ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫХ МОДЕЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ АНТРОПОКОМПОНЕНТОВ-ОПЕРАТОРОВ В СОСТАВЕ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫХ МОДЕЛЬНЫХ...

3 АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

УДК 517/519:62.50:681.306
ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫХ МОДЕЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
АНТРОПОКОМПОНЕНТОВ-ОПЕРАТОРОВ В СОСТАВЕ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Н.А. Дударенко, М.В. Полякова, А.В. Ушаков

Ставится задача формирования векторно-матричного модельного описания (МО) сложной динамической системы (СДС) с антропокомпонентами-операторами на основе интервальных представлений. С использованием аппарата интервальных арифметики и алгебры формируется оценка роста значения относительной интервальности системных компонентов МО СДС при переходе от передаточных функций к векторно-матричному представлению метода пространства состояний. По полученным оценкам определяется степень применимости аппарата теории чувствительности в рамках функции чувствительности первого порядка для оценки вариаций функционалов вырождения СДС на угловых реализациях интервальных системных параметров критериальных матриц. Ключевые слова: интервальный системный параметр, векторно-матричное представление, сложная динамическая система, оценка относительной интервальности, интервальность функционала вырождения.

Введение

Проблема, вынесенная в заголовок статьи, возникает, когда исследователь анализирует СДС на предмет ее возможного вырождения. Статья носит технологический характер и посвящена случаю, когда параметры системы – интервальные, причем построение критериальной матрицы опирается на векторноматричное описание СДС.
В статье рассматривается процесс формирования интервальных векторно-матричных модельных представлений сложных динамических систем с антропокомпонентами-операторами, реализуемый по канонической двухшаговой схеме. Первый шаг этой схемы состоит в формировании передаточных функций антропокомпонентов-операторов с интервальными системными параметрами. Второй шаг состоит в переходе от аппарата передаточных функций к аппарату векторно-матричных представлений метода пространства состояний с использованием процедур интервальной алгебры, поэтому встает задача контроля роста относительной интервальности системных компонентов. Последнее обстоятельство авторами берется под особый контроль в связи с тем, что при решении задач оценки интервальности функционалов вырождения используется аппарат чувствительности в рамках функции чувствительности первого порядка, корректность применимости которого ограничена известными рамками [1].

Формирование интервальных векторно-матричных модельных представлений антропокомпонентов-операторов в составе сложных динамических систем

Сформируем интервальные векторно-матричные представления антропокомпонентов-операторов

с учетом: эффективности их деятельности на различных этапах рабочей смены и характера возложенной

на них функциональной нагрузки в технологическом процессе.

Рассмотрим варианты модельных описаний антропокомпонентов-операторов, относящихся к клас-

су «информационных операторов» (ИО). Так, первый вариант модельного представления описывает по-

ведение оператора в составе СДС, занятого в обработке информационного потока, характеризующегося

заметной динамикой его модификации. Примерами первого варианта модельного описания антропоком-

понентов-операторов являются представители таких профессий, как пилоты летательных аппаратов, ме-

ханики-водители танков, водители транспортных средств и т.д.

Передаточная функция с интервальными системными параметрами для описания отношения

«вход–выход» антропокомпонента-оператора первого варианта, полученная на основе библиографиче-

ского анализа проблемы [2], обычно задается в форме

Wuo1s 

k1T11s 1 T12s 1T13s 

1



e1

s

,

(1)

где k1 – интервальный коэффициент, характеризующий передачу воспринимаемой антропокомпонен-

том-оператором «картинной информации» в моторное движение конкретного физиологического органа

информационного оператора; T11, T12 , T13 – интервальные постоянные времени: дифференцирующего

32 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 6 (70)

Н.А. Дударенко, М.В. Полякова, А.В. Ушаков

звена, математически учитывающего способность упреждать (экстраполировать) развитие информационного процесса антропокомпонентом-оператором; процесса восприятия информации антропокомпонентом-оператором, вызванного несовершенством ее представления и адаптацией оператора к ней; инерционной реакции, вызванной нервно-мышечной динамикой физиологического органа антропокомпонента-
оператора, соответственно; 1 – величина чистого запаздывания, определяемая тренированностью ан-
тропокомпонента-оператора. Значения интервальных величин: k1  0,75; 1,25; T11   1,35; 2, 25с ;

T12   15; 25с ; T13   0,81; 1,36c ;   0,15; 0, 25с .

Второй вариант модельного представления описывает поведение антропокомпонента-оператора в

составе СДС, обрабатывающего информационный поток с заметным уровнем информационной одно-

типности и монотонности. Примерами этого модельного описания являются представители таких про-

фессий, как диспетчеры дистанционного управления распределенными технологическими ресурсами,

операторы автоматизированных рабочих мест; аналитики энергосистем, инерционных технологических

процессов и т.д.

Передаточная функция с интервальными системными параметрами для описания отношения

«вход–выход» антропокомпонента-оператора второго варианта, полученная на основе библиографиче-

ского анализа проблемы [2], задается в форме

Wuo2 s 



k2T21s 1 T22s 1s

 e2

s

,

(2)

где k2  – интервальный коэффициент, характеризующий передачу воспринимаемой «картинной инфор-

мации» в моторное движение физиологического органа антропокомпонента-оператора; T21, T22  – ин-

тервальные постоянные времени: T21 характеризует способность антропокомпонента-оператора пред-

видеть развитие информационного процесса; T22  – совокупная временная оценка длительности процес-

са восприятия информации, вызванная несовершенством ее представления и уровнем адаптируемости к

ней антропокомпонента-оператора (кроме того, она характеризует естественную задержку реакции ан-

тропокомпонента-оператора, связанную с динамикой нервно-мышечной системы человека); 2  – вели-

чина реакции запаздывания, определяемая тренированностью антропокомпонента-оператора; 1 s – ин-

тегрирующее звено в передаточной функции отражает способность антропокомпонента-оператора нака-
пливать опыт. Значения интервальных величин: k2   0,75; 1,25 ; T21   1,35; 2, 25с ; T22   15; 25с ;

  0,15; 0, 25с .

Теперь обратимся к модельному описанию класса «технологических операторов» (ТО) с интервальными системными параметрами. Примерами антропокомпонентов, принадлежащих этому классу, являются представители профессий, занятых в формировании материальных потоков, связанных с обработкой и формированием узлов и деталей, функциональное соединение которых образует готовый потребительский продукт. Для построения передаточной функции с учетом эффективности работы антропокомпонента-оператора в течение рабочей смены приведем кривую на рисунке [3].

Рисунок. Кривая эффективности деятельности антропокомпонента-оператора на разных этапах рабочей смены: ВР – темп «врабатывания»; ОЭ – фаза оптимальной эффективности деятельности антропокомпонента; ПК – фаза полной компенсации; НК – фаза неустойчивой компенсации; КП – фаза конечного прорыва
Для модели ТО выделим темп «врабатывания» и темп уставания. Последний, согласно рисунку, формируется, начиная с этапа полной компенсации, и имеет место до конца рабочей смены. Выбранные факторы влияют в течение рабочей смены на производительность антропокомпонента-оператора. Учитывая их, передаточная функция с интервальными параметрами для модели ТО примет вид

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 6 (70)

33

ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫХ МОДЕЛЬНЫХ...

W3s



T31s T31s 1



1
T32 s

1



1 s

,

(3)

где T31, T32  – интервальные постоянные времени: нарастания усталости (спадание производительно-

сти труда) по экспоненциальному закону у антропокомпонента-оператора; нарастания производительно-

сти труда («врабатывание») антропокомпонента-оператора с началом рабочей смены соответственно; 1 s

– интегрирующее звено, которое отражает процесс накопления результата выполнения технологического задания антропокомпонентом-оператором по обработке и формированию узлов и деталей, функциональное соединение которых образует готовый потребительский продукт.
Если воспользоваться экспоненциальной аппроксимацией отрезков кривой рисунка, то для посто-
янных времени можно записать T31   20850; 34750c ; T32   600; 1800c .
Охарактеризуем интервальные системные параметры передаточных функций антропокомпонентов типа ИО и ТО оценками их относительной интервальности постоянных времени, задаваемых в форме

       δITij



ΔTij Tij0

 0,25 i  1, 2; j  1, 3 ;

δITij



Δτi τi0

 0,25 i  1, 2 .

(4)

В соотношениях (4) заложены требования к величинам относительных интервальных оценок системных параметров, которые гарантируют обеспечение нормального функционирования СДС.
В ходе проведенной работы по формированию интервальных векторно-матричных модельных представлений сложных динамических систем с антропокомпонентами-операторами авторы сделали важное примечание: переход от аппарата передаточных функций к аппарату векторно-матричных представлений метода пространства состояний с использованием арифметических процедур приводит к накоплению относительных интервальностей композитарных матричных элементов, что наглядно представлено в таблице.

δI# %
δI 1 % δ I %
 δI  1 %  δI  1 %

05 05

10 15 20 25 30 50 10 15 20 25 30 50

0 10,25 21

32,25 44,4

56,25 69

125

05

19,8 29,33 38,46 47,05 55,04 80

0 15,78 33,3 52,76 61,32 98,49 125,1 262,5

Таблица. Значения оценок относительных интервальностей композированных матричных компонентов

Функционалы вырождения. Оценка их интервальности

Ограничимся динамической моделью ТО. Для него характерно то обстоятельство, что задание на

рабочую смену математически представляет собой вынуждающую силу, а потому в качестве критери-

альной матрицы N следует брать матрицу Nв t, описывающую вынужденное движение системы по

выходу [4], задаваемую в форме
 Nв t  С TeEt  eFtT ,

(5)

где матрица T удовлетворяет матричному уравнению Сильвестра [5]

TE  FT  GP ,

(6)

а матрица E представляет собой матрицу состояний модели задающего воздействия gt .

Для контроля вырождения воспользуемся аппаратом функционалов вырождения [4], определяемых выражением

J N   N/ 1N:   m, 1 ,

(7)

где N – m  m – критериальная матрица антропокомпонента, участвующего в технологическом про-

цессе сложной динамической системы, а N:   m, 1 – элементы алгебраического спектра сингуляр-

ных чисел матрицы N . Если критериальная матрица N оказывается интервальной, т.е. представляемой

в форме

N   N0  N  ,

(8)

где N0 – медианная составляющая интервальной критериальной матрицы N  с фиксированными ска-

лярными компонентами, а N  – симметричный интервальный матричный компонент интервальной

34 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 6 (70)

Н.А. Дударенко, М.В. Полякова, А.В. Ушаков

критериальной матрицы N  , то интервальным становится и каждый функционал J N  вырождения
критериальной матрицы N , для которого становится справедливой запись

JN   J N   J0N  J N   J0N  J N ; J N 

(9)

и который можно охарактеризовать оценкой его относительной интервальности, вычисляемой в силу

соотношения

I J  J  / J0 .

(10)

Введем гипотезу об относительной интервальности всех элементов модельного представления

СДС с антропокомпонентами, которая состоит в предположении, что величина этой интервальности не

нарушает возможности корректного использования аппарата теории чувствительности [1] в рамках

функции чувствительности первого порядка.

Оценка интервальных компонентов функционалов вырождения СДС с антропокомпонентами с помощью функции чувствительности сингулярных чисел

Осуществим параметризацию в соответствии с правилом: каждый элемент матрицы, имеющий интервальную природу, представим в форме зависимости его от относительного параметра q с номиналь-

ным значением q0 , равным нулю q0  0 , и вариацией, равной оценке относительной интервальности этого параметра, так что интервальный системный компонент  получает представление
  0    01 q, 01 q  01 q: q  I .
Утверждение. Функция чувствительности iq j сингулярного числа i q  N q к вариации

j-го компонента q j ; j  1, p :1  p  m  m вектора параметров q относительно его номинального зна-

чения q0  0 может быть вычислена в силу соотношения

   iq j

 UT

i Nq jVi



U T Nq jVi

.
ii

□ (11)

Доказательство утверждения приведено в [1].

■

Представим функционал вырождения J  q как функцию от векторного параметра q в мультип-

ликативной форме

J q  q 11q.

(12)

Тогда функция чувствительности Jq j функционала вырождения J q к вариации j-го элемента

qj

вектора

q , вычисляемая в силу определения

Jq

j




J q
q j

qq0

:

j  1, p , может быть представлена с

 использованием функций чувствительности iq j сингулярных чисел i i  1, m в форме

Jq j  q j  11    121q j .

(13)

Выражение (13) для функции чувствительности Jq j функционала вырождения J q позволяет

записать для него полную вариацию J  J q , определяемую соотношением

J  Sq ,

(14)

 где S  row Jq j : j  1, p – матрица-строка функций чувствительности функционала вырождения

 J q , q  col q j : j  1, p – вектор-столбец полных вариаций системных параметров.

В силу того, что q является интервальным, сохраняется интервальность полной вариации

J  J q функционала вырождения, так что оказывается справедливой запись

  p

J  

J , J

, J  J ,

J 



max
q

J q



Jq j
i 1

q j

sgn Jq j

.

(15)

Использование аппарата функций чувствительности сингулярных чисел критериальных матриц

позволяет с помощью эффективной вычислительной процедуры конструировать интервальный компо-

нент в форме (15) интервального функционала вырождения (9), порождаемого интервальностью крите-

риальной матрицы, на основе представления (8).

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 6 (70)

35

ВЫДЕЛЕНИЕ ИНФОРМАТИВНЫХ ПРИЗНАКОВ СИГНАЛОВ СЕЙСМИЧЕСКИХ ...

Заключение

Решена задача формирования интервальных векторно-матричных модельных представлений антропокомпонентов-операторов в составе сложных динамических систем. Для решения задачи оценки возможного вырождения СДС, в технологическом процессе которого участвуют антропокомпоненты-операторы с интервальными параметрами, с использованием интервальных функционалов вырождения сформирована эффективная вычислительная процедура, использующая возможности аппарата теории параметрической чувствительности алгебраического спектра сингулярных чисел критериальной матрицы.

Литература

1. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. – СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002. – 218 с.
2. Jury E.I. and Pavlidis T. A Literature Survey of Biocontrol Systems // IEEE Trans. on Automatic Control. – 1963. – AC-8. – Р. 210–217.
3. Шипилов А.И., Шипилова О.А. Высокая работоспособность персонала – забота кадровика // Кадры предприятия. – 2003.– № 3. – С. 7–15.
4. Дударенко Н.А., Полякова М.В., Ушаков А.В. Вырождение производственной динамической системы, вызванное усталостью ее антропокомпонентов // Изв.вузов. Приборостроение. – 2009. – Т. 52. – № 11. – С. 66–72.
5. Дударенко Н.А., Полякова М.В., Ушаков А.В. Алгебраическая постановка задачи контроля системного вырождения сложных технических систем // Мехатроника. Автоматизация. Управление. – 2010. – № 5. – С. 18–22.

Дударенко Наталия Александровна
Полякова Майя Вячеславовна Ушаков Анатолий Владимирович

– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, dudarenko@yandex.ru
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, 12noch@mail.ru
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, Ushakov-avg@yandex.ru

36 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 6 (70)