СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ ОБЪЕКТОВ, ОБЛАДАЮЩИХ РАДИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ …
3 ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА
УДК 519.688, 537.877
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ ОБЪЕКТОВ, ОБЛАДАЮЩИХ РАДИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
К.Б. Самусев, М.В. Рыбин, М.Ф. Лимонов
Описан алгоритм вычисления статистических геометрических параметров ансамбля объектов, границы которых обладают радиальной симметрией. К таким объектам относятся цилиндры и сферы, которые являются структурными элементами, образующими фотонные кристаллы и диэлектрические метаматериалы. Основу алгоритма составляет процедура распознавания, основанная на преобразовании исходного изображения по методу, аналогичному преобразованию Хо. Метод позволяет определять диаметры и координаты центров отдельных объектов. Ключевые слова: фотонные кристаллы, метаматериалы, статистический анализ, процедура распознавания.
Введение Фотонные кристаллы (ФК) [1, 2] и диэлектрические метаматериалы (ДММ) [3, 4] – это структуры, которые создаются искусственным путем, что обусловливает одно из их главных отличий от «обычных» кристаллов: «обычные» кристаллы состоят из абсолютно идентичных атомов или молекул, в то время как ФК и ДММ построены из рукотворных структурных элементов, которым присущи вариации в размере, форме, диэлектрической и магнитной проницаемости. Эта неоднородность неустранима и будет существовать в любом ФК и ДММ. По этой причине определение статистических параметров структурных элементов, образующих ФК и ДММ, является принципиальной задачей. В настоящей работе мы опишем алгоритм вычисления статистических геометрических параметров ансамбля объектов, границы которых обладают радиальной симметрией, т.е. цилиндров и сфер. Алгоритм позволяет определять диаметры и координаты центров отдельных объектов и, таким образом, вычислять усредненные постоянные кристаллической решетки и определять функцию распределения частиц по каждому из интересующих нас параметров. В случае цилиндра ключевым геометрическим параметром является, как правило, диаметр, а длина цилиндра не рассматривается в большинстве задач фотоники. Это связано с тем, что для формирования 2D ФК и ДММ цилиндры необходимо расположить параллельно друг другу (оси z параллельны) и перпендикулярно направлению распространения электромагнитной волны (рис. 1).
1 2
а бв
гд Рис. 1. Схематическое изображение фрагментов 2D периодической структуры, образованной цилиндрами
(а) и 3D периодической структуры, образованной сферами (в). Сечение отдельного элемента обеих структур – вид сверху (б). Изображение плоскости xy 2D плотноупакованной структуры (г)
и 3D плотноупакованной структуры – синтетического опала (д), полученные с помощью сканирующей электронной микроскопии
Обычно предполагается, что цилиндры имеют достаточную длину для того, чтобы не учитывать граничные эффекты, в результате чего фотонные свойства определяются лишь радиусом цилиндров, по-
36 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 6 (88)
К.Б. Самусев, М.В. Рыбин, М.Ф. Лимонов
стоянной кристаллической решетки в плоскости xy и симметрией 2D-решетки. В случае сферы искомыми параметрами являются радиус и координаты центра сферы в 2D-плоскости заданного сечения. Классическим примером 3D ФК являются синтетические опалы [2, 5] и опалоподобные коллоидные кристаллы [2]. В коллоидных кристаллах основным структурным элементом являются частицы, имеющие форму, близкую к сферической. Размер частиц в различных образцах может варьироваться в пределах 200–1000 нм.
Во многих статьях, посвященных изучению синтетических опалов, рассматривают модельную структуру, состоящую из идеальных недеформированных шаров a-SiO2 одинакового размера, которые находятся в точечном контакте друг с другом и образуют гранецентрированную кубическую решетку. В такой идеальной решетке шары занимают 74% объема образца, а остальные 26% приходятся на долю пустот. Однако такая модель представляет собой приближение, не вполне соответствующее реальности. Отклонение от идеальной модели хорошо прослеживается на изображениях, полученных с помощью электронной микроскопии, а также следует из результатов обработки спектров брэгговского отражения света от синтетических опалов [2]. Для получения численных характеристик структуры, таких как среднее значение и дисперсия размера частиц, необходимо применять специальные методы обработки, подобные методу, использованному в [6] для подсчета числа объектов в поле зрения микроскопа. Другие известные из литературы методики основаны на изучении пространственного фурье-спектра [7] и методе подсчета количества центров, попадающих в кольцо заданного радиуса [8]. Однако эти методы являются интегральными и не позволяют раздельно определить такие параметры, как разброс диаметров частиц и расстояний между их центрами. Настоящая работа решает эту задачу, представляя алгоритм нахождения размера и положения каждой частиц в пространстве.
Алгоритм вычисления статистических геометрических параметров
Определим термины, которые мы будем использовать в данной работе. Следуя монографии [9], под изображением мы будем понимать двумерную функцию f(x, y), где x и y – координаты точки на плоскости. Значение функции f(x, y) будем называть яркостью (интенсивностью) изображения в точке (x, y). В случае цифрового изображения величины x, y и f(x, y) принимают конечное число дискретных значений. Цифровое изображение состоит из конечного числа элементов, каждый из которых характеризуется тремя целыми неотрицательными числами – двумя координатами и яркостью. На координаты никаких специальных ограничений не накладывается, однако яркость может принимать значения только в интервале [0, L–1], где L – число уровней (градаций) яркости. Из соображений удобства число уровней
яркости принимают равным целой степени двойки, т.е. L 2k . Эти элементы называют элементами изображения или пикселями.
В основе алгоритма лежит процедура распознавания объектов, граница которых обладает радиальной симметрией. Процедура состоит в преобразовании исходного изображения по методу, аналогичному преобразованию Хо [9], которое позволяет находить на монохромном изображении кривые, заданные параметрически. Монохромным считается изображение, состоящее из точек двух типов – точек контура, ограничивающего объект (например, окружность, ограничивающая круг), и фоновых точек, к которым относятся как точки вне, так и внутри объекта. Исходя из этого, полутоновое изображение должно быть предварительно трансформировано в монохромное (содержащее только контур объекта и фон) с использованием какого-либо градиентного фильтра, например, фильтра Превитта [9], Собеля [10] или Кенни [11], с последующей пороговой обработкой. Задача преобразования Хо состоит в выделении кривых, проходящих через максимальное количество точек контура объекта.
Поясним принцип преобразования Хо. Пусть F (x, y, a1, a2 ,, an ) 0 – некоторая функция, за-
дающая на плоскости (x, y) семейство кривых с параметрами a1, a2,…, an. Параметры семейства кривых образуют фазовое пространство, каждая точка которого (конкретные значения набора a1, a2,…, an) соответствует некоторой кривой на плоскости (x, y). Ввиду дискретности машинного представления непрерывное фазовое пространство требуется перевести в дискретное. Для этого в фазовом пространстве a1, a2,…, an вводится «сетка», разбивающая его на ячейки достаточно малого размера. Каждой ячейке можно поставить в соответствие число А, указывающее количество точек контура объекта, принадлежа-
щих кривой с параметрами данной ячейки. В результате можно найти кривые F (x, y, a1, a2 ,, an ) 0 , на
которых лежит наибольшее количество точек контура объекта. Для объектов, граница которых обладает радиальной симметрией (сечение цилиндра, сферы), за-
дача F (x, y, x0 , y0 , R0 ) 0 сводится к поиску окружностей неизвестного радиуса с неизвестными коор-
динатами центра (x x0 )2 ( y y0 )2 R02 0 . При переходе от непрерывного пространства параметров
(x0, y0, R0) к дискретному, с которым мы будем работать, получаем трехмерный массив целых неотрицательных чисел Anmk , индексы которого (n, m, k) задают набор параметров (x0, y0, R0). Два индекса этого
массива (n, m) определяют координаты центров окружностей (соответствуют паре x0, y0) в пространстве изображения, а третий индекс (k) – радиус окружности R0. Далее введем понятие двумерного сечения
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 6 (88)
37
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ …
Bnm трехмерного массива Anmk . Трехмерный массив представляет собой последовательность двумерных
сечений с размерностью ( n m ), совпадающей с размерностью исходного изображения, причем после-
довательность упорядочена по возрастанию радиуса R0. Преобразование исходного изображения (например, изображения, представленного на рис. 1, г) в
трехмерный массив чисел сводится к тому, что каждому элементу Anmk присваивается значение, равное
количеству точек контура изображения (например, контура, ограничивающего цилиндры на рис. 1, г), ле-
жащих на окружности с центром в точке (n, m) и радиусом, равным k. Процедура подсчета числа точек мо-
нохромного изображения, лежащих на окружности радиуса k, эквивалентна нахождению дискретной
свертки изображения с ядром (маской), представляющим собой квадратную матрицу размером 2k +1. Эле-
менты этой матрицы, лежащие на вписанной окружности, равны 1, а остальные – нулю. Таким образом,
алгоритм включает в себя ряд последовательных преобразований исходного изображения, которые мы
кратко опишем. На рис. 2 представлена первая часть этих преобразований. Фрагмент исходной полутоно-
вой картинки (рис. 2, a) с помощью градиентного фильтра Кенни [11] и пороговой обработки (рис. 3) пре-
образуется в монохромное изображение границ (рис. 2, б). Это монохромное изображение подвергается
описанному выше преобразованию, аналогичному преобразованию Хо [9]. На рис. 2, г, в качестве примера
представлено одно сечение нормированного трехмерного массива Anmk / k , которое является результатом
свертки монохромного изображения (рис. 2, б) с маской радиуса k=88 пикселей (рис. 2, в), b *c d .
уу
Маска (c)
2,0
1,0
х
х
Свертка
0
400 у
200
0
200 400 х
(а) (b)
(d)
Рис. 2. Преобразование исходного полутонового изображения в процессе распознавания структур, обладающих круговой симметрией: исходное полутоновое изображение структуры плотноупакованных
пронумерованных цилиндров (a); монохромное изображение границ цилиндров, полученное после применения градиентного фильтра Кенни и пороговой обработки (b); изображение квадратной матрицы
177×177 пикселей с вписанной окружностью радиуса k=88 пикселей; свертка Anmk / k контурного
изображения с ядром, нормированная на радиус k=88 ( b *c d ). Нумерация пиков соответствует
нумерации цилиндров на панели (a)
Модель идеального перепада
Модель наклонного перепада
Профиль яркости
Первая производная
Вторая производная Рис. 3. Пороговая обработка: выделение границ путем дифференцирования профиля яркости на границе
объекта. Граница определяется по первой либо второй производной от функции яркости
Далее производится варьирование радиуса маски в широком интервале пикселей (для данного объекта, например, в интервале 50
3 ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА
УДК 519.688, 537.877
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ ОБЪЕКТОВ, ОБЛАДАЮЩИХ РАДИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
К.Б. Самусев, М.В. Рыбин, М.Ф. Лимонов
Описан алгоритм вычисления статистических геометрических параметров ансамбля объектов, границы которых обладают радиальной симметрией. К таким объектам относятся цилиндры и сферы, которые являются структурными элементами, образующими фотонные кристаллы и диэлектрические метаматериалы. Основу алгоритма составляет процедура распознавания, основанная на преобразовании исходного изображения по методу, аналогичному преобразованию Хо. Метод позволяет определять диаметры и координаты центров отдельных объектов. Ключевые слова: фотонные кристаллы, метаматериалы, статистический анализ, процедура распознавания.
Введение Фотонные кристаллы (ФК) [1, 2] и диэлектрические метаматериалы (ДММ) [3, 4] – это структуры, которые создаются искусственным путем, что обусловливает одно из их главных отличий от «обычных» кристаллов: «обычные» кристаллы состоят из абсолютно идентичных атомов или молекул, в то время как ФК и ДММ построены из рукотворных структурных элементов, которым присущи вариации в размере, форме, диэлектрической и магнитной проницаемости. Эта неоднородность неустранима и будет существовать в любом ФК и ДММ. По этой причине определение статистических параметров структурных элементов, образующих ФК и ДММ, является принципиальной задачей. В настоящей работе мы опишем алгоритм вычисления статистических геометрических параметров ансамбля объектов, границы которых обладают радиальной симметрией, т.е. цилиндров и сфер. Алгоритм позволяет определять диаметры и координаты центров отдельных объектов и, таким образом, вычислять усредненные постоянные кристаллической решетки и определять функцию распределения частиц по каждому из интересующих нас параметров. В случае цилиндра ключевым геометрическим параметром является, как правило, диаметр, а длина цилиндра не рассматривается в большинстве задач фотоники. Это связано с тем, что для формирования 2D ФК и ДММ цилиндры необходимо расположить параллельно друг другу (оси z параллельны) и перпендикулярно направлению распространения электромагнитной волны (рис. 1).
1 2
а бв
гд Рис. 1. Схематическое изображение фрагментов 2D периодической структуры, образованной цилиндрами
(а) и 3D периодической структуры, образованной сферами (в). Сечение отдельного элемента обеих структур – вид сверху (б). Изображение плоскости xy 2D плотноупакованной структуры (г)
и 3D плотноупакованной структуры – синтетического опала (д), полученные с помощью сканирующей электронной микроскопии
Обычно предполагается, что цилиндры имеют достаточную длину для того, чтобы не учитывать граничные эффекты, в результате чего фотонные свойства определяются лишь радиусом цилиндров, по-
36 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 6 (88)
К.Б. Самусев, М.В. Рыбин, М.Ф. Лимонов
стоянной кристаллической решетки в плоскости xy и симметрией 2D-решетки. В случае сферы искомыми параметрами являются радиус и координаты центра сферы в 2D-плоскости заданного сечения. Классическим примером 3D ФК являются синтетические опалы [2, 5] и опалоподобные коллоидные кристаллы [2]. В коллоидных кристаллах основным структурным элементом являются частицы, имеющие форму, близкую к сферической. Размер частиц в различных образцах может варьироваться в пределах 200–1000 нм.
Во многих статьях, посвященных изучению синтетических опалов, рассматривают модельную структуру, состоящую из идеальных недеформированных шаров a-SiO2 одинакового размера, которые находятся в точечном контакте друг с другом и образуют гранецентрированную кубическую решетку. В такой идеальной решетке шары занимают 74% объема образца, а остальные 26% приходятся на долю пустот. Однако такая модель представляет собой приближение, не вполне соответствующее реальности. Отклонение от идеальной модели хорошо прослеживается на изображениях, полученных с помощью электронной микроскопии, а также следует из результатов обработки спектров брэгговского отражения света от синтетических опалов [2]. Для получения численных характеристик структуры, таких как среднее значение и дисперсия размера частиц, необходимо применять специальные методы обработки, подобные методу, использованному в [6] для подсчета числа объектов в поле зрения микроскопа. Другие известные из литературы методики основаны на изучении пространственного фурье-спектра [7] и методе подсчета количества центров, попадающих в кольцо заданного радиуса [8]. Однако эти методы являются интегральными и не позволяют раздельно определить такие параметры, как разброс диаметров частиц и расстояний между их центрами. Настоящая работа решает эту задачу, представляя алгоритм нахождения размера и положения каждой частиц в пространстве.
Алгоритм вычисления статистических геометрических параметров
Определим термины, которые мы будем использовать в данной работе. Следуя монографии [9], под изображением мы будем понимать двумерную функцию f(x, y), где x и y – координаты точки на плоскости. Значение функции f(x, y) будем называть яркостью (интенсивностью) изображения в точке (x, y). В случае цифрового изображения величины x, y и f(x, y) принимают конечное число дискретных значений. Цифровое изображение состоит из конечного числа элементов, каждый из которых характеризуется тремя целыми неотрицательными числами – двумя координатами и яркостью. На координаты никаких специальных ограничений не накладывается, однако яркость может принимать значения только в интервале [0, L–1], где L – число уровней (градаций) яркости. Из соображений удобства число уровней
яркости принимают равным целой степени двойки, т.е. L 2k . Эти элементы называют элементами изображения или пикселями.
В основе алгоритма лежит процедура распознавания объектов, граница которых обладает радиальной симметрией. Процедура состоит в преобразовании исходного изображения по методу, аналогичному преобразованию Хо [9], которое позволяет находить на монохромном изображении кривые, заданные параметрически. Монохромным считается изображение, состоящее из точек двух типов – точек контура, ограничивающего объект (например, окружность, ограничивающая круг), и фоновых точек, к которым относятся как точки вне, так и внутри объекта. Исходя из этого, полутоновое изображение должно быть предварительно трансформировано в монохромное (содержащее только контур объекта и фон) с использованием какого-либо градиентного фильтра, например, фильтра Превитта [9], Собеля [10] или Кенни [11], с последующей пороговой обработкой. Задача преобразования Хо состоит в выделении кривых, проходящих через максимальное количество точек контура объекта.
Поясним принцип преобразования Хо. Пусть F (x, y, a1, a2 ,, an ) 0 – некоторая функция, за-
дающая на плоскости (x, y) семейство кривых с параметрами a1, a2,…, an. Параметры семейства кривых образуют фазовое пространство, каждая точка которого (конкретные значения набора a1, a2,…, an) соответствует некоторой кривой на плоскости (x, y). Ввиду дискретности машинного представления непрерывное фазовое пространство требуется перевести в дискретное. Для этого в фазовом пространстве a1, a2,…, an вводится «сетка», разбивающая его на ячейки достаточно малого размера. Каждой ячейке можно поставить в соответствие число А, указывающее количество точек контура объекта, принадлежа-
щих кривой с параметрами данной ячейки. В результате можно найти кривые F (x, y, a1, a2 ,, an ) 0 , на
которых лежит наибольшее количество точек контура объекта. Для объектов, граница которых обладает радиальной симметрией (сечение цилиндра, сферы), за-
дача F (x, y, x0 , y0 , R0 ) 0 сводится к поиску окружностей неизвестного радиуса с неизвестными коор-
динатами центра (x x0 )2 ( y y0 )2 R02 0 . При переходе от непрерывного пространства параметров
(x0, y0, R0) к дискретному, с которым мы будем работать, получаем трехмерный массив целых неотрицательных чисел Anmk , индексы которого (n, m, k) задают набор параметров (x0, y0, R0). Два индекса этого
массива (n, m) определяют координаты центров окружностей (соответствуют паре x0, y0) в пространстве изображения, а третий индекс (k) – радиус окружности R0. Далее введем понятие двумерного сечения
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 6 (88)
37
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ …
Bnm трехмерного массива Anmk . Трехмерный массив представляет собой последовательность двумерных
сечений с размерностью ( n m ), совпадающей с размерностью исходного изображения, причем после-
довательность упорядочена по возрастанию радиуса R0. Преобразование исходного изображения (например, изображения, представленного на рис. 1, г) в
трехмерный массив чисел сводится к тому, что каждому элементу Anmk присваивается значение, равное
количеству точек контура изображения (например, контура, ограничивающего цилиндры на рис. 1, г), ле-
жащих на окружности с центром в точке (n, m) и радиусом, равным k. Процедура подсчета числа точек мо-
нохромного изображения, лежащих на окружности радиуса k, эквивалентна нахождению дискретной
свертки изображения с ядром (маской), представляющим собой квадратную матрицу размером 2k +1. Эле-
менты этой матрицы, лежащие на вписанной окружности, равны 1, а остальные – нулю. Таким образом,
алгоритм включает в себя ряд последовательных преобразований исходного изображения, которые мы
кратко опишем. На рис. 2 представлена первая часть этих преобразований. Фрагмент исходной полутоно-
вой картинки (рис. 2, a) с помощью градиентного фильтра Кенни [11] и пороговой обработки (рис. 3) пре-
образуется в монохромное изображение границ (рис. 2, б). Это монохромное изображение подвергается
описанному выше преобразованию, аналогичному преобразованию Хо [9]. На рис. 2, г, в качестве примера
представлено одно сечение нормированного трехмерного массива Anmk / k , которое является результатом
свертки монохромного изображения (рис. 2, б) с маской радиуса k=88 пикселей (рис. 2, в), b *c d .
уу
Маска (c)
2,0
1,0
х
х
Свертка
0
400 у
200
0
200 400 х
(а) (b)
(d)
Рис. 2. Преобразование исходного полутонового изображения в процессе распознавания структур, обладающих круговой симметрией: исходное полутоновое изображение структуры плотноупакованных
пронумерованных цилиндров (a); монохромное изображение границ цилиндров, полученное после применения градиентного фильтра Кенни и пороговой обработки (b); изображение квадратной матрицы
177×177 пикселей с вписанной окружностью радиуса k=88 пикселей; свертка Anmk / k контурного
изображения с ядром, нормированная на радиус k=88 ( b *c d ). Нумерация пиков соответствует
нумерации цилиндров на панели (a)
Модель идеального перепада
Модель наклонного перепада
Профиль яркости
Первая производная
Вторая производная Рис. 3. Пороговая обработка: выделение границ путем дифференцирования профиля яркости на границе
объекта. Граница определяется по первой либо второй производной от функции яркости
Далее производится варьирование радиуса маски в широком интервале пикселей (для данного объекта, например, в интервале 50