УСЛОВНОЕ КОНТРОЛИРУЕМОЕ ФАЗОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Г.П. Мирошниченко, А.И. Трифанов

4 АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

УДК 535.14
УСЛОВНОЕ КОНТРОЛИРУЕМОЕ ФАЗОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Г.П. Мирошниченко, А.И. Трифанов

Предложена модель трехкубитовой квантовой логической операции условного контролируемого фазового преобразования. Квантовая единица информации – кубит – закодирована в состоянии поляризации квантовой резонаторной моды. Получен условный полевой оператор эволюции трех квантовых мод, показано, что при некоторых параметрах системы и временах взаимодействия он с высокой вероятностью осуществляет требуемое фазовое преобразование. Ключевые слова: квантовые вычисления, логический гейт, условный оператор, фазовое преобразование, однофотонные состояния.

Введение

Квантовые информационные технологии [1–3], опираясь на современное представление о физике микромира, позволяют передавать, хранить и обрабатывать информацию более эффективно, чем в системах, построенных на классических принципах. В отличие от классического бита, квантовая единица информации – кубит – может находиться в суперпозиции состояний «0» и «1». Благодаря этому имеется возможность осуществлять преобразование состояний большого числа кубитов одновременно (так называемый квантовый параллелизм) [4]. Еще одним важным свойством, которым обладают кубиты, является перепутывание [5]. Оно заключается в том, что в результате взаимодействия двух квантовых подсистем между ними возникают корреляции, которые сохраняются после прекращения этого взаимодействия. Все перечисленное широко используется в различных квантовых алгоритмах [6] и протоколах [7]. Преобразование состояний кубитов и их систем осуществляют квантовые логические устройства (вентили, гейты) [8]. Особый интерес вызывают те из них, которые позволят образовать логический базис квантовых вычислений [9]. К ним относятся двухкубитовый вентиль Фредкина (CNOT – контролируемое НЕ) и
трехкубитовый вентиль Тоффоли (CCNOT  дважды контролируемое НЕ). В основе оптической реализации этих устройств лежит операция контролируемого преобразования фазы (КПФ) [10]. КПФ – это квантовая операция, в результате которой каждая компонента многокубитового состояния приобретает фазовый множитель, зависящий от состояний отдельных кубитов компоненты. Реализация этой операции – нетривиальная задача. Попытки ее решения можно найти, например, в [11, 12].
Настоящая работа посвящена оптической реализации вероятностной операции КПФ трехкубитово-

го состояния. Каждый кубит (обозначим их a , b и c ) кодируется фоковским состоянием  j ,

 j  0,1 , j  a,b,c однофотонной моды резонатора. Операция КПФ действует следующим образом:

 a b c  exp ia ,1b ,1c ,1 a b c .

(1)

Реализация (1) осуществляется за счет взаимодействия резонаторных мод с атомом, пролетающим

через резонатор. После взаимодействия над атомом проводится измерение, результаты которого можно

использовать для получения условного оператора эволюции электромагнитных полей. В работе предло-

жены параметры оптической системы и оценено время взаимодействия атома с модами резонатора, при

которых этот оператор осуществляет преобразование (1). Вычислены вероятность и качество (fidelity)

преобразования КПФ.

Оператор Гамильтона системы

Система, в которой реализуется операция КПФ, состоит из источника атомов, находящихся в некотором состоянии  A , оптического резонатора с тремя возбужденными модами квантового поля и тремя классическими полями, а также детектора атомных состояний. Число фотонов в каждой квантовой моде может быть 0 или 1. На рис. 1 изображена система уровней атома, помещенного в резонатор с действующими электромагнитными полями. Будем считать, что переходы 1  2 , 3  4 и 3  6
разрешены для квантовых полей с состояниями поляризации 1a , 1b , 1c и частотами a , b и c .
На переходах 2  3 , 4  5 , 6  7 действуют классические поля с частотами 1 , 2 и 3 . Оператор Гамильтона рассматриваемой системы можно записать так:

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)

29

УСЛОВНОЕ КОНТРОЛИРУЕМОЕ ФАЗОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ...

H  H A  H F Vc Vq .

(2)

Здесь H A, H F  атомный и полевой гамильтонианы в отсутствии взаимодействия:

7

 H A  Ekkk , H F 

mam am ,

k 1 ma,b,c

где kk  k k , k  1,2,,7  проекторы на подпространства, соответствующие собственным значени-

ям H A : H A k  Ek k ; am и am  соответственно операторы рождения и уничтожения фотона в моде
частоты m , m  a,b,c; Vc и Vq  зависящие от времени операторы взаимодействия атома с классиче-

скими и квантовыми полями:
Vc  123 expi1t 245 expi2t 367 expi3t h.c.,
     Vq  ga 21aa  12aa  gb 43ab  34ab  gc 65ac  56ac .

Рис. 1. Схема энергетических уровней атома с действующими квантовыми и классическими электромагнитными полями

Здесь 1 , 2 , 3  частоты Раби классических полей, gk  константы связи для квантовых полей. Запишем уравнение Шредингера с гамильтонианом (2):

i

 t

t 

H

t 

 H A  HF

V  t

,

(3)

где V  Vc  Vq . Используем резонансное приближение. Определим следующие унитарные преобразова-

ния:

7

Gt  exp iRt  exp iktkk ,

k 1

 W t  exp iQt 

exp  imam amt .

ma,b,c

(4) (5)

Будем искать решение (3) в виде
t  W tGt t .

(6)

После подстановки (6) в уравнение (3) и дифференцирования получим:

 H A  R  HF  Q W t G t VGt W t

t 



i

 t

t .

(7)

Здесь учтено, что операторы (4) и (5) коммутируют с H0 . Параметры k и k выберем так, чтобы операторы Vc и Vq не содержали колебаний на оптических частотах. В результате получим следую-

щие выражения для операторов в левой части (7):

77
 H A  R  Ek  k  kk  kkk , k 1 k 1

 HF  Q 

m  m am am 

m am am .

ma,b,c

ma,b,c

30 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)

Г.П. Мирошниченко, А.И. Трифанов

В силу того, что число условий на k и m меньше, чем количество этих параметров, часть из них можно выбрать произвольно. Выберем 1  E1 и m  m . Определим однофотонные отстройки  j ,

1  E2  E1  a , 3  E4  E3  b , 5  E6  E3  c , 2  E2  E3  1, 4  E4  E5  2, 6  E6  E7  3,

и многофотонные отстройки k , которые выражаются через однофотонные следующим образом:

1  1, 2  1  2 , 3  1  2  3 , 4  1  2  3  4 ,
5  1  2  5 , 6  1  2  5  6. В результате получим стационарный гамильтониан, который будем использовать в дальнейших вычислениях:

7

H   kkk  ga21aa  gb43ab  gc65ac  h.c. k 1

(8)

 123  32  245  54  367  76 .

Во всех численных расчетах использовались следующие величины параметров системы (в едини-

цах ga  gb  gc  108 Гц): 1  0,1 , 2  3  1, 1  3  0 , 2  4 , 4  5  10 , 6  7 , 7  2 .

(9)

Условные полевые состояния

Будем решать уравнение Шредингера с оператором Гамильтона (8). Для этого разложим вектор
t по базису атомных и полевых состояний:

7
  t   k A c0k00 0a0b0c F  c0k01 0a0b1c F   c1k11 1a1b1c F . k 1

(10)

Выберем следующее начальное условие:

0  1 A 0 F .

(11)

Решение уравнения Шредингера будем искать с помощью унитарного оператора эволюции U t :

t 



exp 



i 

Ht

 

0

 U t 0

 U t 1

A

0

F.

(12)

Функция t содержит всю информацию о состоянии атомно-полевой системы. Однако она не

факторизуется в прямое произведение атомного вектора и полевого – произошло перепутывание. Для того чтобы получить информацию, закодированную в полевом состоянии, необходимо произвести измерение над атомом. Положим, что в момент времени t в результате измерения получилось состояние

s A . Учитывая этот результат, можно получить условное полевое состояние в момент времени t :

t F  s t  s U t1 A 0 F  K s,1,t 0 F .

(13)

Оператор эволюции, действующий на начальное полевое состояние, носит название оператора

Крауса. Этот оператор условный, так как зависит от результата измерения состояния атомной подсисте-

мы. Он не является унитарным. Теперь решим следующую задачу: найдем такие соотношения между

величинами частот Раби полей, константами взаимодействия и многофотонными отстройками, при кото-

рых матрица K t оператора K s,1,t в базисе фоковских состояний 0 F 1 F совпадает с матрицей пре-
образования КПФ (1). Используем численное моделирование. Настроим детектор на измерение состоя-
ния 1 A и найдем зависимость элементов матрицы K t от времени. Легко проверить аналитически, что K t  диагональная матрица и ее элементы K11t    K44t  1 от времени не зависят. Временная
зависимость оставшихся элементов изображена на рис. 2. Здесь представлены модули и аргументы вели-
чин K77t и K88t . Поведение во времени элементов K55t и K66t отличается от K77 t очень мало.
Величины полей и однофотонных отстроек соответствуют (9). Время взаимодействия выбираем из усло-

вия, что модули всех элементов равны единице, и аргумент элемента K88 отличается от остальных на  .

Это достигается в момент времени t0 . Значит, если атом покинет резонатор через время t0 , результатом

измерения его состояния будет 1 A , и с высокой вероятностью, которая вычисляется ниже, можно заключить, что требуемая операция КПФ произошла.

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)

31

УСЛОВНОЕ КОНТРОЛИРУЕМОЕ ФАЗОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ...

а t0

б t0

Рис. 2. Зависимость модуля (а) и аргумента (б) элементов матрицы K t  от времени. В момент t0 матрица K t0  соответствует преобразованию КПФ. Значения используемых параметров соответствуют (9)

Вероятность и качество преобразования

Вычислим вероятность того, что при измерении атома после его взаимодействия с электромагнит-

ным полем резонатора в течение времени t0 будет получено состояние 1 A : K11,1,t  K1t :
 Pt  TrF K1t 0 F 0 K1 t .

(14)

Здесь TrF  операция взятия следа в подпространстве полевых состояний. Пусть далее CPS F  состояние поля после идеального фазового преобразования (CPS – Controlled Phase Shift – то же, что

КПФ). Тогда качество преобразования определяется следующим образом:

Ft  CPS K1t 0 F

.

 TrF K1t 0 F 0 K1 t

(15)

На рис. 3 приведены графики зависимости функций Pt и F t от времени. Вычислим эти зна-

чения для момента t0 : Pt0   0,76, F t0   0,98 .

Р(t)

F(t)

t0
Рис. 3. Зависимость вероятности Pt  и качества F t  фазового преобразования от времени.
Параметры системы соответствуют (9)
Заключение
В работе предложена реализация квантовой логической операции условного контролируемого фазового преобразования. В модели использовалось квантово-механическое описание процессов эволюции атомной и полевой подсистем. Предъявлены величины параметров оптической системы, при которых реализуется требуемая операция КПФ. Следует отметить, что наряду с высоким значением качества преобразования (0,98) вероятность срабатывания устройства не очень велика (0,76). Это отчасти связано с
тем, что аналитическое выражение для матрицы K t не найдено, и поэтому сложно отыскать оптималь-
ные значения параметров оптической системы. Исходя из результатов численного расчета, можно лишь
сделать некоторые предположения относительно поведения элементов K t . Для оптимизации парамет-
ров, очевидно, потребуется строить теорию возмущений по параметру 1 . С другой стороны, объективно повысить вероятность можно при помощи повторения акта взаимодействия атома с полем резонатора и нового измерения. Включение в систему каналов обратной связи также может улучшить вероятность срабатывания. Дальнейшее уточнение модели связано с учетом механизмов затухания.

32 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)

А.А. Бобцов, С.В. Шаветов

Литература

1. Килин С.Я. Квантовая информация // Успехи физических наук. – 1999. – Т. 169. – № 5. – С. 507–527. 2. Стин Э. Квантовые вычисления. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 100 с. 3. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. – Ижевск: РХД, 2001. –
352 с. 4. Dugic’ M., C’irkovi’c M.M. Quantum parallelism in quantum information processing // J. Theor. Phys. –
2002. – V. 14. – № 9. – Р. 1641–1649. 5. Horodecki R. et. al. Quantum entanglement // Rev. Mod. Phys. – 2009. – V. 81. – № 2. – Р. 865–942. 6. Smith J., Moska M. Algorithms for quantum computers. 2010 [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
arXiv:1001.0767v2 [quant-ph] 2010, своб. 7. Scarani V. et.al. The security of practical quantum key distribution // Rev. Mod. Phys. – 2009. – V. 81. –
№ 3. – Р. 1301–1350. 8. Fredkin E., Toffoli T. Conservative logic // Inter. Journ. of Theor. Phys. – 1982. – V. 21. – № 12. – P. 219–
253. 9. Lloid S. Almost any Quantum Logic Gate is Universal // Phys. Rev. Let. – 1995. – V. 75. – № 2. – Р. 346–
349. 10. Turchette Q.A. et. al. Measurement of Conditional Phase Shift for Quantum Logic // Phys. Rev. Lett. –
1995. – V. 75. – P. 4710– 4713. 11. Ottaviani C. et. al. Polarization Qubit Phase Gate in Driven Atomic Media // Phys. Rev. Lett. – 2003. –
V. 90. – P.197902. 12. Ottaviani C. et. al. Quantum phase-gate operation based on nonlinear optics: Full quantum analysis // Phys.
Rev. A. – 2006. – V. 73. – P. 010301.

Мирошниченко Георгий Петрович Трифанов Александр Игоревич

– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, gpmirosh@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, alextrifanov@gmail.com

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)

33