Например, Бобцов

УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ ОБЪЕКТОМ С ВХОДНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

А.А. Бобцов, А.А. Пыркин

1 СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

ОТ РЕДАКЦИИ
В марте 2013 года исполняется 50 лет проректору НИУ ИТМО, главному редактору журнала «Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики», доктору технических наук, профессору Владимиру Олеговичу Никифорову. Коллеги Владимира Олеговича и редакция журнала поздравляют его с юбилеем и желают дальнейших творческих успехов! В данной рубрике журнала собраны научные работы, любезно предоставленные редакции коллегами и учениками Владимира Олеговича.

УДК 681.5.015
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ ОБЪЕКТОМ С ВХОДНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1
А.А. Бобцов, А.А. Пыркин

Рассматривается задача стабилизации неустойчивого нелинейного параметрически не определенного объекта с входным запаздыванием. Предложен подход, позволяющий провести идентификацию параметров объекта и построить алгоритм стабилизации с предиктором переменных состояния. Ключевые слова: управление в условиях запаздывания, нелинейные системы, идентификация, предиктор.

Введение. Постановка задачи

Работа посвящена анализу и синтезу методов управления нелинейными параметрически не опре-

деленными системами, содержащими запаздывание в управляющем сигнале. Данную проблему можно

отнести к фундаментальным задачам теории систем, которые до сих пор не нашли универсальных мето-

дов решения. Большое количество результатов получено на сегодняшний день для различного типа сис-

тем [1–12]. В частности, для линейных устойчивых систем с неизвестными параметрами решена задача

слежения за эталонным сигналом [11]. Найдены изящные решения стабилизации неустойчивых линей-

ных объектов [1], а также получено расширение этой задачи на случай неопределенного синусоидально-

го возмущающего воздействия [12]. Однако, насколько известно авторам, разработка методов управле-

ния для параметрически не определенных нелинейных систем представляет существенные трудности. В

этой работе будем рассматривать нелинейный стационарный объект управления вида

x (t)  Ax(t)  Bu(t  D)  ( y) , y(t)  Cx(t) ,

(1)

где x  Rn – измеряемый вектор переменных состояния; u(t) – скалярная входная переменная; y(t) –

скалярная выходная переменная; D  0 – известное постоянное запаздывание; A , B , C – матрицы со-

ответствующих

размерностей,

содержащие

неизвестные

параметры;

Ψ( y)  col{1( y(t  1)), 2 ( y(t  2 )),..., n ( y(t  n ))} – известная нелинейная функция; i – положитель-

ные константы, причем i  D для всех i  1, n . Здесь и далее будем полагать, что u(t  D)  0 при t  D . Допуская, что нелинейность Ψ( y) дифференцируема по аргументу y() с соответствующим смещением

по времени хотя бы (n – 1) раз, зададимся вопросом поиска такой функции u(t) , чтобы было выполнено

условие lim y(t)  0 . t
В качестве инструментария для решения указанной задачи будем использовать так называемый предиктор Смита [4] и его расширение на неустойчивые системы, предложенное, в том числе, в [1, 13–15]. В [1] была доказана экспоненциальная устойчивость замкнутой системы с предиктором с помощью аппарата функций Ляпунова, что является крайне полезным при решении поставленной в этой работе задачи.

Предварительные результаты

Из классической теории управления известно, что для системы вида (1) в случае выполнения условий управляемости и при известных параметрах, а также для Ψ( y)  0 и D  0 , можно синтезировать
закон управления вида

1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007–2013 годы» (государственный контракт № 11.519.11.4007).

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 1 (83)

15

УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ …

u(t)  Kx(t) ,

(2)

где вектор K таков, что матрица состояния замкнутой системы A  BK является гурвицевой, т.е. все ее

собственные числа имеют отрицательную вещественную часть.

Для случая D  0 закон управления (2) можно переписать в виде

u(t)  Kx(t  D) ,

(3)

где x(t  D) – значение вектора x(t) через временной интервал D .

Закон управления вида (3) нереализуем в явном виде, так как вектор x(t  D) недоступен для пря-

мого измерения. Однако, следуя [1], вектор x(t  D) можно рассчитать следующим образом:

tD
x(t  D)  eA(tD)x(0)  eA(tD)Bu(  D)d  

0

t tD

t

   eADeAt x(0)  eAD eA(t)Bu(  D)d   eA(tD)Bu(  D)d   eADx(t)  eA(t)Bu()d  .

0t

tD

Тогда алгоритм управления, обеспечивающий стабилизацию неустойчивых систем с запаздывани-

ем в канале управления, примет вид

t
u(t)  KeADx(t)  K eA(t)Bu()d  .

(4)

tD
Теперь, базируясь на результатах данного раздела, рассмотрим решение задачи стабилизации объ-

екта (1).

Основной результат

Будем полагать, что объект управления (1) записан в виде системы дифференциальных уравнений

x1(t)  x2 (t)  1( y(t  1))  1 y(t),

... xn (t)  u(t  D)  n ( y(t  n ))  n y(t),

(5)

y(t)  x1(t),

где i – неизвестные постоянные параметры. Введем в рассмотрение n линейных фильтров первого порядка для каждой переменной состояния

и один фильтр для запаздывающего сигнала управления: i (t)   i (t)   xi (t), i  1, n ,

(6)

 i ( y(t  i ))   i ( y(t  i ))   i ( y(t  i )), i  1, n ,

(7)

 u (t  D)   u (t  D)   u(t  D) ,

(8)

где   0 – положительный параметр фильтров.

После прямого и обратного преобразования Лапласа в (5) с учетом (6)–(8) получим следующую

систему уравнений:

1(t)  2 (t)  1( y(t  1))  11(t)  1(t),

... (9)

 n (t)  u (t  D)  n ( y(t  n ))  n1(t)  n (t),

где i (t) – экспоненциально затухающие функции времени.

На основе (9) несложно построить алгоритм идентификации неизвестных параметров:

 i (t)  ki1(t)

 i

(t)



i 1 (t )



i

(t



i

)



 i

(t)

1 (t )

,

i  1, n 1 ,

ki

0,

(10)

  n (t)  kn1(t)

 n

(t)



u

(t



D)



n (t



n

)



 n

(t)

1 (t )

,

kn

0.

(11)



Утверждение. Алгоритм адаптации (10), (11) обеспечивает сходимость оценок параметров i к

истинным значениям i . Доi казiатеiл.ьство. Рассмотрим ошибки оценивания параметров Дифференцируя  i и подставляя уравнения (9)–(11), получим  i  ki12 i  ki1i , i  1, n , ki  0 .

(12)

16 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 1 (83)

А.А. Бобцов, А.А. Пыркин



Из (12) нетрудно показать, что все ошибки оценивания 

i

стремятся к нулю, что гарантирует схо-

димость оценок i к истинным значениям параметров объекта управления i , что и требовалось дока-

зать.

Замечание 1. Следует отметить, что за счет увеличения коэффициентов   0 и ki  0 можно уве-

личивать скорость параметрической сходимости.

Теперь продифференцируем переменную y(t)  x1(t) n раз, последовательно проводя замены пе-

ременных:

y(t)  1(t)  2 (t),

2 (t)  3 (t),

... (13)

 n

(t)



u(t



D)



n11( y(t  1)) y(t  1 )n1

y(n1) (t



1 )



...  n ( y(t  n ))  1 y(n1) (t)  ...  n y(t). Выберем управление следующим образом:

u(t)



u1 (t )



  

n11 ( y(t y(t  D

 

D  1)) 1 )n1

y ( n 1)

(t



D



1 )



...



n

(

y(t



D



n

))

  

.

Подставляя (14) в уравнение (13), получаем

1(t)  2 (t), 2 (t)  3 (t), ...

(14) (15)

n (t)  u1(t  D)  1 y(n1) (t)  ...  n y(t).
Таким образом, получаем линейную стационарную систему. Теперь перепишем (15) в матричном виде:
(t)  G(t)  qu1(t  D) ,
y(t)  hT (t) ,

1(t) 

 0 1 ... 0 

0

1

где

ς(t)



2

(t

)

 



,

G



  

0 

0 

... 

0 

  

,

q



0 

,

hT



0 

.

n

(t

)

 

n

n 1

...

1

 

1

0

Закон управления u1(t) построим на основе алгоритма (4)

u1

(t)



 K

(t

)eGˆ

(t

)

Dς(t

)



 K(t)

t

eGˆ (t)(t)qu()d  ,

(16)

где вектор-строка

 K (t )

tD
определяется из условия гурвицевости матрицы

F



Gˆ (t

)



 qK (t

)

в каждый мо-

мент времени. Поскольку оценки

 i

сходятся к истинным значениям, то для матрицы

Gˆ (t)

справедливо

lim(G  Gˆ (t))  0 ; следовательно, закон управления (16) обеспечивает стабилизацию системы (13) и дос-
t

тижение цели lim y(t)  0 . Таким образом, получен алгоритм стабилизирующего управления (6)–(8), t

(14), (16) для параметрически не определенного нелинейного объекта управления (1) с постоянным

входным запаздыванием.



матрицЗыамFечаGнˆиеq2K.

Для понимания процедуры настройки вектора K , , рассмотрим следующий частный случай. Пусть

обеспечивающего гурвицевость динамический порядок объекта

  

управления равен трем, тогда вектор-строка

ном

Q( p)

матрицы

F







 qK

K  K1

K2

K3  . Рассмотрим характеристический поли-

Q( p)



det

 pI

 (Gˆ



 qK

)

1



p

det

 

 

0

  0

0 p 0

0  0

0

 



 

0

p 3  K1

1  0 2  K2

0 

 1

1 

 K3

  

  



Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 1 (83)

17

УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ …



p3

  (1



 K3

)

p

2

  (2



 K2 ) p  (3



 K1) ,

где p – комплексная переменная.

Назначим желаемый характеристический полином вида

Q * ( p)  p3  3 p2  32 p  3 ,

где   0 – положительный параметр, который определяет быстродействие системы. Тогда параметры закона управления K  K1 K2 K3  найдем, приравняв коэффициенты поли-

номов Q( p) и Q *( p) :

 K3

  (3  1) ,

 K2

 (32

  2 ) ,

 K1



(3



 3

)

.

Очевидно, что подобную процедуру без труда можно проделать для любого динамического по-

рядка объекта управления.

Заключение

В работе рассмотрено решение задачи управления в условиях постоянного запаздывания в управляющем сигнале для класса параметрически не определенных нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями вида (1), (5). Получен алгоритм управления вида (6)–(8), (14), (16), позволяющий достигать целевого условия lim y(t)  0 . Развитие данного подхода видится как расширение для
t
случая управления исключительно по выходной переменной y(t) , а также для парирования возмущаю-
щих воздействий.

Литература

1. Krstic M. Delay compensation for nonlinear, adaptive, and PDE systems. – Birkhauser, 2009. – 466 p. 2. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. – М.: Наука, 1997. –
216 с. 3. Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектами с последействием. – М.: Наука, 1984. – 245 с. 4. Smith O.J.M. A controller to overcome dead time // ISA. – 1959. – V. 6. – P. 28–33. 5. Niculescu S.I., Annaswamy A.M. An adaptive Smith-controller for time-delay systems with relative degree
n  2 // Systems & Control Letters. – 2003. – V. 49. – P. 347–358. 6. Цыпкин Я.З. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью // Автоматика и телемеханика.
– 1947. – Т. 7. – № 2, 3. – С. 107–129. 7. Цыкунов А.М. Управление объектами с последействием. – Фрунзе: Илим, 1985. – 108 с. 8. Цыкунов А.М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 268 с. 9. Солодовников В.В., Филимонов А.Б. Конструирование регуляторов для объектов с запаздыванием //
Техническая кибернетика. – 1979. – № 1. – С. 168–177. 10. Солодовников В.В., Филимонов А.Б. Упреждающее управление линейными стационарными объекта-
ми с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. – 1982. – № 11. – С. 57–60. 11. Паршева Е.А., Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектом с запаздывающим управлением со
скалярным входом-выходом // Автоматика и телемеханика. – 2001. – № 1. – С. 142–149. 12. Anton Pyrkin, Andrey Smyshlyaev, Nikolaos Bekiaris-Liberis, Miroslav Krstic, Rejection of Sinusoidal Dis-
turbance of Unknown Frequency for Linear System with Input Delay // American Control Conference. – Baltimore, 2010. – P. 5688–5693. 13. Manitius A.Z., Olbrot A.W. Finite spectrum assignment for systems with delays // IEEE Trans. Autom. Control. – 1979. – V. 24. – P. 541–553. 14. Kwon W.H., Pearson A.E. Feedback stabilization of linear systems with delayed control // IEEE Trans. Autom. Control. – 1980. – V. 25. – P. 266–269. 15. Arstein Z. Linear systems with delayed controls: A reduction // IEEE Trans. Autom. Control. – 1982. – V. 27. – P. 869–879.

Бобцов Алексей Алексеевич Пыркин Антон Александрович

– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой, bobtsov@mail.ifmo.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, a.pyrkin@gmail.com

18 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 1 (83)