ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДА СПРЯМЛЕННЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК В ЗАДАЧАХ СГЛАЖИВАНИЯ
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 629.1 ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДА СПРЯМЛЕННЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК В ЗАДАЧАХ СГЛАЖИВАНИЯ А.В. Лопарев, О.А. Степанов, О.М. Яшникова
Предлагается обобщение приближенного метода спрямленных логарифмических характеристик в случае решения стационарных задач сглаживания. Ключевые слова: фильтрация, сглаживание, метод логарифмических характеристик, стационарные процессы.
При решении задач обработки измерительной информации широкое применение получили алгоритмы, разрабатываемые в рамках калмановского подхода. Вместе с тем для задач обработки стационарных сигналов сохраняет свою актуальность винеровский подход. Суть подхода заключается в нахождении передаточной (или весовой) функции оптимального фильтра, минимизирующего среднеквадратическую ошибку оценивания в установившемся режиме. Одно из достоинств винеровского подхода заключается в том, что для построения алгоритмов разработаны различные упрощенные методы. В частности, применительно к навигационным приложениям наибольшее применение получил так называемый метод спрямленных логарифмических характеристик [1, 2]. В работе предлагается обобщение этого метода для решения задач сглаживания.
Рассмотрим классическую задачу оптимального оценивания полезного сигнала на фоне случайных ошибок измерений. Пусть скалярные измерения
y(t) x(t) n(t)
представляют собой аддитивную смесь полезного сигнала x(t) и помехи n(t), которые полагаются центриро-
ванными, некоррелированными и стационарными процессами c заданными спектральными плотностями
Sx () , Sn () . Рассмотрим задачу сглаживания, особенность которой заключается в том, что при получе-
нии оценки в текущий момент времени могут быть использованы не только прошлые, как в случае зада-
чи фильтрации, но и будущие (по отношению к этому моменту времени) измерения. В этом случае выра-
жение для передаточной функции оптимального сглаживающего фильтра будет определяться как [1]
W0s
(
j)
Sx
Sx () () Sn
()
,
(1)
а для спектральной плотности ошибки оптимальной нереализуемой оценки и ее дисперсии будут в этой
ситуации справедливы следующие выражения:
Sε ( j)
Sx ()Sn () Sx () Sn ()
,
D0s
1 2
Sх ()Sn () Sх () Sn ()
d
.
(2)
Метод спрямленных логарифмических характеристик основан на предположении о том, что свой-
ства фильтра определяются характером поведения спектральных плотностей полезного сигнала и помехи
в точке их пересечения. Для приближенного их описания в логарифмическом масштабе используются
аппроксимирующие прямые, соответствующие так называемым условным спектральным плотностям для
полезного сигнала x(t) и помехи n(t), определяемым в виде
Sx
()
a2
2
p
,
Sn ()
a2
2q
.
Используя
аналогичный подход к задачам сглаживания, нетрудно получить общие решения для различных комби-
наций простейших аппроксимаций спектральных плотностей сигнала и помехи. В таблице приведены
выражения для параметров Cif и Cis , характеризующих дисперсии установившихся ошибок фильтрации
f 2 Cif a2 и сглаживания s 2 Cisa2 , и величина, позволяющая оценить потенциальный выиг-
рыш в точности в виде отношения среднеквадратических ошибок оценивания при решении задач фильт-
рации и сглаживания f s Cif Cis .
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
151
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Sx ()
Sn ()
Cif
Cis Cif Cis
a
2
2
n
a
2
2n
2
a2
2n4
a2
2n6
a2
a
2
2
a
2
4
a
2
6
1
sin
2n
ctg2 2n
sin
3 2n
cos2
n
4sin4 sin 5 2n 2n
cos2
n
ctg2
3 2n
4sin4 sin 7 2n 2n
1
2n
sin
2n
1
2n
sin
3 2n
1
2n
sin
5 2n
1
2n
sin
7 2n
2n
2n ctg2 2n
n cos2 n
2sin4 2n
n
cos2
n
ctg2
3 2n
2sin4 2n
Таблица. Показатели точности фильтрации и сглаживания в установившемся режиме
Проиллюстрируем, как получить представленные в таблице выражения для спектральных плотно-
стей полезного сигнала и помехи, определяемых как
Sx
()
a2
4
,
Sn
()
a2
,
(3)
что соответствует первой строке таблицы при n 2 . Подставляя (3) в выражения (1) и (2) нетрудно убе-
диться, что выражения для передаточной функции оптимального сглаживающего фильтра, спектральной
плотности ошибки оптимальной нереализуемой оценки и ее дисперсии примут следующий вид:
W0s ()
4 4 4
,
Ss ()
a24 4 4
,
W0s ()
1 22
a2 .
В этом случае среднеквадратическая ошибка оценивания для задачи сглаживания в два раза мень-
ше ошибки фильтрации Cif Cis 2n 2 . Таким образом, в тех случаях, когда нахождение оценки в
реальном времени не является обязательным условием, целесообразно вместо задачи фильтрации решать
задачу сглаживания.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ по проекту 12-08-00835-а.
1. Челпанов И.Б., Несенюк Л.П., Брагинский М.В. Расчет характеристик навигационных гироприборов. – Л.: Судостроение, 1978. – 264 с.
2. Лопарев А.В., Степанов О.А., Челпанов И.Б. Использование частотного подхода при синтезе нестационарных алгоритмов обработки навигационной информации // Гироскопия и навигация. – 2011. – № 3. – С. 115–132.
Лопарев Алексей Валерьевич – ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», кандидат технических наук, доцент, начальник сектора, loparev@mail15.com Степанов Олег Андреевич – ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», доктор технических наук, начальник научно-образовательного центра, soalax@mail.ru Яшникова Ольга Михайловна – ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», аспирант, olga_evstifeeva@mail.ru
152
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
УДК 629.1 ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДА СПРЯМЛЕННЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК В ЗАДАЧАХ СГЛАЖИВАНИЯ А.В. Лопарев, О.А. Степанов, О.М. Яшникова
Предлагается обобщение приближенного метода спрямленных логарифмических характеристик в случае решения стационарных задач сглаживания. Ключевые слова: фильтрация, сглаживание, метод логарифмических характеристик, стационарные процессы.
При решении задач обработки измерительной информации широкое применение получили алгоритмы, разрабатываемые в рамках калмановского подхода. Вместе с тем для задач обработки стационарных сигналов сохраняет свою актуальность винеровский подход. Суть подхода заключается в нахождении передаточной (или весовой) функции оптимального фильтра, минимизирующего среднеквадратическую ошибку оценивания в установившемся режиме. Одно из достоинств винеровского подхода заключается в том, что для построения алгоритмов разработаны различные упрощенные методы. В частности, применительно к навигационным приложениям наибольшее применение получил так называемый метод спрямленных логарифмических характеристик [1, 2]. В работе предлагается обобщение этого метода для решения задач сглаживания.
Рассмотрим классическую задачу оптимального оценивания полезного сигнала на фоне случайных ошибок измерений. Пусть скалярные измерения
y(t) x(t) n(t)
представляют собой аддитивную смесь полезного сигнала x(t) и помехи n(t), которые полагаются центриро-
ванными, некоррелированными и стационарными процессами c заданными спектральными плотностями
Sx () , Sn () . Рассмотрим задачу сглаживания, особенность которой заключается в том, что при получе-
нии оценки в текущий момент времени могут быть использованы не только прошлые, как в случае зада-
чи фильтрации, но и будущие (по отношению к этому моменту времени) измерения. В этом случае выра-
жение для передаточной функции оптимального сглаживающего фильтра будет определяться как [1]
W0s
(
j)
Sx
Sx () () Sn
()
,
(1)
а для спектральной плотности ошибки оптимальной нереализуемой оценки и ее дисперсии будут в этой
ситуации справедливы следующие выражения:
Sε ( j)
Sx ()Sn () Sx () Sn ()
,
D0s
1 2
Sх ()Sn () Sх () Sn ()
d
.
(2)
Метод спрямленных логарифмических характеристик основан на предположении о том, что свой-
ства фильтра определяются характером поведения спектральных плотностей полезного сигнала и помехи
в точке их пересечения. Для приближенного их описания в логарифмическом масштабе используются
аппроксимирующие прямые, соответствующие так называемым условным спектральным плотностям для
полезного сигнала x(t) и помехи n(t), определяемым в виде
Sx
()
a2
2
p
,
Sn ()
a2
2q
.
Используя
аналогичный подход к задачам сглаживания, нетрудно получить общие решения для различных комби-
наций простейших аппроксимаций спектральных плотностей сигнала и помехи. В таблице приведены
выражения для параметров Cif и Cis , характеризующих дисперсии установившихся ошибок фильтрации
f 2 Cif a2 и сглаживания s 2 Cisa2 , и величина, позволяющая оценить потенциальный выиг-
рыш в точности в виде отношения среднеквадратических ошибок оценивания при решении задач фильт-
рации и сглаживания f s Cif Cis .
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
151
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Sx ()
Sn ()
Cif
Cis Cif Cis
a
2
2
n
a
2
2n
2
a2
2n4
a2
2n6
a2
a
2
2
a
2
4
a
2
6
1
sin
2n
ctg2 2n
sin
3 2n
cos2
n
4sin4 sin 5 2n 2n
cos2
n
ctg2
3 2n
4sin4 sin 7 2n 2n
1
2n
sin
2n
1
2n
sin
3 2n
1
2n
sin
5 2n
1
2n
sin
7 2n
2n
2n ctg2 2n
n cos2 n
2sin4 2n
n
cos2
n
ctg2
3 2n
2sin4 2n
Таблица. Показатели точности фильтрации и сглаживания в установившемся режиме
Проиллюстрируем, как получить представленные в таблице выражения для спектральных плотно-
стей полезного сигнала и помехи, определяемых как
Sx
()
a2
4
,
Sn
()
a2
,
(3)
что соответствует первой строке таблицы при n 2 . Подставляя (3) в выражения (1) и (2) нетрудно убе-
диться, что выражения для передаточной функции оптимального сглаживающего фильтра, спектральной
плотности ошибки оптимальной нереализуемой оценки и ее дисперсии примут следующий вид:
W0s ()
4 4 4
,
Ss ()
a24 4 4
,
W0s ()
1 22
a2 .
В этом случае среднеквадратическая ошибка оценивания для задачи сглаживания в два раза мень-
ше ошибки фильтрации Cif Cis 2n 2 . Таким образом, в тех случаях, когда нахождение оценки в
реальном времени не является обязательным условием, целесообразно вместо задачи фильтрации решать
задачу сглаживания.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ по проекту 12-08-00835-а.
1. Челпанов И.Б., Несенюк Л.П., Брагинский М.В. Расчет характеристик навигационных гироприборов. – Л.: Судостроение, 1978. – 264 с.
2. Лопарев А.В., Степанов О.А., Челпанов И.Б. Использование частотного подхода при синтезе нестационарных алгоритмов обработки навигационной информации // Гироскопия и навигация. – 2011. – № 3. – С. 115–132.
Лопарев Алексей Валерьевич – ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», кандидат технических наук, доцент, начальник сектора, loparev@mail15.com Степанов Олег Андреевич – ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», доктор технических наук, начальник научно-образовательного центра, soalax@mail.ru Яшникова Ольга Михайловна – ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», аспирант, olga_evstifeeva@mail.ru
152
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)