КАСКАДНАЯ РЕДУКЦИЯ В ЗАДАЧАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 681.51.015
КАСКАДНАЯ РЕДУКЦИЯ В ЗАДАЧАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ С.В. Арановский, А.А. Бобцов, А.А. Пыркин
Рассматривается задача идентификации неполного набора неизвестных параметров линейной регрессионной модели. Предложена процедура редукции, позволяющая свести исходную модель к редуцированной, содержащей меньшее число неизвестных параметров. Проанализированы условия существования редуцированной модели, сводящиеся к
линейной независимости входных сигналов. Ключевые слова: линейная регрессионная модель, редукция, идентификация.
Как в теории идентификации, так и при решении задач адаптивного управления важнейшую роль играет линейная регрессионная модель, описываемая выражением [1]
n
y(t) 11(t) 22 (t) nn (t) kk (t) ,
(1)
k 1
где y(t) – измеряемый выходной сигнал; i (t) – измеряемые сигналы (регрессоры); i – неизвестные
параметры; i 1,..., n . Такая модель часто используется в явном виде при описании линейных статиче-
ских процессов или линейных дискретных систем, может быть получена для непрерывных систем путем введения фильтра состояний, применяется для описания некоторых нелинейных систем с известными нелинейностями или же может входить как подсистема в более сложные модели [1]. Также в работах [2– 4] приведен пример использования такой модели для идентификации параметров гармонического сигнала и компенсации соответствующих возмущений.
Как правило, ставятся задачи идентификации неизвестных параметров по набору измерений, оценивания параметров в реальном времени при использовании адаптивного управления или компенсации возмущений. Существует большое число подходов, решающих эти задачи, наиболее известным среди которых является метод наименьших квадратов и различные его модификации [1]. Для оценки в реальном времени могут использоваться итеративные формы метода наименьших квадратов или градиентные интегральные алгоритмы. К преимуществам последних относятся меньшая вычислительная сложность и возможность варьировать скорость сходимости оценок. Указанные подходы обладают общим недостатком – оценка всех параметров модели (1) происходит одновременно, что отрицательно сказывается на времени оценивания. В то же время, в ряде задач полная идентификация модели (1) не требуется. Например, при диагностике отказов оборудования нет необходимости оценивать все n неизвестных параметров, достаточно оценить только
один контрольный параметр k . Для решения задачи идентификации одного параметра k предложена
итеративная процедура каскадной редукции модели (1). Рассмотрим для краткости и удобства изложения модель (1) при n 3 и опустим в выражениях ар-
гумент t:
y 11 22 33 .
(2)
Поставим задачу редуцировать систему (2) до одного неизвестного параметра 3 . Сначала умно-
жим (2) на 2 и проинтегрируем по времени на интервале от t0 до t :
tt
tt
y2dt 1 12dt 2 22dt 3 32dt .
t0 t0
t0 t0
tt
tt
Введем обозначения y y2dt , 1 12dt , 2 22dt , 3 32dt . Тогда
t0 t0
t0 t0
y21 1121 2 3321 . Продифференцировав по времени, получим
y21 y222 1 121 1222 3 321 3222 .
(3)
Модель (3) является редуцированной формой модели (2), из которой исключен параметр 2 . От-
метим, что 2 0 для t t0 при 2 (t0 ) 0 , причем последнее достигается путем выбора t0 . Ситуация,
при которой подходящего t0 не существует, т.е. 2 0 , интереса не представляет, так как является вырожденной, и идентификация системы (2) невозможна (при этом система может быть редуцирована отбрасыванием нулевого члена). Модель (3) позволяет осуществить дальнейшую редукцию тогда и только
тогда, когда выражение ~21 ~222 не обращается тождественно в ноль, где под ~ понимается лю-
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 3 (79)
149
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
бая функция из y , 1,3 . Заметим, что это условие выполняется, если ~ не может быть линейно выра-
жена через 2 , т.е. не существует такого k const , что ~ k2 . Несложно показать, что если это усло-
вие нарушается, то система (2) вырождается и не может быть однозначно идентифицирована (исключением является случай n 1 , который не представляет интереса с точки зрения поставленной задачи).
Продолжим редукцию модели (3). Чтобы исключить процедуру деления, умножим правую и ле-
вую части (3) на 22 :
y2 y2 1 12 12 3 32 32 .
(4)
Введем новые переменные y y2 y2 , 1 12 12 , 3 32 32 , умножим модель
(4) на 1 и проинтегрируем по времени на интервале от t0 до t :
t tt
y 1dt 1 12dt 3 31dt .
t0 t0 t0
t tt
Тогда, введя по аналогии выражения y y 1dt , 1 12dt , 3 31dt , получим
t0 t0 t0
y11 1 3311 .
Продифференцировав по времени, получаем
y11 y121 3 311 3121 .
(5)
Модель (5) является редуцированной формой модели (2), в которой остался только один неизвест-
ный параметр 3 , а выходной сигнал и регрессор известны. Соответственно параметр 3 может быть идентифицирован любым из описанных выше способов. Как и ранее, в выражении (5) можно исключить
процедуру деления, умножив его на 12 . Таким образом, итеративная процедура каскадной редукции поз-
воляет выделить из исходной модели (1) только те неизвестные параметры, которые требуется идентифицировать. Во избежание достижения интегралами больших величин интегрирование может проводиться на
не интервале от t0 до t , а на некотором интервале от t T до t , t T , образующем временное окно. Это позволит также отслеживать вариации идентифицируемого параметра, но пока оставляет открытым вопрос
выбора ширины окна T. Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной
России» на 2009–2013 годы (государственный контракт № 16.740.11.0553).
1. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. – М.: Наука, 1991. – 432 с. 2. Арановский С.В., Бобцов А.А., Никифоров В.О. Синтез наблюдателя для нелинейного объекта в
условиях гармонического возмущения, приложенного к выходной переменной // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 3 (67). – С. 32–39.
3. Aranovskiy S., Bobtsov A., Kremlev A., Nikolaev N., Slita O. Identification of frequency of biased harmonic signal // European Journal of Control. – 2010. – № 2. – P. 129–139.
4. Бобцов А.А., Ефимов Д.В., Пыркин А.А., Золгадри А. Алгоритм адаптивного оценивания частоты смещенного синусоидального сигнала с аддитивной нерегулярной составляющей // Мехатроника, автоматизация, управление. – 2012. – № 2. – C. 16–21.
Арановский Станислав Владимирович – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, ст. научный сотрудник,
s.aranovskiy@gmail.com Бобцов Алексей Алексеевич – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, bobtsov@mail.ru Пыркин Антон Алексеевич – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, ассистент, a.pyrkin@gmail.com
150
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 3 (79)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 681.51.015
КАСКАДНАЯ РЕДУКЦИЯ В ЗАДАЧАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ С.В. Арановский, А.А. Бобцов, А.А. Пыркин
Рассматривается задача идентификации неполного набора неизвестных параметров линейной регрессионной модели. Предложена процедура редукции, позволяющая свести исходную модель к редуцированной, содержащей меньшее число неизвестных параметров. Проанализированы условия существования редуцированной модели, сводящиеся к
линейной независимости входных сигналов. Ключевые слова: линейная регрессионная модель, редукция, идентификация.
Как в теории идентификации, так и при решении задач адаптивного управления важнейшую роль играет линейная регрессионная модель, описываемая выражением [1]
n
y(t) 11(t) 22 (t) nn (t) kk (t) ,
(1)
k 1
где y(t) – измеряемый выходной сигнал; i (t) – измеряемые сигналы (регрессоры); i – неизвестные
параметры; i 1,..., n . Такая модель часто используется в явном виде при описании линейных статиче-
ских процессов или линейных дискретных систем, может быть получена для непрерывных систем путем введения фильтра состояний, применяется для описания некоторых нелинейных систем с известными нелинейностями или же может входить как подсистема в более сложные модели [1]. Также в работах [2– 4] приведен пример использования такой модели для идентификации параметров гармонического сигнала и компенсации соответствующих возмущений.
Как правило, ставятся задачи идентификации неизвестных параметров по набору измерений, оценивания параметров в реальном времени при использовании адаптивного управления или компенсации возмущений. Существует большое число подходов, решающих эти задачи, наиболее известным среди которых является метод наименьших квадратов и различные его модификации [1]. Для оценки в реальном времени могут использоваться итеративные формы метода наименьших квадратов или градиентные интегральные алгоритмы. К преимуществам последних относятся меньшая вычислительная сложность и возможность варьировать скорость сходимости оценок. Указанные подходы обладают общим недостатком – оценка всех параметров модели (1) происходит одновременно, что отрицательно сказывается на времени оценивания. В то же время, в ряде задач полная идентификация модели (1) не требуется. Например, при диагностике отказов оборудования нет необходимости оценивать все n неизвестных параметров, достаточно оценить только
один контрольный параметр k . Для решения задачи идентификации одного параметра k предложена
итеративная процедура каскадной редукции модели (1). Рассмотрим для краткости и удобства изложения модель (1) при n 3 и опустим в выражениях ар-
гумент t:
y 11 22 33 .
(2)
Поставим задачу редуцировать систему (2) до одного неизвестного параметра 3 . Сначала умно-
жим (2) на 2 и проинтегрируем по времени на интервале от t0 до t :
tt
tt
y2dt 1 12dt 2 22dt 3 32dt .
t0 t0
t0 t0
tt
tt
Введем обозначения y y2dt , 1 12dt , 2 22dt , 3 32dt . Тогда
t0 t0
t0 t0
y21 1121 2 3321 . Продифференцировав по времени, получим
y21 y222 1 121 1222 3 321 3222 .
(3)
Модель (3) является редуцированной формой модели (2), из которой исключен параметр 2 . От-
метим, что 2 0 для t t0 при 2 (t0 ) 0 , причем последнее достигается путем выбора t0 . Ситуация,
при которой подходящего t0 не существует, т.е. 2 0 , интереса не представляет, так как является вырожденной, и идентификация системы (2) невозможна (при этом система может быть редуцирована отбрасыванием нулевого члена). Модель (3) позволяет осуществить дальнейшую редукцию тогда и только
тогда, когда выражение ~21 ~222 не обращается тождественно в ноль, где под ~ понимается лю-
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 3 (79)
149
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
бая функция из y , 1,3 . Заметим, что это условие выполняется, если ~ не может быть линейно выра-
жена через 2 , т.е. не существует такого k const , что ~ k2 . Несложно показать, что если это усло-
вие нарушается, то система (2) вырождается и не может быть однозначно идентифицирована (исключением является случай n 1 , который не представляет интереса с точки зрения поставленной задачи).
Продолжим редукцию модели (3). Чтобы исключить процедуру деления, умножим правую и ле-
вую части (3) на 22 :
y2 y2 1 12 12 3 32 32 .
(4)
Введем новые переменные y y2 y2 , 1 12 12 , 3 32 32 , умножим модель
(4) на 1 и проинтегрируем по времени на интервале от t0 до t :
t tt
y 1dt 1 12dt 3 31dt .
t0 t0 t0
t tt
Тогда, введя по аналогии выражения y y 1dt , 1 12dt , 3 31dt , получим
t0 t0 t0
y11 1 3311 .
Продифференцировав по времени, получаем
y11 y121 3 311 3121 .
(5)
Модель (5) является редуцированной формой модели (2), в которой остался только один неизвест-
ный параметр 3 , а выходной сигнал и регрессор известны. Соответственно параметр 3 может быть идентифицирован любым из описанных выше способов. Как и ранее, в выражении (5) можно исключить
процедуру деления, умножив его на 12 . Таким образом, итеративная процедура каскадной редукции поз-
воляет выделить из исходной модели (1) только те неизвестные параметры, которые требуется идентифицировать. Во избежание достижения интегралами больших величин интегрирование может проводиться на
не интервале от t0 до t , а на некотором интервале от t T до t , t T , образующем временное окно. Это позволит также отслеживать вариации идентифицируемого параметра, но пока оставляет открытым вопрос
выбора ширины окна T. Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной
России» на 2009–2013 годы (государственный контракт № 16.740.11.0553).
1. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. – М.: Наука, 1991. – 432 с. 2. Арановский С.В., Бобцов А.А., Никифоров В.О. Синтез наблюдателя для нелинейного объекта в
условиях гармонического возмущения, приложенного к выходной переменной // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 3 (67). – С. 32–39.
3. Aranovskiy S., Bobtsov A., Kremlev A., Nikolaev N., Slita O. Identification of frequency of biased harmonic signal // European Journal of Control. – 2010. – № 2. – P. 129–139.
4. Бобцов А.А., Ефимов Д.В., Пыркин А.А., Золгадри А. Алгоритм адаптивного оценивания частоты смещенного синусоидального сигнала с аддитивной нерегулярной составляющей // Мехатроника, автоматизация, управление. – 2012. – № 2. – C. 16–21.
Арановский Станислав Владимирович – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, ст. научный сотрудник,
s.aranovskiy@gmail.com Бобцов Алексей Алексеевич – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, bobtsov@mail.ru Пыркин Антон Алексеевич – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, ассистент, a.pyrkin@gmail.com
150
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 3 (79)