АЛГОРИТМЫ ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ
АЛГОРИТМЫ ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ...
7 ТЕПЛОФИЗИКА И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ТЕПЛОТЕХНИКА
УДК 536.62
АЛГОРИТМЫ ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ
К.В. Кириллов, Н.В. Пилипенко
Исследовано применение различных модификаций цифрового фильтра Калмана (ФК) для решения граничных и коэффициентных обратных задач теплопроводности. Приведено описание как математических моделей теплопереноса и измерений, так и алгоритмов вычислительных подпрограмм. Представлены результаты тестирования разработанных программ. Ключевые слова: дифференциально-разностные модели теплопереноса, граничные и коэффициентные обратные задачи теплопроводности, фильтр Калмана.
Введение
Одной из наиболее проблемных задач теплометрии при исследовании промышленных объектов и технологических процессов является определение нестационарных условий теплообмена с помощью приемников теплового потока (ПТП) по измеренным в них температурам или их разностям в отдельных точках. Такие задачи относятся к нестационарным граничным обратным задачам теплопроводности (ОЗТ). Если теплофизические характеристики (ТФХ) ПТП известны лишь приблизительно, то необходимо решать комбинированную ОЗТ: граничную ОЗТ – по восстановлению входящих тепловых потоков и коэффициентную ОЗТ – по идентификации соответствующих ТФХ.
Решение прямой задачи теплопроводности
В качестве математической модели для описания одномерного теплопереноса в ПТП различных типов применяются дифференциально-разностные модели (ДРМ), подробно описанные в работах [1–3], которые в векторно-матричной форме для линейных стационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) имеют вид:
d d
T
F
T
G
U
,
где T и U – векторы состояния и управления; F и G – матрицы обратных связей и управления.
Общее решение СОДУ (1) имеет следующий вид:
T , 0 T0 (, ) G() U()d , 0
где , 0 expF 0 – переходная матрица состояния (матрица Коши) системы; 0 – начальный
момент времени. Для программной реализации решения (2) вводится дискретное время k k , а также дискретные векторы Tk T(k ) и Uk U(k ) . Тогда дискретная переходная матрица
k1,k (k1, k ) может быть вычислена с требуемой точностью путем суммирования необходимого числа членов следующего бесконечного ряда:
I
F
1 2!
F
22
1 m!
F
m m
...
,
где I – единичная матрица. Решением прямой задачи теплопроводности (ПЗТ) в этом случае является
последовательное применение для каждого момента времени следующей известной формуле расчета
Tk1 по значениям и Tk :
Tk 1
Tk
1 2
(I
)G Uk
.
Для учета измерительной схемы ПТП и сведений о характере и величинах случайных погрешно-
стей в измерениях температуры используется следующая модель измерений:
Yk H Tk εk , где Yk и εk – векторы измерений и случайных погрешностей; H – матрица измерений.
106
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)
К.В. Кириллов, Н.В. Пилипенко
Решение обратной задачи теплопроводности
В работах [1, 2] показана целесообразность использования метода параметрической идентифика-
ции для решения ОЗТ, так как последний удовлетворяет общепринятым требованиям устойчивости и
сходимости вычислительных процедур, точности конечных результатов, универсальности, простоты
программной реализации и др. Сущность же метода сводится к предварительной параметризации задачи
и последующему нахождению оптимальной несмещенной оценки либо вектора состояния, либо вектора
искомых параметров системы, дающей минимум нормы вектора невязки между измеренными в опыте
температурами и прогнозами измерений температуры, рассчитанными по модели. Для получения оценок
используется рекуррентная вычислительная процедура цифрового ФК. Рассмотрим подробнее два наи-
более распространенных ФК: линейный ФК по расширенному вектору состояния системы и нелинейный
ФК по вектору искомых параметров.
Под параметризацией ОЗТ понимается априорная кусочно-линейная аппроксимация подлежащего
восстановлению теплового потока на всем интервале измерений, где в качестве системы базисных функ-
ций применяются В-сплайны 1-го порядка. Тогда на z-ом участке аппроксимации значение теплового
потока находится по следующей формуле:
qz qaz Spz11 qbz Spz1 , где qaz и qbz – значения теплового потока на левой и правой границах участка соответственно; Spz11 и
Sp
1
z
–
В-сплайны.
Линейный
ФК
по
расширенному
вектору
состояния
системы
(ФК-1)
основан
на
вве-
дении расширенного вектора состояния Rzk :
Rzk
Tzk Q z
t1zk
t2 zk
tnzk
qaz
qbz T ,
где Qz qaz qbz T – вектор искомых параметров, а также на соответствующем расширении ДРМ за
счет очевидных уравнений qaz 0 , qbz 0 и простейшей коррекции правой части модели измерений.
Алгоритм ФК-1 для одного участка сплайн-аппроксимации описывается следующими уравнения-
ми:
Rˆ
k 1
k 1,k
Rˆ
k
1 2
I k 1,k
GR Uk ;
;P k 1
k 1,k
Pk
T k +1,k
;Kk1
P k 1
H
T R
H
R
P k 1
H
T R
N
1
Rˆ
k 1
R k 1
Kk 1
Yk
1
HR
Rˆ
k 1
;
,P k 1
P k 1
Kk
1
H
R
P k 1
где P – ковариационная матрица ошибок оценок; K – весовая матрица; N – ковариационная матрица
случайных погрешностей измерений; индексы «–» и «+» обозначают априорные и апостериорные значе-
ния, соответственно. Алгоритм ФК-1 обеспечивает нахождение несмещенной оценки Rˆ k , т.е.
E Rˆ k E Rk , дающей минимум дискретной квадратичной функции невязки:
Rk N Yk HRRk T N 1 Yk HRRk . k 1
ФК-1 был реализован в виде программного комплекса «Heat Identification», который непосредст-
венно восстанавливает как температуры, так и входящий тепловой поток, следовательно, его целесооб-
разно использовать в тех случаях, когда начальное распределение температур по толщине ПТП известно
лишь приблизительно.
Нелинейный ФК по вектору искомых параметров (ФК-2) основан на введении вектора
Qz Qqz Qz T qa,z qb,z z T , для которого выполняется условие Q const . Тогда модель ПТП
имеет следующий вид:
Q 0 ,
(1)
а модель измерений
Yk Yk (Q0 ) εk ,
(2)
где Yk Q0 – модельный вектор измерений; Q 0 – истинное значение вектора искомых параметров.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)
107
АЛГОРИТМЫ ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ...
К модели (1), (2) может быть применен алгоритм дискретного нелинейного ФК, позволяющий получать рекуррентные оценки Qˆ k1 вектора искомых параметров Q и ковариационную матрицу Pk1 их
ошибок по найденным на предыдущем k-ом шаге Qk , Pk и известному вектору измерений Yk1 . Алгоритм имеет следующий вид:
Kk1
Pk
Hˆ
T k +1
Hˆ k
1 Pk
Hˆ
T k 1
N
1 ;
Qˆ k1 Qˆ k Kk1 Yk1 Yk1 Qˆ k ;
Pk 1 Pk Kk 1Hˆ k 1Pk ,
где Hˆ k1 – матрица функций чувствительности; Yk1 Qˆ k – модельный вектор измерения, рассчитывае-
мый по модели теплопереноса в ПТП для момента времени k+1 с использованием предыдущей оценки
Qˆ k вектора Qk .
Матрица функций чувствительности Hˆ k1 имеет следующий вид:
Hˆ k 1
Yk Q
Q
Q
Qˆ k
y1,k Q
qa
ym,k Q
qa
y1,k Q
qb
ym,k Q
qb
y1,k Q
.
ym,k Q
Здесь
y j,k Q
qa
Q
Qˆ k
,
y j,k Q
qb Q Qˆ k
и
y j,k Q
Q Qˆ k
– функции чувствительности j-го
измерения к искомому параметру qa , qb и в k+1 момент времени.
Алгоритм ФК-2 обеспечивает нахождение несмещенной оценки Qˆ k , т.е. E Qˆ k E Qk , дающей
минимум дискретной квадратичной функции невязки:
N
Qk
Yk Yk Qk T N 1 Yk Yk Qk .
k 1
ФК-2 был реализован в виде программы «Heat Conduction», который непосредственно восстанав-
ливает как тепловой поток, так и теплопроводность, следовательно, его целесообразно использовать в
тех случаях, когда теплопроводность материала ПТП известна лишь приблизительно.
Результаты имитационного моделирования
Ниже представлены результаты математического моделирования для градиентного однородного ПТП типа вспомогательной стенки толщиной h 0,005 м и со следующими ТФХ: 15 Вт/(мК); c 485 Дж/(кгК); 8000 кг/м3. Входящий в ПТП тепловой поток изменялся по закону
q1() 10000 sin0,110000 Вт/м2, на тыльной стороне q2 () 0 Вт/м2. Задавались температуры по-
верхности t1 и второго блока t2 при уровне погрешностей в измерениях =0,1С; длине участка сплайн-
аппроксимации z 10 ( 0,01 с); начальном распределении T0 30 30T С.
Результаты восстановления теплового потока и температурного поля по толщине тепломера с помощью ФК-1 представлены на рис. 1. Начальные оценки принимались вдвое меньше эталонных:
Rˆ 0 15 15 5000 5000T , а начальное значение ковариационной матрицы
P0 diag 100, , 100, 1012 , 1012 .
Результаты восстановления теплового потока и уточнения теплопроводности материала ПТП с помощью ФК-2 представлены на рис. 2. Начальные оценки принимались, как и в предыдущем случае, в
двое меньше эталонных: Qˆ 0 5000 5000 7,5T , а начальное значение ковариационной матрицы:
P0 diag 1012, 1012 , 100 .
108
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)
К.В. Кириллов, Н.В. Пилипенко
q, Вт/м2 20000 10000
1 2
t, C 1
30 1 2
25
3
4
20 5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 ,c а
15 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ,c
б
Рис. 1. Эталонный (1) и восстановленный (2) тепловые потоки (а); заданная на поверхности первого блока (1') и восстановленные на блоках 1–5 температуры ПТП (б)
q, Вт/м2 20000
, Вт/(мК) 14 12
1
10000
1
2
10 2 8
0 0,2 0,4 0,6 0,8 ,c
а
6 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ,c
б
Рис. 2. Эталонные (1) и восстановленные (2) значения теплового потока (а) и теплопроводности ПТП (б)
Заключение
В статье приведено описание математических моделей, как процесса теплопереноса, так и измерений в различных типах сенсоров нестационарного теплового потока; рассмотрены алгоритмы программ для решения прямых и обратных задач теплопроводности. Для получения оценок значений теплового потока разработаны программы двух модификаций ФК, которые позволили оценить поток в реальном времени.
Приведены результаты математического моделирования по восстановлению теплового потока и уточнению теплопроводности материала, которые позволяют утверждать, что разработанные методики расчетов могут быть использованы в энергосберегающих технологиях, в частности, при определении тепловых потерь ограждающих конструкций зданий и сооружений в нестационарном режиме.
Литература
1. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии (ч. 1) // Изв. вузов. Приборостроение. – 2003. – № 8. – С. 50–54.
2. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии (ч. 2) // Изв. вузов. Приборостроение. – 2003. – № 10. – С. 67–71.
3. Pilipenko N. Parametrical Identification of Differential-difference Heat Transfer Models in Non-stationary Thermal Measurements // Heat Transfer Research. – 2008. – V. 39. – № 4. – Р. 311 –315.
Кириллов Кирилл Валерьевич Пилипенко Николай Васильевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, kirill.kirillov@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, pilipenko38@mail.ru
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)
109
7 ТЕПЛОФИЗИКА И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ТЕПЛОТЕХНИКА
УДК 536.62
АЛГОРИТМЫ ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ
К.В. Кириллов, Н.В. Пилипенко
Исследовано применение различных модификаций цифрового фильтра Калмана (ФК) для решения граничных и коэффициентных обратных задач теплопроводности. Приведено описание как математических моделей теплопереноса и измерений, так и алгоритмов вычислительных подпрограмм. Представлены результаты тестирования разработанных программ. Ключевые слова: дифференциально-разностные модели теплопереноса, граничные и коэффициентные обратные задачи теплопроводности, фильтр Калмана.
Введение
Одной из наиболее проблемных задач теплометрии при исследовании промышленных объектов и технологических процессов является определение нестационарных условий теплообмена с помощью приемников теплового потока (ПТП) по измеренным в них температурам или их разностям в отдельных точках. Такие задачи относятся к нестационарным граничным обратным задачам теплопроводности (ОЗТ). Если теплофизические характеристики (ТФХ) ПТП известны лишь приблизительно, то необходимо решать комбинированную ОЗТ: граничную ОЗТ – по восстановлению входящих тепловых потоков и коэффициентную ОЗТ – по идентификации соответствующих ТФХ.
Решение прямой задачи теплопроводности
В качестве математической модели для описания одномерного теплопереноса в ПТП различных типов применяются дифференциально-разностные модели (ДРМ), подробно описанные в работах [1–3], которые в векторно-матричной форме для линейных стационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) имеют вид:
d d
T
F
T
G
U
,
где T и U – векторы состояния и управления; F и G – матрицы обратных связей и управления.
Общее решение СОДУ (1) имеет следующий вид:
T , 0 T0 (, ) G() U()d , 0
где , 0 expF 0 – переходная матрица состояния (матрица Коши) системы; 0 – начальный
момент времени. Для программной реализации решения (2) вводится дискретное время k k , а также дискретные векторы Tk T(k ) и Uk U(k ) . Тогда дискретная переходная матрица
k1,k (k1, k ) может быть вычислена с требуемой точностью путем суммирования необходимого числа членов следующего бесконечного ряда:
I
F
1 2!
F
22
1 m!
F
m m
...
,
где I – единичная матрица. Решением прямой задачи теплопроводности (ПЗТ) в этом случае является
последовательное применение для каждого момента времени следующей известной формуле расчета
Tk1 по значениям и Tk :
Tk 1
Tk
1 2
(I
)G Uk
.
Для учета измерительной схемы ПТП и сведений о характере и величинах случайных погрешно-
стей в измерениях температуры используется следующая модель измерений:
Yk H Tk εk , где Yk и εk – векторы измерений и случайных погрешностей; H – матрица измерений.
106
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)
К.В. Кириллов, Н.В. Пилипенко
Решение обратной задачи теплопроводности
В работах [1, 2] показана целесообразность использования метода параметрической идентифика-
ции для решения ОЗТ, так как последний удовлетворяет общепринятым требованиям устойчивости и
сходимости вычислительных процедур, точности конечных результатов, универсальности, простоты
программной реализации и др. Сущность же метода сводится к предварительной параметризации задачи
и последующему нахождению оптимальной несмещенной оценки либо вектора состояния, либо вектора
искомых параметров системы, дающей минимум нормы вектора невязки между измеренными в опыте
температурами и прогнозами измерений температуры, рассчитанными по модели. Для получения оценок
используется рекуррентная вычислительная процедура цифрового ФК. Рассмотрим подробнее два наи-
более распространенных ФК: линейный ФК по расширенному вектору состояния системы и нелинейный
ФК по вектору искомых параметров.
Под параметризацией ОЗТ понимается априорная кусочно-линейная аппроксимация подлежащего
восстановлению теплового потока на всем интервале измерений, где в качестве системы базисных функ-
ций применяются В-сплайны 1-го порядка. Тогда на z-ом участке аппроксимации значение теплового
потока находится по следующей формуле:
qz qaz Spz11 qbz Spz1 , где qaz и qbz – значения теплового потока на левой и правой границах участка соответственно; Spz11 и
Sp
1
z
–
В-сплайны.
Линейный
ФК
по
расширенному
вектору
состояния
системы
(ФК-1)
основан
на
вве-
дении расширенного вектора состояния Rzk :
Rzk
Tzk Q z
t1zk
t2 zk
tnzk
qaz
qbz T ,
где Qz qaz qbz T – вектор искомых параметров, а также на соответствующем расширении ДРМ за
счет очевидных уравнений qaz 0 , qbz 0 и простейшей коррекции правой части модели измерений.
Алгоритм ФК-1 для одного участка сплайн-аппроксимации описывается следующими уравнения-
ми:
Rˆ
k 1
k 1,k
Rˆ
k
1 2
I k 1,k
GR Uk ;
;P k 1
k 1,k
Pk
T k +1,k
;Kk1
P k 1
H
T R
H
R
P k 1
H
T R
N
1
Rˆ
k 1
R k 1
Kk 1
Yk
1
HR
Rˆ
k 1
;
,P k 1
P k 1
Kk
1
H
R
P k 1
где P – ковариационная матрица ошибок оценок; K – весовая матрица; N – ковариационная матрица
случайных погрешностей измерений; индексы «–» и «+» обозначают априорные и апостериорные значе-
ния, соответственно. Алгоритм ФК-1 обеспечивает нахождение несмещенной оценки Rˆ k , т.е.
E Rˆ k E Rk , дающей минимум дискретной квадратичной функции невязки:
Rk N Yk HRRk T N 1 Yk HRRk . k 1
ФК-1 был реализован в виде программного комплекса «Heat Identification», который непосредст-
венно восстанавливает как температуры, так и входящий тепловой поток, следовательно, его целесооб-
разно использовать в тех случаях, когда начальное распределение температур по толщине ПТП известно
лишь приблизительно.
Нелинейный ФК по вектору искомых параметров (ФК-2) основан на введении вектора
Qz Qqz Qz T qa,z qb,z z T , для которого выполняется условие Q const . Тогда модель ПТП
имеет следующий вид:
Q 0 ,
(1)
а модель измерений
Yk Yk (Q0 ) εk ,
(2)
где Yk Q0 – модельный вектор измерений; Q 0 – истинное значение вектора искомых параметров.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)
107
АЛГОРИТМЫ ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ...
К модели (1), (2) может быть применен алгоритм дискретного нелинейного ФК, позволяющий получать рекуррентные оценки Qˆ k1 вектора искомых параметров Q и ковариационную матрицу Pk1 их
ошибок по найденным на предыдущем k-ом шаге Qk , Pk и известному вектору измерений Yk1 . Алгоритм имеет следующий вид:
Kk1
Pk
Hˆ
T k +1
Hˆ k
1 Pk
Hˆ
T k 1
N
1 ;
Qˆ k1 Qˆ k Kk1 Yk1 Yk1 Qˆ k ;
Pk 1 Pk Kk 1Hˆ k 1Pk ,
где Hˆ k1 – матрица функций чувствительности; Yk1 Qˆ k – модельный вектор измерения, рассчитывае-
мый по модели теплопереноса в ПТП для момента времени k+1 с использованием предыдущей оценки
Qˆ k вектора Qk .
Матрица функций чувствительности Hˆ k1 имеет следующий вид:
Hˆ k 1
Yk Q
Q
Q
Qˆ k
y1,k Q
qa
ym,k Q
qa
y1,k Q
qb
ym,k Q
qb
y1,k Q
.
ym,k Q
Здесь
y j,k Q
qa
Q
Qˆ k
,
y j,k Q
qb Q Qˆ k
и
y j,k Q
Q Qˆ k
– функции чувствительности j-го
измерения к искомому параметру qa , qb и в k+1 момент времени.
Алгоритм ФК-2 обеспечивает нахождение несмещенной оценки Qˆ k , т.е. E Qˆ k E Qk , дающей
минимум дискретной квадратичной функции невязки:
N
Qk
Yk Yk Qk T N 1 Yk Yk Qk .
k 1
ФК-2 был реализован в виде программы «Heat Conduction», который непосредственно восстанав-
ливает как тепловой поток, так и теплопроводность, следовательно, его целесообразно использовать в
тех случаях, когда теплопроводность материала ПТП известна лишь приблизительно.
Результаты имитационного моделирования
Ниже представлены результаты математического моделирования для градиентного однородного ПТП типа вспомогательной стенки толщиной h 0,005 м и со следующими ТФХ: 15 Вт/(мК); c 485 Дж/(кгК); 8000 кг/м3. Входящий в ПТП тепловой поток изменялся по закону
q1() 10000 sin0,110000 Вт/м2, на тыльной стороне q2 () 0 Вт/м2. Задавались температуры по-
верхности t1 и второго блока t2 при уровне погрешностей в измерениях =0,1С; длине участка сплайн-
аппроксимации z 10 ( 0,01 с); начальном распределении T0 30 30T С.
Результаты восстановления теплового потока и температурного поля по толщине тепломера с помощью ФК-1 представлены на рис. 1. Начальные оценки принимались вдвое меньше эталонных:
Rˆ 0 15 15 5000 5000T , а начальное значение ковариационной матрицы
P0 diag 100, , 100, 1012 , 1012 .
Результаты восстановления теплового потока и уточнения теплопроводности материала ПТП с помощью ФК-2 представлены на рис. 2. Начальные оценки принимались, как и в предыдущем случае, в
двое меньше эталонных: Qˆ 0 5000 5000 7,5T , а начальное значение ковариационной матрицы:
P0 diag 1012, 1012 , 100 .
108
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)
К.В. Кириллов, Н.В. Пилипенко
q, Вт/м2 20000 10000
1 2
t, C 1
30 1 2
25
3
4
20 5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 ,c а
15 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ,c
б
Рис. 1. Эталонный (1) и восстановленный (2) тепловые потоки (а); заданная на поверхности первого блока (1') и восстановленные на блоках 1–5 температуры ПТП (б)
q, Вт/м2 20000
, Вт/(мК) 14 12
1
10000
1
2
10 2 8
0 0,2 0,4 0,6 0,8 ,c
а
6 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ,c
б
Рис. 2. Эталонные (1) и восстановленные (2) значения теплового потока (а) и теплопроводности ПТП (б)
Заключение
В статье приведено описание математических моделей, как процесса теплопереноса, так и измерений в различных типах сенсоров нестационарного теплового потока; рассмотрены алгоритмы программ для решения прямых и обратных задач теплопроводности. Для получения оценок значений теплового потока разработаны программы двух модификаций ФК, которые позволили оценить поток в реальном времени.
Приведены результаты математического моделирования по восстановлению теплового потока и уточнению теплопроводности материала, которые позволяют утверждать, что разработанные методики расчетов могут быть использованы в энергосберегающих технологиях, в частности, при определении тепловых потерь ограждающих конструкций зданий и сооружений в нестационарном режиме.
Литература
1. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии (ч. 1) // Изв. вузов. Приборостроение. – 2003. – № 8. – С. 50–54.
2. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии (ч. 2) // Изв. вузов. Приборостроение. – 2003. – № 10. – С. 67–71.
3. Pilipenko N. Parametrical Identification of Differential-difference Heat Transfer Models in Non-stationary Thermal Measurements // Heat Transfer Research. – 2008. – V. 39. – № 4. – Р. 311 –315.
Кириллов Кирилл Валерьевич Пилипенко Николай Васильевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, kirill.kirillov@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, pilipenko38@mail.ru
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 5 (69)
109