ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УСЛОВИЙ КАЧЕСТВЕННОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Е.Ю. Рабыш, В.В. Григорьев, С.В. Быстров, А.В. Спорягин

УДК 681.5
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УСЛОВИЙ КАЧЕСТВЕННОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Е.Ю. Рабыш, В.В. Григорьев, С.В. Быстров, А.В. Спорягин

На основе прямого метода Ляпунова и условий качественной экспоненциальной неустойчивости найдены оценки динамических показателей качества переходных процессов, позволившие создавать эффективные процедуры анали-
тического анализа многомерных неустойчивых непрерывных и дискретных систем управления. Ключевые слова: качественная экспоненциальная неустойчивость, оценки качества, непрерывные и дискретные системы, анализ поведения неустойчивых систем, потеря управления.

Введение

Одной из актуальных проблем теории управления является анализ поведения неустойчивых систем управления (систем с параметрическими нарушениями). Результаты этого анализа являются ценными для принятия решений при выходе из строя автоматической системы управления, когда неустойчивая система управления может представлять собой существенную угрозу, опасность и для человека, и для окружающей среды. При проектировании такой опасной системы управления необходимо позаботиться о том, чтобы при потере управления, вызванной той или иной причиной, срабатывала система защиты и сигнализации, основанная на динамических свойствах самой системы управления и обеспечивающая минимизацию потерь, связанных с таким инцидентом. Для этого используется понятие качественной экспоненциальной неустойчивости, тесно связанной с качественными показателями процессов неустойчивых систем управления благодаря введению условий, ограничивающих фактически значения скорости изменения нормы вектора состояния системы, что непосредственно связано со степенью расходимости переходных процессов [1–4].

Постановка задачи

Пусть поведение непрерывной динамической системы описывается дифференциальным уравнением

xt  f xt,

(1)

где x  Rn – вектор состояния динамической системы; x0  x0  Rn – вектор начальных состояний; t  0 – время; f x – n-мерная нелинейная вектор-функция векторного аргумента, такая, что при любых
x0  Rn решение x  Rn уравнения (1) существует и единственно. Непрерывная система (1) с положением равновесия x  0 называется качественно экспоненциаль-
но , r неустойчивой, если существуют такие параметры r r  0 и    r  , что для любых траек-

торий движения системы, исходящих из произвольных начальных условий x0  Rn , в любой момент

времени t  0 выполняется условие

 x t   et  x0   ert  et  x0 ,

(2)

где   1. Здесь норма вектора задается соотношением

x

n 

xi2

1/ 2 

,

 i1 

где xi – i-ая компонента вектора состояния x . Пусть поведение дискретной динамической системы описывается разностным уравнением

xm 1  f xm ,

(3)

где x  Rn – вектор состояния динамической системы; x 0  x0  Rn – вектор начальных состояний; m  0, 1, 2... – номер интервала дискретности; f x – n-мерная нелинейная вектор-функция векторного

аргумента, такая, что при любых x0  Rn решение x  Rn уравнения (1) существует и единственно. Дис-
кретная система (3) с положением равновесия x  0 называется качественно экспоненциально , r не-
устойчивой, если существуют такие параметры r r  0 и    1 r , что для любых траекторий дви-

жения системы, исходящих из произвольных начальных условий x0  Rn , при которых для любого но-

мера интервала дискретности m  0 выполняется условие

 xm  m  x0     r m  m  x0 ,

(4)

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 1 (77)

37

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УСЛОВИЙ КАЧЕСТВЕННОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ …

где   1. Параметр  подобен коэффициенту сноса и для неустойчивых систем определяет среднюю

скорость расходимости траекторий движения от начального состояния. Параметр r подобен коэффициенту диффузии и определяет отклонения траекторий движения от усредненной траектории.
Под критическим временем переходного процесса в непрерывных и дискретных динамических си-
стемах соответственно будем понимать значение t  tc , такое, что

x t   c  x0 ,

(5)

xm  c  x0 ,

(6)

т.е. момент времени, в который переходной процесс выходит за заданную критическую c -окрестность

начального положения ( c  1 ). Выбор относительной величины окрестности c определяется требованиями конкретной задачи и зависит от технологических параметров объекта управления. При этом кри-

тическое время переходного процесса для неустойчивых систем характеризует среднюю степень расхо-

димости переходных процессов.

Под выбросом в непрерывных и дискретных динамических системах будем понимать величины

0 0  1 , определяемые соответственно уравнениями

0



maxt0, x0

xm

t

,

(7)

0



max m0,  x0

xm

m

,

(8)

где xm – миноранта x , т.е. функция, ограничивающая снизу текущие значения нормы вектора состоя-

ния, так, что xm  x для любого момента времени. Выброс косвенно характеризует колебательность в

неустойчивой динамической системе, т.е. разброс от средней степени расходимости. При значении 0 ,
стремящимся к бесконечности, процесс носит монотонный характер. Ставится задача на основе достаточных условий качественной экспоненциальной неустойчивости
(2) и (4) для непрерывных и дискретных динамических систем, задаваемых уравнениями (1) и (3) соответственно, отыскать оценки динамических показателей качества в виде критического времени переходного процесса и выброса, которые совместно с достаточными условиями качественной экспоненциальной неустойчивости позволяли бы создать эффективные численные процедуры анализа неустойчивых динамических систем.

Основные результаты

В дальнейшем для оценки процессов будем использовать квадратичную функцию Ляпунова вида:
V  x  xT  P  x ,
где P – симметрическая положительно определенная n n матрица. Будем говорить, что функция Ляпунова квадратичная, если эта функция является выпуклой положительно однородной степени 2 и выполняется соотношение Релея:
ñ1  x 2  V  x  ñ2  x 2 ,
где значения ñ1 и ñ2 являются минимальным и максимальным собственными числами матрицы P соответственно. Выпуклая положительно однородная функция степени 2 обладает следующими свойствами:
V 0  0,V x  2V  x ,

при любых   0 и при любых x0  Rn .
Непрерывная система (1) с положением равновесия x  0 качественно экспоненциально , r не-
устойчива, если существуют такая квадратичная функция Ляпунова и такие параметры r r  0 и 
  r , что для любых траекторий движения системы, исходящих из произвольных начальных условий

x0  Rn , в любой момент времени t  0 выполняется условие
V  d xt xt  r2 V xt.
 dt 
Дискретная система (3) с положением равновесия x  0 качественно экспоненциально , r неустойчива, если существуют такая квадратичная функция Ляпунова и такие параметры r r  0 и 

38 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 1 (77)

Е.Ю. Рабыш, В.В. Григорьев, С.В. Быстров, А.В. Спорягин

  1 r , что для любых траекторий движения системы, исходящих из произвольных начальных усло-

вий x0  Rn , для любого номера интервала дискретности m  0 выполняется условие
V  xm 1  xm  r2 V xm .

Утверждение 1. Оценки критического времени переходного процесса и выброса для непрерывных динамических систем имеют вид

tc



1 

 ln c



,

(9)

 0 

 1



er ln

1  r 

 







e

r
r



 ln

1  r 

 

.

(10)

Утверждение 2. Оценки критического времени переходного процесса и выброса для дискретных

динамических систем имеют вид

tc  T  log c  ,

(11)

   0 

 1ln 

 1



log
 

r r

 



lnr







r

 1ln 

log 

r r



ln

r





.

(12)

Здесь T – интервал квантования.

Доказательства утверждений приведены в Приложении.

Приведем алгоритм аналитического анализа динамических свойств неустойчивых непрерывных и

дискретных систем с исходными данными – матрицей описания замкнутой системы Fu .

1. По заданным показателям качества tc и 0 при   1 определить значения параметров  и r . 3. Как для непрерывных, так и для дискретных систем проверить выполнение условия:

max i  0,i  1, 2, .., n,
i
где i определяется из характеристического уравнения

(13)

det

 Fu

 I

T

 Fu

 I





r2I

 



i

 



0

,

где I – единичная n n матрица. Если условие (13) выполняется, то выполняются и заданные оценки

качества переходных процессов.

Для демонстрации эффективности предлагаемого алгоритма представим результаты математиче-

ского моделирования системы, динамика которой описывается уравнением

xm 1  Fu xm ,

(14)

где матрица описания Fu имеет вид

1,078 0

0 0,013

Fu



 

0

0,012



0

1,077 0
0,014

0,011 1,081
0

0

 

0

 1,082 

с интервалом квантования T=0,1 с.

Проанализируем исходную неустойчивую систему управления, при этом возьмем параметры каче-

ства

tc  3 , c  10 , 0  5 , используя которые, находим:

(15)

  1,08 , r  0,0158 .

Проверим выполнение условия (13):

max i  0,00003  0 ,
i
т.е. проверяемое условие выполняется, таким образом, и заданные показатели качества тоже должны выполняться. Теперь проверим удовлетворение другим показателям качества:

tc  3 , c  10 , 0  20 , откуда находим параметры:

(16)

  1,08 , r  0,0106 .

Проверим выполнение условия (13):

max i  0,0001  0 ,
i

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 1 (77)

39

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УСЛОВИЙ КАЧЕСТВЕННОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ …
т.е. проверяемое условие не выполняется, таким образом, и заданные показатели качества тоже не должны выполняться. Желаемые оценочные трубки и реакция системы управления (14) на начальные отклонения
x0T  0,50,50,50,5
представлены на рисунке. Рисунок подтверждает справедливость полученных заключений.

аб

Рисунок. Оценочная трубка из условия качественной экспоненциальной неустойчивости построенная: (а) – по параметрам качества (15); (б) – по параметрам качества (16)

Заключение

Полученные оценки динамических показателей качества в виде критического времени переходного процесса и выброса совместно с достаточными условиями качественной экспоненциальной неустойчивости позволили создать эффективные численные процедуры анализа неустойчивых непрерывных и дискретных динамических систем.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 09-08-00857-а «Методология применения теории качественной устойчивости при проектировании систем управления адаптивной оптикой»).

Приложение. Доказательства утверждений

Доказательство утверждения 1 Из свойств нормы:

x t   et x0  x t   et x0 ,

et x0  et x0 ,

откуда, учитывая (2), получим:
 x t   et x0   ert  et  x0 ,

(П.1)

из которого при r  0 получим:

x t   et x0 ,
разрешив которое относительно t , с учетом (5) получим:

tc



1 



ln



c



.

(П.2)

Рассмотрим миноранту из неравенства (П.1):

maxt xm t    1  et x0   ert  x0 .

(3)

Чтобы найти t , возьмем производную по времени и, приравняв к нулю, разрешим относительно t :

t



1 r

 ln 

 1   r

 

.

Подставив (П.3) и (П.4) в (7), получим

(П.44)

 0 

 1



er ln

1  r 

 







e

r
r



 ln

1  r 

 

.

Равенства (П.2) и (П.5) соответствуют равенствам (9) и (10), что и требовалось доказать.

(П.55)

40 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 1 (77)

Е.Ю. Рабыш, В.В. Григорьев, С.В. Быстров, А.В. Спорягин

Доказательство утверждения 2 Из свойств нормы

x m  m x0  x m  m x0 ,

m x0  m x0 при   0 ,

откуда, учитывая (4), получим
 xm  m x0     r m  m  x0 ,

(П.6)

из которого при r  0 получим:

x m  m x0 ,

разрешив которое относительно m , с учетом (6) и t  mT получим
tc  T  logc  .
Рассмотрим миноранту из неравенства (П.6):

(П.7)

maxm xm m   1m x0    r m  x0 .

(П.8)

Чтобы найти m , возьмем производную по времени и, приравняв к нулю, разрешим относительно m :

  1ln  

m



log r 
 r 



ln 



r



.

Подставив (П.8) и (П.9) в (8), получим

(П.9)

   0 

 1ln  

 1

 log 

r r

 



ln



r







r

 1ln  

log 

 r

r

 



ln



r





.

Равенства (П.7) и (П.5) соответствуют равенствам (11) и (12), что и требовалось доказать.

(П10)

Литература

1. Бобцов А.А., Быстров С.В., Григорьев В.В., Мансурова О.К., Мотылькова М.М. Качественная устойчивость и неустойчивость непрерывных и дискретных динамических систем // Труды 2-й Российской мультиконференции по проблемам управления. – СПб: ФГУП ЦНИИ «Электроприбор», 2008. – C. 41–43.
2. Рабыш Е.Ю., Григорьев В.В., Быстров С.В. Анализ поведения неустойчивых непрерывных и дискретных динамических систем // Сборник статей I международной заочной научно-технической конференции «Информационные технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации». – Тольятти: Изд-во ПВГУС, 2011. – С. 263–270.
3. Grigoryev V.V., Mansurova O.K. Qualitative Exponential Stability and Instability of Dynamical System // Preprints of 5-th IFAK Symposium on Nonlinear Control Systems (NOLCOS’01). – St.Petersburg: IPME RAS, 2001. – P. 899–902.
4. Grigoryev V.V., Michailov S.V. Analysis and Synthesis Methods Based on Lyapunov’s Method // Abstracts the Second Int. Conf. D. Eq. and Appl. – St. Petersburg: SPBSPU, 1998. – P. 37–38.

Рабыш Евгений Юрьевич Григорьев Валерий Владимирович Быстров Сергей Владимирович Спорягин Анатолий Владимирович

– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант,
Rabysh@yandex.ru – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, grigvv@yandex.ru – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, sbystrov@mail.ru – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант,
Avsporyagin@yandex.ru

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 1 (77)

41