О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ ИСХОДНО ОДНОПЕРИОДНОГО ОПТИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ...
УДК 535.135
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ ИСХОДНО ОДНОПЕРИОДНОГО ОПТИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА
Ю.А. Капойко, С.А. Козлов
Получены выражения для скоростей движения центра тяжести и дисперсионного расплывания импульсов, содержащих на входе в волноведущую среду лишь одно полное колебание светового поля. Показано, что для таких предельно коротких по числу колебаний входных оптических импульсов эти скорости прямо пропорциональны дисперсионным характеристикам волновода и обратно пропорциональны квадрату исходной длительности импульса. Ключевые слова: однопериодные импульсы, распространение, дисперсия.
Введение При теоретическом анализе распространения импульсного излучения в волноведущих средах, в которых можно пренебречь изменением поперечной структуры светового пучка, рассматривается деформация формы и фазовая модуляция оптического импульса. Это дает исчерпывающую информацию об изменении его структуры в среде [1]. Когда такой полный анализ является трудоемким или не необходимым, часто ограничиваются рассмотрением изменения в среде интегральных параметров импульса, например, его длительности [2, 3]. Так, в работе [4] получены широко используемые на практике выражения, характеризующие эволюцию в оптических средах среднеквадратичной длительности квазимонохроматических световых импульсов произвольной на входе в среду формы (обзор статей в развитие результатов этой работы можно найти, например, в [2, 3]). Бурное развитие в последние два десятилетия оптики волн из малого числа колебаний [5] привело к необходимости изучения распространения сверхширокополосных импульсов, которые не могут быть рассмотрены в рамках квазимонохроматического приближения. В работе [6] были получены аналитические выражения, описывающие динамику в прозрачных оптических средах средних параметров (центра тяжести и длительности) импульсов без ограничения на их начальную длительность. В настоящей работе показано, что для предельно коротких по числу колебаний однопериодных входных оптических импульсов эти выражения могут быть записаны в виде элементарных функций от характеристик среды и входных параметров импульсов.
16 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
Ю.А. Капойко, С.А. Козлов
Модель динамики поля импульса в волноведущей среде
В настоящей работе ограничимся простейшей моделью дисперсии эффективного показателя пре-
ломления волноведущей среды
n = N0 + a1c2 ,
(1.1)
где ω – частота, c – скорость света в вакууме, N0, a1 – константы, характеризующие волноводную и материальную дисперсию оптического волновода. Дисперсии (1.1) соответствует уравнение динамики поля световой волны вида [7]
E z
+
N0 c
E t
a1
3E t 3
=0,
(1.2)
где E – напряженность электрического поля, z – направление распространения волны, t – время.
Анализ движения средних параметров импульсов, динамика поля которых описывается уравнени-
ем (1.2), проведем для входного импульса вида
E=
E0
t t0
et2 /t02
,
(1.3)
где E0 – амплитуда, t0 – длительность импульса. На рис. 1 иллюстрирован всплеск электромагнитного
поля (1.3), представляющий собой лишь одно его полное колебание, и спектр импульса. Такие однопери-
одные импульсы устойчиво получают, например, в терагерцовом спектральном диапазоне [8, 9].
Е, отн. ед.
g, отн. ед.
–t0 0 t0
t, отн. ед.
0 1/t0 Рис. 1. Поле и спектр однопериодного импульса
, отн. ед.
Движение центра тяжести импульса
Рассмотрим зависимость от координаты z момента распределения поля E первого порядка [10]
t
=
1 W
+
tE 2 dt
,
(2.1)
+
где W = E2dt
– энергия импульса. Найдем
d t , для этого продифференцируем (2.1) по z, заменив
dz
dE из волнового уравнения (1.2) и полагая dz
E
t
±
0,
nE t n
t
±
0,
n
1,
(2.2)
получим
d
t dz
=
N0 c
+
3 2
a1
E t
2
dt
.
(2.3)
Используя (1.2) и (2.2), можно показать, что производная (2.3) по координате z равна нулю, т. е.
выражение (2.3) является интегралом движения уравнения (1.2). Тогда можно заменить распределение
поля E на начальное (1.3) и, произведя упрощения, получить для однопериодного на входе в среду им-
пульса выражение для скорости его движения в среде вида
d
t dz
=
1 c
N
0
+
9a1c t02
.
Эволюция длительности импульса
(2.4)
Под длительностью импульса в работе будет пониматься квадратный корень из центрального момента распределения поля второго порядка [2]
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
17
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ...
τ
=
Δt 2
1/ 2 =
1 W
t
t
2
E
2
dt
1/
2
=
t2
t
2 1/2
,
где
(3.1)
t2
=
1 W
+
t2 E2dt
–
(3.2)
момент распределения поля второго порядка.
Используя (1.2) и (2.2), можно показать, что первая производная (3.2) по координате z определяет-
ся зависящим от z выражением
d
t2 dz
=
2 W
N0 c
+
tE2dt +
6
W
a1
+
t
E t
2
dt
,
а вторая производная (3.2) по координате z определяется выражением
(3.3)
d 2
t2 dz 2
=
2N
2 0
c2
+
18 W
a12
+
2E t 2
2
dt
12 W
N 0 a1 c
+
E t
2
dt
,
(3.4)
причем выражение (3.4) не зависит от координаты z, т. е. является интегралом движения уравнения (1.2).
С учетом (3.1), а также сохранения величин (2.3) и (3.4) при распространении импульса выраже-
ние для квадрата среднеквадратичной длительности импульса можно привести к виду
τ2
=
τ02
+
d
t2 dz
0
z
+
1 2
d2
t2 dz 2
d
t dz
2
z2
,
(3.5)
при получении которого полагали t 0= 0 (время, в которое центр тяжести импульса проходит плос-
кость
z
=
0),
а
также
ввели обозначение
τ02
= t 2
1/ 2 0
– длительность импульса на входе в среду.
Для однопериодного на входе в среду импульса скорость дисперсионного расплывания определя-
ется соотношением
1 2
d2
t2 dz 2
d
t dz
2
=
1 t04
54a12
.
(3.6)
Заключение
В работе получены выражения для скоростей движения центра тяжести и дисперсионного расплывания импульсов, содержащих на входе в волноведущую среду лишь одно полное колебание светового поля. Показано, что для таких импульсов эти скорости прямо пропорциональны дисперсионным характеристикам волновода и обратно пропорциональны квадрату начальной длительности импульса.
Работа поддержана грантами НШ-5707.2010.2 и РНП 2.1.1/4923.
Литература
1. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. – М.: Наука, 1979 – 383 с. 2. Ахманов С. А., Выслоух В. А., Чиркин А. С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов – М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 312 с. 3. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика – М.: Мир, 1996. – 324 с. 4. Anderson D., Lisak M. Analytic study of pulse broadening in despersive optical fibers // В кн. Physical
Review A (Jan 1, 1987) vol. 35, number 1. 5. Козлов С.А., Самарцев В.В. Основы фемтосекундной оптики – М.: Физматлит, 2009. – 292 с. 6. Барсуков В.С., Карасев В.Б., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Дисперсионное расплывание
фемтосекундных световых импульсов с континуумным спектром // В кн. Оптические и лазерные технологии – СПб: СПбГУ ИТМО, 2001. – С. 11–17. 7. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах – М.: Наука, 1973. – 176 с. 8. Крюков П. Г. Фемтосекундные импульсы – М.: Физматлит, 2008. – 208 с. 9. Lee Y.-S. Principles of Teraherz Science and Technology – New-York: Springer, 2009. 10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров – М.: Наука, 1968. – 720 с.
Капойко Юрий Александрович Козлов Сергей Аркадьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, kapojko@yandex.ru
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, декан, kozlov@mail.ifmo.ru
18 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
УДК 535.135
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ ИСХОДНО ОДНОПЕРИОДНОГО ОПТИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА
Ю.А. Капойко, С.А. Козлов
Получены выражения для скоростей движения центра тяжести и дисперсионного расплывания импульсов, содержащих на входе в волноведущую среду лишь одно полное колебание светового поля. Показано, что для таких предельно коротких по числу колебаний входных оптических импульсов эти скорости прямо пропорциональны дисперсионным характеристикам волновода и обратно пропорциональны квадрату исходной длительности импульса. Ключевые слова: однопериодные импульсы, распространение, дисперсия.
Введение При теоретическом анализе распространения импульсного излучения в волноведущих средах, в которых можно пренебречь изменением поперечной структуры светового пучка, рассматривается деформация формы и фазовая модуляция оптического импульса. Это дает исчерпывающую информацию об изменении его структуры в среде [1]. Когда такой полный анализ является трудоемким или не необходимым, часто ограничиваются рассмотрением изменения в среде интегральных параметров импульса, например, его длительности [2, 3]. Так, в работе [4] получены широко используемые на практике выражения, характеризующие эволюцию в оптических средах среднеквадратичной длительности квазимонохроматических световых импульсов произвольной на входе в среду формы (обзор статей в развитие результатов этой работы можно найти, например, в [2, 3]). Бурное развитие в последние два десятилетия оптики волн из малого числа колебаний [5] привело к необходимости изучения распространения сверхширокополосных импульсов, которые не могут быть рассмотрены в рамках квазимонохроматического приближения. В работе [6] были получены аналитические выражения, описывающие динамику в прозрачных оптических средах средних параметров (центра тяжести и длительности) импульсов без ограничения на их начальную длительность. В настоящей работе показано, что для предельно коротких по числу колебаний однопериодных входных оптических импульсов эти выражения могут быть записаны в виде элементарных функций от характеристик среды и входных параметров импульсов.
16 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
Ю.А. Капойко, С.А. Козлов
Модель динамики поля импульса в волноведущей среде
В настоящей работе ограничимся простейшей моделью дисперсии эффективного показателя пре-
ломления волноведущей среды
n = N0 + a1c2 ,
(1.1)
где ω – частота, c – скорость света в вакууме, N0, a1 – константы, характеризующие волноводную и материальную дисперсию оптического волновода. Дисперсии (1.1) соответствует уравнение динамики поля световой волны вида [7]
E z
+
N0 c
E t
a1
3E t 3
=0,
(1.2)
где E – напряженность электрического поля, z – направление распространения волны, t – время.
Анализ движения средних параметров импульсов, динамика поля которых описывается уравнени-
ем (1.2), проведем для входного импульса вида
E=
E0
t t0
et2 /t02
,
(1.3)
где E0 – амплитуда, t0 – длительность импульса. На рис. 1 иллюстрирован всплеск электромагнитного
поля (1.3), представляющий собой лишь одно его полное колебание, и спектр импульса. Такие однопери-
одные импульсы устойчиво получают, например, в терагерцовом спектральном диапазоне [8, 9].
Е, отн. ед.
g, отн. ед.
–t0 0 t0
t, отн. ед.
0 1/t0 Рис. 1. Поле и спектр однопериодного импульса
, отн. ед.
Движение центра тяжести импульса
Рассмотрим зависимость от координаты z момента распределения поля E первого порядка [10]
t
=
1 W
+
tE 2 dt
,
(2.1)
+
где W = E2dt
– энергия импульса. Найдем
d t , для этого продифференцируем (2.1) по z, заменив
dz
dE из волнового уравнения (1.2) и полагая dz
E
t
±
0,
nE t n
t
±
0,
n
1,
(2.2)
получим
d
t dz
=
N0 c
+
3 2
a1
E t
2
dt
.
(2.3)
Используя (1.2) и (2.2), можно показать, что производная (2.3) по координате z равна нулю, т. е.
выражение (2.3) является интегралом движения уравнения (1.2). Тогда можно заменить распределение
поля E на начальное (1.3) и, произведя упрощения, получить для однопериодного на входе в среду им-
пульса выражение для скорости его движения в среде вида
d
t dz
=
1 c
N
0
+
9a1c t02
.
Эволюция длительности импульса
(2.4)
Под длительностью импульса в работе будет пониматься квадратный корень из центрального момента распределения поля второго порядка [2]
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
17
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ...
τ
=
Δt 2
1/ 2 =
1 W
t
t
2
E
2
dt
1/
2
=
t2
t
2 1/2
,
где
(3.1)
t2
=
1 W
+
t2 E2dt
–
(3.2)
момент распределения поля второго порядка.
Используя (1.2) и (2.2), можно показать, что первая производная (3.2) по координате z определяет-
ся зависящим от z выражением
d
t2 dz
=
2 W
N0 c
+
tE2dt +
6
W
a1
+
t
E t
2
dt
,
а вторая производная (3.2) по координате z определяется выражением
(3.3)
d 2
t2 dz 2
=
2N
2 0
c2
+
18 W
a12
+
2E t 2
2
dt
12 W
N 0 a1 c
+
E t
2
dt
,
(3.4)
причем выражение (3.4) не зависит от координаты z, т. е. является интегралом движения уравнения (1.2).
С учетом (3.1), а также сохранения величин (2.3) и (3.4) при распространении импульса выраже-
ние для квадрата среднеквадратичной длительности импульса можно привести к виду
τ2
=
τ02
+
d
t2 dz
0
z
+
1 2
d2
t2 dz 2
d
t dz
2
z2
,
(3.5)
при получении которого полагали t 0= 0 (время, в которое центр тяжести импульса проходит плос-
кость
z
=
0),
а
также
ввели обозначение
τ02
= t 2
1/ 2 0
– длительность импульса на входе в среду.
Для однопериодного на входе в среду импульса скорость дисперсионного расплывания определя-
ется соотношением
1 2
d2
t2 dz 2
d
t dz
2
=
1 t04
54a12
.
(3.6)
Заключение
В работе получены выражения для скоростей движения центра тяжести и дисперсионного расплывания импульсов, содержащих на входе в волноведущую среду лишь одно полное колебание светового поля. Показано, что для таких импульсов эти скорости прямо пропорциональны дисперсионным характеристикам волновода и обратно пропорциональны квадрату начальной длительности импульса.
Работа поддержана грантами НШ-5707.2010.2 и РНП 2.1.1/4923.
Литература
1. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. – М.: Наука, 1979 – 383 с. 2. Ахманов С. А., Выслоух В. А., Чиркин А. С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов – М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 312 с. 3. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика – М.: Мир, 1996. – 324 с. 4. Anderson D., Lisak M. Analytic study of pulse broadening in despersive optical fibers // В кн. Physical
Review A (Jan 1, 1987) vol. 35, number 1. 5. Козлов С.А., Самарцев В.В. Основы фемтосекундной оптики – М.: Физматлит, 2009. – 292 с. 6. Барсуков В.С., Карасев В.Б., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Дисперсионное расплывание
фемтосекундных световых импульсов с континуумным спектром // В кн. Оптические и лазерные технологии – СПб: СПбГУ ИТМО, 2001. – С. 11–17. 7. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах – М.: Наука, 1973. – 176 с. 8. Крюков П. Г. Фемтосекундные импульсы – М.: Физматлит, 2008. – 208 с. 9. Lee Y.-S. Principles of Teraherz Science and Technology – New-York: Springer, 2009. 10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров – М.: Наука, 1968. – 720 с.
Капойко Юрий Александрович Козлов Сергей Аркадьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, kapojko@yandex.ru
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, декан, kozlov@mail.ifmo.ru
18 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)