i
Ui x1
1 X1
Ui x2
2 X2.
88 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 4 (80)
В.Г. Мельников
Имеем с переобозначениями индексов суммирования: i i , и повторно – 1 1 k1 1 ,
2 2 k2 , а в другой сумме 1 1 k1 , 2 2 k2 1 :
,i
b(k1k2 ) i
( x x k a x x k a ) k1 11 k2 2
(1 2 )
1 1 11
k1 1 k2 2 1
(1 2 )
11
22
x x h1 2 (12 ) 11 i
|k|3
'
| |5
h (12 ) i
b ( k1k2 i
)
(1 k1 1, 2 k2 ) k a k a 1 1
(1 k1 , 2 k2 ) 22
|k|3
1 2 5
(3,0) (1 2, 2 )
3b a b (2a a ) b (a 2a ) 3b a .i 1
( 2 ,1) i
(1 1, 2 1) 1
(1 2, 2 ) 2
(1,2) (1 , 2 2) i1
(1 1, 2 1) 1
(0,3) (1 , 2 2) i2
Аппроксимируя в D однородные формы i кубическими формами, получим:
i fi i при fi
x x c ,1 2 (12 ) 1 2i
i 1, 2 .
| |3
при
c(30) i
3 4
h(50) i
,
c(03) i
3 4
h(05) i
,
c ( 21) i
3 4
h ( 41) i
h ( 23) i
,
c(13) i
3 4
h(32) i
h(14) i
Отметим, что коэффициенты
c(1 2 ) i
линейно зависят от
b .k1k2 i
Потребуем
выполнения
условия
(Fi 2 f ) 0 отсутствия в невязках кубических форм, тогда имеем i 2i , получаем две алгебраических системы
a b c 0,(12 ) i
(1 2 ) (1 2 ) ii
(1 2 ) i
i 1, 2 .
(13)
Приближенное решение уравнений (13), определенное по методу малого параметра, имеет вид
b a / ,(1,2 ) i
(1 , 2 ) i
(1 , 2 ) i
b b c / ,(1,2 ) i
(1 , 2 ) i
(1 , 2 ) i
(1 , 2 ) i
i 1, 2,
где
c(1 ,2 ) i
–
результат
подстановки
в
коэффициенты
c(1 ,2 ) i
выражений
b(1 ,2 ) i
.
Дифференциальные
урав-
нения (12) с точностью до невязок 2i имеют вид yi i yi 0, i 1, 2 .
Заключение
Рассмотрена нелинейная автономная динамическая система с несколькими степенями свободы с правой частью в форме степенных многочленов в конечной окрестности положения равновесия. Методом нормализации в многочленном варианте выполнено преобразование. С целью повышения точности преобразованной модели остаточные члены высоких степеней включаются в преобразованную систему посредством аппроксимаций Чебышева многочленами меньших степеней. Метод продемонстрирован на примере.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 10-08-01046-а.
Литература
1. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. – М.: МЦНМО, 2005. – 464 с.
2. Васильев С.Н., Козлов Р.И. Ульянов С.А. Анализ координатных и других преобразований моделей динамических систем методом редукции // Труды Института математики и механики. – УрО РАН, 2009. – Т. 15. – № 3. – С. 1–18.
3. Мельников В.Г. Энергетический метод параметрической идентификации тензоров инерции тел // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 1 (65). – С. 59–63.
4. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. – М.: Наука, Физматлит, 1998. – 288 с.
5. Мельников Г.И. О приближенном интегрировании уравнений возмущенного движения // Вестник Ленинградского госуниверситета. – 1963. – № 19. – Вып. 14. – С. 112–123; 1964. – № 1. – Вып. 1. – С. 88–98.
6. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – СПб: Лань, 2011. – 304 с. 7. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. – Л.: Машино-
строение, 1975. – 198 с. 8. Мельников В.Г. Многочленные преобразования нелинейных систем управления // Изв. вузов. Прибо-
ростроение. – 2007. – Т. 5. – № 50. – С. 20–25. 9. Melnikov V.G. Chebyshev economization in Poincare-Dulac transformations of nonlinear systems // Non-
linear Analysis. – 2005. – V. 63. – № (5–7). – P. 351–355. 10. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. – М.: Издательство физико-математической
литературы, 1961. – 524 с. 11. Hamming R.W. Numerical methods for scientists and engineers. – Dover, 1986. – 721 p.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 4 (80)
89
АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ …
12. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. – СПб: Лань, 2010. – 400 с.
13. Мельников В.Г. Применение метода экономизации К. Ланцоша при исследовании нелинейных колебаний механических систем // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2004. – Т. 50. – № 15. – С. 16–18.
14. Матросов В.М., Румянцев В.В., Карапетян А.В. Нелинейная механика. – М.: Физматлит, 2001. – 432 с.
Мельников Виталий Геннадьевич
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой, melnikov@mail.ifmo.ru
90 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 4 (80)