СВЯЗЬ ГАНКЕЛЕВЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ЕЕ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
20 Л. А. Мироновский, Д. В. Шинтяков
УДК 681.3
Л. А. МИРОНОВСКИЙ, Д. В. ШИНТЯКОВ
СВЯЗЬ ГАНКЕЛЕВЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ЕЕ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Рассматриваются линейные системы управления с ганкелевыми сингулярными числами высокой кратности. Для таких систем исследован вид частотных характеристик и показана возможность определения по ним значений сингулярных чисел без вычисления грамианов управляемости и наблюдаемости.
Ключевые слова: линейные системы, сингулярные числа ганкелева оператора, частотные характеристики.
Введение. Ганкелевы сингулярные числа сравнительно недавно привлекли внимание исследователей, но уже прочно вошли в арсенал методов теории управления. Они тесно связаны с современной методикой синтеза робастных регуляторов ( µ -синтез и H∞ -теория) и применяются для построения редуцированных моделей динамических систем, для оценки наблюдаемости и управляемости систем управления, а также как информативные диагностические признаки [1]. Средства для вычисления сингулярных чисел имеются в ряде математических пакетов.
Наибольшее из ганкелевых сингулярных чисел равно ганкелевой норме системы. Для их определения обычно необходимо вычислять грамианы управляемости и наблюдаемости системы. Поэтому имеет практическое значение исследование взаимосвязи ганкелевых сингулярных чисел и частотных характеристик, которые поддаются непосредственному измерению.
В литературе в основном исследовались системы с различными ганкелевыми сингулярными числами, в то время как их связь с частотными характеристиками наиболее отчетливо проявляется в случае чисел высокой кратности. Именно этот случай исследуется в настоящей статье, причем основное внимание уделено ситуации, когда все сингулярные числа одинаковы либо образуют две группы одинаковых чисел. Такие системы названы моносингулярными и бисингулярными соответственно.
Ганкелевы сингулярные числа линейных систем. Аппарат сингулярных чисел широко применяется в теории матриц, линейной алгебре и теории линейных динамических систем. Он представляет собой эффективное средство для вычисления ранга операторов, получения SVD-разложения, решения задач идентификации и редукции.
Напомним, что сингулярными числами матрицы А называются положительные квадратные корни из собственных чисел матрицы АТА.
В теории динамических систем получили распространение два вида сингулярных чисел. Первый из них — это сингулярные числа матричной передаточной функции Q( p), определяемые формулой
si = max λi ⎡⎣QT ( jω)Q( jω)⎦⎤ ,
ω
где λi — собственные числа произведения матриц, указанных в скобках. Количество сингулярных чисел определяется размерами матрицы Q( p) . У скалярных
систем (так называемых SISO-систем) имеется единственное сингулярное число, которое совпадает с максимумом амплитудно-частотной характеристики (АЧХ).
В настоящей статье рассматривается второй тип сингулярных чисел динамических систем — это ганкелевы сингулярные числа, определяемые формулой
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Связь ганкелевых сингулярных чисел линейной системы с ее частотными характеристиками 21
σi = λi (WcWo ),
где Wc и Wo — грамианы управляемости и наблюдаемости системы. Эти грамианы представляют собой симметричные квадратные матрицы, которые могут
быть найдены путем решения матричных уравнений Ляпунова
Wc AT + AWc = −BBT , Wo A+ AWo = −CT C,
где А, В, С — матрицы описания системы в пространстве состояний. Количество ганкелевых сингулярных чисел равно n (размеру матрицы А, т.е. порядку
системы) и не зависит от числа входов и выходов. В пакете MathLab для вычисления грамианов управляемости и наблюдаемости имеется ко-
манда gram, а ганкелевы сингулярные числа могут быть найдены с помощью команды balreal. Далее будем рассматривать линейные стационарные динамические системы с одним
входом u(t) и одним выходом y(t) , описываемые операторным уравнением y( p) = Q( p)u( p),
где Q( p) — дробно-рациональная передаточная функция:
Q( p)=
bn−1 pn−1 +...+b1 p +b0 pn + an−1 pn−1 +...+ a0
=
B( p) A( p)
.
Ганкелевы сингулярные числа не зависят от выбора базиса в пространстве состояний и
подобно коэффициентам передаточной функции представляют собой важные характеристики
системы. Количество ганкелевых сингулярных чисел равно порядку характеристического по-
линома, однако среди них могут быть совпадающие (кратные). В общем случае линейная сис-
тема порядка n имеет k различных сингулярных чисел σ1, …, σk с кратностями r1, …, rk ,
k
где ∑ ri = n .
i=1
Рассмотрим подробнее два предельных случая максимальной кратности, когда k=1 и
k=2, уделяя внимание взаимосвязи между ганкелевыми сингулярными числами и частотными
характеристиками системы, и покажем, что в этих случаях сингулярные числа могут быть
определены непосредственно по частотным характеристикам, без вычисления грамианов.
Частотные характеристики моносингулярных систем.
О п р е д е л е н и е 1 [2]. Будем называть моносингулярной систему, все ганкелевы сингу-
лярные числа которой равны по величине.
Моносингулярные системы образуют особый класс линейных систем, обладающих ря-
дом специфических свойств. Подобные системы достаточно часто встречаются в инженерной
практике. В частности, типичным примером моносингулярной системы в радиотехнике явля-
ется фазовращательное звено, имеющее постоянную амплитудно-частотную характеристику.
Произвольная моносингулярная система отличается от фазовращательного звена только на-
личием дополнительной прямой связи с входа на выход (т.е. постоянным слагаемым в пере-
даточной функции), не влияющей на сингулярные числа.
Передаточную функцию конечномерной моносингулярной системы можно представить
в виде
Q(
p)
=
±σ
A(− p) A( p)
+
d
,
(1)
где A( p) — характеристический полином, коэффициент σ равен сингулярному числу системы; d — константа, не влияющая на сингулярные числа.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
22 Л. А. Мироновский, Д. В. Шинтяков
О п р е д е л е н и е 2 . Моносингулярные системы, коэффициент d которых равен нулю, будем называть центрированными. В теории управления они также известны как фазовращательные звенья (all-pass systems). Передаточная функция таких систем определяется как
Q(
p)
=
±σ
A(− p) A( p)
.
(2)
Примером бесконечномерной моносингулярной системы является звено постоянного запаздывания на время Т, оно характеризуется трансцендентной передаточной функцией e−Tp .
Рассмотрим частотные характеристики моносингулярных систем. Амплитудно-фазовая характеристика (диаграмма Найквиста) моносингулярной системы (1) имеет вид окружности с центром в точке (d; 0) и радиусом σ . Амплитудно-фазовая ха-
рактеристика (АФХ) центрированной моносингулярной системы представляет собой окружность с центром в начале координат. Для доказательства этого достаточно подставить в фор-
мулу (2) p = jω и учесть, что A( jω) = A(− jω) . Отсюда получаем равенство Q ( jω) = σ,
представляющее уравнение окружности на комплексной плоскости. Отсюда же следует, что для центрированных моносингулярных систем (2) АЧХ постоянна и равна σ .
Для моносингулярных систем вида (1) график АЧХ колеблется между двумя уровнями:
σ−d ≤ A(ω) ≤|σ+d | . Количество максимумов и минимумов АЧХ равно числу витков диа-
граммы Найквиста системы и не превышает порядка последней. Перечисленные свойства иллюстрируются рис. 1, где приведены графики частотных характеристик для центрированных (а, б) и нецентрированных (в, г) моносингулярных систем.
а) Im
б) A
σ
Re 0σ
ω
в) Im 0 d–σ d
Re d+σ
г) A
| d+σ |
|d|
| d–σ |
ω
Рис. 1
Таким образом, для моносингулярных систем взаимосвязь частотных характеристик и сингулярных чисел исключительно проста: диаграмма Найквиста имеет вид окружности с радиусом σ , а АЧХ — вид равноволновых колебаний. Эти свойства позволяют определять значения ганкелевых сингулярных чисел непосредственно по АФХ и АЧХ, не вычисляя грамианы управляемости и наблюдаемости.
Пример 1. На рис. 2, а показана схема моста Вина — Робинсона, который используется при построении генераторов синусоидальных колебаний. Его передаточная функция имеет вид
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Связь ганкелевых сингулярных чисел линейной системы с ее частотными характеристиками 23
Q(
p)
=
1 3
(Tp)2 +1 (Tp)2 +3Tp
+1
,
T = RC.
Диаграмма Найквиста (рис. 2, б) представляет собой окружность радиусом σ =1/6 с
центром в точке (1/ 6; 0) .
a) б) Im R
2R C 1/6
uy
1/6 1/3 Re
R R
–1/6
C
Рис. 2
Бисингулярные динамические системы. Рассмотрим частотные характеристики сис-
тем, имеющих две группы равных сингулярных чисел.
О п р е д е л е н и е 3 . Будем называть бисингулярной систему, ганкелевы сингулярные
числа которой могут принимать только два различных значения.
Любую бисингулярную систему можно представить как композицию двух моносингулярных блоков с перекрестными связями, коэффициенты усиления которых определяются сингу-
лярными числами. Соответствующая структурная схема приведена на рис. 3. Здесь подсистемы
S1 и S2 имеют передаточные функции вида (2) с сингулярными числами σ1 и σ2 соответствен-
но,
т.е.
Q1( p) =
±σ1
A1(− p) , A1( p)
Q2 ( p) = ±σ2
A2 (− p) . A2 ( p)
Построенная
таким
образом
система
будет
иметь сингулярные числа, равные σ1 и σ2 , их кратность будет равна порядку подсистем.
S1 1
σ1 + σ2 u dy
1
σ1 + σ2 S2
Рис. 3
Доказательство возможности такого представления опирается на сбалансированную ка-
ноническую форму Обера, описанную в терминах пространства состояний в работе [3].
Общая передаточная функция бисингулярной системы (см. рис. 3) определяется сле-
дующим образом:
Q(
p)
=
(s1
+
s2
)
1 + Q1( Q1( p)Q2
p)Q2 ( p)
+
s1 s2
( p) − Q1( p) −
Q1( p) + Q2 ( p) −
s2 s1
Q2
1−
s1 s2
( p)
−
s2 s1
+d,
(3)
где s1 = ±σ1 , s2 = ±σ2 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
24 Л. А. Мироновский, Д. В. Шинтяков
Как и в случае с моносингулярными системами, бисингулярную систему, константа d которой равна нулю, будем называть центрированной.
Помимо структуры с перекрестными связями, показанной на рис. 3, бисингулярную систему можно реализовать в виде параллельного соединения двух моносингулярных блоков.
Согласно результатам Гловера [4] имеет место следующая теорема. Пусть Q( p) — ус-
тойчивая рациональная передаточная функция порядка n с ганкелевыми сингулярными числами σ1 > σ2 > … > σk , где число σi имеет кратность ri , и r1 + r2 + … + rk = n . Тогда функция Q( p) может быть представлена в виде суммы:
Q( p) = d + σ1Φ1( p) + σ2Φ2 ( p) + … + σk Φk ( p) ,
где Φi ( p) — устойчивые фазовращательные передаточные функции.
Отсюда следует, что любая бисингулярная система может быть представлена в виде параллельного соединения двух фазовращательных звеньев, коэффициенты усиления которых равны сингулярным числам системы:
Q( p)
=
B( p) A( p)
=
d
+
σ1
A1(− p) A1( p)
+ σ2
A1(− p) A2 (− p) A1( p) A2 ( p)
,
(4)
где A1( p) , A2 ( p) — устойчивые полиномы степени r1 и r1 + r2 соответственно.
Необходимо отметить, что обратное утверждение в общем случае неверно, и два произ-
вольных фазовращательных звена, соединенные параллельно, не образуют бисингулярную
систему. Формулы (3) и (4) — это два различных канонических представления передаточной
функции бисингулярной системы. Алгоритмы построения этих канонических представлений
описаны в работах [2, 5].
Приведенные математические модели позволяют выяснить, как связаны сингулярные
числа и частотные характеристики бисингулярных систем.
Теорема. Амплитудно-частотная характеристика центрированной бисингулярной сис-
темы полностью расположена в горизонтальной полосе (σ1 − σ2 , σ1 + σ2 ) , ширина которой
равна удвоенному значению меньшего сингулярного числа. Доказательство. Рассмотрим разложение Гловера (4) при d=0. Соответствующая АЧХ
определяется формулой
A(ω)
=
Q( jω)
=
σ1
A1(− jω) A1( jω)
+ σ2
A1(− jω) A2 (− jω) A1( jω) A2 ( jω)
.
Так как
σ1
A1(− jω) A1( jω)
= σ1 ,
σ2
A1(− jω) A2 (− jω) A1( jω) A2 ( jω)
= σ2 ,
то,
пользуясь
неравенством
a − b ≤ a + b ≤ a + b , которое справедливо для произвольных комплексных чисел, оконча-
тельно получаем: σ1 − σ2 ≤ A(ω) ≤ σ1 + σ2 .
Отсюда вытекает, что для любой бисингулярной системы существует значение коэффи-
циента d , при котором АЧХ будет иметь вид равноволновых колебаний, заключенных в ин-
тервале между суммой сингулярных чисел σ1 + σ2 и их разностью σ1 − σ2 . Ширина этого ин-
тервала определяется только сингулярными числами.
Следовательно, амплитудно-фазовая характеристика бисингулярной системы (годограф
Найквиста) полностью расположена в круговой полосе (кольце), ограниченной двумя кон-
центрическими окружностями радиусами σ1 − σ2 и σ1 + σ2 .
Пример 2. На рис. 4 приведена диаграмма Найквиста бисингулярной системы 8-го по-
рядка с передаточной функцией
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Связь ганкелевых сингулярных чисел линейной системы с ее частотными характеристиками 25
Q(
p)
=
29,33 p8 5,333 p8 +
+ 185, 6 p7 68, 27 p7 +
+ 1233 p6 + 1749 p5 + 3890 p4 + 1711p3 + 1039 p2 274,1p6 + 1185 p5 + 1239 p4 + 2985 p3 + 916,8 p2
− 191,1 p + 1135 p
− 147 + 58,82
.
Амплитудно-фазовая характеристика этой системы заключена между двумя концентри-
ческими окружностями с центром в точке d = 1,5 и радиусами σ1 + σ2 = 4 , σ1 − σ2 = 2 . Таким
образом, ганкелевы сингулярные числа равны σ1 = 3, σ2 = 1. Дополнительный анализ позво-
ляет установить их кратности: r1 = 1, r2 = 7 .
Im
3R
2 1r
–3 –2 –1 0
1 d 2 3 4 5 Re
–1
–2
–3
Рис. 4
Заключение. Рассмотрена взаимосвязь частотных характеристик и ганкелевых сингулярных чисел линейных динамических систем. Основное внимание уделено исследованию малоизученного класса динамических систем — бисингулярных систем. Ганкелевы сингулярные числа таких систем принимают только два значения. Полученные результаты позволяют определять значения сингулярных чисел непосредственно по частотным характеристикам, без вычисления грамианов управляемости и наблюдаемости.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мироновский Л. А. Функциональное диагностирование динамических систем. М.: Изд-во МГУ, 1998. 256 с.
2. Мироновский Л. А., Шинтяков Д. В. Частотные характеристики фазовращательных и бисингулярных систем // Информационно-управляющие системы. 2007. № 5. С. 36—41.
3. Ober R. J. Balanced parametrization of classes of linear systems // SIAM J. Control and Optimization. 1991. Vol. 29, N 6. P. 1251—1287.
4. Glover K. All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariables systems // Intern. J. Control. 1984. Vol. 39, N 6. P. 1115—1193.
5. Курмаев И. Р., Мироновский Л. А. Фазовое разложение Гловера для бисингулярных систем // Сб. докл. 9-й науч. сессии ГУАП. СПб.: СПбГУАП, 2006. Ч. 2. С. 126—128.
Сведения об авторах Леонид Алексеевич Мироновский — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического приборостроения; кафедра вычислительных систем и сетей; E-mail: mir@aanet.ru Дмитрий Васильевич Шинтяков — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения; кафедра вычислительных систем и сетей; E-mail: ratson@mail.ru
Рекомендована кафедрой вычислительных систем и сетей
Поступила в редакцию 14.11.07 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
УДК 681.3
Л. А. МИРОНОВСКИЙ, Д. В. ШИНТЯКОВ
СВЯЗЬ ГАНКЕЛЕВЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ЕЕ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Рассматриваются линейные системы управления с ганкелевыми сингулярными числами высокой кратности. Для таких систем исследован вид частотных характеристик и показана возможность определения по ним значений сингулярных чисел без вычисления грамианов управляемости и наблюдаемости.
Ключевые слова: линейные системы, сингулярные числа ганкелева оператора, частотные характеристики.
Введение. Ганкелевы сингулярные числа сравнительно недавно привлекли внимание исследователей, но уже прочно вошли в арсенал методов теории управления. Они тесно связаны с современной методикой синтеза робастных регуляторов ( µ -синтез и H∞ -теория) и применяются для построения редуцированных моделей динамических систем, для оценки наблюдаемости и управляемости систем управления, а также как информативные диагностические признаки [1]. Средства для вычисления сингулярных чисел имеются в ряде математических пакетов.
Наибольшее из ганкелевых сингулярных чисел равно ганкелевой норме системы. Для их определения обычно необходимо вычислять грамианы управляемости и наблюдаемости системы. Поэтому имеет практическое значение исследование взаимосвязи ганкелевых сингулярных чисел и частотных характеристик, которые поддаются непосредственному измерению.
В литературе в основном исследовались системы с различными ганкелевыми сингулярными числами, в то время как их связь с частотными характеристиками наиболее отчетливо проявляется в случае чисел высокой кратности. Именно этот случай исследуется в настоящей статье, причем основное внимание уделено ситуации, когда все сингулярные числа одинаковы либо образуют две группы одинаковых чисел. Такие системы названы моносингулярными и бисингулярными соответственно.
Ганкелевы сингулярные числа линейных систем. Аппарат сингулярных чисел широко применяется в теории матриц, линейной алгебре и теории линейных динамических систем. Он представляет собой эффективное средство для вычисления ранга операторов, получения SVD-разложения, решения задач идентификации и редукции.
Напомним, что сингулярными числами матрицы А называются положительные квадратные корни из собственных чисел матрицы АТА.
В теории динамических систем получили распространение два вида сингулярных чисел. Первый из них — это сингулярные числа матричной передаточной функции Q( p), определяемые формулой
si = max λi ⎡⎣QT ( jω)Q( jω)⎦⎤ ,
ω
где λi — собственные числа произведения матриц, указанных в скобках. Количество сингулярных чисел определяется размерами матрицы Q( p) . У скалярных
систем (так называемых SISO-систем) имеется единственное сингулярное число, которое совпадает с максимумом амплитудно-частотной характеристики (АЧХ).
В настоящей статье рассматривается второй тип сингулярных чисел динамических систем — это ганкелевы сингулярные числа, определяемые формулой
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Связь ганкелевых сингулярных чисел линейной системы с ее частотными характеристиками 21
σi = λi (WcWo ),
где Wc и Wo — грамианы управляемости и наблюдаемости системы. Эти грамианы представляют собой симметричные квадратные матрицы, которые могут
быть найдены путем решения матричных уравнений Ляпунова
Wc AT + AWc = −BBT , Wo A+ AWo = −CT C,
где А, В, С — матрицы описания системы в пространстве состояний. Количество ганкелевых сингулярных чисел равно n (размеру матрицы А, т.е. порядку
системы) и не зависит от числа входов и выходов. В пакете MathLab для вычисления грамианов управляемости и наблюдаемости имеется ко-
манда gram, а ганкелевы сингулярные числа могут быть найдены с помощью команды balreal. Далее будем рассматривать линейные стационарные динамические системы с одним
входом u(t) и одним выходом y(t) , описываемые операторным уравнением y( p) = Q( p)u( p),
где Q( p) — дробно-рациональная передаточная функция:
Q( p)=
bn−1 pn−1 +...+b1 p +b0 pn + an−1 pn−1 +...+ a0
=
B( p) A( p)
.
Ганкелевы сингулярные числа не зависят от выбора базиса в пространстве состояний и
подобно коэффициентам передаточной функции представляют собой важные характеристики
системы. Количество ганкелевых сингулярных чисел равно порядку характеристического по-
линома, однако среди них могут быть совпадающие (кратные). В общем случае линейная сис-
тема порядка n имеет k различных сингулярных чисел σ1, …, σk с кратностями r1, …, rk ,
k
где ∑ ri = n .
i=1
Рассмотрим подробнее два предельных случая максимальной кратности, когда k=1 и
k=2, уделяя внимание взаимосвязи между ганкелевыми сингулярными числами и частотными
характеристиками системы, и покажем, что в этих случаях сингулярные числа могут быть
определены непосредственно по частотным характеристикам, без вычисления грамианов.
Частотные характеристики моносингулярных систем.
О п р е д е л е н и е 1 [2]. Будем называть моносингулярной систему, все ганкелевы сингу-
лярные числа которой равны по величине.
Моносингулярные системы образуют особый класс линейных систем, обладающих ря-
дом специфических свойств. Подобные системы достаточно часто встречаются в инженерной
практике. В частности, типичным примером моносингулярной системы в радиотехнике явля-
ется фазовращательное звено, имеющее постоянную амплитудно-частотную характеристику.
Произвольная моносингулярная система отличается от фазовращательного звена только на-
личием дополнительной прямой связи с входа на выход (т.е. постоянным слагаемым в пере-
даточной функции), не влияющей на сингулярные числа.
Передаточную функцию конечномерной моносингулярной системы можно представить
в виде
Q(
p)
=
±σ
A(− p) A( p)
+
d
,
(1)
где A( p) — характеристический полином, коэффициент σ равен сингулярному числу системы; d — константа, не влияющая на сингулярные числа.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
22 Л. А. Мироновский, Д. В. Шинтяков
О п р е д е л е н и е 2 . Моносингулярные системы, коэффициент d которых равен нулю, будем называть центрированными. В теории управления они также известны как фазовращательные звенья (all-pass systems). Передаточная функция таких систем определяется как
Q(
p)
=
±σ
A(− p) A( p)
.
(2)
Примером бесконечномерной моносингулярной системы является звено постоянного запаздывания на время Т, оно характеризуется трансцендентной передаточной функцией e−Tp .
Рассмотрим частотные характеристики моносингулярных систем. Амплитудно-фазовая характеристика (диаграмма Найквиста) моносингулярной системы (1) имеет вид окружности с центром в точке (d; 0) и радиусом σ . Амплитудно-фазовая ха-
рактеристика (АФХ) центрированной моносингулярной системы представляет собой окружность с центром в начале координат. Для доказательства этого достаточно подставить в фор-
мулу (2) p = jω и учесть, что A( jω) = A(− jω) . Отсюда получаем равенство Q ( jω) = σ,
представляющее уравнение окружности на комплексной плоскости. Отсюда же следует, что для центрированных моносингулярных систем (2) АЧХ постоянна и равна σ .
Для моносингулярных систем вида (1) график АЧХ колеблется между двумя уровнями:
σ−d ≤ A(ω) ≤|σ+d | . Количество максимумов и минимумов АЧХ равно числу витков диа-
граммы Найквиста системы и не превышает порядка последней. Перечисленные свойства иллюстрируются рис. 1, где приведены графики частотных характеристик для центрированных (а, б) и нецентрированных (в, г) моносингулярных систем.
а) Im
б) A
σ
Re 0σ
ω
в) Im 0 d–σ d
Re d+σ
г) A
| d+σ |
|d|
| d–σ |
ω
Рис. 1
Таким образом, для моносингулярных систем взаимосвязь частотных характеристик и сингулярных чисел исключительно проста: диаграмма Найквиста имеет вид окружности с радиусом σ , а АЧХ — вид равноволновых колебаний. Эти свойства позволяют определять значения ганкелевых сингулярных чисел непосредственно по АФХ и АЧХ, не вычисляя грамианы управляемости и наблюдаемости.
Пример 1. На рис. 2, а показана схема моста Вина — Робинсона, который используется при построении генераторов синусоидальных колебаний. Его передаточная функция имеет вид
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Связь ганкелевых сингулярных чисел линейной системы с ее частотными характеристиками 23
Q(
p)
=
1 3
(Tp)2 +1 (Tp)2 +3Tp
+1
,
T = RC.
Диаграмма Найквиста (рис. 2, б) представляет собой окружность радиусом σ =1/6 с
центром в точке (1/ 6; 0) .
a) б) Im R
2R C 1/6
uy
1/6 1/3 Re
R R
–1/6
C
Рис. 2
Бисингулярные динамические системы. Рассмотрим частотные характеристики сис-
тем, имеющих две группы равных сингулярных чисел.
О п р е д е л е н и е 3 . Будем называть бисингулярной систему, ганкелевы сингулярные
числа которой могут принимать только два различных значения.
Любую бисингулярную систему можно представить как композицию двух моносингулярных блоков с перекрестными связями, коэффициенты усиления которых определяются сингу-
лярными числами. Соответствующая структурная схема приведена на рис. 3. Здесь подсистемы
S1 и S2 имеют передаточные функции вида (2) с сингулярными числами σ1 и σ2 соответствен-
но,
т.е.
Q1( p) =
±σ1
A1(− p) , A1( p)
Q2 ( p) = ±σ2
A2 (− p) . A2 ( p)
Построенная
таким
образом
система
будет
иметь сингулярные числа, равные σ1 и σ2 , их кратность будет равна порядку подсистем.
S1 1
σ1 + σ2 u dy
1
σ1 + σ2 S2
Рис. 3
Доказательство возможности такого представления опирается на сбалансированную ка-
ноническую форму Обера, описанную в терминах пространства состояний в работе [3].
Общая передаточная функция бисингулярной системы (см. рис. 3) определяется сле-
дующим образом:
Q(
p)
=
(s1
+
s2
)
1 + Q1( Q1( p)Q2
p)Q2 ( p)
+
s1 s2
( p) − Q1( p) −
Q1( p) + Q2 ( p) −
s2 s1
Q2
1−
s1 s2
( p)
−
s2 s1
+d,
(3)
где s1 = ±σ1 , s2 = ±σ2 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
24 Л. А. Мироновский, Д. В. Шинтяков
Как и в случае с моносингулярными системами, бисингулярную систему, константа d которой равна нулю, будем называть центрированной.
Помимо структуры с перекрестными связями, показанной на рис. 3, бисингулярную систему можно реализовать в виде параллельного соединения двух моносингулярных блоков.
Согласно результатам Гловера [4] имеет место следующая теорема. Пусть Q( p) — ус-
тойчивая рациональная передаточная функция порядка n с ганкелевыми сингулярными числами σ1 > σ2 > … > σk , где число σi имеет кратность ri , и r1 + r2 + … + rk = n . Тогда функция Q( p) может быть представлена в виде суммы:
Q( p) = d + σ1Φ1( p) + σ2Φ2 ( p) + … + σk Φk ( p) ,
где Φi ( p) — устойчивые фазовращательные передаточные функции.
Отсюда следует, что любая бисингулярная система может быть представлена в виде параллельного соединения двух фазовращательных звеньев, коэффициенты усиления которых равны сингулярным числам системы:
Q( p)
=
B( p) A( p)
=
d
+
σ1
A1(− p) A1( p)
+ σ2
A1(− p) A2 (− p) A1( p) A2 ( p)
,
(4)
где A1( p) , A2 ( p) — устойчивые полиномы степени r1 и r1 + r2 соответственно.
Необходимо отметить, что обратное утверждение в общем случае неверно, и два произ-
вольных фазовращательных звена, соединенные параллельно, не образуют бисингулярную
систему. Формулы (3) и (4) — это два различных канонических представления передаточной
функции бисингулярной системы. Алгоритмы построения этих канонических представлений
описаны в работах [2, 5].
Приведенные математические модели позволяют выяснить, как связаны сингулярные
числа и частотные характеристики бисингулярных систем.
Теорема. Амплитудно-частотная характеристика центрированной бисингулярной сис-
темы полностью расположена в горизонтальной полосе (σ1 − σ2 , σ1 + σ2 ) , ширина которой
равна удвоенному значению меньшего сингулярного числа. Доказательство. Рассмотрим разложение Гловера (4) при d=0. Соответствующая АЧХ
определяется формулой
A(ω)
=
Q( jω)
=
σ1
A1(− jω) A1( jω)
+ σ2
A1(− jω) A2 (− jω) A1( jω) A2 ( jω)
.
Так как
σ1
A1(− jω) A1( jω)
= σ1 ,
σ2
A1(− jω) A2 (− jω) A1( jω) A2 ( jω)
= σ2 ,
то,
пользуясь
неравенством
a − b ≤ a + b ≤ a + b , которое справедливо для произвольных комплексных чисел, оконча-
тельно получаем: σ1 − σ2 ≤ A(ω) ≤ σ1 + σ2 .
Отсюда вытекает, что для любой бисингулярной системы существует значение коэффи-
циента d , при котором АЧХ будет иметь вид равноволновых колебаний, заключенных в ин-
тервале между суммой сингулярных чисел σ1 + σ2 и их разностью σ1 − σ2 . Ширина этого ин-
тервала определяется только сингулярными числами.
Следовательно, амплитудно-фазовая характеристика бисингулярной системы (годограф
Найквиста) полностью расположена в круговой полосе (кольце), ограниченной двумя кон-
центрическими окружностями радиусами σ1 − σ2 и σ1 + σ2 .
Пример 2. На рис. 4 приведена диаграмма Найквиста бисингулярной системы 8-го по-
рядка с передаточной функцией
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Связь ганкелевых сингулярных чисел линейной системы с ее частотными характеристиками 25
Q(
p)
=
29,33 p8 5,333 p8 +
+ 185, 6 p7 68, 27 p7 +
+ 1233 p6 + 1749 p5 + 3890 p4 + 1711p3 + 1039 p2 274,1p6 + 1185 p5 + 1239 p4 + 2985 p3 + 916,8 p2
− 191,1 p + 1135 p
− 147 + 58,82
.
Амплитудно-фазовая характеристика этой системы заключена между двумя концентри-
ческими окружностями с центром в точке d = 1,5 и радиусами σ1 + σ2 = 4 , σ1 − σ2 = 2 . Таким
образом, ганкелевы сингулярные числа равны σ1 = 3, σ2 = 1. Дополнительный анализ позво-
ляет установить их кратности: r1 = 1, r2 = 7 .
Im
3R
2 1r
–3 –2 –1 0
1 d 2 3 4 5 Re
–1
–2
–3
Рис. 4
Заключение. Рассмотрена взаимосвязь частотных характеристик и ганкелевых сингулярных чисел линейных динамических систем. Основное внимание уделено исследованию малоизученного класса динамических систем — бисингулярных систем. Ганкелевы сингулярные числа таких систем принимают только два значения. Полученные результаты позволяют определять значения сингулярных чисел непосредственно по частотным характеристикам, без вычисления грамианов управляемости и наблюдаемости.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мироновский Л. А. Функциональное диагностирование динамических систем. М.: Изд-во МГУ, 1998. 256 с.
2. Мироновский Л. А., Шинтяков Д. В. Частотные характеристики фазовращательных и бисингулярных систем // Информационно-управляющие системы. 2007. № 5. С. 36—41.
3. Ober R. J. Balanced parametrization of classes of linear systems // SIAM J. Control and Optimization. 1991. Vol. 29, N 6. P. 1251—1287.
4. Glover K. All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariables systems // Intern. J. Control. 1984. Vol. 39, N 6. P. 1115—1193.
5. Курмаев И. Р., Мироновский Л. А. Фазовое разложение Гловера для бисингулярных систем // Сб. докл. 9-й науч. сессии ГУАП. СПб.: СПбГУАП, 2006. Ч. 2. С. 126—128.
Сведения об авторах Леонид Алексеевич Мироновский — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического приборостроения; кафедра вычислительных систем и сетей; E-mail: mir@aanet.ru Дмитрий Васильевич Шинтяков — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения; кафедра вычислительных систем и сетей; E-mail: ratson@mail.ru
Рекомендована кафедрой вычислительных систем и сетей
Поступила в редакцию 14.11.07 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1