Например, Бобцов

ГИБРИДНЫЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЧАСТОТ МУЛЬТИСИНУСОИДАЛЬНОГО СИГНАЛА

ГИБРИДНЫЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЧАСТОТ …

УДК 681.51.015
ГИБРИДНЫЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЧАСТОТ МУЛЬТИСИНУСОИДАЛЬНОГО СИГНАЛА4
А.А. Бобцов, А.А. Ведяков, С.А. Колюбин, А.А. Пыркин

Рассматривается задача идентификации неизвестных частот мультисинусоидального сигнала на примере двух гармоник. На базе метода каскадной редукции предложен алгоритм идентификации, позволяющий ускорять процесс параметрической сходимости оценок неизвестных частот мультисинусоидального сигнала. Ключевые слова: синусоидальный сигнал, редукция, идентификация.

Рассмотрим мультисинусоидальный сигнал, представленный в виде суммы двух гармоник

y(t)  A1 sin(1t  1 )  A2 sin(2t  2 ) ,

(1)

где A1; 1; 1; A2 ; 2 ; 2 – неизвестные постоянные параметры. Ставится задача синтеза алгоритма иден-

тификации неизвестных параметров 1, 2 – частот мультисинусоидального сигнала y(t) . Очевидно,

что такая задача решается не впервые (например, [1–3]). Однако проблема быстродействия сходимости

настраиваемых параметров к истинным значениям для мультисинусоидального сигнала, насколько из-

вестно авторам, ранее не обсуждалась. В основном предлагается решение данной проблемы и анализиру-

ется устойчивость полученных алгоритмов. В этой работе предлагается новый алгоритм идентификации

частот сигнала вида (1) и аналогично [4] даются конкретные рекомендации по ускорению процессов па-

раметрической сходимости.

Осуществим параметризацию модели (1) следующим образом:

p4 y(t)  1 p2 y(t)  2 y(t) ,

(2)

где p  d dt , 1  12  22 , 2  1222 – неизвестные параметры, подлежащие идентификации. Введем новые обозначения:

z(t)



p4 ( p  )4

y (t )

,

1 (t)



p2 ( p  )4

y(t) ,

2 (t)



1 ( p  )4

y(t) ,

(3)

где   0 – некоторый выбираемый при синтезе коэффициент. Тогда, используя преобразования (2)–(3),

для модели (1) имеем

z(t)  11 (t)  22 (t)  (t)  ςT θ ,

(4)

где θ  col{1, 2} , ς  col{1, 2} и (t) – экспоненциально затухающее слагаемое, обусловленное ненулевыми начальными условиями.

Аналогично [4], пренебрегая (t) , можно воспользоваться алгоритмом идентификации вида

θ



kςςT

 θ



kςz

,



(5)

где θ – оценка вектора θ , а k  0 – некоторый коэффициент, либо задаваемый при синтезе, либо

настраиваемый в процессе работы.

В скалярном случае за счет увеличения коэффициента k  0 можно достигать увеличения быстро-

действия параметрической сходимости [4]. Однако в более общем случае, как, например в (5), увеличение

коэффициента k  0 не позволит гарантировать увеличения быстродействия параметрической сходимости.

Решение данной проблемы может быть найдено с использованием гибридной схемы настройки параметров, базирующейся на методе каскадной редукции [5]. Преобразуем (4), следуя данному методу. Для этого по-

следовательно умножим (4) на 1 и проинтегрируем полученное уравнение, т.е.

t tt
  z1  112  221 , z1d   1 12d   2 21d  . 0 00

tt t

  Введем обозначения 1  z1d  , 2  12d  и 3  21d  и последовательно сначала разделим

00

0

на 2 , а затем продифференцируем последнее соотношение. Тогда получаем

1

1 2



1

2
22



2 ( 321

 3 222 )

или

12  1 2  2 ( 32  3 2 ) .

(6)

4 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007–2013 годы» (государственный контракт № 11.519.11.4007).
28 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 1 (83)

А.А. Бобцов, А.А. Ведяков, С.А. Колюбин, А.А. Пыркин

Введем следующие обозначения: z  12  1 2 и 2  32  3 2 . Тогда уравнение (6) примет вид

z (t)  2 2 .

(7)

Из  2

(7) легко получить алгоритм







2

22

 2



 2 2

z

,

идентификации

параметра

2

(8) 

где 2  0 – некоторый параметр, увеличение которого позволяет повысить скорость сходимости 2 к

2 . Пренебрегая в уравнении (4) экспоненциально затухающим слагаемым (t) , для идентификации па-

раметра 1 будем использовать алгоритм вида

1



  112 1



1 1

z

,

(9)

где

z  z  22

и

1  0

– некоторый параметр, увеличение которого, как и в предыдущем случае, по

зволяет повысить скорость сходимости 1 к 1 .

Таким образом, получаем гибридную схему идентификации 1  12  22 и 2  1222 , подразу-

мевающую использование редуцированноймодели (7) и параметрическую настройку с использованием

алгоритмов (8)–(9). го сигнала  1 и  2

На основе оценок 1 и 2 нетрудно получить , решив квадратное уравнение. Для ускорения

оценки частот двух гармоник исходнопроцесса параметрической сходимости

оценок неизвестных частот мультисинусоидального сигнала (1) необходимо увеличивать коэффициенты

 , 1 и 2 . Для иллюстрации работоспособности предлагаемой схемы идентификации вида (8)–(9) приведем

результаты компьютерного моделирования алгоритмов оценивания частот сигнала

y(t)  sin t  6 sin 2t  2

 1

,

 2

,

при

 1

и

1  2

 10

(рисунок).
1 ,  2 ,

отн. ед.

2 отн. ед.

22

2

1,5 1
1

1,5 11

0,5 0,5

0 10 20 30 40 t, c

0 10 20 30 40 t, c

Рисунок.  2

Результаты – кривая 2):

а моделирования алгоритмов оценивания частот сигнала

y(t) ( б 1

оценка частот алгоритмом (8)–(9) (а); оценка частот алгоритмом

– кривая [4] (б)

1;

Из рисунка видно, что новый алгоритм оценивания частот (8)–(9) на базе метода каскадной редукции работает быстрее и точнее при одинаковых настроечных коэффициентах  и  , чем метод, опубли-
кованный в [4]. В заключение следует отметить, что предлагаемый подход к идентификации частот сигнала вида (1) предусматривает дальнейшее изучение, поскольку при синтезе алгоритма идентификации не были учтены помехи в измерении, а также было опущено экспоненциально затухающее слагаемое (t) , влияющее на качество процессов.
Литература

1. Obregón-Pulido G., Castillo-Toledo B. and A.A. Loukianov. Globally Convergent Estimator for n– Frequencies // IEEE Transactions on Automatic Control. – 2002. – V. 47. – P. 857–863.
2. Xia X. Global Frequency Estimation Using Adaptive Identifiers // IEEE Transactions on Automatic Control. – 2002. – V. 47. – P. 1188–1193.
3. Marino R., Tomei P. Global Estimation of n Unknown Frequencies // IEEE Transactions on Automatic Control. – 2002. – V. 47. – P. 1324–1328.
4. Aranovskiy S., Bobtsov A., Kremlev A., Nikolaev N., Slita O. Identification of frequency of biased harmonic signal // European Journal of Control. – 2010. – № 2. – P. 129–139.
5. Арановский С.В., Бобцов А.А., Пыркин А.А. Каскадная редукция в задачах идентификации // Научнотехнический вестник информационных технологий, механики и оптики. – 2012. – № 3 (79). – C. 149– 150.

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 1 (83)

29

ГИБРИДНЫЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЧАСТОТ …

Бобцов Алексей Алексеевич Ведяков Алексей Алексеевич Колюбин Сергей Алексеевич Пыркин Антон Александрович

– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой, bobtsov@mail.ifmo.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, инженер, vedyakov@gmail.com
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, s.kolyubin@gmail.com
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, a.pyrkin@gmail.com

30 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 1 (83)