ВОЛНОВОДНЫЕ НАНОСТРУКТУРЫ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
ВОЛНОВОДНЫЕ НАНОСТРУКТУРЫ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
УДК 517.938
ВОЛНОВОДНЫЕ НАНОСТРУКТУРЫ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Д.Г. Матвеев
Рассмотрены системы из двухмерных и трехмерных плоских волноводов в однородном электрическом поле. Построены соответствующие математические модели, проанализированные с помощью метода прямой вариационной оценки. Продемонстрирована возможность управления положением связанного состояния электрона при помощи внешнего электрического поля в наноструктурах волноводного типа. Ключевые слова: квантовые волноводы, связанные состояния, оценки спектра.
Введение
Создание наноструктур с заданными свойствами является одним из наиболее развитых направлений современных исследований в области нанотехнологий [1]. Известные решения позволяют производить двух- и трехмерные структуры с определенным набором параметров и характеристик. Различные материалы и легирование предоставляют выбор граничных условий и режимов проводимости [2]. Примеси и пространственные неоднородности привносят дополнительные особенности в электронный транспорт, добавляя резонансы или связанные состояния [3]. Одним словом, технология производства структур различной сложности и размеров уже вышла на принципиально новый уровень и продолжает развиваться. Это ставит вопрос о возможности изменения свойств уже существующих структур для варьирования случаев использования и количества операций над кубитами, выполнимых с помощью конкретной реализации наноразмерной системы.
Одним из примеров решения данного вопроса может быть рассмотрение конкретной математической модели для фиксированной структурной системы с применением внешнего воздействия. Такая модель позволяет спрогнозировать результаты воздействия извне системы на ее ключевые особенности. Оценка зависимости от внешнего электрического поля связанного состояния в системе из двух волноводов, соединенных через отверстие, и является предметом настоящей статьи.
Построены две модели – для случая двухмерных волноводов с отверстием и для случая трехмерных плоских волноводов с квадратным соединительным окном. Начальными параметрами данных моделей являются их пространственные и размерные характеристики: толщина и ширина волноводов, длина и ширина отверстия. При введении поперечного электрического поля в качестве влияющего параметра появляется напряженность. Рассмотренные модели изображены на рис. 1, 2.
Будем оценивать положение собственного значения ниже границы непрерывного спектра для оператора Лапласа у построенных моделей. Известно, что в случае отсутствия электрического поля существует связанное состояние в спектре лапласиана подобной системы [4], что верно и при наличии периодических соединительных отверстий [5].
Рис. 1. Двухмерные волноводы с соединительным отверстием
Доказательство существования собственного значения и нахождение зависимости его положения от введенного поля позволят размышлять о возможности управления поведением структуры извне. Управление расположением связанного состояния ведет к управлению электронным транспортом в наноструктуре в принципе. А изменение свойств транспорта в реальном времени открывает путь для реализации квантовых операций любой сложности. Не стоит думать, что приведенная модель являет собой решение всех проблем с квантовыми вычислениями [6], но, по крайней мере, она может рассматриваться
28 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 6 (70)
Д.Г. Матвеев
как непосредственное приближение для описания квантово-вычислительных устройств, а результаты дают толчок для продолжения исследований в области управления.
Рис. 2. Трехмерные волноводы с квадратным связующим окном
Методы исследования
Основным методом, использованным при проведении доказательства, является метод прямой вариационной оценки (метод Ритца). Важной для исследования становится особенность этого метода, заключающаяся в предоставлении оценки сверху для уровня энергий оператора. Последовательность пробных функций приближает реальное решение со стороны верхней границы и предоставляет возможность оценивать его положение относительно границы непрерывного спектра. Действительно, нахождение пробной функции, для которой полученное собственное значение оператора будет расположено ниже обозначенной границы, утверждает о наличии связанного состояния в спектре, находящегося на равном или большем расстоянии от непрерывного спектра.
Построение пробной функции – один из наиболее важных этапов исследования. Полученная функция должна иметь правдоподобные зависимости от основных параметров системы и учитывать вклад электрического поля для поперечных компонент. Оценка, полученная с использованием достоверных функциональных зависимостей, дает возможность анализа пропорциональности результата свойствам системы и позволяет оценить вклад напряженности в изменение ширины зазора в спектре оператора Лапласа.
В случае двухмерной модели достаточно определить поведение пробной функции на продолжении волноводов F(x, y) и в месте разрыва связующей поверхности G(x, y) для продольной x и поперечной y координаты. В трехмерном случае добавляется компонента Z(z) для описания пробной функции по координате z вне соединительного окна и компонента T(z), характеризующая поведение электрона по координате z внутри окна. Таким образом, результирующая функция будет иметь следующий вид:
(x, y, z) F (x, y, z) G(x, y, z)
(2D: (x, y) F (x, y) G(x, y) )
F (x, y, z) U (x)V ( y)Z (z), G(x, y, z) P(x)R( y)T (z).
(2D: F (x, y) U (x)V ( y), G(x, y) P(x)R( y) )
Выбор граничных условий для пробной функции зависит от типа материалов, используемых для квантовых волноводов. Условия Дирихле подходят для диэлектрических гетероструктур, а условия Неймана – для слоистых металлических наноструктур. Стоит отметить, что результаты исследования остаются актуальными при выборе любых из предложенных граничных условий.
Для получения оценки зазора в спектре оператора Лапласа
H
2 x2
2 y 2
2 z 2
необходимо до-
казать отрицательность разности собственного значения для приведенной функции и граничного собственного значения для непрерывного спектра:
H n ,
(H ,) 0 (,)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 6 (70)
29
ВОЛНОВОДНЫЕ НАНОСТРУКТУРЫ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
n
(H ,) , (, )
n 0 0,
(H ,) (, )
0
0,
(H ,) 0 (, )
(, )
0,
где n – собственное значение для выбранной пробной функции, 0 – граница непрерывного спектра.
Результаты
Доказательство нескольких предварительных лемм и основной теоремы в [7] приводят к интерес-
ным результатам.
1. Прослеживается зависимость положения собственного значения от ширины соединяющего отвер-
стия в положительной степени, что подтверждает правильность результата предельным переходом к
[4] при отсутствии внешнего поля.
2. Для двухмерного и трехмерного случая, демонстрируется приближенный вид влияния электрическо-
го поля как дополнительного члена пропорциональности.
Приведем вид основных результатов для двухмерного случая,
212
a
4
6d 2 (2
2m 2
E2 162
2
1)2 (2 2 )
,
и для трехмерного случая,
3
217
a6
2m 2
10d 2 3 21 2
E2 162
2
Z 4 (2 2 )
.
Здесь m – масса электрона; – постоянная Планка; 1, 2 – положительные константы.
Можно заметить, что в обоих случаях ширина зазора не имеет явной пропорциональной зави-
симости от напряженности электрического поля. Этот факт имеет реальный физический смысл – исклю-
чение влияния внешнего поля вызовет не исчезновение связанного состояния, а лишь его перемещение в
спектре оператора Лапласа, что хорошо согласуется с результатами [4].
С другой стороны, изменение внешнего воздействия посредством варьирования напряженности
влечет за собой сдвиг собственного значения на контролируемое расстояние в выбранном направлении,
позволяя управление характеристиками электронного транспорта в подобных системах.
Учитывая тот факт, что при изгибе плоских волноводов (включая слабый) связанные состояния
могут переходить в резонансы [3], управление положением собственного значения может также иметь
свое развитие в управлении положением резонансов системы, что является возможным продолжением
исследования в этой области.
Заключение
Результаты исследования дают основания полагать, что существует реальная возможность обеспечить динамическое изменение свойств электронного транспорта в наноструктурах волноводного типа. Использование данной возможности позволит добиться увеличения числа различных результатов взаимодействия частиц при прохождении системы и поведения частиц в самой системе.
Являясь приближением операции над кубитами, рассмотренная модель приводит к выводу о реальности контролируемых квантовых операций в устройствах подобного типа. А это есть достаточное обоснование, непосредственно приближающее нас в теории к созданию квантовых вычислителей революционно нового типа на практике.
Литература
1. Алферов Ж.И., Асеев A.Л., Гапонов С.В., Копьев П.С., Сурис Р.А. Наноматериалы и нанотехнологии // Нано- и микросистемная техника. – 2003. – С. 3–13.
2. J.C. Ho et al. Controlled nanoscale doping of semiconductors via molecular monolayers // Nature Mater. – 2008. – № 7. – 62 р.
3. Hynek Kovařík and Andrea Sacchetti. Resonance in twisted quantum waveguides // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. – 2007. – V. 40. – № 29.
30 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 6 (70)
Д.Г. Матвеев
4. Exner P. Laterally Coupled Quantum Waveguides // Cont. Math. – 1998. – V. 217. – Р. 69–82. 5. Мельничук О.П., Попов И.Ю. Квантовые волноводы, связанные через периодическую систему ма-
лых отверстий: оценка запрещенной зоны // Письма в ЖТФ. – 2002. – Т. 28. – Вып. 8. – С. 69–73. 6. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. – М.: Мир, 2006. – 824 с. 7. Matveev D.G., Popov I.Yu. Bound Electron States in a System of Coupled Waveguides in a Transverse
Electric Field // Technical Physics Letters. – 2009. – V. 35. – № 11. – Р. 1007–1009.
Матвеев Дмитрий Геннадьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, d.g.matveev@gmail.com
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 6 (70)
31
УДК 517.938
ВОЛНОВОДНЫЕ НАНОСТРУКТУРЫ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Д.Г. Матвеев
Рассмотрены системы из двухмерных и трехмерных плоских волноводов в однородном электрическом поле. Построены соответствующие математические модели, проанализированные с помощью метода прямой вариационной оценки. Продемонстрирована возможность управления положением связанного состояния электрона при помощи внешнего электрического поля в наноструктурах волноводного типа. Ключевые слова: квантовые волноводы, связанные состояния, оценки спектра.
Введение
Создание наноструктур с заданными свойствами является одним из наиболее развитых направлений современных исследований в области нанотехнологий [1]. Известные решения позволяют производить двух- и трехмерные структуры с определенным набором параметров и характеристик. Различные материалы и легирование предоставляют выбор граничных условий и режимов проводимости [2]. Примеси и пространственные неоднородности привносят дополнительные особенности в электронный транспорт, добавляя резонансы или связанные состояния [3]. Одним словом, технология производства структур различной сложности и размеров уже вышла на принципиально новый уровень и продолжает развиваться. Это ставит вопрос о возможности изменения свойств уже существующих структур для варьирования случаев использования и количества операций над кубитами, выполнимых с помощью конкретной реализации наноразмерной системы.
Одним из примеров решения данного вопроса может быть рассмотрение конкретной математической модели для фиксированной структурной системы с применением внешнего воздействия. Такая модель позволяет спрогнозировать результаты воздействия извне системы на ее ключевые особенности. Оценка зависимости от внешнего электрического поля связанного состояния в системе из двух волноводов, соединенных через отверстие, и является предметом настоящей статьи.
Построены две модели – для случая двухмерных волноводов с отверстием и для случая трехмерных плоских волноводов с квадратным соединительным окном. Начальными параметрами данных моделей являются их пространственные и размерные характеристики: толщина и ширина волноводов, длина и ширина отверстия. При введении поперечного электрического поля в качестве влияющего параметра появляется напряженность. Рассмотренные модели изображены на рис. 1, 2.
Будем оценивать положение собственного значения ниже границы непрерывного спектра для оператора Лапласа у построенных моделей. Известно, что в случае отсутствия электрического поля существует связанное состояние в спектре лапласиана подобной системы [4], что верно и при наличии периодических соединительных отверстий [5].
Рис. 1. Двухмерные волноводы с соединительным отверстием
Доказательство существования собственного значения и нахождение зависимости его положения от введенного поля позволят размышлять о возможности управления поведением структуры извне. Управление расположением связанного состояния ведет к управлению электронным транспортом в наноструктуре в принципе. А изменение свойств транспорта в реальном времени открывает путь для реализации квантовых операций любой сложности. Не стоит думать, что приведенная модель являет собой решение всех проблем с квантовыми вычислениями [6], но, по крайней мере, она может рассматриваться
28 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 6 (70)
Д.Г. Матвеев
как непосредственное приближение для описания квантово-вычислительных устройств, а результаты дают толчок для продолжения исследований в области управления.
Рис. 2. Трехмерные волноводы с квадратным связующим окном
Методы исследования
Основным методом, использованным при проведении доказательства, является метод прямой вариационной оценки (метод Ритца). Важной для исследования становится особенность этого метода, заключающаяся в предоставлении оценки сверху для уровня энергий оператора. Последовательность пробных функций приближает реальное решение со стороны верхней границы и предоставляет возможность оценивать его положение относительно границы непрерывного спектра. Действительно, нахождение пробной функции, для которой полученное собственное значение оператора будет расположено ниже обозначенной границы, утверждает о наличии связанного состояния в спектре, находящегося на равном или большем расстоянии от непрерывного спектра.
Построение пробной функции – один из наиболее важных этапов исследования. Полученная функция должна иметь правдоподобные зависимости от основных параметров системы и учитывать вклад электрического поля для поперечных компонент. Оценка, полученная с использованием достоверных функциональных зависимостей, дает возможность анализа пропорциональности результата свойствам системы и позволяет оценить вклад напряженности в изменение ширины зазора в спектре оператора Лапласа.
В случае двухмерной модели достаточно определить поведение пробной функции на продолжении волноводов F(x, y) и в месте разрыва связующей поверхности G(x, y) для продольной x и поперечной y координаты. В трехмерном случае добавляется компонента Z(z) для описания пробной функции по координате z вне соединительного окна и компонента T(z), характеризующая поведение электрона по координате z внутри окна. Таким образом, результирующая функция будет иметь следующий вид:
(x, y, z) F (x, y, z) G(x, y, z)
(2D: (x, y) F (x, y) G(x, y) )
F (x, y, z) U (x)V ( y)Z (z), G(x, y, z) P(x)R( y)T (z).
(2D: F (x, y) U (x)V ( y), G(x, y) P(x)R( y) )
Выбор граничных условий для пробной функции зависит от типа материалов, используемых для квантовых волноводов. Условия Дирихле подходят для диэлектрических гетероструктур, а условия Неймана – для слоистых металлических наноструктур. Стоит отметить, что результаты исследования остаются актуальными при выборе любых из предложенных граничных условий.
Для получения оценки зазора в спектре оператора Лапласа
H
2 x2
2 y 2
2 z 2
необходимо до-
казать отрицательность разности собственного значения для приведенной функции и граничного собственного значения для непрерывного спектра:
H n ,
(H ,) 0 (,)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 6 (70)
29
ВОЛНОВОДНЫЕ НАНОСТРУКТУРЫ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
n
(H ,) , (, )
n 0 0,
(H ,) (, )
0
0,
(H ,) 0 (, )
(, )
0,
где n – собственное значение для выбранной пробной функции, 0 – граница непрерывного спектра.
Результаты
Доказательство нескольких предварительных лемм и основной теоремы в [7] приводят к интерес-
ным результатам.
1. Прослеживается зависимость положения собственного значения от ширины соединяющего отвер-
стия в положительной степени, что подтверждает правильность результата предельным переходом к
[4] при отсутствии внешнего поля.
2. Для двухмерного и трехмерного случая, демонстрируется приближенный вид влияния электрическо-
го поля как дополнительного члена пропорциональности.
Приведем вид основных результатов для двухмерного случая,
212
a
4
6d 2 (2
2m 2
E2 162
2
1)2 (2 2 )
,
и для трехмерного случая,
3
217
a6
2m 2
10d 2 3 21 2
E2 162
2
Z 4 (2 2 )
.
Здесь m – масса электрона; – постоянная Планка; 1, 2 – положительные константы.
Можно заметить, что в обоих случаях ширина зазора не имеет явной пропорциональной зави-
симости от напряженности электрического поля. Этот факт имеет реальный физический смысл – исклю-
чение влияния внешнего поля вызовет не исчезновение связанного состояния, а лишь его перемещение в
спектре оператора Лапласа, что хорошо согласуется с результатами [4].
С другой стороны, изменение внешнего воздействия посредством варьирования напряженности
влечет за собой сдвиг собственного значения на контролируемое расстояние в выбранном направлении,
позволяя управление характеристиками электронного транспорта в подобных системах.
Учитывая тот факт, что при изгибе плоских волноводов (включая слабый) связанные состояния
могут переходить в резонансы [3], управление положением собственного значения может также иметь
свое развитие в управлении положением резонансов системы, что является возможным продолжением
исследования в этой области.
Заключение
Результаты исследования дают основания полагать, что существует реальная возможность обеспечить динамическое изменение свойств электронного транспорта в наноструктурах волноводного типа. Использование данной возможности позволит добиться увеличения числа различных результатов взаимодействия частиц при прохождении системы и поведения частиц в самой системе.
Являясь приближением операции над кубитами, рассмотренная модель приводит к выводу о реальности контролируемых квантовых операций в устройствах подобного типа. А это есть достаточное обоснование, непосредственно приближающее нас в теории к созданию квантовых вычислителей революционно нового типа на практике.
Литература
1. Алферов Ж.И., Асеев A.Л., Гапонов С.В., Копьев П.С., Сурис Р.А. Наноматериалы и нанотехнологии // Нано- и микросистемная техника. – 2003. – С. 3–13.
2. J.C. Ho et al. Controlled nanoscale doping of semiconductors via molecular monolayers // Nature Mater. – 2008. – № 7. – 62 р.
3. Hynek Kovařík and Andrea Sacchetti. Resonance in twisted quantum waveguides // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. – 2007. – V. 40. – № 29.
30 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 6 (70)
Д.Г. Матвеев
4. Exner P. Laterally Coupled Quantum Waveguides // Cont. Math. – 1998. – V. 217. – Р. 69–82. 5. Мельничук О.П., Попов И.Ю. Квантовые волноводы, связанные через периодическую систему ма-
лых отверстий: оценка запрещенной зоны // Письма в ЖТФ. – 2002. – Т. 28. – Вып. 8. – С. 69–73. 6. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. – М.: Мир, 2006. – 824 с. 7. Matveev D.G., Popov I.Yu. Bound Electron States in a System of Coupled Waveguides in a Transverse
Electric Field // Technical Physics Letters. – 2009. – V. 35. – № 11. – Р. 1007–1009.
Матвеев Дмитрий Геннадьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, d.g.matveev@gmail.com
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 6 (70)
31