СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ n-МЕРНЫХ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ ПО БАЗИСУ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ВСПЛЕСКОВ
А.Ю. Гришенцев
УДК 517.521: 004.046
СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ n-МЕРНЫХ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ ПО БАЗИСУ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ВСПЛЕСКОВ
А.Ю. Гришенцев
Рассмотрены свойства способа декомпозиции n-мерных цифровых сигналов по базису прямоугольных всплесков. Показано выполнение свойства линейного преобразования и условия сохранения энергии сигнала при переходе от пространственного к частотно-пространственному представлению. Сформулирован переход к ортогональной форме преобразования. Ключевые слова: декомпозиция n-мерных сигналов, спектральный анализ, цифровая обработка сигналов.
Введение
На сегодняшний день наиболее востребованными способами взаимного преобразования цифрового сигнала из частотной в пространственную область являются Фурье- и вейвлет-преобразование [1, 2]. Вейвлет-преобразование, также как и оконное преобразование Фурье, позволяет не только получить спектр сигнала, но и локализовать его в пространстве. В настоящей работе рассматриваются свойства способа преобразования по базису прямоугольных всплесков (БПВ) [3, 4], который также позволяет получить пространственную локализацию спектра цифрового сигнала, при этом достаточно просто реализуется с помощью программных или только аппаратных средств.
Свойства преобразования по базису прямоугольных всплесков
Основной задачей рассматриваемого способа декомпозиции по БПВ является получение спектра n-
мерного цифрового сигнала и его локализация в пространстве Rn , фактически отображение цифрового сигнала в фазовое пространство. Эта задача решается в ходе прямого преобразования (декомпозиции) путем последовательных итеративных вычислений в соответствии с выражением
fk 1 fk Sk ,
(1)
где k – номер спектрального элемента декомпозиции Sk , выделяемого по масштабному признаку из
сигнала fk . Значение индекса k соответствует протяженности взаимно перпендикулярных и параллель-
ных элементов спектральных компонент, fk – остаточный сигнал. Максимальное (исходное) значение k
равно K, Sk – спектральные элементы декомпозиции, отобранные по масштабному признаку. Сумма
всех полученных в ходе прямого преобразования спектральных элементов декомпозиции Sk является
результатом обратного преобразования (синтеза) и равна
K
fK Sk .
(2)
k 1
Таким образом, разложение n-мерного сигнала происходит не по выбранному заранее n-мерному
базису (базисной функции), а по взаимно параллельным и перпендикулярным элементам исходного сиг-
нала, которые образуют множество уникальных для данного сигнала n-мерных базисов, являющихся ча-
стью исходного сигнала. Основой для формирования таких базисов разложения n-мерного сигнала слу-
жит меандр-подобный сигнал, называемый в рамках рассматриваемого способа элементарным вспле-
ском. Под элементарным всплеском будем понимать дискретную структуру, имеющую размерность,
равную размерности исходного сигнала с отличной от нуля амплитудой. В направлении выделения эле-
ментарного всплеска его протяженность может иметь любое отличное от нуля значение, но не более раз-
мера исходного сигнала в данном направлении. По другим направлениям размеры элементарного вспле-
ска равны единице дискретизации соответствующих направлений [3, 4].
На рис. 1 показаны некоторые свойства конфигурации элементов декомпозиции на примере одно-
мерных сигналов. Приведены варианты четырех одномерных сигналов f x и некоторые возможные
способы декомпозиции. Стрелками обозначены переходы к корректным вариантам декомпозиции, перечеркнутые стрелки обозначают некорректные варианты декомпозиции (присутствуют на рис. 1, в, г) с последующим переходом к корректным. В ходе наблюдения за возможными вариантами декомпозиции и разделением их на корректные и некорректные можно сделать некоторые обобщения: (1) менее протяженные элементарные всплески конфигурационно могут быть расположены только пол-
ностью над непрерывным более протяженным, либо над нулевым (имеется в виду его отсутствие) всплеском; (2) соседние всплески не могут быть расположены неразрывно, между всплесками по оси положения в пространстве должен присутствовать разрыв, минимальная протяженность которого равна единице дискретизации сигнала в данном направлении.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
75
СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ n-МЕРНЫХ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ...
(3)
а
бв
г
Рис. 1. Допустимые и недопустимые варианты конфигурации элементов декомпозиции по БПВ: f [x] – исходные сигналы с амплитудой A ; Sk – спектральный элемент декомпозиции, полученный
выделением всплесков протяженностью k
Указанные свойства (1)–(2) являются следствием декомпозиции сигнала в соответствии с алгоритмом, рассмотренным в [3, 4], и могут быть обобщены на случай многомерного сигнала. Из свойства (2) можно вывести понятие периода T k 1 (или минимального периода) элементарного всплеска как минимально допустимого периода повторения элементарных всплесков заданной протяженности k . Покажем, что декомпозиция по БПВ является линейным преобразованием, т.е. обладает свойствами линейной системы – аддитивностью и однородностью [5].
Аддитивность декомпозиции по БПВ обусловлена тем, что суммирование сигналов f [x] g[x] в
пространственной области эквивалентно суммированию сигналов в пространственно-частотной области
F f [x] F g[x] , причем при суммировании сигналов в пространственно-частотной области необхо-
димо приводить результат суммирования к конечному виду в соответствии со свойствами (1)–(2). Адди-
тивность преобразования является следствием равенства суммы f [x] g[x] F 1 F f [x] F g[x]
для каждого конкретного значения x и одновременной инвариантности декомпозиции по БПВ. Одно-
родность декомпозиции по БПВ F m f [x] m F f [x] является следствием равенства
K
m Sk [x] m f [x] , где m – рациональное число. k 1 Для n-мерного пространства Rn можно записать свойства линейности преобразования по БПВ:
аддитивность – f [Rn ] g[Rn ] F 1 F f [Rn ] F g[Rn ] ,
K
однородность – m Sk [Rn ] m f [Rn ] . k 1 Отметим, что декомпозиция по БПВ не является инвариантом относительно сдвига сигнала f [Rn ] ,
так как сдвиг исходного сигнала вызывает соответствующее смещение положения элементарных всплесков. При сдвиге сигнала f [Rn ] инвариантом является спектральная плотность p , рассчитываемая как
отношение суммы всех элементов каждого спектрального элемента декомпозиции Sk [Rn ] к числу всех дискретных элементов, в котором задана функция f [Rn ] . Покажем, что при преобразовании по БПВ не-
изменной остается энергия. В случае одномерного сигнала f [x] , заданного на интервале X , его энергия
может быть определена как
76 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 5 (81)
А.Ю. Гришенцев
E f 2[x] , X
из выражения (2) [1] следует, что
f
2[
x]
K
Sk
[
x]
2
.
k 1
Раскрывая выражение (4) как полиномиальный многочлен второй степени, получаем
K
Sk
[
x]
2
K K 1
Sk2[x] 2
K
Si[x]S j [x] ,
k 1
k 1
i 1 j i 1
или, в конечном виде,
(3) (4)
f 2[x]
K
K 1
Sk2[x] 2
K
Si[x]S j [x] .
X
X k 1
i 1 j i 1
(5)
Правую часть, стоящую под общей суммой выражения (5), можно записать в виде
K K 1 K
KK
Sk2[x] 2
Si[x]S j [x]
Si[x]S j [x] .
k 1 i 1 j i 1
i 1 j 1
(6)
На рис. 2 приведен пример произведений ненулевых спектральных элементов декомпозиции Sk сиг-
нала f [x] в соответствии с выражением (6). Заметим, что произведения спектральных элементов декомпо-
зиции Si S j имеют протяженность наименьшего значения min(i, j) и размерность квадрата амплитуды A2 . Извлекая корень из суммы произведений Si S j , выделенных по признаку равных протяженностей, получаем взаимно ортогональные формы спектральных элементов декомпозиции:
K
Si[x] Si2[x] 2 Si[x]S j [x] . j i 1
В силу ортогональности (выполняется равенство Парсеваля как обобщение теоремы Пифагора для n -мерного случая) обратное преобразование будет иметь вид
K
f [x] Si2[x] , ik
а эквивалент выражения (3) записывается в форме
(7)
X
f 2[x]
X
K k 1
Sk2
[
x]
(8)
для Si[x] и в форме
Rn
f 2[Rn]
Rn
K k 1
S
2 k
[
R
n
]
.
(9)
для пространства Rn . Отметим, что выражение (9) для преобразования по БПВ можно рассматривать как аналог уравнения Парсеваля для преобразования Фурье [5–7].
Рассмотрим в качестве примера переход к ортогональной форме Si[x] для сигнала f [x] на рис. 2.
Вначале производится расчет множества спектральных элементов декомпозиции S S5 , S3 , S2 , S1 в
соответствии с (1), подробное описание декомпозиции можно найти в [3, 4]. Далее формируются элемен-
ты произведений S S (упорядоченные пары), для которых, впрочем, выполняется условие коммутатив-
ности Si S j S j Si . Результат произведений отображен в центральной части рис. 2. Произведем запись
значений амплитуд спектральных элементов декомпозиции в ортогональной форме для 4-го отсчета (от-
счет производится слева, начиная с нуля по оси x , шкала отображена на графике f [x] ): S5[4] 22 2 ,
S3[4] 32 2 3 2 21 , S2[4] 12 2 1 2 2 1 3 11 , S1[4] 22 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 7 .
Результаты расчетов Si[x] представлены на рис. 2 (столбец справа). Очевидно, что амплитуды исходно-
го сигнала по значениям Si[x] могут быть восстановлены в соответствии с выражением (7). Далее рас-
считаем полную энергию E в соответствии с (8):
X
K k 1
Sk2 [ x]
54
3 21
2 111 28
133
,
вычисле-
ние по выражению (3) дает результат f 2[x] 02 22 52 62 82 22 02 02 133 . X
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
77
СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ n-МЕРНЫХ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ...
Рис. 2. Получение ортогональной формы декомпозиции по БПВ: f [x] – исходный сигнал с амплитудой A ; Sk – спектральный элемент декомпозиции, полученный
выделением всплесков протяженностью k Порядок вычислительной сложности алгоритма прямого преобразования по БПВ для одномерного
случая можно оценить как O N , где N – размер массива данных.
Для прямого преобразования по БПВ в n -мерном пространстве Rn сигнала f [Rn ] , ограниченного размерами пространства, в котором задан сигнал X1 X 2,..., X n , порядок вычислительной сложности
можно оценить как O n X1 X 2,..., X n .
Отметим, что все преобразование в соответствии с (1) и (2) может быть выполнено на кольце целых чисел, что обеспечивает высокое быстродействие и достаточно простую реализацию способа преобразования по БПВ полностью аппаратными средствами.
Заключение В работе показаны свойства преобразования по базису прямоугольных всплесков – линейность, сохранение энергии сигнала, ортогональная форма преобразования. Рассмотрен ряд примеров, выполнена оценка вычислительной сложности. Приведены выражения, готовые к непосредственному применению в практических вычислениях.
Литература 1. Чобану М. Многомерные многоскоростные системы обработки сигналов. – М.: Техносфера, 2009. –
480 с. 2. Шарк Г.Г. Применение вейвлетов для ЦОС. – М.: Техносфера, 2007. – 192 с. 3. Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Декомпозиция n-мерных цифровых сигналов по базису прямо-
угольных всплесков // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. – 2012. – № 4 (80). – С. 75–79.
78 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 5 (81)
И.Ю. Голубев, В.А. Богатырев
4. Заявка на изобретение. Способ построения спектра n-мерных неразделимых цифровых сигналов. Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. № 2011126856, от 29.06.2011.
5. Смит С. Цифровая обработка сигналов. Практическое руководство для инженеров и научных работников. – М.: Додека-XXI, 2011. – 720 с.
6. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. – 2-е изд. – М.: Техносфера, 2009. – 856 с. 7. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. – 2-е изд. Пер. с англ. – М.: Бином пресс, 2009.– 656 с.
Гришенцев Алексей Юрьевич
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, tigerpost@ya.ru
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
79
УДК 517.521: 004.046
СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ n-МЕРНЫХ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ ПО БАЗИСУ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ВСПЛЕСКОВ
А.Ю. Гришенцев
Рассмотрены свойства способа декомпозиции n-мерных цифровых сигналов по базису прямоугольных всплесков. Показано выполнение свойства линейного преобразования и условия сохранения энергии сигнала при переходе от пространственного к частотно-пространственному представлению. Сформулирован переход к ортогональной форме преобразования. Ключевые слова: декомпозиция n-мерных сигналов, спектральный анализ, цифровая обработка сигналов.
Введение
На сегодняшний день наиболее востребованными способами взаимного преобразования цифрового сигнала из частотной в пространственную область являются Фурье- и вейвлет-преобразование [1, 2]. Вейвлет-преобразование, также как и оконное преобразование Фурье, позволяет не только получить спектр сигнала, но и локализовать его в пространстве. В настоящей работе рассматриваются свойства способа преобразования по базису прямоугольных всплесков (БПВ) [3, 4], который также позволяет получить пространственную локализацию спектра цифрового сигнала, при этом достаточно просто реализуется с помощью программных или только аппаратных средств.
Свойства преобразования по базису прямоугольных всплесков
Основной задачей рассматриваемого способа декомпозиции по БПВ является получение спектра n-
мерного цифрового сигнала и его локализация в пространстве Rn , фактически отображение цифрового сигнала в фазовое пространство. Эта задача решается в ходе прямого преобразования (декомпозиции) путем последовательных итеративных вычислений в соответствии с выражением
fk 1 fk Sk ,
(1)
где k – номер спектрального элемента декомпозиции Sk , выделяемого по масштабному признаку из
сигнала fk . Значение индекса k соответствует протяженности взаимно перпендикулярных и параллель-
ных элементов спектральных компонент, fk – остаточный сигнал. Максимальное (исходное) значение k
равно K, Sk – спектральные элементы декомпозиции, отобранные по масштабному признаку. Сумма
всех полученных в ходе прямого преобразования спектральных элементов декомпозиции Sk является
результатом обратного преобразования (синтеза) и равна
K
fK Sk .
(2)
k 1
Таким образом, разложение n-мерного сигнала происходит не по выбранному заранее n-мерному
базису (базисной функции), а по взаимно параллельным и перпендикулярным элементам исходного сиг-
нала, которые образуют множество уникальных для данного сигнала n-мерных базисов, являющихся ча-
стью исходного сигнала. Основой для формирования таких базисов разложения n-мерного сигнала слу-
жит меандр-подобный сигнал, называемый в рамках рассматриваемого способа элементарным вспле-
ском. Под элементарным всплеском будем понимать дискретную структуру, имеющую размерность,
равную размерности исходного сигнала с отличной от нуля амплитудой. В направлении выделения эле-
ментарного всплеска его протяженность может иметь любое отличное от нуля значение, но не более раз-
мера исходного сигнала в данном направлении. По другим направлениям размеры элементарного вспле-
ска равны единице дискретизации соответствующих направлений [3, 4].
На рис. 1 показаны некоторые свойства конфигурации элементов декомпозиции на примере одно-
мерных сигналов. Приведены варианты четырех одномерных сигналов f x и некоторые возможные
способы декомпозиции. Стрелками обозначены переходы к корректным вариантам декомпозиции, перечеркнутые стрелки обозначают некорректные варианты декомпозиции (присутствуют на рис. 1, в, г) с последующим переходом к корректным. В ходе наблюдения за возможными вариантами декомпозиции и разделением их на корректные и некорректные можно сделать некоторые обобщения: (1) менее протяженные элементарные всплески конфигурационно могут быть расположены только пол-
ностью над непрерывным более протяженным, либо над нулевым (имеется в виду его отсутствие) всплеском; (2) соседние всплески не могут быть расположены неразрывно, между всплесками по оси положения в пространстве должен присутствовать разрыв, минимальная протяженность которого равна единице дискретизации сигнала в данном направлении.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
75
СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ n-МЕРНЫХ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ...
(3)
а
бв
г
Рис. 1. Допустимые и недопустимые варианты конфигурации элементов декомпозиции по БПВ: f [x] – исходные сигналы с амплитудой A ; Sk – спектральный элемент декомпозиции, полученный
выделением всплесков протяженностью k
Указанные свойства (1)–(2) являются следствием декомпозиции сигнала в соответствии с алгоритмом, рассмотренным в [3, 4], и могут быть обобщены на случай многомерного сигнала. Из свойства (2) можно вывести понятие периода T k 1 (или минимального периода) элементарного всплеска как минимально допустимого периода повторения элементарных всплесков заданной протяженности k . Покажем, что декомпозиция по БПВ является линейным преобразованием, т.е. обладает свойствами линейной системы – аддитивностью и однородностью [5].
Аддитивность декомпозиции по БПВ обусловлена тем, что суммирование сигналов f [x] g[x] в
пространственной области эквивалентно суммированию сигналов в пространственно-частотной области
F f [x] F g[x] , причем при суммировании сигналов в пространственно-частотной области необхо-
димо приводить результат суммирования к конечному виду в соответствии со свойствами (1)–(2). Адди-
тивность преобразования является следствием равенства суммы f [x] g[x] F 1 F f [x] F g[x]
для каждого конкретного значения x и одновременной инвариантности декомпозиции по БПВ. Одно-
родность декомпозиции по БПВ F m f [x] m F f [x] является следствием равенства
K
m Sk [x] m f [x] , где m – рациональное число. k 1 Для n-мерного пространства Rn можно записать свойства линейности преобразования по БПВ:
аддитивность – f [Rn ] g[Rn ] F 1 F f [Rn ] F g[Rn ] ,
K
однородность – m Sk [Rn ] m f [Rn ] . k 1 Отметим, что декомпозиция по БПВ не является инвариантом относительно сдвига сигнала f [Rn ] ,
так как сдвиг исходного сигнала вызывает соответствующее смещение положения элементарных всплесков. При сдвиге сигнала f [Rn ] инвариантом является спектральная плотность p , рассчитываемая как
отношение суммы всех элементов каждого спектрального элемента декомпозиции Sk [Rn ] к числу всех дискретных элементов, в котором задана функция f [Rn ] . Покажем, что при преобразовании по БПВ не-
изменной остается энергия. В случае одномерного сигнала f [x] , заданного на интервале X , его энергия
может быть определена как
76 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 5 (81)
А.Ю. Гришенцев
E f 2[x] , X
из выражения (2) [1] следует, что
f
2[
x]
K
Sk
[
x]
2
.
k 1
Раскрывая выражение (4) как полиномиальный многочлен второй степени, получаем
K
Sk
[
x]
2
K K 1
Sk2[x] 2
K
Si[x]S j [x] ,
k 1
k 1
i 1 j i 1
или, в конечном виде,
(3) (4)
f 2[x]
K
K 1
Sk2[x] 2
K
Si[x]S j [x] .
X
X k 1
i 1 j i 1
(5)
Правую часть, стоящую под общей суммой выражения (5), можно записать в виде
K K 1 K
KK
Sk2[x] 2
Si[x]S j [x]
Si[x]S j [x] .
k 1 i 1 j i 1
i 1 j 1
(6)
На рис. 2 приведен пример произведений ненулевых спектральных элементов декомпозиции Sk сиг-
нала f [x] в соответствии с выражением (6). Заметим, что произведения спектральных элементов декомпо-
зиции Si S j имеют протяженность наименьшего значения min(i, j) и размерность квадрата амплитуды A2 . Извлекая корень из суммы произведений Si S j , выделенных по признаку равных протяженностей, получаем взаимно ортогональные формы спектральных элементов декомпозиции:
K
Si[x] Si2[x] 2 Si[x]S j [x] . j i 1
В силу ортогональности (выполняется равенство Парсеваля как обобщение теоремы Пифагора для n -мерного случая) обратное преобразование будет иметь вид
K
f [x] Si2[x] , ik
а эквивалент выражения (3) записывается в форме
(7)
X
f 2[x]
X
K k 1
Sk2
[
x]
(8)
для Si[x] и в форме
Rn
f 2[Rn]
Rn
K k 1
S
2 k
[
R
n
]
.
(9)
для пространства Rn . Отметим, что выражение (9) для преобразования по БПВ можно рассматривать как аналог уравнения Парсеваля для преобразования Фурье [5–7].
Рассмотрим в качестве примера переход к ортогональной форме Si[x] для сигнала f [x] на рис. 2.
Вначале производится расчет множества спектральных элементов декомпозиции S S5 , S3 , S2 , S1 в
соответствии с (1), подробное описание декомпозиции можно найти в [3, 4]. Далее формируются элемен-
ты произведений S S (упорядоченные пары), для которых, впрочем, выполняется условие коммутатив-
ности Si S j S j Si . Результат произведений отображен в центральной части рис. 2. Произведем запись
значений амплитуд спектральных элементов декомпозиции в ортогональной форме для 4-го отсчета (от-
счет производится слева, начиная с нуля по оси x , шкала отображена на графике f [x] ): S5[4] 22 2 ,
S3[4] 32 2 3 2 21 , S2[4] 12 2 1 2 2 1 3 11 , S1[4] 22 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 7 .
Результаты расчетов Si[x] представлены на рис. 2 (столбец справа). Очевидно, что амплитуды исходно-
го сигнала по значениям Si[x] могут быть восстановлены в соответствии с выражением (7). Далее рас-
считаем полную энергию E в соответствии с (8):
X
K k 1
Sk2 [ x]
54
3 21
2 111 28
133
,
вычисле-
ние по выражению (3) дает результат f 2[x] 02 22 52 62 82 22 02 02 133 . X
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
77
СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ n-МЕРНЫХ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ...
Рис. 2. Получение ортогональной формы декомпозиции по БПВ: f [x] – исходный сигнал с амплитудой A ; Sk – спектральный элемент декомпозиции, полученный
выделением всплесков протяженностью k Порядок вычислительной сложности алгоритма прямого преобразования по БПВ для одномерного
случая можно оценить как O N , где N – размер массива данных.
Для прямого преобразования по БПВ в n -мерном пространстве Rn сигнала f [Rn ] , ограниченного размерами пространства, в котором задан сигнал X1 X 2,..., X n , порядок вычислительной сложности
можно оценить как O n X1 X 2,..., X n .
Отметим, что все преобразование в соответствии с (1) и (2) может быть выполнено на кольце целых чисел, что обеспечивает высокое быстродействие и достаточно простую реализацию способа преобразования по БПВ полностью аппаратными средствами.
Заключение В работе показаны свойства преобразования по базису прямоугольных всплесков – линейность, сохранение энергии сигнала, ортогональная форма преобразования. Рассмотрен ряд примеров, выполнена оценка вычислительной сложности. Приведены выражения, готовые к непосредственному применению в практических вычислениях.
Литература 1. Чобану М. Многомерные многоскоростные системы обработки сигналов. – М.: Техносфера, 2009. –
480 с. 2. Шарк Г.Г. Применение вейвлетов для ЦОС. – М.: Техносфера, 2007. – 192 с. 3. Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Декомпозиция n-мерных цифровых сигналов по базису прямо-
угольных всплесков // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. – 2012. – № 4 (80). – С. 75–79.
78 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 5 (81)
И.Ю. Голубев, В.А. Богатырев
4. Заявка на изобретение. Способ построения спектра n-мерных неразделимых цифровых сигналов. Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. № 2011126856, от 29.06.2011.
5. Смит С. Цифровая обработка сигналов. Практическое руководство для инженеров и научных работников. – М.: Додека-XXI, 2011. – 720 с.
6. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. – 2-е изд. – М.: Техносфера, 2009. – 856 с. 7. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. – 2-е изд. Пер. с англ. – М.: Бином пресс, 2009.– 656 с.
Гришенцев Алексей Юрьевич
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, tigerpost@ya.ru
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
79