ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ВЫБОРУ СИСТЕМЫ МАЛЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
40 В. И. Горбулин, В. В. Панченко, Н. В. Радионов
УДК 621.391.037
В. И. ГОРБУЛИН, В. В. ПАНЧЕНКО, Н. В. РАДИОНОВ
ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ВЫБОРУ СИСТЕМЫ МАЛЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Впервые сформулирована корректная математическая постановка техникоэкономической задачи выбора состава системы малых космических аппаратов и средств наблюдения за заданным районом, обеспечивающей требуемую достоверность получаемой информации в условиях ограниченного финансирования. Предложенная декомпозиция позволила разработать методику раздельного решения технической задачи по критерию допустимости и оптимальной экономической задачи.
Ключевые слова: средства наблюдения, космические аппараты, задача выбора, достоверность, финансирование, оптимизация.
Введение. В настоящее время создание и совершенствование малых космических аппаратов (МКА), предназначенных для обзора земной поверхности, — одно из перспективных направлений развития космических технологий. Преимуществом применения МКА является возможность обзора в сжатые сроки значительных территорий. Кроме того, изображения, полученные с помощью бортовой аппаратуры МКА, обладают необходимой точностью, позволяющей идентифицировать нужные объекты в разнообразных волновых диапазонах. Поэтому применение МКА в комплексе с традиционными средствами контроля позволит в целом повысить достоверность информации за счет комплексирования источников.
Однако при внедрении подобной космической технологии в условиях ограниченного финансирования возникает задача выбора варианта эффективного применения комплекса имеющихся средств. При математической постановке этой задачи следует учитывать не только показатели качества выполнения целевой задачи средствами наблюдения, но и затрачиваемые на ее решение финансовые ресурсы. При этом расчет эффективности комплексного применения средств наблюдения является трудной научно-технической задачей, требующей решения на этапе принятия системы в эксплуатацию, когда будут довольно точно определены основные тактико-технические характеристики (ТТХ) средств, разработано программноматематическое обеспечение обработки информации и определены сметы на создание и эксплуатацию системы.
Концептуальная постановка задачи выбора состава аппаратуры МКА. Конечной целью функционирования системы сбора информации является селекция (распознавание) объектов в пределах заданного района земной поверхности площадью Sз при обеспечении требуемой вероятности селекции P. Вероятность селекции зависит от возможности наблюдения и распознавания класса объектов и определяется целой группой параметров, в которую могут входить ТТХ средств, характеристики условий и методов наблюдения, также существенно зависящие от вложенных в их разработку и функционирование финансовых ресурсов.
В настоящей статье предлагается методика расчета целевого показателя задачи выбора состава аппаратуры МКА с использованием декомпозиции с выделением технических и экономических показателей. Так, каждое из разнотипных средств наблюдения можно характеризовать техническими показателями, основными из которых являются:
— условия наблюдения (дальность и волновой диапазон сканирования); — зона наблюдения (площадь сканируемого района); — разрешающая способность; — гарантийный срок эксплуатации и потребляемая мощность.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
Технико-экономический подход к выбору системы малых космических аппаратов
41
Перечисленные показатели существенным образом влияют на эффективность выполнения задачи системой. Однако в целом они определяют только полезностный аспект эффективности функционирования каждого из средств. Возможность реализации системы определяется финансово-экономическими показателями — стоимостью средства и эксплуатационными затратами на него в течение заданного периода в обозримом будущем.
В качестве целевого показателя применения комплекса средств наблюдения для системы МКА и для каждого средства наблюдения в отдельности предлагается использовать соотношение „полезность—стоимость“ [1]. Техническую полезность системы предлагается оценивать некоторым скалярным показателем, характеризующим достоверность информации, а ее стоимость — векторным показателем, включающим затраты на создание (закупку) и эксплуатацию средств наблюдения. В этом случае на этапе принятия системы в эксплуатацию может быть использована двухцикловая методика выбора ее состава. В первом цикле расчетов с использованием принципа масштабирования в состав системы отбираются средства, удовлетворяющие критерию пригодности по скалярному показателю. Во втором цикле на основе отобранного множества средств наблюдения с учетом показателя „стоимость“ решается оптимизационная задача минимизации расходов.
При обосновании единого технического показателя эффективности комплексного применения средств наблюдения целесообразно использовать понятие достоверности информации. В качестве основного компонента предлагается использовать так называемый коэффициент достоверности информации D , получаемой от одного технического средства наблюде-
ния [2]. Этот коэффициент можно определить соотношением D = S ∆ , где S — площадь
района, сканируемая в течение исследуемого периода времени T , ∆ — показатель разрешающей способности средства наблюдения, выраженный минимальной площадью классифицируемого (с заданной вероятностью) объекта.
С увеличением S возрастает и вероятность обнаружения объекта на земной поверхности, а с уменьшением ∆ — вероятность классификации объекта на просканированном районе. Однако в действительности значение S зачастую меньше, чем Sз. Кроме того, может быть задано множество таких районов. Тогда за время Tи трасса одного средства наблюдения
может проходить через контролируемый район только в течение ограниченного временного интервала, или обстановка в районе в период отсутствия наблюдения может изменяться. Поэтому для полноты и постоянства контроля за заданным районом должна использоваться система средств наблюдения, состоящая из n отдельных однотипных средств. Тогда для системы средств наблюдения можно ввести более сложный показатель достоверности
DP = P (n) S (n) ∆ (n) ,
где P (n) — вероятность покрытия требуемого района (районов) системой из n средств на-
блюдения за время Tи , которая может быть вычислена и с учетом вероятности попадания
объекта наблюдения в поле сканирования. Поэтому на этапе синтеза (проектирования) систе-
мы может быть поставлена задача выбора числа n либо по критерию оптимальности
DP
(
n
)
→
max
n
,
либо, что более возможно, по критерию пригодности для заданного уровня достоверности Dз
системы:
DP (n) ≥ Dз .
Данную задачу можно назвать задачей технического масштабирования системы средств
наблюдения различного базирования [3—5].
На этапе синтеза системы традиционно используется показатель „цена—качество“, час-
тично реализующий указанный выше принцип „полезность—стоимость“. Экономический
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
42 В. И. Горбулин, В. В. Панченко, Н. В. Радионов
смысл данного показателя состоит в следующем. Очевидно, что при известном значении n в системе, известной стоимости единичной закупки Iq и эксплуатации Сq в течение периода
Tи планируемые общие инвестиции в систему наблюдения составят
n
B = ∑ ( Iq + Cq ) . q=1
Опыт конструирования подобной техники указывает, что, например, для получения большей разрешающей способности ∆ требуются либо большие инвестиции Iq , либо боль-
шее количество средств n в системе, что увеличивает и эксплуатационные затраты Сq . По-
этому зависимость показателя цены 1 B (1 ∆) с учетом n (∆) будет близкой к гиперболе. В то
же время зависимость показателя достоверности в виде DP (1 ∆) , очевидно, является возрас-
тающей функцией DP (1 ∆) → ∞ . Если принять отношение DP (1 ∆) B (1 ∆) в качестве целе-
вого показателя системы, то из проведенного анализа следует, что этот показатель имеет оп-
тимальную точку при условии:
( ) ( )dDP 1 ∆∗ ( ) ( ) ( ) ( )d 1 ∆∗
B 1 ∆∗
dB 1 ∆∗ =
d 1 ∆∗
DP 1 ∆∗
(1)
(1 ∆∗ , здесь и далее звездочка означает „оптимальность максимума“).
Максимум показателя может в какой-то степени обеспечить компромисс между требованием повышения технической полезности системы и экономической возможности ее реализации (снижением затрат). С учетом бюджетного ограничения Bз окончательное решение
( ) ( ( ))задачи выбора можно определить из условия n∗∗ = n 1 ∆∗∗ = n B−1 B∗ , где
{ ( )}B∗ = min B; B 1 ∆∗ . В частности, подобный подход рассматривался в работе [1].
Однако при ближайшем рассмотрении такой традиционный подход к решению задачи
выбора состава МКА оказывается неприемлемым, так как не учитывает некоторых важней-
ших условий. Во-первых, задача системы в период эксплуатации может быть гораздо сложнее
рассмотренной выше и включать, например, множество контролируемых районов или мно-
жество волновых диапазонов сканирования. Во-вторых, период Tи может оказаться значи-
тельно больше срока активного существования одного средства Tэk , следовательно, в буду-
щем расходы на поддержание системы могут существенно возрасти за счет необходимости
восполнения системы.
Математическая постановка задачи. Пусть целевая задача системы включает M под-
задач, выполнение которых для системы средств наблюдения является существенно необхо-
димым, например, при селекции объектов в одном районе в M волновых диапазонах сканиро-
вания. Допустим, что из решения задачи (1) для каждого из диапазонов на этапе технического
проектирования средств наблюдения определено по N типов подсистем средств наблюдения
(равное количество в данном случае выбрано только для упрощения). С учетом решения за-
дачи (1) каждая из N подсистем в каждом из M диапазонов обеспечивает требуемый уровень
достоверности информации D j , j = 1, …, M :
( )DP ij j 1 ∆ij j ≥ DP j , i j = 1, …, N , j = 1, …, M ,
(2)
где ij — номер подсистемы, работающей в j-м волновом диапазоне.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
Технико-экономический подход к выбору системы малых космических аппаратов
43
Очевидно, что в этих условиях для обеспечения требуемой достоверности информации, получаемой комплексом средств в каждом из диапазонов, достаточно поддержания только одной из N подсистем. Следовательно, возникает задача выбора „одного из N“. Но теперь при ограниченном бюджете эта задача становится экономической [6, 7].
Обозначим через Tэij срок активного существования (гарантийный срок эксплуатации)
средств ij-й подсистемы, обеспечивающей сканирование района в j-м диапазоне. Если при этом закупка единичной подсистемы составляет Iij (с учетом определенного в выражении (1)
оптимального состава подсистемы из ni∗j средств наблюдения) и на весь период Tи потребуется Cij средств на ее эксплуатацию, то в течение периода Tи потребуется также mij = Tи Tэij раз восполнить группировку средств наблюдения, затратив каждый раз, по
( )предварительной оценке, Iij ni∗j денежных средств. Тогда экономико-математическая зада-
ча выбора эффективного варианта комплексного применения средств наблюдения может
быть сформулирована как задача поиска таких индексов i∗j принятых к эксплуатации подсис-
тем, которые обеспечивают минимальные расходы на их будущее восполнение, при условии
достаточности бюджета B для их первичной закупки и эксплуатации в течение Tи :
( ) ( ) ( ( ) ( ))M M
∑ ∑min
i j∈1,…,N
k
j=1
r, mi j
Iij
ni∗j
;
Ii j ni∗j + Ci j ni∗j
j =1
≤ B,
(3)
( )где k r, mij — коэффициент дисконтирования, моделирующий стоимость денег в буду-
щем [8] с учетом количества платежей mij показателя инфляции и кредитного риска, вы-
раженного процентной ставкой r. Собственно задача (3) относится к классу задач нелинейного целочисленного програм-
мирования и элементарно решается методом простого перебора вариантов вектора индексов
J M = [i1,i2 ,…, iM ]T , i j ∈1, N , j = 1, M . Однако существуют и методы направленного пере-
бора, позволяющие при некоторых дополнительных условиях снизить трудоемкость решения
задачи. В частности, при наличии коэффициентов дисконтирования для решения (3) можно
применить метод Х. Фишеля [9]. В этом случае необходимо формально приводить задачу к
одинаковой периодичности оплаты восполнения подсистем путем представления
( )Ii0j
= mi j
Ii j ni∗j mmax
,
где
mmax
=
ij
max
=1,…, N
mi
j
j=1,…,M
— максимально возможная частота восполнения по всем системам и всем волновым диапазонам. В результате оплату восполнения каждой подсистемы можно осуществлять с одинаковой частотой, но различными суммами. При этом сумма траншей за период между двумя момен-
( )тами фактического восполнения системы в точности равна требуемым затратам Iij ni∗j .
Для удобства дальнейшего анализа задачи (3) преобразуем ее путем введения новых переменных:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
44 В. И. Горбулин, В. В. Панченко, Н. В. Радионов
( ) ( )xij :
Ii j ni∗j
+ Cij
ni∗j
=
I
∗ j max
xi j
;
0 < xi j ≤ 1;
{ ( ) ( )}I
∗ j max
=
max
ij
Iij
ni∗j
+ Si j
ni∗j
…, j ∈1,…, M .
Обозначим
zj
=
I
∗ j max
;
z0
=
B
и
введем функции:
( ) ( ) ( )yij
xi j
=
−
Ii0j xi j
≡− Ii j
Ii0j ni∗j + Ci j
ni∗j
I
∗ j
max
.
В принятых обозначениях переменные xij имеют экономический смысл дискретных
интенсивностей инвестирования в закупку и эксплуатацию системы j-го волнового диапазона.
( )Тогда параметры yij xij можно интерпретировать как „плавающие“ показатели экономиче-
ской эффективности затрат на восполнение систем. Задача (3) в принятых обозначениях при-
нимает вид
( )∑ ( ) ∑M M
F = k r, mmax
yi j
j =1
xi j
xi j
→ max ;
i j =1,…,N ,
j=1,…,M
α z j xi j ≤ z0 ,
j=1
(4)
( )где k r, mmax — коэффициент дисконтирования (капитализации) с учетом общего для всех
систем количества платежей m∗ ; α — поправочный коэффициент, учитывающий естествен-
ную распределенность во времени расходов на эксплуатацию Cij .
Методика решения задачи. Преобразованная задача (4) относится к особому классу за-
дач математического программирования — нелинейным задачам с параметрами. Для решения
таких задач можно использовать методику на основе условий Куна—Таккера [10], так как не-
сложно показать выпуклость целевой функции в (4). Между тем следует отметить, что сами ус-
ловия Куна—Таккера в действительности являются следствием преобразования задач к виду
задач с „седловой точкой“. При этом оказывается, что дискретная форма выражения (4) позво-
ляет существенно упростить решение, не прибегая явно к анализу условий Куна—Таккера.
Действительно, после преобразования (4) к виду задачи с „седловой точкой“ с исполь-
зованием множителя Лагранжа λ0 получим
( )∑ ( ) ∑M M
Φ = k r, mmax
yi j
j =1
xi j
xi j
− λ0α z j xi j
j=1
→ max
i j =1,…,N j=1,…,M
min .
λ0 >0
(5)
Здесь постоянная величина λ0 z0 без потери общности исключена из (5). Кроме того, в силу независимости проектов между собой задача (5) может быть представлена как совокуп-
ность отдельных подзадач:
( ) ( )Φ j = k r, mmax
yi j
xi j
xi j
− λ0αz j xi j
→ max ;
i j =1,…,N
j = 1, M ,
λ0 >0
( )объединенных между собой параметрами α, k r, mmax , λ0 и ограничением
M
∑α z j xij ≤ z0 . j =1
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
Технико-экономический подход к выбору системы малых космических аппаратов
45
( )Учитывая, что k r, mmax > 0 , λ0α > 0 , z j > 0 и они постоянны, после деления на
( )k r, mmax z j или λ0α z j и преобразований получим две разновидности задач с „седловой
точкой“ и параметрами:
( ) ( )Φ j = yij
xi j
xi j
− λxi j
→ max ;
i j =1,…,N
yi j
=
yi j zj
;
λ= k
λ0α r, mmax
; j = 1, M ,
λ>0
(6)
при одновременном ограничении
( )λk r, mmax M
∑λ0
z j xi j ≤ z0
j =1
или
( ) ( )Φ j = λyij
xi j
xi j
− xi j
→ max ;
i j =1,…,N
k r, mmax λ= ;
λ0α
j = 1, M
(7)
λ>0
при одновременном ограничении
( )k r, mmax M
∑λ0λ
z j xij ≤ z0 .
j =1
В соответствии с общей теорией решения задач нелинейного программирования [7, 10]
решение непрерывных аналогов задач (6) или (7) сводится либо к поиску „седловой точки“
( ) ( ) ( )x∗j , λ∗ функций Φ j x j , λ , либо к поиску максимума функций Φ j x j , λ при соответст-
вующем ограничении (в каждом случае). Нетрудно представить, что при обратном переходе к записи исходной дискретной задачи для поиска „седловой точки“ можно использовать два подхода: обращенный подход на основе обобщенного градиента, либо прямой подход [1, 9] на основе простого перебора [9].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Власов С. А., Мамон П. А. Теория полета космических аппаратов: Учеб. пособие. СПб: ВКА им. А. Ф. Можайского, 2007. 435 с.
2. Можаев Г. В. Синтез орбитальных структур спутниковых систем. Теоретико-групповой подход. М.: Машиностроение, 1989. 304 с.
3. Горбулин В. И. Оптимизация орбитального построения глобальных космических систем наблюдения. СПб: МО РФ, 2001. 171 с.
4. Горбулин В. И., Панченко В. В. Применение бортовой аппаратуры малых космических аппаратов для комплексного наблюдения заданного района // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 6. С. 15—20.
5. Радионов Н. В. Модели эффективности инвестиций и кредитования. Основы финансового анализа. СПб: Наука, 2005. 600 с.
6. Колемаев В. А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 1998. 240 с.
7. Воронцовский А. В. Инвестиции и финансирование: Методы оценки и обоснования. СПб: Изд-во СПбГУ, 1998. 528 с.
8. Новожилов В. В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании. М.: Наука, 1972. 434 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
46 В. Ф. Фатеев, Д. Л. Каргу
9. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов / В. В. Коссов, В. Н. Лившиц, А. Г. Шахназаров. М.: Экономика, 2000. 421 с.
10. Буренок В. М., Ляпунов В. М., Мудров В. И. Теория и практика планирования и управления развитием вооружения / Под ред. А. М. Московского. М.: Вооружение. Политика. Конверсия, 2004. 419 с.
Владимир Иванович Горбулин
Валерий Викторович Панченко Николай Васильевич Радионов
Сведения об авторах — д-р техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского,
кафедра электрооборудования, Санкт-Петербург; E-mail: v_gorbulin@mail.ru — управление пограничной службы ФСБ России, начальник управления технического развития; E-mail: v_gorbulin@mail.ru — канд. техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра электрооборудования, Санкт-Петербург; E-mail: radionov@mail.wplus.net
Рекомендована Ученым советом ВКА им. А. Ф. Можайского
Поступила в редакцию 20.10.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
УДК 621.391.037
В. И. ГОРБУЛИН, В. В. ПАНЧЕНКО, Н. В. РАДИОНОВ
ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ВЫБОРУ СИСТЕМЫ МАЛЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Впервые сформулирована корректная математическая постановка техникоэкономической задачи выбора состава системы малых космических аппаратов и средств наблюдения за заданным районом, обеспечивающей требуемую достоверность получаемой информации в условиях ограниченного финансирования. Предложенная декомпозиция позволила разработать методику раздельного решения технической задачи по критерию допустимости и оптимальной экономической задачи.
Ключевые слова: средства наблюдения, космические аппараты, задача выбора, достоверность, финансирование, оптимизация.
Введение. В настоящее время создание и совершенствование малых космических аппаратов (МКА), предназначенных для обзора земной поверхности, — одно из перспективных направлений развития космических технологий. Преимуществом применения МКА является возможность обзора в сжатые сроки значительных территорий. Кроме того, изображения, полученные с помощью бортовой аппаратуры МКА, обладают необходимой точностью, позволяющей идентифицировать нужные объекты в разнообразных волновых диапазонах. Поэтому применение МКА в комплексе с традиционными средствами контроля позволит в целом повысить достоверность информации за счет комплексирования источников.
Однако при внедрении подобной космической технологии в условиях ограниченного финансирования возникает задача выбора варианта эффективного применения комплекса имеющихся средств. При математической постановке этой задачи следует учитывать не только показатели качества выполнения целевой задачи средствами наблюдения, но и затрачиваемые на ее решение финансовые ресурсы. При этом расчет эффективности комплексного применения средств наблюдения является трудной научно-технической задачей, требующей решения на этапе принятия системы в эксплуатацию, когда будут довольно точно определены основные тактико-технические характеристики (ТТХ) средств, разработано программноматематическое обеспечение обработки информации и определены сметы на создание и эксплуатацию системы.
Концептуальная постановка задачи выбора состава аппаратуры МКА. Конечной целью функционирования системы сбора информации является селекция (распознавание) объектов в пределах заданного района земной поверхности площадью Sз при обеспечении требуемой вероятности селекции P. Вероятность селекции зависит от возможности наблюдения и распознавания класса объектов и определяется целой группой параметров, в которую могут входить ТТХ средств, характеристики условий и методов наблюдения, также существенно зависящие от вложенных в их разработку и функционирование финансовых ресурсов.
В настоящей статье предлагается методика расчета целевого показателя задачи выбора состава аппаратуры МКА с использованием декомпозиции с выделением технических и экономических показателей. Так, каждое из разнотипных средств наблюдения можно характеризовать техническими показателями, основными из которых являются:
— условия наблюдения (дальность и волновой диапазон сканирования); — зона наблюдения (площадь сканируемого района); — разрешающая способность; — гарантийный срок эксплуатации и потребляемая мощность.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
Технико-экономический подход к выбору системы малых космических аппаратов
41
Перечисленные показатели существенным образом влияют на эффективность выполнения задачи системой. Однако в целом они определяют только полезностный аспект эффективности функционирования каждого из средств. Возможность реализации системы определяется финансово-экономическими показателями — стоимостью средства и эксплуатационными затратами на него в течение заданного периода в обозримом будущем.
В качестве целевого показателя применения комплекса средств наблюдения для системы МКА и для каждого средства наблюдения в отдельности предлагается использовать соотношение „полезность—стоимость“ [1]. Техническую полезность системы предлагается оценивать некоторым скалярным показателем, характеризующим достоверность информации, а ее стоимость — векторным показателем, включающим затраты на создание (закупку) и эксплуатацию средств наблюдения. В этом случае на этапе принятия системы в эксплуатацию может быть использована двухцикловая методика выбора ее состава. В первом цикле расчетов с использованием принципа масштабирования в состав системы отбираются средства, удовлетворяющие критерию пригодности по скалярному показателю. Во втором цикле на основе отобранного множества средств наблюдения с учетом показателя „стоимость“ решается оптимизационная задача минимизации расходов.
При обосновании единого технического показателя эффективности комплексного применения средств наблюдения целесообразно использовать понятие достоверности информации. В качестве основного компонента предлагается использовать так называемый коэффициент достоверности информации D , получаемой от одного технического средства наблюде-
ния [2]. Этот коэффициент можно определить соотношением D = S ∆ , где S — площадь
района, сканируемая в течение исследуемого периода времени T , ∆ — показатель разрешающей способности средства наблюдения, выраженный минимальной площадью классифицируемого (с заданной вероятностью) объекта.
С увеличением S возрастает и вероятность обнаружения объекта на земной поверхности, а с уменьшением ∆ — вероятность классификации объекта на просканированном районе. Однако в действительности значение S зачастую меньше, чем Sз. Кроме того, может быть задано множество таких районов. Тогда за время Tи трасса одного средства наблюдения
может проходить через контролируемый район только в течение ограниченного временного интервала, или обстановка в районе в период отсутствия наблюдения может изменяться. Поэтому для полноты и постоянства контроля за заданным районом должна использоваться система средств наблюдения, состоящая из n отдельных однотипных средств. Тогда для системы средств наблюдения можно ввести более сложный показатель достоверности
DP = P (n) S (n) ∆ (n) ,
где P (n) — вероятность покрытия требуемого района (районов) системой из n средств на-
блюдения за время Tи , которая может быть вычислена и с учетом вероятности попадания
объекта наблюдения в поле сканирования. Поэтому на этапе синтеза (проектирования) систе-
мы может быть поставлена задача выбора числа n либо по критерию оптимальности
DP
(
n
)
→
max
n
,
либо, что более возможно, по критерию пригодности для заданного уровня достоверности Dз
системы:
DP (n) ≥ Dз .
Данную задачу можно назвать задачей технического масштабирования системы средств
наблюдения различного базирования [3—5].
На этапе синтеза системы традиционно используется показатель „цена—качество“, час-
тично реализующий указанный выше принцип „полезность—стоимость“. Экономический
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
42 В. И. Горбулин, В. В. Панченко, Н. В. Радионов
смысл данного показателя состоит в следующем. Очевидно, что при известном значении n в системе, известной стоимости единичной закупки Iq и эксплуатации Сq в течение периода
Tи планируемые общие инвестиции в систему наблюдения составят
n
B = ∑ ( Iq + Cq ) . q=1
Опыт конструирования подобной техники указывает, что, например, для получения большей разрешающей способности ∆ требуются либо большие инвестиции Iq , либо боль-
шее количество средств n в системе, что увеличивает и эксплуатационные затраты Сq . По-
этому зависимость показателя цены 1 B (1 ∆) с учетом n (∆) будет близкой к гиперболе. В то
же время зависимость показателя достоверности в виде DP (1 ∆) , очевидно, является возрас-
тающей функцией DP (1 ∆) → ∞ . Если принять отношение DP (1 ∆) B (1 ∆) в качестве целе-
вого показателя системы, то из проведенного анализа следует, что этот показатель имеет оп-
тимальную точку при условии:
( ) ( )dDP 1 ∆∗ ( ) ( ) ( ) ( )d 1 ∆∗
B 1 ∆∗
dB 1 ∆∗ =
d 1 ∆∗
DP 1 ∆∗
(1)
(1 ∆∗ , здесь и далее звездочка означает „оптимальность максимума“).
Максимум показателя может в какой-то степени обеспечить компромисс между требованием повышения технической полезности системы и экономической возможности ее реализации (снижением затрат). С учетом бюджетного ограничения Bз окончательное решение
( ) ( ( ))задачи выбора можно определить из условия n∗∗ = n 1 ∆∗∗ = n B−1 B∗ , где
{ ( )}B∗ = min B; B 1 ∆∗ . В частности, подобный подход рассматривался в работе [1].
Однако при ближайшем рассмотрении такой традиционный подход к решению задачи
выбора состава МКА оказывается неприемлемым, так как не учитывает некоторых важней-
ших условий. Во-первых, задача системы в период эксплуатации может быть гораздо сложнее
рассмотренной выше и включать, например, множество контролируемых районов или мно-
жество волновых диапазонов сканирования. Во-вторых, период Tи может оказаться значи-
тельно больше срока активного существования одного средства Tэk , следовательно, в буду-
щем расходы на поддержание системы могут существенно возрасти за счет необходимости
восполнения системы.
Математическая постановка задачи. Пусть целевая задача системы включает M под-
задач, выполнение которых для системы средств наблюдения является существенно необхо-
димым, например, при селекции объектов в одном районе в M волновых диапазонах сканиро-
вания. Допустим, что из решения задачи (1) для каждого из диапазонов на этапе технического
проектирования средств наблюдения определено по N типов подсистем средств наблюдения
(равное количество в данном случае выбрано только для упрощения). С учетом решения за-
дачи (1) каждая из N подсистем в каждом из M диапазонов обеспечивает требуемый уровень
достоверности информации D j , j = 1, …, M :
( )DP ij j 1 ∆ij j ≥ DP j , i j = 1, …, N , j = 1, …, M ,
(2)
где ij — номер подсистемы, работающей в j-м волновом диапазоне.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
Технико-экономический подход к выбору системы малых космических аппаратов
43
Очевидно, что в этих условиях для обеспечения требуемой достоверности информации, получаемой комплексом средств в каждом из диапазонов, достаточно поддержания только одной из N подсистем. Следовательно, возникает задача выбора „одного из N“. Но теперь при ограниченном бюджете эта задача становится экономической [6, 7].
Обозначим через Tэij срок активного существования (гарантийный срок эксплуатации)
средств ij-й подсистемы, обеспечивающей сканирование района в j-м диапазоне. Если при этом закупка единичной подсистемы составляет Iij (с учетом определенного в выражении (1)
оптимального состава подсистемы из ni∗j средств наблюдения) и на весь период Tи потребуется Cij средств на ее эксплуатацию, то в течение периода Tи потребуется также mij = Tи Tэij раз восполнить группировку средств наблюдения, затратив каждый раз, по
( )предварительной оценке, Iij ni∗j денежных средств. Тогда экономико-математическая зада-
ча выбора эффективного варианта комплексного применения средств наблюдения может
быть сформулирована как задача поиска таких индексов i∗j принятых к эксплуатации подсис-
тем, которые обеспечивают минимальные расходы на их будущее восполнение, при условии
достаточности бюджета B для их первичной закупки и эксплуатации в течение Tи :
( ) ( ) ( ( ) ( ))M M
∑ ∑min
i j∈1,…,N
k
j=1
r, mi j
Iij
ni∗j
;
Ii j ni∗j + Ci j ni∗j
j =1
≤ B,
(3)
( )где k r, mij — коэффициент дисконтирования, моделирующий стоимость денег в буду-
щем [8] с учетом количества платежей mij показателя инфляции и кредитного риска, вы-
раженного процентной ставкой r. Собственно задача (3) относится к классу задач нелинейного целочисленного програм-
мирования и элементарно решается методом простого перебора вариантов вектора индексов
J M = [i1,i2 ,…, iM ]T , i j ∈1, N , j = 1, M . Однако существуют и методы направленного пере-
бора, позволяющие при некоторых дополнительных условиях снизить трудоемкость решения
задачи. В частности, при наличии коэффициентов дисконтирования для решения (3) можно
применить метод Х. Фишеля [9]. В этом случае необходимо формально приводить задачу к
одинаковой периодичности оплаты восполнения подсистем путем представления
( )Ii0j
= mi j
Ii j ni∗j mmax
,
где
mmax
=
ij
max
=1,…, N
mi
j
j=1,…,M
— максимально возможная частота восполнения по всем системам и всем волновым диапазонам. В результате оплату восполнения каждой подсистемы можно осуществлять с одинаковой частотой, но различными суммами. При этом сумма траншей за период между двумя момен-
( )тами фактического восполнения системы в точности равна требуемым затратам Iij ni∗j .
Для удобства дальнейшего анализа задачи (3) преобразуем ее путем введения новых переменных:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
44 В. И. Горбулин, В. В. Панченко, Н. В. Радионов
( ) ( )xij :
Ii j ni∗j
+ Cij
ni∗j
=
I
∗ j max
xi j
;
0 < xi j ≤ 1;
{ ( ) ( )}I
∗ j max
=
max
ij
Iij
ni∗j
+ Si j
ni∗j
…, j ∈1,…, M .
Обозначим
zj
=
I
∗ j max
;
z0
=
B
и
введем функции:
( ) ( ) ( )yij
xi j
=
−
Ii0j xi j
≡− Ii j
Ii0j ni∗j + Ci j
ni∗j
I
∗ j
max
.
В принятых обозначениях переменные xij имеют экономический смысл дискретных
интенсивностей инвестирования в закупку и эксплуатацию системы j-го волнового диапазона.
( )Тогда параметры yij xij можно интерпретировать как „плавающие“ показатели экономиче-
ской эффективности затрат на восполнение систем. Задача (3) в принятых обозначениях при-
нимает вид
( )∑ ( ) ∑M M
F = k r, mmax
yi j
j =1
xi j
xi j
→ max ;
i j =1,…,N ,
j=1,…,M
α z j xi j ≤ z0 ,
j=1
(4)
( )где k r, mmax — коэффициент дисконтирования (капитализации) с учетом общего для всех
систем количества платежей m∗ ; α — поправочный коэффициент, учитывающий естествен-
ную распределенность во времени расходов на эксплуатацию Cij .
Методика решения задачи. Преобразованная задача (4) относится к особому классу за-
дач математического программирования — нелинейным задачам с параметрами. Для решения
таких задач можно использовать методику на основе условий Куна—Таккера [10], так как не-
сложно показать выпуклость целевой функции в (4). Между тем следует отметить, что сами ус-
ловия Куна—Таккера в действительности являются следствием преобразования задач к виду
задач с „седловой точкой“. При этом оказывается, что дискретная форма выражения (4) позво-
ляет существенно упростить решение, не прибегая явно к анализу условий Куна—Таккера.
Действительно, после преобразования (4) к виду задачи с „седловой точкой“ с исполь-
зованием множителя Лагранжа λ0 получим
( )∑ ( ) ∑M M
Φ = k r, mmax
yi j
j =1
xi j
xi j
− λ0α z j xi j
j=1
→ max
i j =1,…,N j=1,…,M
min .
λ0 >0
(5)
Здесь постоянная величина λ0 z0 без потери общности исключена из (5). Кроме того, в силу независимости проектов между собой задача (5) может быть представлена как совокуп-
ность отдельных подзадач:
( ) ( )Φ j = k r, mmax
yi j
xi j
xi j
− λ0αz j xi j
→ max ;
i j =1,…,N
j = 1, M ,
λ0 >0
( )объединенных между собой параметрами α, k r, mmax , λ0 и ограничением
M
∑α z j xij ≤ z0 . j =1
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
Технико-экономический подход к выбору системы малых космических аппаратов
45
( )Учитывая, что k r, mmax > 0 , λ0α > 0 , z j > 0 и они постоянны, после деления на
( )k r, mmax z j или λ0α z j и преобразований получим две разновидности задач с „седловой
точкой“ и параметрами:
( ) ( )Φ j = yij
xi j
xi j
− λxi j
→ max ;
i j =1,…,N
yi j
=
yi j zj
;
λ= k
λ0α r, mmax
; j = 1, M ,
λ>0
(6)
при одновременном ограничении
( )λk r, mmax M
∑λ0
z j xi j ≤ z0
j =1
или
( ) ( )Φ j = λyij
xi j
xi j
− xi j
→ max ;
i j =1,…,N
k r, mmax λ= ;
λ0α
j = 1, M
(7)
λ>0
при одновременном ограничении
( )k r, mmax M
∑λ0λ
z j xij ≤ z0 .
j =1
В соответствии с общей теорией решения задач нелинейного программирования [7, 10]
решение непрерывных аналогов задач (6) или (7) сводится либо к поиску „седловой точки“
( ) ( ) ( )x∗j , λ∗ функций Φ j x j , λ , либо к поиску максимума функций Φ j x j , λ при соответст-
вующем ограничении (в каждом случае). Нетрудно представить, что при обратном переходе к записи исходной дискретной задачи для поиска „седловой точки“ можно использовать два подхода: обращенный подход на основе обобщенного градиента, либо прямой подход [1, 9] на основе простого перебора [9].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Власов С. А., Мамон П. А. Теория полета космических аппаратов: Учеб. пособие. СПб: ВКА им. А. Ф. Можайского, 2007. 435 с.
2. Можаев Г. В. Синтез орбитальных структур спутниковых систем. Теоретико-групповой подход. М.: Машиностроение, 1989. 304 с.
3. Горбулин В. И. Оптимизация орбитального построения глобальных космических систем наблюдения. СПб: МО РФ, 2001. 171 с.
4. Горбулин В. И., Панченко В. В. Применение бортовой аппаратуры малых космических аппаратов для комплексного наблюдения заданного района // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 6. С. 15—20.
5. Радионов Н. В. Модели эффективности инвестиций и кредитования. Основы финансового анализа. СПб: Наука, 2005. 600 с.
6. Колемаев В. А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 1998. 240 с.
7. Воронцовский А. В. Инвестиции и финансирование: Методы оценки и обоснования. СПб: Изд-во СПбГУ, 1998. 528 с.
8. Новожилов В. В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании. М.: Наука, 1972. 434 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4
46 В. Ф. Фатеев, Д. Л. Каргу
9. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов / В. В. Коссов, В. Н. Лившиц, А. Г. Шахназаров. М.: Экономика, 2000. 421 с.
10. Буренок В. М., Ляпунов В. М., Мудров В. И. Теория и практика планирования и управления развитием вооружения / Под ред. А. М. Московского. М.: Вооружение. Политика. Конверсия, 2004. 419 с.
Владимир Иванович Горбулин
Валерий Викторович Панченко Николай Васильевич Радионов
Сведения об авторах — д-р техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского,
кафедра электрооборудования, Санкт-Петербург; E-mail: v_gorbulin@mail.ru — управление пограничной службы ФСБ России, начальник управления технического развития; E-mail: v_gorbulin@mail.ru — канд. техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра электрооборудования, Санкт-Петербург; E-mail: radionov@mail.wplus.net
Рекомендована Ученым советом ВКА им. А. Ф. Можайского
Поступила в редакцию 20.10.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 4