ДВУХЗЕРКАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТИВ С ЧЕТЫРЬМЯ ОТРАЖЕНИЯМИ
Двухзеркальный объектив с четырьмя отражениями
69
УДК 535.317; 681.7
Н. К. АРТЮХИНА, А. В. БОГАТКО
ДВУХЗЕРКАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТИВ С ЧЕТЫРЬМЯ ОТРАЖЕНИЯМИ
Рассматривается двухзеркальный объектив с двойным отражением от каждой из поверхностей, состоящий из двух сферических зеркал с равными радиусами кривизны. Приведен математический аппарат для расчета системы, ее габаритные и аберрационные характеристики, исследована зависимость коэффициента экранирования от конструктивных параметров объектива.
Ключевые слова: объектив, выпуклое зеркало, вогнутое зеркало, аберрации, центральное экранирование.
Разработка зеркальных регистрирующих систем является актуальной задачей оптиче-
ского приборостроения в связи с существенным расширением спектрального диапазона рабо-
ты оптических приборов. Интерес к зеркальным объективам обусловлен рядом преимуществ,
которыми они обладают по сравнению с линзовыми и зеркально-линзовыми объективами, а
именно: меньшими габаритами и массой конструкции, потенциальной возможностью увели-
чения входной апертуры, возможностью работы в широкой области спектра — от ультрафио-
летовой до дальней инфракрасной. На современном этапе представляет интерес разработка
зеркальных объективов с увеличенным угловым полем при высоком относительном отвер-
стии; такие системы требуют коррекции сферической аберрации, комы, астигматизма и кри-
визны изображения.
Возможности двухзеркальных систем по построению изображения, свободного от
сферической аберрации, комы, астигматизма и кривизны, ограничены в силу недостаточ-
ного количества коррекционных параметров. Как правило, такие системы состоят из двух
асферических поверхностей, что вызывает трудности при их изготовлении и контроле.
Особый интерес представляют двухзеркальные концентрические объективы [1, 2], соче-
тающие в себе технологичность кон-
струкции и высокую степень коррек-
ции аберраций. Недостатком этих систем являются большие продольные габариты. Известны трехзеркальные
Главное зеркало
объективы с двойным отражением от
главного зеркала [3], а также четырех-
зеркальные системы с попарно совмещенными вершинами зеркал [4], одна-
Экран
ко их изготовление является весьма Бленда трудоемким.
В настоящей статье предлагается
новое схемное решение зеркального объектива, который состоит из главного выпуклого и вторичного вогнутого сферических зеркал (рис. 1), оптиче-
Вторичное зеркало
Рис. 1
ская схема при этом обеспечивает процесс повторного отражения пучка лучей от каждого
из зеркал.
Расчет объектива проводился по методике В. Н. Чуриловского [5]. Условие расчета пер-
вого параксиального луча (условие нормировки):
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
70 Н. К. Артюхина, А. В. Богатко
α1=0; α5 =1; h1=1, 0; f ′=1, 0. Значения тангенсов углов αs , образованных нулевым лучом с оптической осью, и высот hs лучей на поверхностях зеркал необходимы для определения конструктивных параметров ( rs , ds )
системы ( s=1, m — число поверхностей). Радиусы rs зеркальных поверхностей и осевые расстояния ds между зеркалами вычисляются в соответствии с выражениями
r1
=
2 α2
,
d1 =1−αh22
r2
=
2h2 α2 +α3
,
r2
,
d2
=
h
2 −h3 α3
,
=
2h3 α3 +α4
,
r4
=
2h4 α4
d3
h =
3 −h4 α4
.
;⎫⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
(1)
Дополнительные условия для расчета двухзеркального объектива с двойным отражением от каждой из поверхностей характеризуются соотношениями
r1=r3 , r2 =r4 ,⎪⎫ d1 =d3 =−d2.⎭⎪⎬
(2)
Из равенств (2) с учетом (1) получим следующие выражения для расчета высот лучей на
поверхностях:
h2
=
α4 α2 −α
3
,
h3
=
α3 +α4 α2
,
h4
=
α4 (α4 +1) α22 −α32
.
(3)
Условия устранения в системе сферической аберрации, комы, астигматизма и кривизны
изображения соответственно принимают следующий вид:
∑B0
=
1 2
m s=1
hs
Qs
=0,
⎫ ⎪ ⎪
∑ ∑K0 =−
∑ ∑ ∑C0
=
1 2
1 2
m
Ws
s=1
+
1 2
m νs+1αs+1 s=1 hs
m
hs Ss Qs =0,
s=1
−νsαs − m SsWs
s=1
+
1 2
m s=1
hs
Ss2
Qs
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ =0,⎪⎪ ⎪
∑D0
=
1 2
m s=1
νsαs+1 −νs+1αs hs
+С0
=0.
⎪ ⎪ ⎭⎪
(4)
Вспомогательные величины Ws , Ss , Ps , Qs для расчета коэффициентов аберраций для каждой отражающей поверхности представлены в таблице.
Величина Ws
1-я
α
2 2
2
Ss 0
2-я
α3 −α2 2
(α3 +α2 )
d 1−α2 d
Поверхность 3-я
α4
−α3 2
(α 4
+α 3 )
dd +
1−α2d (1−α2 d )(1−α2 d +α3d )
4-я
1−α 4 2
(1+α4 )
dd ++
1−α2 d (1−α2 d )(1−α2 d +α3d )
d +
(1−α2 d +α3d )(1−α2 d +α3 d −α4 d )
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Величина Ps
1-я − α32
4
Двухзеркальный объектив с четырьмя отражениями
2-я
(α3 −α2 )2 4
(α3 +α2 )
Поверхность 3-я
−
(α4 −α3 )2 4
(α4 +α3 )
71
Продолжение таблицы
4-я
(1−α4 )2 4
(1+α4 )
Qs
−
α
3 2
4
(α3 −α2 )2 4
(α3 +α2 )
−
(α4 −α3 )2 4
(α4 +α3 )
(1−α4 )2 4
(1+α4 )
Углы αs находим из условий устранения аберраций (4) с учетом уравнений (3) и таблицы. Расчет производился с использованием программного пакета MathCad, при этом в целях поиска схемного решения с оптимальной коррекцией аберраций коэффициенты аберраций задавались с незначительным отклонением от нуля. В результате исследования была рассчитана система, имеющая следующие параметры нулевого луча:
α1 = 0 , h1 = 1,
α2 = 0, 9239149 , h2 = 1, 765195 ,
α3 = 0, 706975 , h3 = 1,1796716 ,
α4 = 0, 3829411, h4 = 1, 4968271,
α5 = 1, что соответствует конструктивным параметрам объектива, состоящего из сферических зеркал с равными радиусами кривизны (в относительных единицах):
r 1= r2 = r3 = r4 = 2,1647015 ,
d1 = d3 = −d2 = −0,8282095 .
Коэффициенты остаточных аберраций третьего порядка данного схемного решения при
этом равны B0 = 0 , K0 = −0,125 , C0 = −0,167 , D0 = −0,167 .
В качестве дополнительных условий при расчете системы использовался коэффициент
центрального экранирования, который в процессе расчета был минимизирован. В рассматри-
ваемом объективе экранирование осуществлялось на обоих зеркалах из-за наличия в них цен-
тральных отверстий. Коэффициент центрального экранирования для первого (главного) зер-
кала определяется выражением
ξ1 = ho h1 = ho ,
где ho — высота нулевого луча по краю центрального отверстия в главном зеркале, причем
ho = δ при α5 = 1 ( δ — расстояние от поверхности главного зеркала до плоскости изобра-
жения), тогда имеем
ξ1 = δ .
(5)
Экранирование на четвертом зеркале будет осуществляться, если высота луча на четвер-
( )той поверхности h4(экр) будет меньше h1 , т.е. если h4(экр)
69
УДК 535.317; 681.7
Н. К. АРТЮХИНА, А. В. БОГАТКО
ДВУХЗЕРКАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТИВ С ЧЕТЫРЬМЯ ОТРАЖЕНИЯМИ
Рассматривается двухзеркальный объектив с двойным отражением от каждой из поверхностей, состоящий из двух сферических зеркал с равными радиусами кривизны. Приведен математический аппарат для расчета системы, ее габаритные и аберрационные характеристики, исследована зависимость коэффициента экранирования от конструктивных параметров объектива.
Ключевые слова: объектив, выпуклое зеркало, вогнутое зеркало, аберрации, центральное экранирование.
Разработка зеркальных регистрирующих систем является актуальной задачей оптиче-
ского приборостроения в связи с существенным расширением спектрального диапазона рабо-
ты оптических приборов. Интерес к зеркальным объективам обусловлен рядом преимуществ,
которыми они обладают по сравнению с линзовыми и зеркально-линзовыми объективами, а
именно: меньшими габаритами и массой конструкции, потенциальной возможностью увели-
чения входной апертуры, возможностью работы в широкой области спектра — от ультрафио-
летовой до дальней инфракрасной. На современном этапе представляет интерес разработка
зеркальных объективов с увеличенным угловым полем при высоком относительном отвер-
стии; такие системы требуют коррекции сферической аберрации, комы, астигматизма и кри-
визны изображения.
Возможности двухзеркальных систем по построению изображения, свободного от
сферической аберрации, комы, астигматизма и кривизны, ограничены в силу недостаточ-
ного количества коррекционных параметров. Как правило, такие системы состоят из двух
асферических поверхностей, что вызывает трудности при их изготовлении и контроле.
Особый интерес представляют двухзеркальные концентрические объективы [1, 2], соче-
тающие в себе технологичность кон-
струкции и высокую степень коррек-
ции аберраций. Недостатком этих систем являются большие продольные габариты. Известны трехзеркальные
Главное зеркало
объективы с двойным отражением от
главного зеркала [3], а также четырех-
зеркальные системы с попарно совмещенными вершинами зеркал [4], одна-
Экран
ко их изготовление является весьма Бленда трудоемким.
В настоящей статье предлагается
новое схемное решение зеркального объектива, который состоит из главного выпуклого и вторичного вогнутого сферических зеркал (рис. 1), оптиче-
Вторичное зеркало
Рис. 1
ская схема при этом обеспечивает процесс повторного отражения пучка лучей от каждого
из зеркал.
Расчет объектива проводился по методике В. Н. Чуриловского [5]. Условие расчета пер-
вого параксиального луча (условие нормировки):
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
70 Н. К. Артюхина, А. В. Богатко
α1=0; α5 =1; h1=1, 0; f ′=1, 0. Значения тангенсов углов αs , образованных нулевым лучом с оптической осью, и высот hs лучей на поверхностях зеркал необходимы для определения конструктивных параметров ( rs , ds )
системы ( s=1, m — число поверхностей). Радиусы rs зеркальных поверхностей и осевые расстояния ds между зеркалами вычисляются в соответствии с выражениями
r1
=
2 α2
,
d1 =1−αh22
r2
=
2h2 α2 +α3
,
r2
,
d2
=
h
2 −h3 α3
,
=
2h3 α3 +α4
,
r4
=
2h4 α4
d3
h =
3 −h4 α4
.
;⎫⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
(1)
Дополнительные условия для расчета двухзеркального объектива с двойным отражением от каждой из поверхностей характеризуются соотношениями
r1=r3 , r2 =r4 ,⎪⎫ d1 =d3 =−d2.⎭⎪⎬
(2)
Из равенств (2) с учетом (1) получим следующие выражения для расчета высот лучей на
поверхностях:
h2
=
α4 α2 −α
3
,
h3
=
α3 +α4 α2
,
h4
=
α4 (α4 +1) α22 −α32
.
(3)
Условия устранения в системе сферической аберрации, комы, астигматизма и кривизны
изображения соответственно принимают следующий вид:
∑B0
=
1 2
m s=1
hs
Qs
=0,
⎫ ⎪ ⎪
∑ ∑K0 =−
∑ ∑ ∑C0
=
1 2
1 2
m
Ws
s=1
+
1 2
m νs+1αs+1 s=1 hs
m
hs Ss Qs =0,
s=1
−νsαs − m SsWs
s=1
+
1 2
m s=1
hs
Ss2
Qs
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ =0,⎪⎪ ⎪
∑D0
=
1 2
m s=1
νsαs+1 −νs+1αs hs
+С0
=0.
⎪ ⎪ ⎭⎪
(4)
Вспомогательные величины Ws , Ss , Ps , Qs для расчета коэффициентов аберраций для каждой отражающей поверхности представлены в таблице.
Величина Ws
1-я
α
2 2
2
Ss 0
2-я
α3 −α2 2
(α3 +α2 )
d 1−α2 d
Поверхность 3-я
α4
−α3 2
(α 4
+α 3 )
dd +
1−α2d (1−α2 d )(1−α2 d +α3d )
4-я
1−α 4 2
(1+α4 )
dd ++
1−α2 d (1−α2 d )(1−α2 d +α3d )
d +
(1−α2 d +α3d )(1−α2 d +α3 d −α4 d )
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Величина Ps
1-я − α32
4
Двухзеркальный объектив с четырьмя отражениями
2-я
(α3 −α2 )2 4
(α3 +α2 )
Поверхность 3-я
−
(α4 −α3 )2 4
(α4 +α3 )
71
Продолжение таблицы
4-я
(1−α4 )2 4
(1+α4 )
Qs
−
α
3 2
4
(α3 −α2 )2 4
(α3 +α2 )
−
(α4 −α3 )2 4
(α4 +α3 )
(1−α4 )2 4
(1+α4 )
Углы αs находим из условий устранения аберраций (4) с учетом уравнений (3) и таблицы. Расчет производился с использованием программного пакета MathCad, при этом в целях поиска схемного решения с оптимальной коррекцией аберраций коэффициенты аберраций задавались с незначительным отклонением от нуля. В результате исследования была рассчитана система, имеющая следующие параметры нулевого луча:
α1 = 0 , h1 = 1,
α2 = 0, 9239149 , h2 = 1, 765195 ,
α3 = 0, 706975 , h3 = 1,1796716 ,
α4 = 0, 3829411, h4 = 1, 4968271,
α5 = 1, что соответствует конструктивным параметрам объектива, состоящего из сферических зеркал с равными радиусами кривизны (в относительных единицах):
r 1= r2 = r3 = r4 = 2,1647015 ,
d1 = d3 = −d2 = −0,8282095 .
Коэффициенты остаточных аберраций третьего порядка данного схемного решения при
этом равны B0 = 0 , K0 = −0,125 , C0 = −0,167 , D0 = −0,167 .
В качестве дополнительных условий при расчете системы использовался коэффициент
центрального экранирования, который в процессе расчета был минимизирован. В рассматри-
ваемом объективе экранирование осуществлялось на обоих зеркалах из-за наличия в них цен-
тральных отверстий. Коэффициент центрального экранирования для первого (главного) зер-
кала определяется выражением
ξ1 = ho h1 = ho ,
где ho — высота нулевого луча по краю центрального отверстия в главном зеркале, причем
ho = δ при α5 = 1 ( δ — расстояние от поверхности главного зеркала до плоскости изобра-
жения), тогда имеем
ξ1 = δ .
(5)
Экранирование на четвертом зеркале будет осуществляться, если высота луча на четвер-
( )той поверхности h4(экр) будет меньше h1 , т.е. если h4(экр)