Например, Бобцов

РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ СВЯЗАННЫХ КВАНТОВЫХ ВОЛНОВОДОВ

М.И. Гаврилов, И.Ю. Попов

УДК 519.673
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ СВЯЗАННЫХ КВАНТОВЫХ ВОЛНОВОДОВ
М.И. Гаврилов, И.Ю. Попов

Построена математическая модель системы связанных волноводов. С ее помощью появилась возможность численно получать зависимость коэффициентов прохождения от геометрических и энергетических параметров системы. Ключевые слова: квантовая механика, связанные волноводы, численное моделирование.

Введение
Принципиально новые возможности в построении вычислительных систем открывает перед нами квантовая механика, так как сложность квантовой системы возрастает экспоненциально относительно ее размера [1]. Проблема квантовых вычислений тесно связана со сложностью физической реализации. В настоящее время существует несколько возможных элементных баз для квантового компьютера: связанные ионы, ядерный магнитный резонанс в жидкости, квантовые точки и др. [2]. Каждая из них имеет свои преимущества, но и соответствующие недостатки. Идеальной для реализации базы пока не существует, поэтому актуальна проблема исследования и разработки наноустройств для квантовых вычислений.
Целью данной работы является исследование поведения плоских слабосвязанных наноструктур, как возможной основы для реализации квантовых элементов. В работе произведено построение математической модели системы связанных волноводов. С ее помощью появилась возможность численно получать зависимость коэффициентов прохождения от геометрических и энергетических параметров системы. Это позволяет подобрать необходимые характеристики для требуемого в конкретных задачах поведения системы. Кроме того, данную модель можно использовать для поиска стационарных состояний волновой функции для заданной системы.

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5(69)

43

РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ...
Математическая модель
Для исследования возможности построения квантовых операций при «волноводной» [3, 4] интерпретации очень важно знание коэффициентов прохождения и отражения в системе при различных значениях ее параметров. Рассмотрим систему двух волноводов, связанных через отверстия, с условиями Дирихле на границе (рис. 1).

Рис. 1. Схема математической модели системы связанных волноводов

При этом допускается, что в области связи могут быть введены некоторые дополнительные условия, зависящие только от вертикальной координаты, например, потенциал, электрическое поле и др. Пусть ширины верхнего и нижнего волноводов равны d и d соответственно, b = 2a – ширина окна, L – высота области связи (если область связи отсутствует, то L = 0 ). Положим также полную энергию
электрона равной k 2 . В силу квантовых свойств системы поперечная составляющая волновой функции в волноводе ши-

рины

d

может выступать только как суперпозиция квантованного набора состояний

sin 

n d

y  

.

Вос-

пользовавшись этим свойством, зададим в первой граничной области волновую функцию в виде [5]:

I

=

n=1sin

n d

( y  L  d ) aneiknx

 bneiknx ,

где

k

 n

=

k 2  (n/d )2 . Соответствующие коэффициенты для волновых функций остальных трех гра-

ничных областей II , III и IV положим равными cn и dn , gn и hn , pn и qn соответственно.

В области взаимодействия положим волновую функцию в виде:

VII

=

 sin n=1 

n 2a

xy, kn  ,


где kn = k 2  n/2a2 . В областях, прилегающих к отверстию, представим ее в виде суммы
продольной и поперечной составляющих

 V

=

n=1sin

n d

y



L



d



eneikn x



rneikn x






tn
i=1

sin 

n 2a

x

  

y,

kn

.

Аналогично вводим коэффициенты vn , un и wn для волновой функции нижнего волновода в об-

ласти VI . Совокупность функций y, kn  и  y, kn  образуют базисный набор функций, по которым
раскладывается y-составляющая в этих областях. Так, например, в отсутствии внешних полей они будут иметь вид:
y, kn  = fneikn y  eneikn y ,
 y, kn  = sinkn y  d  L  d ,
 y, kn  = sinkn y.
Будем также обозначать символами y, kn  и  y, kn  производные по y соответствующих
функций. Проведем согласование разложения на границах областей по значениям и первым производным
вдоль нормали:

44 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)

М.И. Гаврилов, И.Ю. Попов

i

=



j

,

i n

=

 j j

.

Уравнения, соответствующие «вертикальным» граничным условиям, умножаем на

sin

n d

y 

и

интегрируем по длине границы. В силу ортогональности базиса синусов имеем:

d
0

sin

n d

 sin

m d



=

 2

 mn .

Введем так же обозначение Anm :

Anm

=

m bdkn

Ld d Ld

 ( y, km ) sin

n d

(y



L



d )dy,

Anm

=

m bd  k n

d 0





(

y,

km

)

sin

n d

y dy.

Таким образом, во введенной системе обозначений, получаем систему линейных уравнений. Ре-

шение дает значение выходных параметров bm , cm , hm и pm относительно входных am , dm , gm и

qm :



        bn  dn i

A nm

1

1 m e bikn

tn ,



cn  an  i

A nm

1

1 m e bikn

tn ,

m=1 m=1



        hn  qn i

A nm

1

1 m e bikn

wn ,



pn  gn  i

A nm

1

1 m e bikn

wn .

m=1 m=1

Сами значения tn и wn определяются из «горизонтальной» системы связи в районе окна:

twn n 

(L  d , kn



(

d 

,

kn

)

)

=

(

L



d 

,

kn

),

=

(

d 

,

kn

),

( 

L



d



,

kn

)



= i

C t nl l



Xn

 tn

(L



d , kn),

l =1



(d 



,

kn

)



= i

C w nl l

 Yn



wn (d , kn),

l =1

где

(1)

Cnl = 2(1 (1)nl )  Bnm Aml (1 (1)n eikmb ), m=1

B  nm

=  2mn ,

d 

((n

)2



(bkn

)2

)

X n =  2Bnm (am (1 (1)n eikmb )  dm (1 (1)n eikmb )),
m=1

Yn =  2(1)m Bnm (gm (1  (1)n eikm b )  dm (1  (1)n eikm b )). m =1
Заметим также, что в случае L = 0 данная система преобразуется к более простому виду:

tinCn(ldtl

, kn )  Xn



tn

(d ,

kn

)

 l =1

= wn (d , kn ),

= i Cnl wl  Yn  wn (d, kn ). l =1

Для численных вычислений бесконечные суммы ограничиваются некоторой константой N , в рам-

ках которой и производятся вычисления. Матрица, соответствующая исходной системе уравнений, в силу большего размера имеет гораздо более плохую обусловленность, что негативно сказывается при численном решении. Плохая обусловленность вызвана волновыми функциями, соответствующими ком-

плексным значениям энергии kn и kn . Скорее всего, при аналитическом решении бесконечной системы,
соответствующие коэффициенты системы должны обращаться в ноль. Заметим, что после построения системы появляется возможность решения ряда задач.

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5(69)

45

РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ...

Во-первых, появляется возможность решить задачу рассеяния. Для этого положим an = n1 , a dn , gn и qn тождественно равными нулю. Решив систему и найдя выходные параметры bn , cn , hn и pn , коэффициенты прохождения определяются исходя из формул:

 T12 = Re | cn |2 kn / k1 , T11 = Re | bn |2 kn / k1 , n=1 n=1

 T14 = Re | pn |2 kn / k1 , T13 = Re | hn |2 kn / k1 . n=1 n=1
Во-вторых, облегчается поиск связанных состояний. Для этого некоторый выбранный параметр (например, L или k ) варьируется в некоторых пределах для достижения нулевого значения определителя матрицы (1). В этом случае система при нулевых векторах начальных условий имеет ненулевое решение, которое и определяет соответствующую собственную функцию.

Анализ системы без внешнего электрического поля

В случае отсутствия внешних полей в области окна, разумно рассматривать набор функций

 y, km  как граничные составляющие собственных функций потенциальной ямы шириной

(d  L  d) :

 ( y, kn ) = sin(kn ( y  d  L  d )),

 ( y, kn ) = sinkn y.

Соответствующие константы Anm :

Anm

=



mn2 sin(km d ) bkn ((n)2  (dkm )2 )

,

Anm

=

(1)n

mn2 sin(km d ) bkn ((n)2  (dkm )2

)

.

Пусть, в секторе VII будет потенциальный барьер высотой V , тогда функция  будет иметь вид:

( y, kn ) = fneikn y  eneikn y ,

( y, kn ) = ikn(eikn y  eneikn y ),

где kn = (kn )2 V = kn2  (n/b)2 V .

Перепишем систему (1), используя выбранную систему функций:



 


i


Cnl tl
l =1



Xn



kntn

cos(knd )



knssiinn((kknndL))

(tn

cos(knL) 

wn )

=

0,

i


Cnl wl
l =1

 Yn



kn wn

cos(knd )



kn

sin(knd ) sin(knL)

(tn



wn

cos(knL))

=

0.

Пусть Rn = kn cos(knd )  kn(knL)sin(knd ) .

В случае d = d = d (соответственно, Cnl = Cnl = Cnl ) система допускает разделение перемен-

ных. Обозначим Un = tn  wn и Vn = tn  wn , тогда:



  




i CnlUn
l =1



(Xn

 Yn ) 

RnU n



kn

sin(knd ) sin(knL)

U

n

=

0,


i CnlVl
l =1

(Xn

 Yn ) 

RnVn



kn

sin(knd ) sin(knL)

Vn

=

0.

(2)

Численное моделирование

Было проведено численное моделирование для случая отсутствия внешних полей (рис. 2). Даже в таком упрощенном случае в зоне взаимодействия, функции коэффициентов прохождения в зависимости от параметров системы являются сложными и мало предсказуемыми. Само моделирование происходило на основе решения системы (2).

46 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)

М.И. Гаврилов, И.Ю. Попов

T 0,80 0,60 0,40 0,20

T12 T11 T14 T13

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 k
Рис. 2. Зависимость коэффициентов прохождения от энергии для системы с V = 0 , L = d = b
Варьируя параметры системы, можно получить ярко выраженный резонанс (рис. 3). Данный результат хорошо согласуется с аналитическими результатами, полученными в [6, 7].
T
0,8 T12
0,6 T11 T14
0,4 T13
0,2
0
0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 k
Рис. 3. Эффект полного отражения в системе с V  2,8 , L  d , b  0,4d
Заключение
Произведено построение математической модели системы связанных волноводов. Ее использование позволяет существенно экономнее и быстрее по сравнению с другими вычислительными методами получать зависимость коэффициентов прохождения от геометрических и энергетических параметров системы. Это позволяет подобрать необходимые характеристики для требуемого в конкретных задачах поведения системы. В дальнейшем, данную модель планируется адаптировать для поиска стационарных состояний волновой функции системы.
Литература
1. Фейнман Р. Моделирование физики на компьютерах // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. – Ижевск, 1999. – Т. 2. – 96 с.
2. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. – М.: R&C Dynamics, 2001. – 358 с.
3. Gavrilov M.I., Gortinskaya L.V., Pestov A.A., Popov I.Yu., Tesovskaya E.S. Quantum Algorithms Implementation Using Quantum Wires System // Proceedings of the ICO Topical Meeting on Optoinformatics Information Photonics 2006, September 4–7. – SPb, Russia, 2006. – Р. 327–329.
4. Popov I.Yu., Gortinskaya L.V., Gavrilov M.I., Pestov A.A., Tesovskaya E.S. Weakly coupled quantum wires and layers as an element of quantum computer // Письма в ЭЧАЯ. – 2007. – Т. 4. – № 2(138). – С. 237–243.

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5(69)

47

ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМОВ...

5. Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. – 10th edition. – New York: Dover Publications, 1972. – Р. 1046.
6. Exner P. and Р. Seba. Bound states in curved quantum waveguides // J. Math. Phys. – 1989. – V. 30. – № 11. – Р. 2574–2580.
7. Gortinskaya L.V., Popov I.Yu., Tesovskaya E.S. // Proc. of Intern. Seminar ®Day on Diffraction' 2003. – SPb, 2003. – P. 52.

Гаврилов Максим Иванович Попов Игорь Юрьевич

– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, maxim.gavrilov@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой, popov@mail.ifmo.ru

48 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)