Например, Бобцов

АНАЛИЗ ПРОХОЖДЕНИЯ ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИЗ МЕТАМАТЕРИАЛОВ

А.О. Вознесенская, Д.С. Кабанова

УДК 535.015
АНАЛИЗ ПРОХОЖДЕНИЯ ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИЗ МЕТАМАТЕРИАЛОВ
А.О. Вознесенская, Д.С. Кабанова
Получено обобщенное выражение закона преломления для моделирования прохождения лучей через оптические среды как с положительным, так и с отрицательным показателем преломления. В результате компьютерного моделирования установлено, что оптические системы, содержащие элементы из метаматериалов, обладают малыми аберрациями. Ключевые слова: расчет оптических систем, наноструктурированные оптические метаматериалы.
Введение
Одним из перспективных направлений развития современных оптических технологий является синтез и изучение сред с отрицательным показателем преломления – наноструктурированных оптических метаматериалов [1–5]. В целом метаматериалы представляют собой искусственные нанокомбинации проводников и диэлектриков. При взаимодействии с электромагнитным полем метаматериалы проявляют уникальные свойства, например, невидимость, зеркальность, «необыкновенное распространение света» (extraordinary light transmission) [6–11] и др.
Среди метаматериалов выделяют фотонные кристаллы, рассмотренные в обзоре [11], и «среды Веселаго» [1, 4, 6, 11]. Последние представляют собой изотропные среды с отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями. В таких средах волновой вектор и вектор Пойнтинга направлены в

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)

5

АНАЛИЗ ПРОХОЖДЕНИЯ ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ …

противоположные стороны; на границе раздела сред наблюдается эффект отрицательного преломления – свет отклоняется в противоположную сторону, в отличие от обычных диэлектриков. Для обычной оптической среды изображение не тождественно предмету, поскольку оно формируется без участия затухающих волн. В то же время в метаматериале амплитуда затухающих волн увеличивается при удалении волны от предмета, таким образом, изображение формируется с участием затухающих волн. В силу этого становится возможным получить изображения с разрешением, превышающим дифракционный предел. Таким образом, линза из метаматериала позволяет передавать детали изображений, много меньшие, чем длина волны, а значит, преодолеть классический дифракционный предел разрешения обыкновенных линз [6, 7].
По оценке экспертов [11], несмотря на затруднения с синтезом наноструктурированных оптических метаматериалов, разработка линз с отрицательным показателем преломления, работающих в видимом диапазоне, рассматривается как крайне перспективная. Первые исследования линз из метаматериалов начались в 2004 г. [12]. С тех пор, как в 2005 г. впервые были реализованы и представлены метаматериалы для оптических частот [13, 14], происходит бурное развитие исследований в направлении проектирования оптических систем из метаматериалов. Аберрационная теория оптических метаматериалов представлена в [3, 14]. Установлено, что линзы из метаматериалов обладают малыми сферическими аберрациями [15, 16], при этом, комбинируя линзы с положительным и отрицательным показателем преломления, можно добиться уменьшения аберрации и улучшить качество оптической системы [17].
Несмотря на современные достижения в части изучения свойств оптических систем из метаматериалов, их аберрационные характеристики в видимом диапазоне требуют дальнейшего изучения. Настоящая работа посвящена анализу аберраций оптических систем, включающих элементы из метаматериалов, на основе трассировки лучей в оптических средах с положительным и отрицательным преломлением.

Математическая модель трассировки лучей в оптических средах с положительным и отрицательным преломлением

Классическая теория прохождения света не позволяет производить расчет оптических систем, включающих элементы с отрицательным показателем преломления. Сформулируем математическую модель прохождения излучения в оптических средах с положительным и отрицательным показателями
преломления. Диэлектрическая проницаемость  и магнитная проницаемость  являются основными

характеристиками, которые определяют распространение электромагнитных волн в веществе; они входят

в дисперсионное уравнение, задающее связь между частотой ω монохроматической волны и ее волновым

числом k:

|(ω2/c2)εilμlj – k2δij + kikj| = 0.

(1)

Если вещество изотропно, уравнение (1) упрощается:

k2 = (ω2/c2) – n2,

(2)

где n2 – квадрат коэффициента преломления вещества, равный

n2 = εμ.

(3)

Если не учитывать потери и считать n, ε и μ действительными числами, то из (2) и (3) видно, что

одновременная смена знаков ε и μ никак не отражается на этих соотношениях.

Для того чтобы выявить электродинамические закономерности, связанные со знаками ε и μ, обра-

тимся к уравнениям Максвелла и материальным уравнениям [5]:

grad H = j + ∂D/∂t,

(4)

grad E = – ∂B/∂t,

(5)

grad D = q, grad B = 0,

D = εE, B = μH,

(6)

где H – напряженность магнитного поля; E – напряженность электрического поля; B – магнитная индук-

ция; D – электрическая индукция; j – плотность потока; q – плотность заряда. Электрическое и магнит-

ное поле можно представить в виде

E = – grad φ – ∂A/∂t, H = grad A,

где A – вектор потенциала; φ – скаляр потенциала. Выражения (4) и (5) могут быть представлены как

rot E = – (1/c) ∂B/∂t,

(7)

rot H = (1/c) ∂D/∂t.

(8)

Для плоской монохроматической волны выражения (6)–(8) принимают вид

[kE] = – (ω/c)εE,

(9)

[kH] = (ω/c)μH.

(10)

Из выражений (9) и (10) видно, что в случае ε >0 и μ >0 вектора E, H и k образуют правую тройку

векторов (рис. 1, а), а в случае ε 0 (а); необычные («левые») среды, у которых 