АБЕРРАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ОТРАЖАЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
66 Л. Н. Андреев, Ю. А. Комарова
УДК 535.317
Л. Н. АНДРЕЕВ, Ю. А. КОМАРОВА
АБЕРРАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ОТРАЖАЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассмотрены коррекционные возможности в области Зейделя отражающих поверхностей второго порядка: параболы, гиперболы и эллипса. На основе выражений для коэффициентов аберраций третьего порядка сформулирована теорема об аберрационных свойствах этих поверхностей.
Ключевые слова: асферические отражающие поверхности, аберрации третьего порядка, аберрационные свойства.
Уравнения кривых второго порядка имеют вид [1, 2]
y2 = 2r0 z − (1 − e2 )z2 ,
(1)
где r0 — радиус в вершине кривой, е — эксцентриситет кривой второго порядка. Для окружности е2=0, для параболы е2 =1, для эллипса 0< е2 1: см.
рисунок, где приведены схемы соответствующих асферических отражающих поверхностей.
а) б) y
y
e2 = 1 n = –n′ = 1
0 1
y
в) n = –n′ = 1
F2 O2
F1 z O O1
–s s′
На основе фокальных свойств кривых второго порядка [3] установлено, что оба фокуса являются сопряженными. Поэтому при расположении точки предмета в одном из фокусов отражающих поверхностей изображение находится в другом, и при этом гомоцентричность пучков лучей не нарушается, т.е. сферическая аберрация отсутствует [4—9].
Рассмотрим коэффициенты (SI—SV) аберраций третьего порядка отражающих поверхностей второго порядка.
Коэффициенты аберраций третьего порядка, выраженные через параметры Р, W, π [1], определяются следующим образом:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 3
Аберрационные свойства отражающих поверхностей второго порядка
67
SI = h(P + ∆P); SII = H (P + ∆P) − IW ;
⎫ ⎪ ⎪
SIII
=
H2 h
(P
+
∆P) − 2I
H h
W
−
I 2Φ;
⎪ ⎪ ⎪
SIV SV
=
π
=
−
∆n−1 r0
=
Φ;
=
H3 h2
(P
+
∆P)
−
3I
H2 h2
W
−
2I 2
H h
⎬ ⎪ ⎪ ⎪ Φ,⎪⎪⎭
(2)
где h и H — высота пересечения соответственно 1-го и 2-го параксиальных лучей с асфериче-
ской поверхностью; n = −n′ = 1; при этом
P
=
⎛ ⎝⎜
∆a ∆n−1
⎞2 ⎟⎠
∆a
1 n
;
W
=
∆a ∆n−1
∆a
1 n
;
Φ
=
α′ − h
α
,
∆P
=
−e2
∆an3 ∆n2
.
Для параболоида (см. рисунок, а) при P = −0, 25; W = 0,50; ∆P = 0, 25 и α1 = 0; α′ = 1;
h1 = f ′ = 1; β1 = 1, I = −1 уравнения (2) принимают следующий вид:
SI = 0; SII = W = 0,5;
⎫ ⎪ ⎪
SIII = −H −1 = −sp −1;
⎪ ⎬
SIV = 1;
⎪
SV
=
3 2
H2
+
2H
=
3 2
s
2 p
+
⎪
2s
p
,⎪ ⎭
(3)
где sp — приведенное положение входного зрачка относительно вершины поверхности.
Для эллиптической и гиперболической отражающих поверхностей (см. рисунок, б, в)
уравнения (2) при
α1
= −β×; h1 = sα = −sβ× ; H
= sp; I
= n1α1l = −(sp
−
s)
1 1
− +
e e
имеют вид
SI
=
s
(1 − (1 +
e) e)
⎡ ⎢− ⎢⎣
2e2 (1 + e)3
+
2e2 (1 + e)3
⎤ ⎥ ⎦⎥
=
⎫ 0;⎪
⎪
SII
=
−
2(sp − s)(1 − (1+ e)3
e)e ;
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
SIII
=
4(sp − s)spe s(1 + e)2
+
2(sp − s)2 (1 − s(1 + e)2
e) ;⎬⎪⎪ ⎪
SIV SV
=
π
=
−
∆n−1 r0
=
Φ;
=
−
6e(s p (1 −
− s)s2 e2 )s2
p
+
4(sp − s)2 sp s2 (1 + e2 )
,
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
(4)
где s и sp — расстояние от предмета и входного зрачка до вершины поверхности. Для эллипсоида и гиперболоида
s
=
1
r0 −
e
или
s′
=
1
r0 +
e
.
(5)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 3
68 Л. Н. Андреев, Ю. А. Комарова
Анализ выражений (2)—(5) и фокальных свойств кривых второго порядка позволяет
вывести следующую теорему.
Теорема. Отражающие поверхности второго порядка (параболоидальная, эллипсои-
дальная и гиперболоидальная) характеризуются следующими свойствами:
1) при расположении предмета в одном из фокусов сферическая аберрация исправлена
(SI=0), при этом гомоцентричность пучка лучей не нарушается; 2) при выполнении п. 1 кома третьего порядка не зависит от положения входного
зрачка (sp); 3) при выполнении п. 1. астигматизм третьего порядка зависит от положения входного
зрачка (sp): при расположении предмета и входного зрачка в сопряженных фокусах F1 и F2 соответственно он исправлен;
4) при выполнении п. 1 дисторсия третьего порядка зависит от положения входного
зрачка: при
sp=
0и
sp
=
2r0 2+e
исправлена;
5) кривизна поверхности изображения не зависит от положения входного зрачка (sp) и
эксцентриситета (е), так как SIV = Φ = 2 r0 .
В заключение следует отметить, что приведенные результаты исследования коррекци-
онных свойств отражающих асферических поверхностей второго порядка в области Зейде-
ля могут быть полезны при проектировании зеркальных и зеркально-линзовых оптических
систем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1989. 379 с.
2. Русинов М. М. Композиция оптических систем. Л.: Машиностроение, 1989. 383 с.
3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М.: Гостехтеориздат, 1956. 608 с.
4. Русинов М. М. Несферические поверхности в оптике. М: Недра, 1965. 195с.
5. Чуриловский В. Н. Теория оптических приборов. М. — Л.: Машиностроение, 1966. 564 с.
6. Панов В. А., Андреев Л. Н. Оптика микроскопов. Л.: Машиностроение, 1976. 432 с.
7. Зверев В. А. Основы геометрической оптики. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2002. 218 с.
8. Зверев В. А., Точилина Т. В. Оптотехника проектирования оптических приборов. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2005. 457 с.
9. Андреев Л. Н. Прикладная теория аберраций. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2002. 96 с.
Лев Николаевич Андреев Юлия Александровна Комарова
Сведения об авторах — д-р. техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра прикладной и компьютерной оптики — студентка; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра прикладной и компьютерной оптики
Рекомендована кафедрой прикладной и компьютерной оптики
Поступила в редакцию 19.03.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 3
УДК 535.317
Л. Н. АНДРЕЕВ, Ю. А. КОМАРОВА
АБЕРРАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ОТРАЖАЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассмотрены коррекционные возможности в области Зейделя отражающих поверхностей второго порядка: параболы, гиперболы и эллипса. На основе выражений для коэффициентов аберраций третьего порядка сформулирована теорема об аберрационных свойствах этих поверхностей.
Ключевые слова: асферические отражающие поверхности, аберрации третьего порядка, аберрационные свойства.
Уравнения кривых второго порядка имеют вид [1, 2]
y2 = 2r0 z − (1 − e2 )z2 ,
(1)
где r0 — радиус в вершине кривой, е — эксцентриситет кривой второго порядка. Для окружности е2=0, для параболы е2 =1, для эллипса 0< е2 1: см.
рисунок, где приведены схемы соответствующих асферических отражающих поверхностей.
а) б) y
y
e2 = 1 n = –n′ = 1
0 1
y
в) n = –n′ = 1
F2 O2
F1 z O O1
–s s′
На основе фокальных свойств кривых второго порядка [3] установлено, что оба фокуса являются сопряженными. Поэтому при расположении точки предмета в одном из фокусов отражающих поверхностей изображение находится в другом, и при этом гомоцентричность пучков лучей не нарушается, т.е. сферическая аберрация отсутствует [4—9].
Рассмотрим коэффициенты (SI—SV) аберраций третьего порядка отражающих поверхностей второго порядка.
Коэффициенты аберраций третьего порядка, выраженные через параметры Р, W, π [1], определяются следующим образом:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 3
Аберрационные свойства отражающих поверхностей второго порядка
67
SI = h(P + ∆P); SII = H (P + ∆P) − IW ;
⎫ ⎪ ⎪
SIII
=
H2 h
(P
+
∆P) − 2I
H h
W
−
I 2Φ;
⎪ ⎪ ⎪
SIV SV
=
π
=
−
∆n−1 r0
=
Φ;
=
H3 h2
(P
+
∆P)
−
3I
H2 h2
W
−
2I 2
H h
⎬ ⎪ ⎪ ⎪ Φ,⎪⎪⎭
(2)
где h и H — высота пересечения соответственно 1-го и 2-го параксиальных лучей с асфериче-
ской поверхностью; n = −n′ = 1; при этом
P
=
⎛ ⎝⎜
∆a ∆n−1
⎞2 ⎟⎠
∆a
1 n
;
W
=
∆a ∆n−1
∆a
1 n
;
Φ
=
α′ − h
α
,
∆P
=
−e2
∆an3 ∆n2
.
Для параболоида (см. рисунок, а) при P = −0, 25; W = 0,50; ∆P = 0, 25 и α1 = 0; α′ = 1;
h1 = f ′ = 1; β1 = 1, I = −1 уравнения (2) принимают следующий вид:
SI = 0; SII = W = 0,5;
⎫ ⎪ ⎪
SIII = −H −1 = −sp −1;
⎪ ⎬
SIV = 1;
⎪
SV
=
3 2
H2
+
2H
=
3 2
s
2 p
+
⎪
2s
p
,⎪ ⎭
(3)
где sp — приведенное положение входного зрачка относительно вершины поверхности.
Для эллиптической и гиперболической отражающих поверхностей (см. рисунок, б, в)
уравнения (2) при
α1
= −β×; h1 = sα = −sβ× ; H
= sp; I
= n1α1l = −(sp
−
s)
1 1
− +
e e
имеют вид
SI
=
s
(1 − (1 +
e) e)
⎡ ⎢− ⎢⎣
2e2 (1 + e)3
+
2e2 (1 + e)3
⎤ ⎥ ⎦⎥
=
⎫ 0;⎪
⎪
SII
=
−
2(sp − s)(1 − (1+ e)3
e)e ;
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
SIII
=
4(sp − s)spe s(1 + e)2
+
2(sp − s)2 (1 − s(1 + e)2
e) ;⎬⎪⎪ ⎪
SIV SV
=
π
=
−
∆n−1 r0
=
Φ;
=
−
6e(s p (1 −
− s)s2 e2 )s2
p
+
4(sp − s)2 sp s2 (1 + e2 )
,
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
(4)
где s и sp — расстояние от предмета и входного зрачка до вершины поверхности. Для эллипсоида и гиперболоида
s
=
1
r0 −
e
или
s′
=
1
r0 +
e
.
(5)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 3
68 Л. Н. Андреев, Ю. А. Комарова
Анализ выражений (2)—(5) и фокальных свойств кривых второго порядка позволяет
вывести следующую теорему.
Теорема. Отражающие поверхности второго порядка (параболоидальная, эллипсои-
дальная и гиперболоидальная) характеризуются следующими свойствами:
1) при расположении предмета в одном из фокусов сферическая аберрация исправлена
(SI=0), при этом гомоцентричность пучка лучей не нарушается; 2) при выполнении п. 1 кома третьего порядка не зависит от положения входного
зрачка (sp); 3) при выполнении п. 1. астигматизм третьего порядка зависит от положения входного
зрачка (sp): при расположении предмета и входного зрачка в сопряженных фокусах F1 и F2 соответственно он исправлен;
4) при выполнении п. 1 дисторсия третьего порядка зависит от положения входного
зрачка: при
sp=
0и
sp
=
2r0 2+e
исправлена;
5) кривизна поверхности изображения не зависит от положения входного зрачка (sp) и
эксцентриситета (е), так как SIV = Φ = 2 r0 .
В заключение следует отметить, что приведенные результаты исследования коррекци-
онных свойств отражающих асферических поверхностей второго порядка в области Зейде-
ля могут быть полезны при проектировании зеркальных и зеркально-линзовых оптических
систем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1989. 379 с.
2. Русинов М. М. Композиция оптических систем. Л.: Машиностроение, 1989. 383 с.
3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М.: Гостехтеориздат, 1956. 608 с.
4. Русинов М. М. Несферические поверхности в оптике. М: Недра, 1965. 195с.
5. Чуриловский В. Н. Теория оптических приборов. М. — Л.: Машиностроение, 1966. 564 с.
6. Панов В. А., Андреев Л. Н. Оптика микроскопов. Л.: Машиностроение, 1976. 432 с.
7. Зверев В. А. Основы геометрической оптики. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2002. 218 с.
8. Зверев В. А., Точилина Т. В. Оптотехника проектирования оптических приборов. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2005. 457 с.
9. Андреев Л. Н. Прикладная теория аберраций. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2002. 96 с.
Лев Николаевич Андреев Юлия Александровна Комарова
Сведения об авторах — д-р. техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра прикладной и компьютерной оптики — студентка; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра прикладной и компьютерной оптики
Рекомендована кафедрой прикладной и компьютерной оптики
Поступила в редакцию 19.03.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 3