ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ БАТАРЕЙНЫХ ПРИЕМНИКОВ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА В НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ БАТАРЕЙНЫХ …
7 ТЕПЛОФИЗИКА И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ТЕПЛОТЕХНИКА
УДК 536.629.7
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ БАТАРЕЙНЫХ ПРИЕМНИКОВ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
В НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ
И.А. Сиваков
Приведены результаты эксперимента, показывающие возможность применения батарейного приемника теплового потока (датчик Геращенко) в нестационарной теплометрии с использованием метода параметрической идентификации модели теплопереноса в датчике. Ключевые слова: нестационарная теплометрия, приемники теплового потока, датчик Геращенко, обратная задача теплопроводности, параметрическая идентификация, фильтр Калмана, дифференциально-разностная модель.
Введение
В настоящее время разрабатываются и широко используются для прикладной теплометрии различного типа приемники тепловых потоков (ПТП), которые, как правило, представляют собой автономные, достаточно миниатюрные устройства с одномерным теплопереносом. Во многих практических важных случаях наибольший интерес представляют исследования переходных процессов в изучаемых объектах, когда измерения постоянных или переменных во времени плотностей тепловых потоков выполняются в нестационарных режимах работы ПТП. Таким образом, нестационарная теплометрия является одной из наиболее проблемных задач прикладной теплометрии при исследовании промышленных объектов и технологических процессов.
В настоящее время при исследовании процессов теплообмена для определения тепловых потоков используются два общих подхода. Первый, традиционный, состоит в расчете по простым, часто алгебраическим формулам, где основные проблемы заключаются в конструировании различных узлов прибора, чтобы эти формулы можно было применить. В основе метода лежит прямая градуировка ПТП, в ряде случаев – на специальных стендах, создание которых требует значительных усилий.
Второй подход, интенсивно развивающийся последние 30–40 лет, составляют методы и принципы решения обратных задач теплопроводности (ОЗТ) и различные алгоритмы оптимизации. Данный подход заключается в расчетном определении (восстановлении) плотности входящего в ПТП теплового потока по измеряемым температурам в отдельных точках ПТП. Такие задачи относятся к нестационарным граничным ОЗТ, а в аспекте измерительной техники – к косвенным методам измерений. Этот подход является прямо противоположным первому: при значительной простоте конструкции приходится обрабатывать большие объемы данных по специальным алгоритмам. С помощью решения ОЗТ можно определять температуры, которые по каким-либо причинам нельзя непосредственно измерить, глубину заделки термопар, начальное распределение температур и многое другое. В математической физике такие задачи называются некорректно поставленными и могут иметь неустойчивое решение, очень чувствительное к погрешностям измерения температур. Существуют различные методы решения обратных задач. Выбор наиболее универсального, помехозащищенного и вычислительно эффективного метода для определенного класса задач является достаточно сложной проблемой.
В работах Д.Ф. Симбирского, А.В. Олейника, Н.В. Пилипенко, Дж. Бека и др. предложено использовать рекуррентные (последовательные) методы параметрической идентификации, в частности, базирующиеся на модифицированном алгоритме цифрового фильтра Калмана (ФК). Изначально разработанные для использования в измерительных системах реального времени, данные методы доказали свою эффективность при решении ряда граничных задач для различных типов ПТП [1–4]. Для решения таких задач удобно использовать метод параметрической идентификации дифференциально-разностной модели (ДРМ) теплопереноса в исследуемом объекте с использованием рекуррентного цифрового ФК по искомым параметрам [3, 4]. Оценка возможностей такого подхода показала [3–6], что его применение позволяет получить приемлемые для практики результаты.
Исторически наибольшее распространение и популярность на территории Российской Федерации и СНГ получили малогабаритные градиентные батарейные ПТП, разработанные в начале 1970-х г.г. под руководством О.А. Геращенко и в дальнейшем развиваемые его последователями. Данный вид датчиков серийно выпускается на многих предприятиях и находит широкое применение в прикладной стационарной теплометрии. Тепломеры Геращенко обладают рядом положительных особенностей, однако, в силу своей тепловой инерционности они ограничены в части измерения быстро меняющихся или постоянных тепловых потоков, но в динамических условиях (при ограничениях на время единичного измерения).
134
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
И.А. Сиваков
В настоящей работе предлагается метод восстановления нестационарного теплового потока, на основе параметрической идентификации модели теплопереноса в батарейном ПТП и результаты его экспериментального исследования. Кратко остановимся на способе получения оптимальных оценок теплового потока.
Параметрическая идентификация процесса теплопереноса
Как известно, динамика тепловых процессов в общем случае описывается одним или несколькими параболическими уравнениями в частных производных с соответствующими граничными условиями и представляется в виде температурного поля в некоторой многосвязной области. Так как температурное поле обычно кусочно-непрерывно (имеет конечное число разрывов), то в каждый момент времени с не-
которой погрешностью оно может быть описано температурами счетного числа точек n n() , зави-
сящего от (при 0, n ) [3]. В этом и заключается смысл дифференциально-разностной аппрок-
симации. Для получения оптимальных оценок теплового потока вначале рассматривается прямая задача те-
плопроводности, метод решения которой основан на использовании ДРМ, которые представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно вектора темпера-
турного состояния
T
ti
n i 1
,
где
ti
– температуры элементарных участков (блоков размером
), отнесенные к их центрам (для граничных блоков – к их торцевым поверхностям). ДРМ позволяет
учесть практически все особенности тепловых схем для ПТП различных видов и в общем случае имеет
вид [1, 2, 5, 6]
d d
T
FT
GU
,
где F – n n -матрица обратных связей; G – n 2 -матрица управления. Вектор управления U , в
частности, для условий 2-го рода на торцах ПТП, имеет вид U q1 q2 .
Тепловая схема, подробный вывод и топология ДРМ батарейного ПТП, а также структура матриц управления и обратных связей приведены в работе [7].
В ПТП подлежат измерению либо температуры в отдельных точках, либо их разности, либо сред-
необъемные температуры, что отражено в m n -матрице измерений H универсальной модели измере-
ний Yk HTk εk ,
где Yk – m 1 -вектор измерений; εk – m 1 -вектор случайных погрешностей.
В дальнейшем решается ОЗТ. При этом принимается допущение о том, что известен характер изменения q() , который позволяет с требуемой точностью выполнить кусочно-линейную аппроксимацию
на всем интервале его изменения 0, N . Искомый тепловой поток задается в виде [3, 5]:
r
q() q j j () , j 1
где j () – система базисных функций времени, а q j – априори неизвестные коэффициенты, которые объединяются в (r 1) -вектор искомых параметров
Q q1 q2 qr .
В качестве базисной функции используются B-сплайны 1-го порядка. При этом интервал 0, N
разбивается на одинаковые участки сплайн-аппроксимации z z 1, 2,3,, r 1 ; каждый из них вклю-
чает l моментов времени измерений Yk , т.е. имеет протяженность z l . Тогда на каждом участке
аппроксимация q имеет вид qz qa,z Spz1 qb,z Spz11 , где qa,z и qb,z – значения q на левой и правой границах участка соответственно; Spz1 и Spz11 z 1, 2,3,, r 1 – В-сплайны.
Величины qa,z и qb,z на каждом z-ом участке объединяются в 2 1 -вектор искомых параметров Qz qaz qbz . Благодаря сквозной аппроксимации B-сплайнами на всем интервале измерения
0, N на границах выполняются равенства qa,z1 qb,z ; qa,z2 qb,z1 ; … . По мере поступления измерений Yk вычисления перемещаются от участка z 1 к участку z 2 и т. д., тем самым последовательно восстанавливается весь набор искомых значений теплового потока q1, q2 ,, qr .
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
135
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ БАТАРЕЙНЫХ …
Такую аппроксимацию q называют параметризацией ОЗТ. Тогда задача восстановления q
сводится к параметрической идентификации ДРМ теплопереноса в ПТП – последовательному получению оптимальных оценок Qˆ z,l вектора искомых параметров Qz на каждом участке z путем минимиза-
ции по Qz квадратичной функции невязки
l
Qz
Yk Yˆ k Qz T R1 Yk Yˆ k Qz ,
k 1
где Yˆ k Qz – аналог вектора измерений Yk , рассчитываемый по ДРМ теплопереноса в ПТП для различ-
ных значений искомых параметров Qz , который будем называть модельным вектором измерений; R –
ковариационная m m -матрица вектора εk случайных погрешностей в измерениях температур ПТП.
С учетом требований к теплометрическим измерительным системам реального времени при выбо-
ре алгоритма минимизации функции невязки Qz предпочтение отдано рекуррентным алгоритмам, в
частности, алгоритмам цифрового ФК [3, 4]. Они отличаются высокой вычислительной эффективностью
и изначально предназначены для работы в измерительно-вычислительных системах реального времени.
Для получения оптимальных оценок Qk1 вектора Q в (k 1) -й момент времени ФК по искомым пара-
метрам имеет вид [2, 4–6]
Qk 1 Qˆ k Kk 1[Yk 1 Yˆ k 1 (Qˆ k )] ,
Kk 1
Pk
H
k
(
H
k
Pk
H
k
R)1 ,
Pk 1 Pk Kk 1H k Pk ,
где Pk , Pk1 – ковариационные матрицы ошибок оценок параметров для моментов времени k k и
k1 (k 1) ; Hk – матрица коэффициентов чувствительности измеряемой температуры ПТП к изме-
нению искомых параметров в момент времени k1 ; Kk – весовая матрица.
В качестве иллюстрации возможностей предлагаемого метода на рис. 1 представлены результаты
имитационного моделирования восстановления теплового потока для батарейного ПТП при различных
внешних воздействиях (различных законах изменения теплового потока). Параметры датчика приведены
в таблице.
2 3
2 11
аб Рис. 1. Результаты имитационного моделирования восстановления теплового потока для батарейного ПТП при различных законах изменения теплового потока: импульсное воздействие (а); переодический закон (б). Обозначения: 1 – измеренная разность температуры; 2 – восстановленный тепловой поток;
3 – истинный тепловой поток
Толщина 103 , м 1 0,1 2 1, 3 3 0,1
Теплопроводность , Вт/(мК)
1 0, 2 2 0, 7 3 0, 2
Температуропроводность а 106 , м2/с а1 0,11 а2 0, 22 а3 0,11
Таблица. Основные характеристики батарейного ПТП
Как показывают результаты имитационного моделирования, предложенный метод восстановления теплового потока путем параметрической идентификации позволяет с высокой точностью восстанавливать нестационарный тепловой поток с использованием батарейных ПТП.
136
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
И.А. Сиваков
Экспериментальная проверка
Для дальнейшей проверки возможности применения батарейных ПТП в нестационарной теплометрии проведена серия экспериментов на установке для задания нестационарного теплового потока и определения динамических характеристик ПТП.
В качестве источника теплового потока используется галогенная лампа типа КГЛ-100-12V с оптической системой в виде эллиптического отражателя. Использование эллиптического отражателя позволяет собрать во втором его фокусе значительно большую часть излучаемой лампой мощности по сравнению с линзовыми конденсорами. Между оптической системой и испытуемым датчиком располагается диск модулятора, который служит для задания нестационарных тепловых потоков различной частоты. Сигнал ПТП регистрируется с помощью компьютерного цифрового осциллографа фирмы Velleman типа PCS500.
Величина теплового потока, излучаемого лампой, определена экспериментально и составляет q0=6·104 Вт/м2. Так как форма модуляции близка к синусоидальной, можно считать, что при включенном
модуляторе действующий тепловой поток определяется соотношением q() 0,5q0 1 sin , где q0 –
среднее значение теплового потока; – частота изменения потока; – время. Используемый в опыте датчик, имеющий постоянную времени порядка 5 с, подвергался воздейст-
вию модулированного лучистого потока при различных частотах модуляции. Между экспериментами делалась пауза, достаточная для остывания датчика и конструктивных элементов установки. Полученные экспериментальные результаты сохранялись на компьютере, после чего производилась их обработка в программном комплексе «Heat Flow», разработанном на кафедре компьютерной теплофизики и энергофизического мониторинга СПб НИУ ИТМО. Обработка осуществлялась в два этапа: фильтрация и сглаживание зашумленного входного сигнала; восстановление плотности теплового потока по результатам термометрии.
Современное вычислительное оборудование позволяет проводить обе эти операции в реальном времени. На рис. 2 приведены результаты эксперимента по восстановлению плотности теплового потока, изменяющегося с частотой 2 Гц. Границы применимости предложенного метода для данного датчика (постоянная времени 5 с) – нестационарные тепловые потоки с частотой до 2–2,5 Гц.
аб
Рис. 2. Результат восстановления плотности теплового потока методом параметрической идентификации по результатам экспериментальной термометрии (после предварительной фильтрации) с использованием
батарейного ПТП при воздействии нестационарного теплового потока с частотой 2 Гц: измеренный перепад температур по толщине датчика (а); восстановленный тепловой поток (б)
Заключение
Представлен и обоснован метод решения граничной обратной задачи теплопроводности – восстановления плотности теплового потока по изменению перепада температур по толщине батарейного ПТП. Для решения задачи использован метод параметрической идентификации дифференциально-разностной модели теплопереноса в ПТП.
В качестве иллюстрации возможностей предложенного метода приведены результаты имитационного моделирования по восстановлению плотности теплового потока при различных видах воздействия с использованием модели батарейного ПТП.
Проведены экспериментальные исследования батарейного датчика, которые показали возможность его использования для целей нестационарной теплометрии и позволили установить границы применимости предложенного метода. Для исследованного батарейного датчика с постоянной времени 5 с максимальная частота изменения плотности теплового потока составляет 2–2,5 Гц. При увеличении частоты изменения плотности теплового потока скомпенсировать высокую инерционность рассматриваемого датчика расчетными методами не представляется возможным.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
137
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ БАТАРЕЙНЫХ …
Полученные результаты показывают, что использование метода параметрической идентификации при восстановлении плотности теплового потока позволяет существенно расширить возможности некоторых видов датчиков, в том числе дает возможность использования стационарных датчиков для целей нестационарной теплометрии.
Литература
1. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии. Ч. 1 // Изв. вузов. Приборостроение. – 2003. – Т. 46. – № 8. – С. 50–54.
2. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии. Ч. 2 // Изв. вузов. Приборостроение. – 2003. – Т. 46. – № 10. – С. 67–71.
3. Пилипенко Н.В. Нестационарная теплометрия на основе параметрической идентификации дифференциально-разностных моделей теплопереноса в одномерных приемниках: Автореф. дис. ... докт. техн. наук. – СПб, 2008. – 35 с.
4. Кириллов К.В., Пилипенко Н.В. Алгоритмы программ для решения прямых и обратных задач теплопроводности при использовании дифференциально-разностных моделей // Научно-технический вестник СПб ГУИТМО. – 2010. – № 5 (69). – С. 106–110.
5. Пилипенко Н.В., Сиваков И.А. Метод определения нестационарного теплового потока и теплопроводности путем параметрической идентификации // Измерительная техника. – 2011. – № 3. – С. 48–51.
6. Pilipenko N.V., Sivakov I.A. A method of determining nonstationary heat flux and heat conduction using parametric identification // Measurement Techniques. – 2011. – V. 54. – № 3. – P. 318–323.
7. Пилипенко Н.В., Лазуренко Н.В., Лебедев П.В. Параметрическая идентификация нестационарных тепловых потоков с помощью тепломера типа «вспомогательная стенка» // Изв. вузов. Приборостроение. – 2005. – Т. 48. – № 9. – С. 47–51.
Сиваков Иван Анатольевич
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, i.a.sivakov@gmail.com
138
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
7 ТЕПЛОФИЗИКА И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ТЕПЛОТЕХНИКА
УДК 536.629.7
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ БАТАРЕЙНЫХ ПРИЕМНИКОВ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
В НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ
И.А. Сиваков
Приведены результаты эксперимента, показывающие возможность применения батарейного приемника теплового потока (датчик Геращенко) в нестационарной теплометрии с использованием метода параметрической идентификации модели теплопереноса в датчике. Ключевые слова: нестационарная теплометрия, приемники теплового потока, датчик Геращенко, обратная задача теплопроводности, параметрическая идентификация, фильтр Калмана, дифференциально-разностная модель.
Введение
В настоящее время разрабатываются и широко используются для прикладной теплометрии различного типа приемники тепловых потоков (ПТП), которые, как правило, представляют собой автономные, достаточно миниатюрные устройства с одномерным теплопереносом. Во многих практических важных случаях наибольший интерес представляют исследования переходных процессов в изучаемых объектах, когда измерения постоянных или переменных во времени плотностей тепловых потоков выполняются в нестационарных режимах работы ПТП. Таким образом, нестационарная теплометрия является одной из наиболее проблемных задач прикладной теплометрии при исследовании промышленных объектов и технологических процессов.
В настоящее время при исследовании процессов теплообмена для определения тепловых потоков используются два общих подхода. Первый, традиционный, состоит в расчете по простым, часто алгебраическим формулам, где основные проблемы заключаются в конструировании различных узлов прибора, чтобы эти формулы можно было применить. В основе метода лежит прямая градуировка ПТП, в ряде случаев – на специальных стендах, создание которых требует значительных усилий.
Второй подход, интенсивно развивающийся последние 30–40 лет, составляют методы и принципы решения обратных задач теплопроводности (ОЗТ) и различные алгоритмы оптимизации. Данный подход заключается в расчетном определении (восстановлении) плотности входящего в ПТП теплового потока по измеряемым температурам в отдельных точках ПТП. Такие задачи относятся к нестационарным граничным ОЗТ, а в аспекте измерительной техники – к косвенным методам измерений. Этот подход является прямо противоположным первому: при значительной простоте конструкции приходится обрабатывать большие объемы данных по специальным алгоритмам. С помощью решения ОЗТ можно определять температуры, которые по каким-либо причинам нельзя непосредственно измерить, глубину заделки термопар, начальное распределение температур и многое другое. В математической физике такие задачи называются некорректно поставленными и могут иметь неустойчивое решение, очень чувствительное к погрешностям измерения температур. Существуют различные методы решения обратных задач. Выбор наиболее универсального, помехозащищенного и вычислительно эффективного метода для определенного класса задач является достаточно сложной проблемой.
В работах Д.Ф. Симбирского, А.В. Олейника, Н.В. Пилипенко, Дж. Бека и др. предложено использовать рекуррентные (последовательные) методы параметрической идентификации, в частности, базирующиеся на модифицированном алгоритме цифрового фильтра Калмана (ФК). Изначально разработанные для использования в измерительных системах реального времени, данные методы доказали свою эффективность при решении ряда граничных задач для различных типов ПТП [1–4]. Для решения таких задач удобно использовать метод параметрической идентификации дифференциально-разностной модели (ДРМ) теплопереноса в исследуемом объекте с использованием рекуррентного цифрового ФК по искомым параметрам [3, 4]. Оценка возможностей такого подхода показала [3–6], что его применение позволяет получить приемлемые для практики результаты.
Исторически наибольшее распространение и популярность на территории Российской Федерации и СНГ получили малогабаритные градиентные батарейные ПТП, разработанные в начале 1970-х г.г. под руководством О.А. Геращенко и в дальнейшем развиваемые его последователями. Данный вид датчиков серийно выпускается на многих предприятиях и находит широкое применение в прикладной стационарной теплометрии. Тепломеры Геращенко обладают рядом положительных особенностей, однако, в силу своей тепловой инерционности они ограничены в части измерения быстро меняющихся или постоянных тепловых потоков, но в динамических условиях (при ограничениях на время единичного измерения).
134
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
И.А. Сиваков
В настоящей работе предлагается метод восстановления нестационарного теплового потока, на основе параметрической идентификации модели теплопереноса в батарейном ПТП и результаты его экспериментального исследования. Кратко остановимся на способе получения оптимальных оценок теплового потока.
Параметрическая идентификация процесса теплопереноса
Как известно, динамика тепловых процессов в общем случае описывается одним или несколькими параболическими уравнениями в частных производных с соответствующими граничными условиями и представляется в виде температурного поля в некоторой многосвязной области. Так как температурное поле обычно кусочно-непрерывно (имеет конечное число разрывов), то в каждый момент времени с не-
которой погрешностью оно может быть описано температурами счетного числа точек n n() , зави-
сящего от (при 0, n ) [3]. В этом и заключается смысл дифференциально-разностной аппрок-
симации. Для получения оптимальных оценок теплового потока вначале рассматривается прямая задача те-
плопроводности, метод решения которой основан на использовании ДРМ, которые представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно вектора темпера-
турного состояния
T
ti
n i 1
,
где
ti
– температуры элементарных участков (блоков размером
), отнесенные к их центрам (для граничных блоков – к их торцевым поверхностям). ДРМ позволяет
учесть практически все особенности тепловых схем для ПТП различных видов и в общем случае имеет
вид [1, 2, 5, 6]
d d
T
FT
GU
,
где F – n n -матрица обратных связей; G – n 2 -матрица управления. Вектор управления U , в
частности, для условий 2-го рода на торцах ПТП, имеет вид U q1 q2 .
Тепловая схема, подробный вывод и топология ДРМ батарейного ПТП, а также структура матриц управления и обратных связей приведены в работе [7].
В ПТП подлежат измерению либо температуры в отдельных точках, либо их разности, либо сред-
необъемные температуры, что отражено в m n -матрице измерений H универсальной модели измере-
ний Yk HTk εk ,
где Yk – m 1 -вектор измерений; εk – m 1 -вектор случайных погрешностей.
В дальнейшем решается ОЗТ. При этом принимается допущение о том, что известен характер изменения q() , который позволяет с требуемой точностью выполнить кусочно-линейную аппроксимацию
на всем интервале его изменения 0, N . Искомый тепловой поток задается в виде [3, 5]:
r
q() q j j () , j 1
где j () – система базисных функций времени, а q j – априори неизвестные коэффициенты, которые объединяются в (r 1) -вектор искомых параметров
Q q1 q2 qr .
В качестве базисной функции используются B-сплайны 1-го порядка. При этом интервал 0, N
разбивается на одинаковые участки сплайн-аппроксимации z z 1, 2,3,, r 1 ; каждый из них вклю-
чает l моментов времени измерений Yk , т.е. имеет протяженность z l . Тогда на каждом участке
аппроксимация q имеет вид qz qa,z Spz1 qb,z Spz11 , где qa,z и qb,z – значения q на левой и правой границах участка соответственно; Spz1 и Spz11 z 1, 2,3,, r 1 – В-сплайны.
Величины qa,z и qb,z на каждом z-ом участке объединяются в 2 1 -вектор искомых параметров Qz qaz qbz . Благодаря сквозной аппроксимации B-сплайнами на всем интервале измерения
0, N на границах выполняются равенства qa,z1 qb,z ; qa,z2 qb,z1 ; … . По мере поступления измерений Yk вычисления перемещаются от участка z 1 к участку z 2 и т. д., тем самым последовательно восстанавливается весь набор искомых значений теплового потока q1, q2 ,, qr .
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
135
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ БАТАРЕЙНЫХ …
Такую аппроксимацию q называют параметризацией ОЗТ. Тогда задача восстановления q
сводится к параметрической идентификации ДРМ теплопереноса в ПТП – последовательному получению оптимальных оценок Qˆ z,l вектора искомых параметров Qz на каждом участке z путем минимиза-
ции по Qz квадратичной функции невязки
l
Qz
Yk Yˆ k Qz T R1 Yk Yˆ k Qz ,
k 1
где Yˆ k Qz – аналог вектора измерений Yk , рассчитываемый по ДРМ теплопереноса в ПТП для различ-
ных значений искомых параметров Qz , который будем называть модельным вектором измерений; R –
ковариационная m m -матрица вектора εk случайных погрешностей в измерениях температур ПТП.
С учетом требований к теплометрическим измерительным системам реального времени при выбо-
ре алгоритма минимизации функции невязки Qz предпочтение отдано рекуррентным алгоритмам, в
частности, алгоритмам цифрового ФК [3, 4]. Они отличаются высокой вычислительной эффективностью
и изначально предназначены для работы в измерительно-вычислительных системах реального времени.
Для получения оптимальных оценок Qk1 вектора Q в (k 1) -й момент времени ФК по искомым пара-
метрам имеет вид [2, 4–6]
Qk 1 Qˆ k Kk 1[Yk 1 Yˆ k 1 (Qˆ k )] ,
Kk 1
Pk
H
k
(
H
k
Pk
H
k
R)1 ,
Pk 1 Pk Kk 1H k Pk ,
где Pk , Pk1 – ковариационные матрицы ошибок оценок параметров для моментов времени k k и
k1 (k 1) ; Hk – матрица коэффициентов чувствительности измеряемой температуры ПТП к изме-
нению искомых параметров в момент времени k1 ; Kk – весовая матрица.
В качестве иллюстрации возможностей предлагаемого метода на рис. 1 представлены результаты
имитационного моделирования восстановления теплового потока для батарейного ПТП при различных
внешних воздействиях (различных законах изменения теплового потока). Параметры датчика приведены
в таблице.
2 3
2 11
аб Рис. 1. Результаты имитационного моделирования восстановления теплового потока для батарейного ПТП при различных законах изменения теплового потока: импульсное воздействие (а); переодический закон (б). Обозначения: 1 – измеренная разность температуры; 2 – восстановленный тепловой поток;
3 – истинный тепловой поток
Толщина 103 , м 1 0,1 2 1, 3 3 0,1
Теплопроводность , Вт/(мК)
1 0, 2 2 0, 7 3 0, 2
Температуропроводность а 106 , м2/с а1 0,11 а2 0, 22 а3 0,11
Таблица. Основные характеристики батарейного ПТП
Как показывают результаты имитационного моделирования, предложенный метод восстановления теплового потока путем параметрической идентификации позволяет с высокой точностью восстанавливать нестационарный тепловой поток с использованием батарейных ПТП.
136
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
И.А. Сиваков
Экспериментальная проверка
Для дальнейшей проверки возможности применения батарейных ПТП в нестационарной теплометрии проведена серия экспериментов на установке для задания нестационарного теплового потока и определения динамических характеристик ПТП.
В качестве источника теплового потока используется галогенная лампа типа КГЛ-100-12V с оптической системой в виде эллиптического отражателя. Использование эллиптического отражателя позволяет собрать во втором его фокусе значительно большую часть излучаемой лампой мощности по сравнению с линзовыми конденсорами. Между оптической системой и испытуемым датчиком располагается диск модулятора, который служит для задания нестационарных тепловых потоков различной частоты. Сигнал ПТП регистрируется с помощью компьютерного цифрового осциллографа фирмы Velleman типа PCS500.
Величина теплового потока, излучаемого лампой, определена экспериментально и составляет q0=6·104 Вт/м2. Так как форма модуляции близка к синусоидальной, можно считать, что при включенном
модуляторе действующий тепловой поток определяется соотношением q() 0,5q0 1 sin , где q0 –
среднее значение теплового потока; – частота изменения потока; – время. Используемый в опыте датчик, имеющий постоянную времени порядка 5 с, подвергался воздейст-
вию модулированного лучистого потока при различных частотах модуляции. Между экспериментами делалась пауза, достаточная для остывания датчика и конструктивных элементов установки. Полученные экспериментальные результаты сохранялись на компьютере, после чего производилась их обработка в программном комплексе «Heat Flow», разработанном на кафедре компьютерной теплофизики и энергофизического мониторинга СПб НИУ ИТМО. Обработка осуществлялась в два этапа: фильтрация и сглаживание зашумленного входного сигнала; восстановление плотности теплового потока по результатам термометрии.
Современное вычислительное оборудование позволяет проводить обе эти операции в реальном времени. На рис. 2 приведены результаты эксперимента по восстановлению плотности теплового потока, изменяющегося с частотой 2 Гц. Границы применимости предложенного метода для данного датчика (постоянная времени 5 с) – нестационарные тепловые потоки с частотой до 2–2,5 Гц.
аб
Рис. 2. Результат восстановления плотности теплового потока методом параметрической идентификации по результатам экспериментальной термометрии (после предварительной фильтрации) с использованием
батарейного ПТП при воздействии нестационарного теплового потока с частотой 2 Гц: измеренный перепад температур по толщине датчика (а); восстановленный тепловой поток (б)
Заключение
Представлен и обоснован метод решения граничной обратной задачи теплопроводности – восстановления плотности теплового потока по изменению перепада температур по толщине батарейного ПТП. Для решения задачи использован метод параметрической идентификации дифференциально-разностной модели теплопереноса в ПТП.
В качестве иллюстрации возможностей предложенного метода приведены результаты имитационного моделирования по восстановлению плотности теплового потока при различных видах воздействия с использованием модели батарейного ПТП.
Проведены экспериментальные исследования батарейного датчика, которые показали возможность его использования для целей нестационарной теплометрии и позволили установить границы применимости предложенного метода. Для исследованного батарейного датчика с постоянной времени 5 с максимальная частота изменения плотности теплового потока составляет 2–2,5 Гц. При увеличении частоты изменения плотности теплового потока скомпенсировать высокую инерционность рассматриваемого датчика расчетными методами не представляется возможным.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
137
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ БАТАРЕЙНЫХ …
Полученные результаты показывают, что использование метода параметрической идентификации при восстановлении плотности теплового потока позволяет существенно расширить возможности некоторых видов датчиков, в том числе дает возможность использования стационарных датчиков для целей нестационарной теплометрии.
Литература
1. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии. Ч. 1 // Изв. вузов. Приборостроение. – 2003. – Т. 46. – № 8. – С. 50–54.
2. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии. Ч. 2 // Изв. вузов. Приборостроение. – 2003. – Т. 46. – № 10. – С. 67–71.
3. Пилипенко Н.В. Нестационарная теплометрия на основе параметрической идентификации дифференциально-разностных моделей теплопереноса в одномерных приемниках: Автореф. дис. ... докт. техн. наук. – СПб, 2008. – 35 с.
4. Кириллов К.В., Пилипенко Н.В. Алгоритмы программ для решения прямых и обратных задач теплопроводности при использовании дифференциально-разностных моделей // Научно-технический вестник СПб ГУИТМО. – 2010. – № 5 (69). – С. 106–110.
5. Пилипенко Н.В., Сиваков И.А. Метод определения нестационарного теплового потока и теплопроводности путем параметрической идентификации // Измерительная техника. – 2011. – № 3. – С. 48–51.
6. Pilipenko N.V., Sivakov I.A. A method of determining nonstationary heat flux and heat conduction using parametric identification // Measurement Techniques. – 2011. – V. 54. – № 3. – P. 318–323.
7. Пилипенко Н.В., Лазуренко Н.В., Лебедев П.В. Параметрическая идентификация нестационарных тепловых потоков с помощью тепломера типа «вспомогательная стенка» // Изв. вузов. Приборостроение. – 2005. – Т. 48. – № 9. – С. 47–51.
Сиваков Иван Анатольевич
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, i.a.sivakov@gmail.com
138
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)