РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ СВЯЗАННЫХ КВАНТОВЫХ ВОЛНОВОДОВ
М.И. Гаврилов, И.Ю. Попов
УДК 519.673
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ СВЯЗАННЫХ КВАНТОВЫХ ВОЛНОВОДОВ
М.И. Гаврилов, И.Ю. Попов
Построена математическая модель системы связанных волноводов. С ее помощью появилась возможность численно получать зависимость коэффициентов прохождения от геометрических и энергетических параметров системы. Ключевые слова: квантовая механика, связанные волноводы, численное моделирование.
Введение
Принципиально новые возможности в построении вычислительных систем открывает перед нами квантовая механика, так как сложность квантовой системы возрастает экспоненциально относительно ее размера [1]. Проблема квантовых вычислений тесно связана со сложностью физической реализации. В настоящее время существует несколько возможных элементных баз для квантового компьютера: связанные ионы, ядерный магнитный резонанс в жидкости, квантовые точки и др. [2]. Каждая из них имеет свои преимущества, но и соответствующие недостатки. Идеальной для реализации базы пока не существует, поэтому актуальна проблема исследования и разработки наноустройств для квантовых вычислений.
Целью данной работы является исследование поведения плоских слабосвязанных наноструктур, как возможной основы для реализации квантовых элементов. В работе произведено построение математической модели системы связанных волноводов. С ее помощью появилась возможность численно получать зависимость коэффициентов прохождения от геометрических и энергетических параметров системы. Это позволяет подобрать необходимые характеристики для требуемого в конкретных задачах поведения системы. Кроме того, данную модель можно использовать для поиска стационарных состояний волновой функции для заданной системы.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5(69)
43
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ...
Математическая модель
Для исследования возможности построения квантовых операций при «волноводной» [3, 4] интерпретации очень важно знание коэффициентов прохождения и отражения в системе при различных значениях ее параметров. Рассмотрим систему двух волноводов, связанных через отверстия, с условиями Дирихле на границе (рис. 1).
Рис. 1. Схема математической модели системы связанных волноводов
При этом допускается, что в области связи могут быть введены некоторые дополнительные условия, зависящие только от вертикальной координаты, например, потенциал, электрическое поле и др. Пусть ширины верхнего и нижнего волноводов равны d и d соответственно, b = 2a – ширина окна, L – высота области связи (если область связи отсутствует, то L = 0 ). Положим также полную энергию
электрона равной k 2 . В силу квантовых свойств системы поперечная составляющая волновой функции в волноводе ши-
рины
d
может выступать только как суперпозиция квантованного набора состояний
sin
n d
y
.
Вос-
пользовавшись этим свойством, зададим в первой граничной области волновую функцию в виде [5]:
I
=
n=1sin
n d
( y L d ) aneiknx
bneiknx ,
где
k
n
=
k 2 (n/d )2 . Соответствующие коэффициенты для волновых функций остальных трех гра-
ничных областей II , III и IV положим равными cn и dn , gn и hn , pn и qn соответственно.
В области взаимодействия положим волновую функцию в виде:
VII
=
sin n=1
n 2a
xy, kn ,
где kn = k 2 n/2a2 . В областях, прилегающих к отверстию, представим ее в виде суммы
продольной и поперечной составляющих
V
=
n=1sin
n d
y
L
d
eneikn x
rneikn x
tn
i=1
sin
n 2a
x
y,
kn
.
Аналогично вводим коэффициенты vn , un и wn для волновой функции нижнего волновода в об-
ласти VI . Совокупность функций y, kn и y, kn образуют базисный набор функций, по которым
раскладывается y-составляющая в этих областях. Так, например, в отсутствии внешних полей они будут иметь вид:
y, kn = fneikn y eneikn y ,
y, kn = sinkn y d L d ,
y, kn = sinkn y.
Будем также обозначать символами y, kn и y, kn производные по y соответствующих
функций. Проведем согласование разложения на границах областей по значениям и первым производным
вдоль нормали:
44 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)
М.И. Гаврилов, И.Ю. Попов
i
=
j
,
i n
=
j j
.
Уравнения, соответствующие «вертикальным» граничным условиям, умножаем на
sin
n d
y
и
интегрируем по длине границы. В силу ортогональности базиса синусов имеем:
d
0
sin
n d
sin
m d
=
2
mn .
Введем так же обозначение Anm :
Anm
=
m bdkn
Ld d Ld
( y, km ) sin
n d
(y
L
d )dy,
Anm
=
m bd k n
d 0
(
y,
km
)
sin
n d
y dy.
Таким образом, во введенной системе обозначений, получаем систему линейных уравнений. Ре-
шение дает значение выходных параметров bm , cm , hm и pm относительно входных am , dm , gm и
qm :
bn dn i
A nm
1
1 m e bikn
tn ,
cn an i
A nm
1
1 m e bikn
tn ,
m=1 m=1
hn qn i
A nm
1
1 m e bikn
wn ,
pn gn i
A nm
1
1 m e bikn
wn .
m=1 m=1
Сами значения tn и wn определяются из «горизонтальной» системы связи в районе окна:
twn n
(L d , kn
(
d
,
kn
)
)
=
(
L
d
,
kn
),
=
(
d
,
kn
),
(
L
d
,
kn
)
= i
C t nl l
Xn
tn
(L
d , kn),
l =1
(d
,
kn
)
= i
C w nl l
Yn
wn (d , kn),
l =1
где
(1)
Cnl = 2(1 (1)nl ) Bnm Aml (1 (1)n eikmb ), m=1
B nm
= 2mn ,
d
((n
)2
(bkn
)2
)
X n = 2Bnm (am (1 (1)n eikmb ) dm (1 (1)n eikmb )),
m=1
Yn = 2(1)m Bnm (gm (1 (1)n eikm b ) dm (1 (1)n eikm b )). m =1
Заметим также, что в случае L = 0 данная система преобразуется к более простому виду:
tinCn(ldtl
, kn ) Xn
tn
(d ,
kn
)
l =1
= wn (d , kn ),
= i Cnl wl Yn wn (d, kn ). l =1
Для численных вычислений бесконечные суммы ограничиваются некоторой константой N , в рам-
ках которой и производятся вычисления. Матрица, соответствующая исходной системе уравнений, в силу большего размера имеет гораздо более плохую обусловленность, что негативно сказывается при численном решении. Плохая обусловленность вызвана волновыми функциями, соответствующими ком-
плексным значениям энергии kn и kn . Скорее всего, при аналитическом решении бесконечной системы,
соответствующие коэффициенты системы должны обращаться в ноль. Заметим, что после построения системы появляется возможность решения ряда задач.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5(69)
45
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ...
Во-первых, появляется возможность решить задачу рассеяния. Для этого положим an = n1 , a dn , gn и qn тождественно равными нулю. Решив систему и найдя выходные параметры bn , cn , hn и pn , коэффициенты прохождения определяются исходя из формул:
T12 = Re | cn |2 kn / k1 , T11 = Re | bn |2 kn / k1 , n=1 n=1
T14 = Re | pn |2 kn / k1 , T13 = Re | hn |2 kn / k1 . n=1 n=1
Во-вторых, облегчается поиск связанных состояний. Для этого некоторый выбранный параметр (например, L или k ) варьируется в некоторых пределах для достижения нулевого значения определителя матрицы (1). В этом случае система при нулевых векторах начальных условий имеет ненулевое решение, которое и определяет соответствующую собственную функцию.
Анализ системы без внешнего электрического поля
В случае отсутствия внешних полей в области окна, разумно рассматривать набор функций
y, km как граничные составляющие собственных функций потенциальной ямы шириной
(d L d) :
( y, kn ) = sin(kn ( y d L d )),
( y, kn ) = sinkn y.
Соответствующие константы Anm :
Anm
=
mn2 sin(km d ) bkn ((n)2 (dkm )2 )
,
Anm
=
(1)n
mn2 sin(km d ) bkn ((n)2 (dkm )2
)
.
Пусть, в секторе VII будет потенциальный барьер высотой V , тогда функция будет иметь вид:
( y, kn ) = fneikn y eneikn y ,
( y, kn ) = ikn(eikn y eneikn y ),
где kn = (kn )2 V = kn2 (n/b)2 V .
Перепишем систему (1), используя выбранную систему функций:
i
Cnl tl
l =1
Xn
kntn
cos(knd )
knssiinn((kknndL))
(tn
cos(knL)
wn )
=
0,
i
Cnl wl
l =1
Yn
kn wn
cos(knd )
kn
sin(knd ) sin(knL)
(tn
wn
cos(knL))
=
0.
Пусть Rn = kn cos(knd ) kn(knL)sin(knd ) .
В случае d = d = d (соответственно, Cnl = Cnl = Cnl ) система допускает разделение перемен-
ных. Обозначим Un = tn wn и Vn = tn wn , тогда:
i CnlUn
l =1
(Xn
Yn )
RnU n
kn
sin(knd ) sin(knL)
U
n
=
0,
i CnlVl
l =1
(Xn
Yn )
RnVn
kn
sin(knd ) sin(knL)
Vn
=
0.
(2)
Численное моделирование
Было проведено численное моделирование для случая отсутствия внешних полей (рис. 2). Даже в таком упрощенном случае в зоне взаимодействия, функции коэффициентов прохождения в зависимости от параметров системы являются сложными и мало предсказуемыми. Само моделирование происходило на основе решения системы (2).
46 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)
М.И. Гаврилов, И.Ю. Попов
T 0,80 0,60 0,40 0,20
T12 T11 T14 T13
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 k
Рис. 2. Зависимость коэффициентов прохождения от энергии для системы с V = 0 , L = d = b
Варьируя параметры системы, можно получить ярко выраженный резонанс (рис. 3). Данный результат хорошо согласуется с аналитическими результатами, полученными в [6, 7].
T
0,8 T12
0,6 T11 T14
0,4 T13
0,2
0
0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 k
Рис. 3. Эффект полного отражения в системе с V 2,8 , L d , b 0,4d
Заключение
Произведено построение математической модели системы связанных волноводов. Ее использование позволяет существенно экономнее и быстрее по сравнению с другими вычислительными методами получать зависимость коэффициентов прохождения от геометрических и энергетических параметров системы. Это позволяет подобрать необходимые характеристики для требуемого в конкретных задачах поведения системы. В дальнейшем, данную модель планируется адаптировать для поиска стационарных состояний волновой функции системы.
Литература
1. Фейнман Р. Моделирование физики на компьютерах // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. – Ижевск, 1999. – Т. 2. – 96 с.
2. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. – М.: R&C Dynamics, 2001. – 358 с.
3. Gavrilov M.I., Gortinskaya L.V., Pestov A.A., Popov I.Yu., Tesovskaya E.S. Quantum Algorithms Implementation Using Quantum Wires System // Proceedings of the ICO Topical Meeting on Optoinformatics Information Photonics 2006, September 4–7. – SPb, Russia, 2006. – Р. 327–329.
4. Popov I.Yu., Gortinskaya L.V., Gavrilov M.I., Pestov A.A., Tesovskaya E.S. Weakly coupled quantum wires and layers as an element of quantum computer // Письма в ЭЧАЯ. – 2007. – Т. 4. – № 2(138). – С. 237–243.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5(69)
47
ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМОВ...
5. Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. – 10th edition. – New York: Dover Publications, 1972. – Р. 1046.
6. Exner P. and Р. Seba. Bound states in curved quantum waveguides // J. Math. Phys. – 1989. – V. 30. – № 11. – Р. 2574–2580.
7. Gortinskaya L.V., Popov I.Yu., Tesovskaya E.S. // Proc. of Intern. Seminar ®Day on Diffraction' 2003. – SPb, 2003. – P. 52.
Гаврилов Максим Иванович Попов Игорь Юрьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, maxim.gavrilov@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой, popov@mail.ifmo.ru
48 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)
УДК 519.673
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ СВЯЗАННЫХ КВАНТОВЫХ ВОЛНОВОДОВ
М.И. Гаврилов, И.Ю. Попов
Построена математическая модель системы связанных волноводов. С ее помощью появилась возможность численно получать зависимость коэффициентов прохождения от геометрических и энергетических параметров системы. Ключевые слова: квантовая механика, связанные волноводы, численное моделирование.
Введение
Принципиально новые возможности в построении вычислительных систем открывает перед нами квантовая механика, так как сложность квантовой системы возрастает экспоненциально относительно ее размера [1]. Проблема квантовых вычислений тесно связана со сложностью физической реализации. В настоящее время существует несколько возможных элементных баз для квантового компьютера: связанные ионы, ядерный магнитный резонанс в жидкости, квантовые точки и др. [2]. Каждая из них имеет свои преимущества, но и соответствующие недостатки. Идеальной для реализации базы пока не существует, поэтому актуальна проблема исследования и разработки наноустройств для квантовых вычислений.
Целью данной работы является исследование поведения плоских слабосвязанных наноструктур, как возможной основы для реализации квантовых элементов. В работе произведено построение математической модели системы связанных волноводов. С ее помощью появилась возможность численно получать зависимость коэффициентов прохождения от геометрических и энергетических параметров системы. Это позволяет подобрать необходимые характеристики для требуемого в конкретных задачах поведения системы. Кроме того, данную модель можно использовать для поиска стационарных состояний волновой функции для заданной системы.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5(69)
43
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ...
Математическая модель
Для исследования возможности построения квантовых операций при «волноводной» [3, 4] интерпретации очень важно знание коэффициентов прохождения и отражения в системе при различных значениях ее параметров. Рассмотрим систему двух волноводов, связанных через отверстия, с условиями Дирихле на границе (рис. 1).
Рис. 1. Схема математической модели системы связанных волноводов
При этом допускается, что в области связи могут быть введены некоторые дополнительные условия, зависящие только от вертикальной координаты, например, потенциал, электрическое поле и др. Пусть ширины верхнего и нижнего волноводов равны d и d соответственно, b = 2a – ширина окна, L – высота области связи (если область связи отсутствует, то L = 0 ). Положим также полную энергию
электрона равной k 2 . В силу квантовых свойств системы поперечная составляющая волновой функции в волноводе ши-
рины
d
может выступать только как суперпозиция квантованного набора состояний
sin
n d
y
.
Вос-
пользовавшись этим свойством, зададим в первой граничной области волновую функцию в виде [5]:
I
=
n=1sin
n d
( y L d ) aneiknx
bneiknx ,
где
k
n
=
k 2 (n/d )2 . Соответствующие коэффициенты для волновых функций остальных трех гра-
ничных областей II , III и IV положим равными cn и dn , gn и hn , pn и qn соответственно.
В области взаимодействия положим волновую функцию в виде:
VII
=
sin n=1
n 2a
xy, kn ,
где kn = k 2 n/2a2 . В областях, прилегающих к отверстию, представим ее в виде суммы
продольной и поперечной составляющих
V
=
n=1sin
n d
y
L
d
eneikn x
rneikn x
tn
i=1
sin
n 2a
x
y,
kn
.
Аналогично вводим коэффициенты vn , un и wn для волновой функции нижнего волновода в об-
ласти VI . Совокупность функций y, kn и y, kn образуют базисный набор функций, по которым
раскладывается y-составляющая в этих областях. Так, например, в отсутствии внешних полей они будут иметь вид:
y, kn = fneikn y eneikn y ,
y, kn = sinkn y d L d ,
y, kn = sinkn y.
Будем также обозначать символами y, kn и y, kn производные по y соответствующих
функций. Проведем согласование разложения на границах областей по значениям и первым производным
вдоль нормали:
44 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)
М.И. Гаврилов, И.Ю. Попов
i
=
j
,
i n
=
j j
.
Уравнения, соответствующие «вертикальным» граничным условиям, умножаем на
sin
n d
y
и
интегрируем по длине границы. В силу ортогональности базиса синусов имеем:
d
0
sin
n d
sin
m d
=
2
mn .
Введем так же обозначение Anm :
Anm
=
m bdkn
Ld d Ld
( y, km ) sin
n d
(y
L
d )dy,
Anm
=
m bd k n
d 0
(
y,
km
)
sin
n d
y dy.
Таким образом, во введенной системе обозначений, получаем систему линейных уравнений. Ре-
шение дает значение выходных параметров bm , cm , hm и pm относительно входных am , dm , gm и
qm :
bn dn i
A nm
1
1 m e bikn
tn ,
cn an i
A nm
1
1 m e bikn
tn ,
m=1 m=1
hn qn i
A nm
1
1 m e bikn
wn ,
pn gn i
A nm
1
1 m e bikn
wn .
m=1 m=1
Сами значения tn и wn определяются из «горизонтальной» системы связи в районе окна:
twn n
(L d , kn
(
d
,
kn
)
)
=
(
L
d
,
kn
),
=
(
d
,
kn
),
(
L
d
,
kn
)
= i
C t nl l
Xn
tn
(L
d , kn),
l =1
(d
,
kn
)
= i
C w nl l
Yn
wn (d , kn),
l =1
где
(1)
Cnl = 2(1 (1)nl ) Bnm Aml (1 (1)n eikmb ), m=1
B nm
= 2mn ,
d
((n
)2
(bkn
)2
)
X n = 2Bnm (am (1 (1)n eikmb ) dm (1 (1)n eikmb )),
m=1
Yn = 2(1)m Bnm (gm (1 (1)n eikm b ) dm (1 (1)n eikm b )). m =1
Заметим также, что в случае L = 0 данная система преобразуется к более простому виду:
tinCn(ldtl
, kn ) Xn
tn
(d ,
kn
)
l =1
= wn (d , kn ),
= i Cnl wl Yn wn (d, kn ). l =1
Для численных вычислений бесконечные суммы ограничиваются некоторой константой N , в рам-
ках которой и производятся вычисления. Матрица, соответствующая исходной системе уравнений, в силу большего размера имеет гораздо более плохую обусловленность, что негативно сказывается при численном решении. Плохая обусловленность вызвана волновыми функциями, соответствующими ком-
плексным значениям энергии kn и kn . Скорее всего, при аналитическом решении бесконечной системы,
соответствующие коэффициенты системы должны обращаться в ноль. Заметим, что после построения системы появляется возможность решения ряда задач.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5(69)
45
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ...
Во-первых, появляется возможность решить задачу рассеяния. Для этого положим an = n1 , a dn , gn и qn тождественно равными нулю. Решив систему и найдя выходные параметры bn , cn , hn и pn , коэффициенты прохождения определяются исходя из формул:
T12 = Re | cn |2 kn / k1 , T11 = Re | bn |2 kn / k1 , n=1 n=1
T14 = Re | pn |2 kn / k1 , T13 = Re | hn |2 kn / k1 . n=1 n=1
Во-вторых, облегчается поиск связанных состояний. Для этого некоторый выбранный параметр (например, L или k ) варьируется в некоторых пределах для достижения нулевого значения определителя матрицы (1). В этом случае система при нулевых векторах начальных условий имеет ненулевое решение, которое и определяет соответствующую собственную функцию.
Анализ системы без внешнего электрического поля
В случае отсутствия внешних полей в области окна, разумно рассматривать набор функций
y, km как граничные составляющие собственных функций потенциальной ямы шириной
(d L d) :
( y, kn ) = sin(kn ( y d L d )),
( y, kn ) = sinkn y.
Соответствующие константы Anm :
Anm
=
mn2 sin(km d ) bkn ((n)2 (dkm )2 )
,
Anm
=
(1)n
mn2 sin(km d ) bkn ((n)2 (dkm )2
)
.
Пусть, в секторе VII будет потенциальный барьер высотой V , тогда функция будет иметь вид:
( y, kn ) = fneikn y eneikn y ,
( y, kn ) = ikn(eikn y eneikn y ),
где kn = (kn )2 V = kn2 (n/b)2 V .
Перепишем систему (1), используя выбранную систему функций:
i
Cnl tl
l =1
Xn
kntn
cos(knd )
knssiinn((kknndL))
(tn
cos(knL)
wn )
=
0,
i
Cnl wl
l =1
Yn
kn wn
cos(knd )
kn
sin(knd ) sin(knL)
(tn
wn
cos(knL))
=
0.
Пусть Rn = kn cos(knd ) kn(knL)sin(knd ) .
В случае d = d = d (соответственно, Cnl = Cnl = Cnl ) система допускает разделение перемен-
ных. Обозначим Un = tn wn и Vn = tn wn , тогда:
i CnlUn
l =1
(Xn
Yn )
RnU n
kn
sin(knd ) sin(knL)
U
n
=
0,
i CnlVl
l =1
(Xn
Yn )
RnVn
kn
sin(knd ) sin(knL)
Vn
=
0.
(2)
Численное моделирование
Было проведено численное моделирование для случая отсутствия внешних полей (рис. 2). Даже в таком упрощенном случае в зоне взаимодействия, функции коэффициентов прохождения в зависимости от параметров системы являются сложными и мало предсказуемыми. Само моделирование происходило на основе решения системы (2).
46 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)
М.И. Гаврилов, И.Ю. Попов
T 0,80 0,60 0,40 0,20
T12 T11 T14 T13
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 k
Рис. 2. Зависимость коэффициентов прохождения от энергии для системы с V = 0 , L = d = b
Варьируя параметры системы, можно получить ярко выраженный резонанс (рис. 3). Данный результат хорошо согласуется с аналитическими результатами, полученными в [6, 7].
T
0,8 T12
0,6 T11 T14
0,4 T13
0,2
0
0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 k
Рис. 3. Эффект полного отражения в системе с V 2,8 , L d , b 0,4d
Заключение
Произведено построение математической модели системы связанных волноводов. Ее использование позволяет существенно экономнее и быстрее по сравнению с другими вычислительными методами получать зависимость коэффициентов прохождения от геометрических и энергетических параметров системы. Это позволяет подобрать необходимые характеристики для требуемого в конкретных задачах поведения системы. В дальнейшем, данную модель планируется адаптировать для поиска стационарных состояний волновой функции системы.
Литература
1. Фейнман Р. Моделирование физики на компьютерах // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. – Ижевск, 1999. – Т. 2. – 96 с.
2. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. – М.: R&C Dynamics, 2001. – 358 с.
3. Gavrilov M.I., Gortinskaya L.V., Pestov A.A., Popov I.Yu., Tesovskaya E.S. Quantum Algorithms Implementation Using Quantum Wires System // Proceedings of the ICO Topical Meeting on Optoinformatics Information Photonics 2006, September 4–7. – SPb, Russia, 2006. – Р. 327–329.
4. Popov I.Yu., Gortinskaya L.V., Gavrilov M.I., Pestov A.A., Tesovskaya E.S. Weakly coupled quantum wires and layers as an element of quantum computer // Письма в ЭЧАЯ. – 2007. – Т. 4. – № 2(138). – С. 237–243.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5(69)
47
ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМОВ...
5. Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. – 10th edition. – New York: Dover Publications, 1972. – Р. 1046.
6. Exner P. and Р. Seba. Bound states in curved quantum waveguides // J. Math. Phys. – 1989. – V. 30. – № 11. – Р. 2574–2580.
7. Gortinskaya L.V., Popov I.Yu., Tesovskaya E.S. // Proc. of Intern. Seminar ®Day on Diffraction' 2003. – SPb, 2003. – P. 52.
Гаврилов Максим Иванович Попов Игорь Юрьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, maxim.gavrilov@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой, popov@mail.ifmo.ru
48 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)