ДИФРАКЦИЯ ОДНОПЕРИОДНЫХ ТЕРАГЕРЦОВЫХ ВОЛН С ГАУССОВЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
ДИФРАКЦИЯ ОДНОПЕРИОДНЫХ ТЕРАГЕРЦОВЫХ ВОЛН...
2 ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА
УДК 535.4
ДИФРАКЦИЯ ОДНОПЕРИОДНЫХ ТЕРАГЕРЦОВЫХ ВОЛН С ГАУССОВЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
А.А. Езерская, Д.В. Иванов, В.Г. Беспалов, С.А. Козлов
Получены аналитические выражения для пространственного распределения временных спектров терагерцовых волн из всего одного полного колебания на эмиттере электромагнитного поля в областях дифракций Френеля и Фраунгофера и для пространственно-временного распределения их поля в области дифракции Фраунгофера. Показано, что для терагерцовой волны с гауссовым поперечным распределением в дальней зоне дифракции происходят изменения не только пространственной, но и временной структуры излучения: из однопериодной в дальней зоне дифракции вблизи оси волна становится полуторапериодной, а ее спектр смещается в область высоких частот. Приведены оценки расстояний до характерных областей дифракции. Ключевые слова: терагерцовое излучение, параксиальный, дифракция Френеля, дифракция Фраунгофера.
Введение
Терагерцовое электромагнитное излучение является пограничным между радиоволнами и оптическим излучением. Для радиофизиков это субмиллиметровые радиоволны, для оптиков – излучение дальнего инфракрасного диапазона спектра.
Исследования техники и физики терагерцового излучения начались давно [1], но с появлением новых высокоэффективных систем генерации и детектирования такого излучения [2, 3], а также в связи с проясняющимися перспективами его широкого применения [4, 5] интерес к этим исследованиям в последние два десятилетия резко вырос.
Были найдены возможности получать терагерцовое излучение оптическими методами, например, с помощью фемтосекундных лазеров, используя явление фотопроводимости полупроводников [6]. Излучение при этом имеет вид всплеска электромагнитного поля, представляющего собой лишь одно его полное колебание (рис. 1). Такие импульсы часто называют однопериодными. В настоящей работе рассмотрены особенности дифракции таких предельно коротких по числу колебаний терагерцовых волн для частного, но важного на практике случая, – их параксиального распространения в однородных изотропных прозрачных диэлектрических средах.
Динамика полей и спектров однопериодных терагерцовых волн в диэлектрических средах
Параксиальная дифракция однопериодного терагерцового излучения изучалась и ранее [7, 8]. В значительном числе работ анализ динамики поля широкополосного излучения проводился методами численного моделирования. Обычно рассчитывался интеграл Френеля–Кирхгофа или его модификации [7]. В работе [8] для гауссовых волновых пакетов получены аналитические выражения для поля волны на оси пучка. В данной работе получены аналитические выражения для общего пространственного распределения временных спектров однопериодных в плоскости источников волн в областях дифракции Френеля и Фраунгофера и для пространственно-временного распределения их поля в области дифракции Фраунгофера.
Дифракционная динамика декартовых компонент пространственно-временного спектра
gx,y,z kx ,ky , ,z
Ex,y,z x, y,t, z exp i kx x ky y t xdydt
(1)
с пространственной и временной частотами k x , ky и проекций на декартовы оси вектора Ex,z,y элек-
трического поля E оптической волны, распространяющейся вдоль оси z (выделенность этого направле-
ния в области пространства, где анализируется эволюция поля электромагнитного излучения, формали-
зуется асимптотическими требованиями
Ex, y,z x
0,
Ex, y,z y
0,
Ex,y,z 0
при
x, y ) в однород-
ной, изотропной диэлектрической среде с дисперсией показателя преломления n , описывается соот-
ношениями [9]
g
x, y
kx , ky , , z
Cx,y
kx , ky , exp i
k2
k
2 x
k
2 y
z
gz
kx , ky , , z
kxCx
kx ,ky , kyCy kx, ky ,
k2
k
2 x
k
2 y
exp i
k2
kx2
k
2 y
z
,
(2)
10 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
А.А. Езерская, Д.В. Иванов, В.Г. Беспалов, С.А. Козлов
где
k
c
n
,
c
– скорость света в вакууме. В (2)
Cx
и
Cy
− компоненты пространственно-временного
спектра излучения в плоскости z 0 , которые предполагаются известными. Отметим, что в однородных
изотропных диэлектриках электрическое поле оптической волны характеризуется нулевой дивергенцией
E 0 , и граничное условие для z -компоненты спектра, как видно из (2), не произвольно, а связано с
Cx и Cy .
Динамика электрического поля оптической волны по известному решению для спектра (2) опреде-
ляется преобразованием Фурье
Ex,y,z
x, y,t, z
1 2
3
gx, y,z
kx , ky , , z
exp i kx x ky y t
dkxdky d .
(3)
Соотношения (1)(3) описывают дифракционно-дисперсионную эволюцию в диэлектрических средах пространственно-временных спектров и полей оптических волн, у которых как пространствен-
ный, так и временной спектры могут быть сверхуширенными, т.е. волн, поперечные размеры которых
сопоставимы с центральной длиной волны, а длительность – с центральным периодом колебаний.
Далее в работе ограничимся анализом распространения излучения с широким только временным
спектром. Будем рассматривать параксиальное излучение, т.е. волны, пространственный спектр которых
узок:
k
2 x
,
k
2 y
2 c2
n2 .
(4)
В неравенстве (4)
k
2 x
,
k
2 y
,
2
значения квадратов пространственных и временных частот
области пространственно-временного спектра, в которой находится практически вся энергия волнового пакета.
Тогда, как следует из (2), наличием продольной компоненты поля волнового пакета можно пренебречь, а выражения для спектров поперечных компонент его поля записать в более простом виде:
gx,y
kx , ky , , z
Cx,y
kx , ky ,
exp
ikz
1
k
2 x
k
2 y
2k 2
.
(5)
Рассмотрение особенностей дифракционной динамики полей и спектров параксиальных волн из
малого числа колебаний в диэлектрических средах в настоящей работе проведем для гауссова гранично-
го (при z = 0) поперечного пространственного распределения ее поля. Такие условия близки, например,
полю эмиттеров терагерцового излучения в виде фотопроводников, поверхности которых облучаются
импульсами мощных фемтосекундных лазеров инфракрасного диапазона спектра [5, 6].
Пусть излучение линейно поляризовано вдоль оси x, и его спектр при z = 0 имеет вид
Cx
kx,ky ,
2
exp
2
kx2
k
2 y
4
G0
.
(6)
Другими словами, поле осесимметрично и представляется на поверхности эмиттера соотношением
Ex
x,
y, t
exp
x2 2
y2
F0
t
,
(7)
где − поперечный размер распределения поля волны; F0 t – ее временной профиль, который пока не
конкретизируется; G0 − преобразование Фурье от F0 t .
Тогда в соответствии с (5) пространственно-временной спектр волны на произвольном расстоянии
z описывается соотношением
g
kx , ky , , z
2
exp
2
K
2 x
k
2 y
4
1
i
2
2cz
n
exp
i
n
c
z
G0
,
(8)
а рассчитываемое по формуле (3) с учетом соотношения (8) дифракционно-дисперсионное расплывание
ее поля может быть представлено в виде
E
x,
y,
t,
z
1 2
G
x,
y,
,
z
exp it
d
,
где пространственная зависимость временного спектра излучения имеет вид
(9)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
11
ДИФРАКЦИЯ ОДНОПЕРИОДНЫХ ТЕРАГЕРЦОВЫХ ВОЛН...
G
x,
y, ,
z
1
1
i
2
2cz
n
2cz 2
2n
exp
x2 2
y2
1
1
i
2
2cz
n
2cz 2
2n
exp
i
n z
c
G0
.
(10)
В соотношениях (8)(10) и далее индекс x , означающий, что рассматривается излучение, линейно поляризованное вдоль оси x , для упрощения записи опускается.
Отметим, что в выражениях (8) и (10) показатель преломления n может быть комплексным
n n i , поэтому эти соотношения описывают дифракционную динамику спектров излуче-
ния не только в прозрачных средах с дисперсией показателя преломления, но и в поглощающих средах с
дисперсией коэффициента поглощения . В данной работе ниже среды будем полагать прозрачными
с 0 .
Из (8) и (9) ясна важность оценки характерных расстояний
z1
2 2c
n min ,
(11)
z2
2 2c
n max .
(12)
Здесь
n min max
минимальное
и
максимальное
значения
величины
n
из
диапазона
час-
тот, в котором находится практическая часть энергии излучения. При
zz1 (13)
соотношения (8)(9) принимают вид
g
kx , ky , , z
2
exp
2
kx2
k
2 y
4
exp
i
n
c
z
G0
,
(14)
E
x,
y,t,
z
exp
x2 2
y2
1 2
G0
exp
i
t
n
c
z
d.
(15)
Неравенство (13) обычно называется приближением тени [10]. Оно соответствует расстояниям
вблизи поверхности эмиттера излучения. Как видно из (14)(15), при малых z изменения поперечного
распределения поля еще не происходит, но следует учитывать изменение фазы волны (и ее поглощение)
на пройденном волновым пакетом расстоянии. При
z z2
(16)
соотношение (10) принимает вид
G
x,
y,
,
z
i
2 n
2cz
exp
x2 y2
2cz
n
2
exp
x2 y2
2cz
n
exp
i
n
c
z
G0
.
(17)
Неравенство (16) определяет область дифракции Фраунгофера для всех спектральных компонент
излучения. Выражение (17) для каждой из этих компонент описывает хорошо известную из учебных
курсов [11] динамику гауссовых лазерных пучков в дальней зоне.
Приступим к анализу изменения временного профиля волнового пакета при его дифракционном
расплывании. Ограничимся при этом случаем диэлектрических сред, дисперсией которых можно пре-
небречь, и будем полагать n n0 const . Для таких сред выражение для динамики спектра (17) мо-
жет быть переписано в виде
G(x,
y, ,
z)
iT
z
exp
T
2
z 2
x2 2
y2
exp
i
n0 c
z
x2 y2 2z
G0
,
где
T
z
2 n0 2c
1 z
,
а
его
преобразование
Фурье
(9)
представлено
как
соотношение
(18)
12 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
А.А. Езерская, Д.В. Иванов, В.Г. Беспалов, С.А. Козлов
E
x,
y, t ,
z
1 2
T
z
exp
T
2
z 2
x2 2
y2
iG0
exp itd
,
где «запаздывающее» вследствие кривизны сферического волнового фронта время
(19)
t
t
n0 c
z
x2 y2 2z
.
(20)
Из соотношения (19) следует, что временной спектр поля излучения в новых переменных
x, y,t, z имеет вид
G x,
y, ,
z
T
z
exp
T
2
z 2
x2 2
y2
iG0
.
(21)
На оси волнового пакета при x 0 , y 0 выражение для спектра (21) принимает простой вид
G 0, 0, , z T z iG0 ,
(22)
из которого следует, что временная структура поля на оси пучка при любой форме импульса на границе
среды E0 t 0 в дальней зоне дифракции определяется ее производной [12]
E
0,
0,
t
,
z
T
z
E0 t
t
(23)
Как видно из (21) и (22), временной спектр поля излучения в области дифракции Фраунгофера при
малых x и y смещен по сравнению со спектром на входе в среду G0 в высокочастотную область;
при больших x и y – в низкочастотную область. Закон сохранения общей энергии излучения
G(x, y, , z) 2 dxdyd
G(x, y, , 0) 2 dxdyd
(24)
для зависимости (21) при этом, как легко проверить, соблюдается (интеграл (24) от координаты z не
зависит).
Временную эволюцию поля волнового пакета в дальней зоне дифракции проиллюстрируем для
однопериодной на границе волны вида (рис. 1, а)
E t
E0
t
exp
t2 2
,
(25)
которая хорошо аппроксимирует терагерцовое излучение фотопроводящих полупроводниковых эмиттеров, облучаемых импульсами фемтосекундных лазеров [7, 13]. Волна (25) имеет спектр (рис. 1, б)
G0
2
2 E0iexp
2
2
.
(26)
пс
а) б)
Рис. 1. Нормированные зависимости электрического поля E от времени t (а) и модуля спектра G от нормированной частоты 0 (б) на эмиттере терагерцовой электромагнитной волны
Преобразование Фурье (9) от (21) с учетом конкретного вида спектра излучения эмиттера (26) выполняется в элементарных функциях, и
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
13
ДИФРАКЦИЯ ОДНОПЕРИОДНЫХ ТЕРАГЕРЦОВЫХ ВОЛН...
E
x,
y, t,
z
E0
A3
x,
y,
z
T
z
1
2
A
x,
y,
z
t
2
exp
A
x,
y,
z
t
,
(27)
где A x, y, z
1
1
2T
z
2
x2
2
y2
,
T z
n02 2cz
, а «запаздывающее» время
t
определяется соотно-
шением (20). Вблизи оси пучка при
x2
y2
2 4T 2
2
z
2 z2
,
(28)
где
c n0
,
выражение для поля (27) упрощается и принимает вид
(29)
E
t,
z
E0
T
z
1
2
t
2
exp
t
2
,
(30)
которое, как отмечено выше, есть умноженная на T z производная поля на эмиттере излучения E0 t .
Оценки расстояний до характерных областей дифракции и изменений пространственно-временных параметров однопериодной терагерцовой волны
Проведем оценку характерных дифракционных расстояний для однопериодной на эмиттере терагерцовой волны (27) с гауссовым поперечным распределением (7), полагая длительность волнового пакета 0, 2 пс , а его поперечные размеры – 3 мм . Временной профиль такой волны и ее спектр при-
ведены на рис. 1. Из рисунка видно, что основная часть энергии излучения лежит в интервале частот от νmin = 0,1 ТГц до νmax = 3,5 ТГц.
На расстоянии, в несколько раз меньшем z1 10 мм (11), для рассматриваемого волнового пакета
выполняется приближение тени (13) и изменение его пространственно-временной структуры еще не
происходит. На расстоянии, в несколько раз большем z2 35 см (12), реализуется дифракция Фраунго-
фера и терагерцовое излучение принимает вид сферической волны (27). Поперечный размер светового
пятна в этой зоне дифракции увеличивается в
2T
раз и, например, на расстоянии в 1 м становится рав-
ным 10 см. В углах, в несколько раз меньших = 0,1 (29), зависимостью поля от поперечной координа-
ты можно пренебречь и его временной профиль принимает вид (30). На рис. 2 приведены этот временной
профиль (а) и его спектр (б), пунктиром даны временной профиль и спектр на эмиттере при z 0 . Из
рисунка видно, что из однопериодной в дальней зоне дифракции вблизи оси волна становится полутора-
периодной, а ее спектр смещается в область высоких частот.
пс
а) б)
Рис. 2. Нормированные зависимости электрического поля E от времени t (а) и модуля спектра G от нормированной частоты 0 терагерцовой волны (б) в зоне дифракции Фраунгофера вблизи оси
волнового пакета. Пунктиром показаны эти зависимости на эмиттере
14 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
А.А. Езерская, Д.В. Иванов, В.Г. Беспалов, С.А. Козлов
Иллюстрации пространственно-временной структуры дифрагировавшей терагерцовой волны
На рис. 3 продемонстрированы плоскостные изображения поля волнового пакета с гауссовым в плоскости источника поперечным распределением в ближней и дальней зоне дифракции. Светло-серым участкам изображения соответствуют максимальные положительные значения поля, темно-серым – максимальные отрицательные значения. Как видно из рисунка, в дальней зоне однопериодная волна превращается в полуторапериодную, вблизи оптической оси максимум частоты сдвигается в область высоких частот, однако по мере удаления от оптической оси наблюдается обратная динамика – сдвиг спектра в область низких частот. Волновой фронт пучка в дальней зоне уширяется и становится сферическим.
пс а
пс б
пс в
пс г
пс д
пс е
пс ж
Рис. 3. Пространственно-временная эволюция электрического поля терагерцового излучения с гауссовым
поперечным распределением и входными пространственно-временными параметрами 0 0, 3 мм,
100 , 0, 2 пс по мере распространения в воздухе на расстояниях: а) 0; б) 40 мм; в) 75 мм; г) 125 мм;
д) 200 мм; е) 300 мм; ж) 400 мм
Заключение
В работе показано, что по мере дифракционного распространения параксиального терагерцового волнового пакета происходят изменения не только пространственной, но и временной структуры излучения: для любой временной зависимости электрического поля вблизи оптической оси на эмиттере электрическое поле вблизи оси в дальней зоне дифракции определяется ее производной. В частности, однопериодная терагерцовая волна в зоне дифракции Фраунгофера превращается в полуторапериодную, а ее спектр вблизи оптической оси смещается в область высоких частот, в то время как по мере удаления от оси наблюдается смещение в противоположном направлении – в область частот ниже исходной центральной частоты импульса в плоскости источника.
Работа поддержана грантами НШ-5707.2010.2, РНП 2.1.1/4923, ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы ГК № П872.
Литература
1. Волков А.А., Горшунов Б.П., Козлов Г.В. Динамические свойства проводящих материалов // Труды ИОФАН. – М.: Наука, 1990. – Т. 25. – С. 112–161.
2. Беспалов В.Г. Сверхширокополосное импульсное излучение в терагерцовой области спектра: получение и применение // Оптический журнал. – 2006. – Т. 73. – № 11. – С. 28–37.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
15
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ...
3. Lee Y.-S. Principles of Terahertz Science and Technology. Corvalis: Springer Science+Business Media, 2009. – 347 p.
4. Fitzgerald A. J., Cole B. E., Taday P. F. Nondestructive analysis of tablet coating thicknesses using terahertz pulsed imaging. J. Pharm. Sci. – 2006. – V. 94. – № 1. – Р. 177–183.
5. Zhang X.-C., Xu J. Introduction to THz wave photonics.−N.Y.: Springer Science+Business Media, 2010. – 246 p.
6. Крюков П.Г. Фемтосекундные импульсы. Введение в новую область лазерной физики. – М.: Физматлит, 2008. – 208 с.
7. Gürtler A., Winnewisser C., Helm H., Jepsen P.U. Terahertz pulse propagation in the near field and the far field // JOSA A. – 2000. – V. 17 – № 1. – P. 74–83.
8. Kaplan A.E. Diffraction-induced transformation of near-cycle and subcycle pulses // JOSA B. – 1998. – V.15 – № 3. – P. 951–956.
9. Козлов С.А., Самарцев В.В. Основы фемтосекундной оптики. – М.: Физматлит, 2009. – 292 с. 10. Литвиненко О.Н. Основы радиофизики. – Киев: Техника, 1974. – 208 с. 11. Бутиков Е.И. Оптика. – М.: Высш. шк., 1986. –512 с. 12. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. – М.: Мир, 1970. – 346 с. 13. Greene B.I., Saeta P.N., Douglas R.D., Schmitt-Rink S., Chuang S.L. Far-infrared light generation at semi-
conductor surfaces and its spectroscopic applications // IEEE J. Quant. Electron. – 1992. – V.28. – № 10. – P. 2302–2312.
Езерская Анна Александровна Иванов Дмитрий Владимирович Беспалов Виктор Георгиевич
Козлов Сергей Аркадьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, a.a.ezerskaya@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, dmitry.haxpeha@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, victorbespaloff@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, декан, kozlov@mail.ifmo.ru
16 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
2 ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА
УДК 535.4
ДИФРАКЦИЯ ОДНОПЕРИОДНЫХ ТЕРАГЕРЦОВЫХ ВОЛН С ГАУССОВЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
А.А. Езерская, Д.В. Иванов, В.Г. Беспалов, С.А. Козлов
Получены аналитические выражения для пространственного распределения временных спектров терагерцовых волн из всего одного полного колебания на эмиттере электромагнитного поля в областях дифракций Френеля и Фраунгофера и для пространственно-временного распределения их поля в области дифракции Фраунгофера. Показано, что для терагерцовой волны с гауссовым поперечным распределением в дальней зоне дифракции происходят изменения не только пространственной, но и временной структуры излучения: из однопериодной в дальней зоне дифракции вблизи оси волна становится полуторапериодной, а ее спектр смещается в область высоких частот. Приведены оценки расстояний до характерных областей дифракции. Ключевые слова: терагерцовое излучение, параксиальный, дифракция Френеля, дифракция Фраунгофера.
Введение
Терагерцовое электромагнитное излучение является пограничным между радиоволнами и оптическим излучением. Для радиофизиков это субмиллиметровые радиоволны, для оптиков – излучение дальнего инфракрасного диапазона спектра.
Исследования техники и физики терагерцового излучения начались давно [1], но с появлением новых высокоэффективных систем генерации и детектирования такого излучения [2, 3], а также в связи с проясняющимися перспективами его широкого применения [4, 5] интерес к этим исследованиям в последние два десятилетия резко вырос.
Были найдены возможности получать терагерцовое излучение оптическими методами, например, с помощью фемтосекундных лазеров, используя явление фотопроводимости полупроводников [6]. Излучение при этом имеет вид всплеска электромагнитного поля, представляющего собой лишь одно его полное колебание (рис. 1). Такие импульсы часто называют однопериодными. В настоящей работе рассмотрены особенности дифракции таких предельно коротких по числу колебаний терагерцовых волн для частного, но важного на практике случая, – их параксиального распространения в однородных изотропных прозрачных диэлектрических средах.
Динамика полей и спектров однопериодных терагерцовых волн в диэлектрических средах
Параксиальная дифракция однопериодного терагерцового излучения изучалась и ранее [7, 8]. В значительном числе работ анализ динамики поля широкополосного излучения проводился методами численного моделирования. Обычно рассчитывался интеграл Френеля–Кирхгофа или его модификации [7]. В работе [8] для гауссовых волновых пакетов получены аналитические выражения для поля волны на оси пучка. В данной работе получены аналитические выражения для общего пространственного распределения временных спектров однопериодных в плоскости источников волн в областях дифракции Френеля и Фраунгофера и для пространственно-временного распределения их поля в области дифракции Фраунгофера.
Дифракционная динамика декартовых компонент пространственно-временного спектра
gx,y,z kx ,ky , ,z
Ex,y,z x, y,t, z exp i kx x ky y t xdydt
(1)
с пространственной и временной частотами k x , ky и проекций на декартовы оси вектора Ex,z,y элек-
трического поля E оптической волны, распространяющейся вдоль оси z (выделенность этого направле-
ния в области пространства, где анализируется эволюция поля электромагнитного излучения, формали-
зуется асимптотическими требованиями
Ex, y,z x
0,
Ex, y,z y
0,
Ex,y,z 0
при
x, y ) в однород-
ной, изотропной диэлектрической среде с дисперсией показателя преломления n , описывается соот-
ношениями [9]
g
x, y
kx , ky , , z
Cx,y
kx , ky , exp i
k2
k
2 x
k
2 y
z
gz
kx , ky , , z
kxCx
kx ,ky , kyCy kx, ky ,
k2
k
2 x
k
2 y
exp i
k2
kx2
k
2 y
z
,
(2)
10 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
А.А. Езерская, Д.В. Иванов, В.Г. Беспалов, С.А. Козлов
где
k
c
n
,
c
– скорость света в вакууме. В (2)
Cx
и
Cy
− компоненты пространственно-временного
спектра излучения в плоскости z 0 , которые предполагаются известными. Отметим, что в однородных
изотропных диэлектриках электрическое поле оптической волны характеризуется нулевой дивергенцией
E 0 , и граничное условие для z -компоненты спектра, как видно из (2), не произвольно, а связано с
Cx и Cy .
Динамика электрического поля оптической волны по известному решению для спектра (2) опреде-
ляется преобразованием Фурье
Ex,y,z
x, y,t, z
1 2
3
gx, y,z
kx , ky , , z
exp i kx x ky y t
dkxdky d .
(3)
Соотношения (1)(3) описывают дифракционно-дисперсионную эволюцию в диэлектрических средах пространственно-временных спектров и полей оптических волн, у которых как пространствен-
ный, так и временной спектры могут быть сверхуширенными, т.е. волн, поперечные размеры которых
сопоставимы с центральной длиной волны, а длительность – с центральным периодом колебаний.
Далее в работе ограничимся анализом распространения излучения с широким только временным
спектром. Будем рассматривать параксиальное излучение, т.е. волны, пространственный спектр которых
узок:
k
2 x
,
k
2 y
2 c2
n2 .
(4)
В неравенстве (4)
k
2 x
,
k
2 y
,
2
значения квадратов пространственных и временных частот
области пространственно-временного спектра, в которой находится практически вся энергия волнового пакета.
Тогда, как следует из (2), наличием продольной компоненты поля волнового пакета можно пренебречь, а выражения для спектров поперечных компонент его поля записать в более простом виде:
gx,y
kx , ky , , z
Cx,y
kx , ky ,
exp
ikz
1
k
2 x
k
2 y
2k 2
.
(5)
Рассмотрение особенностей дифракционной динамики полей и спектров параксиальных волн из
малого числа колебаний в диэлектрических средах в настоящей работе проведем для гауссова гранично-
го (при z = 0) поперечного пространственного распределения ее поля. Такие условия близки, например,
полю эмиттеров терагерцового излучения в виде фотопроводников, поверхности которых облучаются
импульсами мощных фемтосекундных лазеров инфракрасного диапазона спектра [5, 6].
Пусть излучение линейно поляризовано вдоль оси x, и его спектр при z = 0 имеет вид
Cx
kx,ky ,
2
exp
2
kx2
k
2 y
4
G0
.
(6)
Другими словами, поле осесимметрично и представляется на поверхности эмиттера соотношением
Ex
x,
y, t
exp
x2 2
y2
F0
t
,
(7)
где − поперечный размер распределения поля волны; F0 t – ее временной профиль, который пока не
конкретизируется; G0 − преобразование Фурье от F0 t .
Тогда в соответствии с (5) пространственно-временной спектр волны на произвольном расстоянии
z описывается соотношением
g
kx , ky , , z
2
exp
2
K
2 x
k
2 y
4
1
i
2
2cz
n
exp
i
n
c
z
G0
,
(8)
а рассчитываемое по формуле (3) с учетом соотношения (8) дифракционно-дисперсионное расплывание
ее поля может быть представлено в виде
E
x,
y,
t,
z
1 2
G
x,
y,
,
z
exp it
d
,
где пространственная зависимость временного спектра излучения имеет вид
(9)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
11
ДИФРАКЦИЯ ОДНОПЕРИОДНЫХ ТЕРАГЕРЦОВЫХ ВОЛН...
G
x,
y, ,
z
1
1
i
2
2cz
n
2cz 2
2n
exp
x2 2
y2
1
1
i
2
2cz
n
2cz 2
2n
exp
i
n z
c
G0
.
(10)
В соотношениях (8)(10) и далее индекс x , означающий, что рассматривается излучение, линейно поляризованное вдоль оси x , для упрощения записи опускается.
Отметим, что в выражениях (8) и (10) показатель преломления n может быть комплексным
n n i , поэтому эти соотношения описывают дифракционную динамику спектров излуче-
ния не только в прозрачных средах с дисперсией показателя преломления, но и в поглощающих средах с
дисперсией коэффициента поглощения . В данной работе ниже среды будем полагать прозрачными
с 0 .
Из (8) и (9) ясна важность оценки характерных расстояний
z1
2 2c
n min ,
(11)
z2
2 2c
n max .
(12)
Здесь
n min max
минимальное
и
максимальное
значения
величины
n
из
диапазона
час-
тот, в котором находится практическая часть энергии излучения. При
zz1 (13)
соотношения (8)(9) принимают вид
g
kx , ky , , z
2
exp
2
kx2
k
2 y
4
exp
i
n
c
z
G0
,
(14)
E
x,
y,t,
z
exp
x2 2
y2
1 2
G0
exp
i
t
n
c
z
d.
(15)
Неравенство (13) обычно называется приближением тени [10]. Оно соответствует расстояниям
вблизи поверхности эмиттера излучения. Как видно из (14)(15), при малых z изменения поперечного
распределения поля еще не происходит, но следует учитывать изменение фазы волны (и ее поглощение)
на пройденном волновым пакетом расстоянии. При
z z2
(16)
соотношение (10) принимает вид
G
x,
y,
,
z
i
2 n
2cz
exp
x2 y2
2cz
n
2
exp
x2 y2
2cz
n
exp
i
n
c
z
G0
.
(17)
Неравенство (16) определяет область дифракции Фраунгофера для всех спектральных компонент
излучения. Выражение (17) для каждой из этих компонент описывает хорошо известную из учебных
курсов [11] динамику гауссовых лазерных пучков в дальней зоне.
Приступим к анализу изменения временного профиля волнового пакета при его дифракционном
расплывании. Ограничимся при этом случаем диэлектрических сред, дисперсией которых можно пре-
небречь, и будем полагать n n0 const . Для таких сред выражение для динамики спектра (17) мо-
жет быть переписано в виде
G(x,
y, ,
z)
iT
z
exp
T
2
z 2
x2 2
y2
exp
i
n0 c
z
x2 y2 2z
G0
,
где
T
z
2 n0 2c
1 z
,
а
его
преобразование
Фурье
(9)
представлено
как
соотношение
(18)
12 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
А.А. Езерская, Д.В. Иванов, В.Г. Беспалов, С.А. Козлов
E
x,
y, t ,
z
1 2
T
z
exp
T
2
z 2
x2 2
y2
iG0
exp itd
,
где «запаздывающее» вследствие кривизны сферического волнового фронта время
(19)
t
t
n0 c
z
x2 y2 2z
.
(20)
Из соотношения (19) следует, что временной спектр поля излучения в новых переменных
x, y,t, z имеет вид
G x,
y, ,
z
T
z
exp
T
2
z 2
x2 2
y2
iG0
.
(21)
На оси волнового пакета при x 0 , y 0 выражение для спектра (21) принимает простой вид
G 0, 0, , z T z iG0 ,
(22)
из которого следует, что временная структура поля на оси пучка при любой форме импульса на границе
среды E0 t 0 в дальней зоне дифракции определяется ее производной [12]
E
0,
0,
t
,
z
T
z
E0 t
t
(23)
Как видно из (21) и (22), временной спектр поля излучения в области дифракции Фраунгофера при
малых x и y смещен по сравнению со спектром на входе в среду G0 в высокочастотную область;
при больших x и y – в низкочастотную область. Закон сохранения общей энергии излучения
G(x, y, , z) 2 dxdyd
G(x, y, , 0) 2 dxdyd
(24)
для зависимости (21) при этом, как легко проверить, соблюдается (интеграл (24) от координаты z не
зависит).
Временную эволюцию поля волнового пакета в дальней зоне дифракции проиллюстрируем для
однопериодной на границе волны вида (рис. 1, а)
E t
E0
t
exp
t2 2
,
(25)
которая хорошо аппроксимирует терагерцовое излучение фотопроводящих полупроводниковых эмиттеров, облучаемых импульсами фемтосекундных лазеров [7, 13]. Волна (25) имеет спектр (рис. 1, б)
G0
2
2 E0iexp
2
2
.
(26)
пс
а) б)
Рис. 1. Нормированные зависимости электрического поля E от времени t (а) и модуля спектра G от нормированной частоты 0 (б) на эмиттере терагерцовой электромагнитной волны
Преобразование Фурье (9) от (21) с учетом конкретного вида спектра излучения эмиттера (26) выполняется в элементарных функциях, и
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
13
ДИФРАКЦИЯ ОДНОПЕРИОДНЫХ ТЕРАГЕРЦОВЫХ ВОЛН...
E
x,
y, t,
z
E0
A3
x,
y,
z
T
z
1
2
A
x,
y,
z
t
2
exp
A
x,
y,
z
t
,
(27)
где A x, y, z
1
1
2T
z
2
x2
2
y2
,
T z
n02 2cz
, а «запаздывающее» время
t
определяется соотно-
шением (20). Вблизи оси пучка при
x2
y2
2 4T 2
2
z
2 z2
,
(28)
где
c n0
,
выражение для поля (27) упрощается и принимает вид
(29)
E
t,
z
E0
T
z
1
2
t
2
exp
t
2
,
(30)
которое, как отмечено выше, есть умноженная на T z производная поля на эмиттере излучения E0 t .
Оценки расстояний до характерных областей дифракции и изменений пространственно-временных параметров однопериодной терагерцовой волны
Проведем оценку характерных дифракционных расстояний для однопериодной на эмиттере терагерцовой волны (27) с гауссовым поперечным распределением (7), полагая длительность волнового пакета 0, 2 пс , а его поперечные размеры – 3 мм . Временной профиль такой волны и ее спектр при-
ведены на рис. 1. Из рисунка видно, что основная часть энергии излучения лежит в интервале частот от νmin = 0,1 ТГц до νmax = 3,5 ТГц.
На расстоянии, в несколько раз меньшем z1 10 мм (11), для рассматриваемого волнового пакета
выполняется приближение тени (13) и изменение его пространственно-временной структуры еще не
происходит. На расстоянии, в несколько раз большем z2 35 см (12), реализуется дифракция Фраунго-
фера и терагерцовое излучение принимает вид сферической волны (27). Поперечный размер светового
пятна в этой зоне дифракции увеличивается в
2T
раз и, например, на расстоянии в 1 м становится рав-
ным 10 см. В углах, в несколько раз меньших = 0,1 (29), зависимостью поля от поперечной координа-
ты можно пренебречь и его временной профиль принимает вид (30). На рис. 2 приведены этот временной
профиль (а) и его спектр (б), пунктиром даны временной профиль и спектр на эмиттере при z 0 . Из
рисунка видно, что из однопериодной в дальней зоне дифракции вблизи оси волна становится полутора-
периодной, а ее спектр смещается в область высоких частот.
пс
а) б)
Рис. 2. Нормированные зависимости электрического поля E от времени t (а) и модуля спектра G от нормированной частоты 0 терагерцовой волны (б) в зоне дифракции Фраунгофера вблизи оси
волнового пакета. Пунктиром показаны эти зависимости на эмиттере
14 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
А.А. Езерская, Д.В. Иванов, В.Г. Беспалов, С.А. Козлов
Иллюстрации пространственно-временной структуры дифрагировавшей терагерцовой волны
На рис. 3 продемонстрированы плоскостные изображения поля волнового пакета с гауссовым в плоскости источника поперечным распределением в ближней и дальней зоне дифракции. Светло-серым участкам изображения соответствуют максимальные положительные значения поля, темно-серым – максимальные отрицательные значения. Как видно из рисунка, в дальней зоне однопериодная волна превращается в полуторапериодную, вблизи оптической оси максимум частоты сдвигается в область высоких частот, однако по мере удаления от оптической оси наблюдается обратная динамика – сдвиг спектра в область низких частот. Волновой фронт пучка в дальней зоне уширяется и становится сферическим.
пс а
пс б
пс в
пс г
пс д
пс е
пс ж
Рис. 3. Пространственно-временная эволюция электрического поля терагерцового излучения с гауссовым
поперечным распределением и входными пространственно-временными параметрами 0 0, 3 мм,
100 , 0, 2 пс по мере распространения в воздухе на расстояниях: а) 0; б) 40 мм; в) 75 мм; г) 125 мм;
д) 200 мм; е) 300 мм; ж) 400 мм
Заключение
В работе показано, что по мере дифракционного распространения параксиального терагерцового волнового пакета происходят изменения не только пространственной, но и временной структуры излучения: для любой временной зависимости электрического поля вблизи оптической оси на эмиттере электрическое поле вблизи оси в дальней зоне дифракции определяется ее производной. В частности, однопериодная терагерцовая волна в зоне дифракции Фраунгофера превращается в полуторапериодную, а ее спектр вблизи оптической оси смещается в область высоких частот, в то время как по мере удаления от оси наблюдается смещение в противоположном направлении – в область частот ниже исходной центральной частоты импульса в плоскости источника.
Работа поддержана грантами НШ-5707.2010.2, РНП 2.1.1/4923, ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы ГК № П872.
Литература
1. Волков А.А., Горшунов Б.П., Козлов Г.В. Динамические свойства проводящих материалов // Труды ИОФАН. – М.: Наука, 1990. – Т. 25. – С. 112–161.
2. Беспалов В.Г. Сверхширокополосное импульсное излучение в терагерцовой области спектра: получение и применение // Оптический журнал. – 2006. – Т. 73. – № 11. – С. 28–37.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
15
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ...
3. Lee Y.-S. Principles of Terahertz Science and Technology. Corvalis: Springer Science+Business Media, 2009. – 347 p.
4. Fitzgerald A. J., Cole B. E., Taday P. F. Nondestructive analysis of tablet coating thicknesses using terahertz pulsed imaging. J. Pharm. Sci. – 2006. – V. 94. – № 1. – Р. 177–183.
5. Zhang X.-C., Xu J. Introduction to THz wave photonics.−N.Y.: Springer Science+Business Media, 2010. – 246 p.
6. Крюков П.Г. Фемтосекундные импульсы. Введение в новую область лазерной физики. – М.: Физматлит, 2008. – 208 с.
7. Gürtler A., Winnewisser C., Helm H., Jepsen P.U. Terahertz pulse propagation in the near field and the far field // JOSA A. – 2000. – V. 17 – № 1. – P. 74–83.
8. Kaplan A.E. Diffraction-induced transformation of near-cycle and subcycle pulses // JOSA B. – 1998. – V.15 – № 3. – P. 951–956.
9. Козлов С.А., Самарцев В.В. Основы фемтосекундной оптики. – М.: Физматлит, 2009. – 292 с. 10. Литвиненко О.Н. Основы радиофизики. – Киев: Техника, 1974. – 208 с. 11. Бутиков Е.И. Оптика. – М.: Высш. шк., 1986. –512 с. 12. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. – М.: Мир, 1970. – 346 с. 13. Greene B.I., Saeta P.N., Douglas R.D., Schmitt-Rink S., Chuang S.L. Far-infrared light generation at semi-
conductor surfaces and its spectroscopic applications // IEEE J. Quant. Electron. – 1992. – V.28. – № 10. – P. 2302–2312.
Езерская Анна Александровна Иванов Дмитрий Владимирович Беспалов Виктор Георгиевич
Козлов Сергей Аркадьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, a.a.ezerskaya@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, dmitry.haxpeha@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, victorbespaloff@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, декан, kozlov@mail.ifmo.ru
16 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)