АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ ЗНАКА КОЭФФИЦИЕНТА
ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 62-506.1 (047)
И. Б. ФУРТАТ, А. М. ЦЫКУНОВ
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ ЗНАКА КОЭФФИЦИЕНТА ПЕРЕДАЧИ
Рассматривается адаптивное управление линейными объектами в условиях параметрической и функциональной неопределенности и при отсутствии информации о знаке коэффициента передачи. Задача решена на базе модифицированного алгоритма адаптации высокого порядка с использованием функции, позволяющей компенсировать неопределенность данного знака. Приводятся результаты численного моделирования.
Ключевые слова: адаптивное управление, модифицированный алгоритм адаптации высокого порядка, высокочастотный коэффициент усиления, наблюдатель.
Введение. При проектировании систем управления объектами необходимо учитывать знак коэффициента передачи (высокочастотного коэффициента усиления) [1—4]. Это связано с тем, что при выборе алгоритмической структуры управляющего устройства должна быть обеспечена отрицательная обратная связь. При отсутствии информации о знаке данного коэффициента возможно появление положительной обратной связи, что повлечет за собой неработоспособность системы управления.
Публикаций, посвященных решению данной проблемы, довольно мало (см., например, [5, 6]). В частности, в работе [5] предложена алгоритмическая структура управляющего устройства для стабилизации объектов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями первого порядка с неизвестным знаком коэффициента передачи. Закон управления формируется в виде u = N (x) y , где N (x) = x2 cos x — коэффициент Насбаума [5]; x = y2 , y — выходной сигнал объекта управления. Если при формировании сигнала управления знак коэффициента передачи учтен неверно, то значения y и, как следствие, функции x увеличиваются. С увеличением x знак cos x изменяется на противоположный. В результате положительная обратная связь по управлению становится отрицательной.
Идея, предложенная в работе [5], была использована для построения на основе эталонной модели адаптивной системы управления объектом, коэффициент передачи которого также неизвестен [6]. В этом случае решение было получено с использованием метода расширения ошибки и включения коэффициента Насбаума в алгоритм настройки параметров управляющего устройства. Однако предложенные схемы не свободны от недостатков: в частности, система, рассматриваемая в работе [6], содержит интегратор, на вход которого подается сигнал y2 ; при наличии возмущений значение сигнала x будет увеличиваться, что приведет к
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
22 И. Б. Фуртат, А. М. Цыкунов
неработоспособности системы. Кроме того, техническая реализация этой схемы, как и всякой
системы, где используется метод расширенной ошибки, довольно сложна.
В настоящей статье предлагается схема адаптивного управления объектом по выходно-
му сигналу в условиях априорной и функциональной неопределенности и при отсутствии ин-
формации о знаке коэффициента передачи. Задача решается с помощью модифицированного
алгоритма адаптации высокого порядка [1, 2] с использованием устройства, позволяющего
компенсировать неопределенность знака коэффициента передачи.
Постановка задачи. Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором
описываются дифференциальным уравнением
Q(D) y(t) = kR(D)(u(t) + f (t)) ,
(1)
где y(t)∈ и u(t)∈ — входной и выходной сигналы объекта; f (t)∈ — неконтролируе-
мое возмущающее воздействие; Q(D) , R(D) — нормированные линейные дифференциаль-
ные операторы; k ∈ — неизвестный коэффициент передачи; D = d / dt — оператор дифференцирования.
Эталонная модель объекта управления задана уравнением
Qm (D) ym (t) = km Rm (D)r(t) ,
(2)
здесь ym (t)∈ — выходной сигнал эталонной модели; r(t)∈ — задающее воздействие;
Qm (D) и Rm (D) — линейные дифференциальные операторы с известными коэффициентами;
коэффициент km известен.
Целью управления является синтез закона, обеспечивающего выполнение целевого ус-
ловия
lim
t→∞
e(t)
= lim
t→∞
y(t)− ym (t)
0 —
достаточно малое число.
П р е д п о л о ж е н и е 1. Коэффициенты операторов Q(D) , R(D) и k — неизвестные
постоянные числа, зависящие от вектора неизвестных параметров ζ∈Ξ , где Ξ — известное
ограниченное множество. П р е д п о л о ж е н и е 2. Известны: максимально возможное начальное условие
e(0) ≤ δ1 ; порядки операторов Q(D) , R(D) , Qm (D) и Rm (D) , которые равны n , q , n и q
соответственно; γ = n − m > 1 — относительная степень объекта.
П р е д п о л о ж е н и е 3. Полиномы R(s) , Qm (s) , Rm (s) — гурвицевы, где s — комплексная переменная в преобразовании Лапласа.
П р е д п о л о ж е н и е 4. Задающее воздействие r(t) и возмущение f (t) — ограничен-
ные функции. П р е д п о л о ж е н и е 5. В системе управления не доступны измерению производные
сигналов y(t) , u(t) и r(t) .
Метод решения. Предположим, что знак коэффициента k известен, и рассмотрим схему, предложенную в работах [1, 2]. Представим операторы R(D) и Q(D) в виде суммы:
R(D) = Rm (D)+∆R(D) , Q(D) = Qm (D)+∆Q(D) , где ∆R(D) и ∆Q(D) — остаточные многочлены, причем deg ∆R(D) = q−1 , deg ∆Q(D) = n −1 ; Qm (D) и Rm (D) выбираются исходя из предположений 2 и 3. Тогда с учетом выражений (1) и (2) уравнение ошибки слежения
e(t) = y(t)− ym (t) можно записать следующим образом:
e(t) = k
Rm (D) Qm (D)
⎡⎢u ⎣
(t
)
+
∆R(D) Rm (D)
u(t
)−
∆Q(D) kRm (D)
y(t ) +
R(D) Rm (D)
f
(t
)
−
km k
r (t ) ⎤⎥ ⎦
.
(4)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
Адаптивное управление объектами с неопределенностью знака коэффициента передачи 23
Введем закон управления
u(t) =T (D)v (t) , v(t) = cT (t)w(t) ,
(5)
здесь T (D) — линейный дифференциальный оператор порядка γ −1, такой что полином T (s)
гурвицев; v(t) — оценка вспомогательного управляющего воздействия v(t) ; c(t) — вектор
настраиваемых параметров; w(t) = ⎡⎣VuT (t), VyT (t), y(t), g(t)⎦⎤T — вектор регрессии, сформиро-
ванный с помощью фильтров
Vy (t) = FyVy (t)+by(t), Vu (t) = FuVu (t)+bu(t), Vr (t) = FrVr (t)+br(t);
(6)
Vy (0) = 0, Vu (0) = 0, Vr (0) = 0, g(t) = LVr (t).
В уравнениях (6) Vy (t)∈n−1, Vu (t)∈n−1 , Vr (t)∈γ−1 — векторы состояния фильтров;
Fy ∈(n−1)×(n−1) , Fu ∈(n−1)×(n−1) , Fr ∈(γ−1)×(γ−1) — числовые матрицы в форме Фробениуса с
характеристическими многочленами Rm (s)T (s) , Rm (s)T (s) и T (s) соответственно;
b =[0, ... , 0, 1]T , L = [1, 0, ... , 0].
Выберем полиномы Qm (s) , Rm (s) и T (s) , так чтобы Rm (s)T (s)Qm−1(s) = (s+a)−1 , a > 0 . Тогда с учетом выражений (5) и (6) уравнение (4) преобразуется к виду
e(t) = −ae(t)+k (c(t)−c0 )T w(t)+kε(t)+kϕ(t) ,
(7)
здесь ε(t) = v (t)−v(t) ; ϕ(t) = R(D)[Rm (D)T (D)]−1 f (t) — ограниченная функция в силу пред-
положений 3, 4 и гурвицевости полинома
T (s) ;
c0T
=
−
⎡⎣ c0T1 ,
c0T2
,
c03
,
k
⎤ ⎦
— вектор неизвестных
параметров, где c01 — вектор, компонентами которого являются коэффициенты многочлена
∆R(D) ; c02 — вектор с коэффициентами оператора ∆Q(D) ; c03 — скаляр, полученный при
выделении целой части в выражении
∆Q(D) kRm (D)T (D)
=
c03
+
∆Q(D) kRm (D)T (
D)
.
Для оценки производных сигнала v(t) в уравнении (5) воспользуемся схемой, предло-
женной в работе [4]:
ξ(t) = G0ξ(t)+ B0 (v (t)−v(t)) , v (t) = Lξ(t) ,
(8)
здесь
ξ(t)∈γ−1 ;
G0
⎡0 = ⎣⎢0
I
γ−2
0
⎤ ⎥ ⎦
;
Iγ−2 ∈(γ−2)×(γ−2)
— единичная матрица;
B0
=−
⎡⎣b1µ −1 ,
b2µ−2 ,
...,
bγ−1µ1−γ
⎤T ⎦
,
причем b1, ..., bγ−1 выбираются из условия гурвицевости матрицы G = G0 − BL , где
B = ⎣⎡b1, b2 , ..., bγ−1 ⎤⎦T , µ — достаточно малое число. Утверждение. Пусть выполнены условия предположений, но известен знак коэффици-
ента k . Тогда для любых коэффициентов полиномов Q(s) , R(s) и числа k из множества Ξ
существуют величины ρ > 0 , σ > 0 и µ0 > 0 , такие что при µ ≤ µ0 система уравнений (5)—(8) совместно с алгоритмом
( )c(t) = −sgn(k)θ(t)−σe2 (t)c(t) 1+e2 (t) −1 , θ(t) = ρe(t)w(t) ,
(9)
диссипативна, и выполнено целевое условие (3).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
24 И. Б. Фуртат, А. М. Цыкунов
Доказательство приведено в работе [1].
Рассмотрим, далее, вариант, когда знак коэффициента k неизвестен. Для компенсации
данной неопределенности сформируем алгоритм адаптации (9) в следующем виде:
( )c(t) = −Φ(ψ)θ(t)−σe2 (t)c(t) 1+e2 (t) −1, ψ(e) = α−βψ(e) ,
(10)
где α > 0 , β > 0 ; ψ(e) — положительно-определенная функция; Φ(ψ) — функция, принимающая значения ± 1 и изменяющая свой знак на противоположный при превышении функцией βψ(e) значения α .
Функция Φ(ψ) может быть реализована, например, на базе триггера со счетным входом, который изменяет свое состояние при изменении знака функции ψ(e) с плюса на минус.
Зададим ψ(e) = e(t) . Структурная схема устройства, компенсирующего неопределенность
знака коэффициента передачи, представлена на рис. 1.
e(t) |e(t)|
β Сумматор
ψ(e) Триггер
θ(t) Φ(ψ)
× Φ(ψ)θ(t)
Опорный сигнал
α
Сумматор Умножитель
Рис. 1
Как следует из приведенного выше утверждения, если знак коэффициента k известен,
то алгоритмическая структура управляющего устройства, описываемого уравнениями (5)—(9),
обеспечивает
выполнение
условий
lim
t→∞
e(t)
0 . График процессов в объекте управления и эталонной модели
представлен на рис. 2.
y, о.е. 2
1
0
–1 ym(t) –2
y(t)
0 0,5 1 1,5 2
2,5 3
3,5 t, с
Рис. 2
При моделировании коэффициент k = 7 sin(πt) изменяет свой знак через каждую секун-
ду с положительного на отрицательный, и наоборот. При t =[0; 1) с знаки коэффициента k и
функции Φ(ψ) положительные, поэтому переключения знака Φ(ψ) не происходит, так как
e(t) < 6 . При t =[1; 2) с знак коэффициента k отрицательный, а Φ(ψ) t=1 > 0 , вследствие чего ошибка увеличивается до некоторого момента t0 ∈[1; 2) , когда будет выполнено условие
e(t0 ) = 6 . В этот момент происходит переключение знака функции Φ(ψ) с +1 на –1, и ошибка e(t) уменьшается, и т.д.
Заключение. Рассмотрен способ построения алгоритмической структуры устройства для управления неопределенными линейными объектами при отсутствии информации о знаке коэффициента передачи. Предложен метод компенсации данной неопределенности,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
26 И. Б. Фуртат, А. М. Цыкунов
осуществляемой с помощью функции Φ(ψ) , которая является дополнением к ранее разработанному модифицированному алгоритму адаптации высокого порядка [1, 2].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Цыкунов А. М. Модифицированный адаптивный алгоритм высокого порядка для управления линейным объектом по выходу // АиТ. 2006. № 8. С. 143—152.
2. Furtat I. B., Tsykunov A. M. Output adaptive control for plants using time delay in output signal based on the modified algorithm of adaptation of the high order [Электронный ресурс]: IPACS Electronic Library. 9th IFAC Workshop “Adaptation and Learning in Control and Signal Processing”. 2007, .
3. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.
4. Atassi A. N., Khalil H. K. A separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. Vol. 44, N 9. P. 1672—1687.
5. Nussbaum R. D. Some remarks on a conjecture in parameter adaptive control // Syst. Control Lett. 1983. Vol. 3, N 5. P. 243—246.
6. Mudgett D. R., Morse A. S. Adaptive stabilization of linear systems with unknown high-frequency gains // IEEE Trans. on Automat. Control. 1985. Vol. AC-30, N 6. P. 549—554.
Игорь Борисович Фуртат Александр Михайлович Цыкунов
Сведения об авторах — канд. техн. наук; Астраханский государственный технический универ-
ситет, кафедра математики в инженерном образовании; E-mail: cainenash@mail.ru, furtat_i@mail.ru — д-р техн. наук, профессор; Астраханский государственный технический университет, кафедра математики в инженерном образовании; E-mail: tsykunov_al@mail.ru
Рекомендована кафедрой математики в инженерном образовании
Поступила в редакцию 25.03.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
УДК 62-506.1 (047)
И. Б. ФУРТАТ, А. М. ЦЫКУНОВ
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ ЗНАКА КОЭФФИЦИЕНТА ПЕРЕДАЧИ
Рассматривается адаптивное управление линейными объектами в условиях параметрической и функциональной неопределенности и при отсутствии информации о знаке коэффициента передачи. Задача решена на базе модифицированного алгоритма адаптации высокого порядка с использованием функции, позволяющей компенсировать неопределенность данного знака. Приводятся результаты численного моделирования.
Ключевые слова: адаптивное управление, модифицированный алгоритм адаптации высокого порядка, высокочастотный коэффициент усиления, наблюдатель.
Введение. При проектировании систем управления объектами необходимо учитывать знак коэффициента передачи (высокочастотного коэффициента усиления) [1—4]. Это связано с тем, что при выборе алгоритмической структуры управляющего устройства должна быть обеспечена отрицательная обратная связь. При отсутствии информации о знаке данного коэффициента возможно появление положительной обратной связи, что повлечет за собой неработоспособность системы управления.
Публикаций, посвященных решению данной проблемы, довольно мало (см., например, [5, 6]). В частности, в работе [5] предложена алгоритмическая структура управляющего устройства для стабилизации объектов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями первого порядка с неизвестным знаком коэффициента передачи. Закон управления формируется в виде u = N (x) y , где N (x) = x2 cos x — коэффициент Насбаума [5]; x = y2 , y — выходной сигнал объекта управления. Если при формировании сигнала управления знак коэффициента передачи учтен неверно, то значения y и, как следствие, функции x увеличиваются. С увеличением x знак cos x изменяется на противоположный. В результате положительная обратная связь по управлению становится отрицательной.
Идея, предложенная в работе [5], была использована для построения на основе эталонной модели адаптивной системы управления объектом, коэффициент передачи которого также неизвестен [6]. В этом случае решение было получено с использованием метода расширения ошибки и включения коэффициента Насбаума в алгоритм настройки параметров управляющего устройства. Однако предложенные схемы не свободны от недостатков: в частности, система, рассматриваемая в работе [6], содержит интегратор, на вход которого подается сигнал y2 ; при наличии возмущений значение сигнала x будет увеличиваться, что приведет к
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
22 И. Б. Фуртат, А. М. Цыкунов
неработоспособности системы. Кроме того, техническая реализация этой схемы, как и всякой
системы, где используется метод расширенной ошибки, довольно сложна.
В настоящей статье предлагается схема адаптивного управления объектом по выходно-
му сигналу в условиях априорной и функциональной неопределенности и при отсутствии ин-
формации о знаке коэффициента передачи. Задача решается с помощью модифицированного
алгоритма адаптации высокого порядка [1, 2] с использованием устройства, позволяющего
компенсировать неопределенность знака коэффициента передачи.
Постановка задачи. Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором
описываются дифференциальным уравнением
Q(D) y(t) = kR(D)(u(t) + f (t)) ,
(1)
где y(t)∈ и u(t)∈ — входной и выходной сигналы объекта; f (t)∈ — неконтролируе-
мое возмущающее воздействие; Q(D) , R(D) — нормированные линейные дифференциаль-
ные операторы; k ∈ — неизвестный коэффициент передачи; D = d / dt — оператор дифференцирования.
Эталонная модель объекта управления задана уравнением
Qm (D) ym (t) = km Rm (D)r(t) ,
(2)
здесь ym (t)∈ — выходной сигнал эталонной модели; r(t)∈ — задающее воздействие;
Qm (D) и Rm (D) — линейные дифференциальные операторы с известными коэффициентами;
коэффициент km известен.
Целью управления является синтез закона, обеспечивающего выполнение целевого ус-
ловия
lim
t→∞
e(t)
= lim
t→∞
y(t)− ym (t)
0 —
достаточно малое число.
П р е д п о л о ж е н и е 1. Коэффициенты операторов Q(D) , R(D) и k — неизвестные
постоянные числа, зависящие от вектора неизвестных параметров ζ∈Ξ , где Ξ — известное
ограниченное множество. П р е д п о л о ж е н и е 2. Известны: максимально возможное начальное условие
e(0) ≤ δ1 ; порядки операторов Q(D) , R(D) , Qm (D) и Rm (D) , которые равны n , q , n и q
соответственно; γ = n − m > 1 — относительная степень объекта.
П р е д п о л о ж е н и е 3. Полиномы R(s) , Qm (s) , Rm (s) — гурвицевы, где s — комплексная переменная в преобразовании Лапласа.
П р е д п о л о ж е н и е 4. Задающее воздействие r(t) и возмущение f (t) — ограничен-
ные функции. П р е д п о л о ж е н и е 5. В системе управления не доступны измерению производные
сигналов y(t) , u(t) и r(t) .
Метод решения. Предположим, что знак коэффициента k известен, и рассмотрим схему, предложенную в работах [1, 2]. Представим операторы R(D) и Q(D) в виде суммы:
R(D) = Rm (D)+∆R(D) , Q(D) = Qm (D)+∆Q(D) , где ∆R(D) и ∆Q(D) — остаточные многочлены, причем deg ∆R(D) = q−1 , deg ∆Q(D) = n −1 ; Qm (D) и Rm (D) выбираются исходя из предположений 2 и 3. Тогда с учетом выражений (1) и (2) уравнение ошибки слежения
e(t) = y(t)− ym (t) можно записать следующим образом:
e(t) = k
Rm (D) Qm (D)
⎡⎢u ⎣
(t
)
+
∆R(D) Rm (D)
u(t
)−
∆Q(D) kRm (D)
y(t ) +
R(D) Rm (D)
f
(t
)
−
km k
r (t ) ⎤⎥ ⎦
.
(4)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
Адаптивное управление объектами с неопределенностью знака коэффициента передачи 23
Введем закон управления
u(t) =T (D)v (t) , v(t) = cT (t)w(t) ,
(5)
здесь T (D) — линейный дифференциальный оператор порядка γ −1, такой что полином T (s)
гурвицев; v(t) — оценка вспомогательного управляющего воздействия v(t) ; c(t) — вектор
настраиваемых параметров; w(t) = ⎡⎣VuT (t), VyT (t), y(t), g(t)⎦⎤T — вектор регрессии, сформиро-
ванный с помощью фильтров
Vy (t) = FyVy (t)+by(t), Vu (t) = FuVu (t)+bu(t), Vr (t) = FrVr (t)+br(t);
(6)
Vy (0) = 0, Vu (0) = 0, Vr (0) = 0, g(t) = LVr (t).
В уравнениях (6) Vy (t)∈n−1, Vu (t)∈n−1 , Vr (t)∈γ−1 — векторы состояния фильтров;
Fy ∈(n−1)×(n−1) , Fu ∈(n−1)×(n−1) , Fr ∈(γ−1)×(γ−1) — числовые матрицы в форме Фробениуса с
характеристическими многочленами Rm (s)T (s) , Rm (s)T (s) и T (s) соответственно;
b =[0, ... , 0, 1]T , L = [1, 0, ... , 0].
Выберем полиномы Qm (s) , Rm (s) и T (s) , так чтобы Rm (s)T (s)Qm−1(s) = (s+a)−1 , a > 0 . Тогда с учетом выражений (5) и (6) уравнение (4) преобразуется к виду
e(t) = −ae(t)+k (c(t)−c0 )T w(t)+kε(t)+kϕ(t) ,
(7)
здесь ε(t) = v (t)−v(t) ; ϕ(t) = R(D)[Rm (D)T (D)]−1 f (t) — ограниченная функция в силу пред-
положений 3, 4 и гурвицевости полинома
T (s) ;
c0T
=
−
⎡⎣ c0T1 ,
c0T2
,
c03
,
k
⎤ ⎦
— вектор неизвестных
параметров, где c01 — вектор, компонентами которого являются коэффициенты многочлена
∆R(D) ; c02 — вектор с коэффициентами оператора ∆Q(D) ; c03 — скаляр, полученный при
выделении целой части в выражении
∆Q(D) kRm (D)T (D)
=
c03
+
∆Q(D) kRm (D)T (
D)
.
Для оценки производных сигнала v(t) в уравнении (5) воспользуемся схемой, предло-
женной в работе [4]:
ξ(t) = G0ξ(t)+ B0 (v (t)−v(t)) , v (t) = Lξ(t) ,
(8)
здесь
ξ(t)∈γ−1 ;
G0
⎡0 = ⎣⎢0
I
γ−2
0
⎤ ⎥ ⎦
;
Iγ−2 ∈(γ−2)×(γ−2)
— единичная матрица;
B0
=−
⎡⎣b1µ −1 ,
b2µ−2 ,
...,
bγ−1µ1−γ
⎤T ⎦
,
причем b1, ..., bγ−1 выбираются из условия гурвицевости матрицы G = G0 − BL , где
B = ⎣⎡b1, b2 , ..., bγ−1 ⎤⎦T , µ — достаточно малое число. Утверждение. Пусть выполнены условия предположений, но известен знак коэффици-
ента k . Тогда для любых коэффициентов полиномов Q(s) , R(s) и числа k из множества Ξ
существуют величины ρ > 0 , σ > 0 и µ0 > 0 , такие что при µ ≤ µ0 система уравнений (5)—(8) совместно с алгоритмом
( )c(t) = −sgn(k)θ(t)−σe2 (t)c(t) 1+e2 (t) −1 , θ(t) = ρe(t)w(t) ,
(9)
диссипативна, и выполнено целевое условие (3).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
24 И. Б. Фуртат, А. М. Цыкунов
Доказательство приведено в работе [1].
Рассмотрим, далее, вариант, когда знак коэффициента k неизвестен. Для компенсации
данной неопределенности сформируем алгоритм адаптации (9) в следующем виде:
( )c(t) = −Φ(ψ)θ(t)−σe2 (t)c(t) 1+e2 (t) −1, ψ(e) = α−βψ(e) ,
(10)
где α > 0 , β > 0 ; ψ(e) — положительно-определенная функция; Φ(ψ) — функция, принимающая значения ± 1 и изменяющая свой знак на противоположный при превышении функцией βψ(e) значения α .
Функция Φ(ψ) может быть реализована, например, на базе триггера со счетным входом, который изменяет свое состояние при изменении знака функции ψ(e) с плюса на минус.
Зададим ψ(e) = e(t) . Структурная схема устройства, компенсирующего неопределенность
знака коэффициента передачи, представлена на рис. 1.
e(t) |e(t)|
β Сумматор
ψ(e) Триггер
θ(t) Φ(ψ)
× Φ(ψ)θ(t)
Опорный сигнал
α
Сумматор Умножитель
Рис. 1
Как следует из приведенного выше утверждения, если знак коэффициента k известен,
то алгоритмическая структура управляющего устройства, описываемого уравнениями (5)—(9),
обеспечивает
выполнение
условий
lim
t→∞
e(t)
0 . График процессов в объекте управления и эталонной модели
представлен на рис. 2.
y, о.е. 2
1
0
–1 ym(t) –2
y(t)
0 0,5 1 1,5 2
2,5 3
3,5 t, с
Рис. 2
При моделировании коэффициент k = 7 sin(πt) изменяет свой знак через каждую секун-
ду с положительного на отрицательный, и наоборот. При t =[0; 1) с знаки коэффициента k и
функции Φ(ψ) положительные, поэтому переключения знака Φ(ψ) не происходит, так как
e(t) < 6 . При t =[1; 2) с знак коэффициента k отрицательный, а Φ(ψ) t=1 > 0 , вследствие чего ошибка увеличивается до некоторого момента t0 ∈[1; 2) , когда будет выполнено условие
e(t0 ) = 6 . В этот момент происходит переключение знака функции Φ(ψ) с +1 на –1, и ошибка e(t) уменьшается, и т.д.
Заключение. Рассмотрен способ построения алгоритмической структуры устройства для управления неопределенными линейными объектами при отсутствии информации о знаке коэффициента передачи. Предложен метод компенсации данной неопределенности,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
26 И. Б. Фуртат, А. М. Цыкунов
осуществляемой с помощью функции Φ(ψ) , которая является дополнением к ранее разработанному модифицированному алгоритму адаптации высокого порядка [1, 2].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Цыкунов А. М. Модифицированный адаптивный алгоритм высокого порядка для управления линейным объектом по выходу // АиТ. 2006. № 8. С. 143—152.
2. Furtat I. B., Tsykunov A. M. Output adaptive control for plants using time delay in output signal based on the modified algorithm of adaptation of the high order [Электронный ресурс]: IPACS Electronic Library. 9th IFAC Workshop “Adaptation and Learning in Control and Signal Processing”. 2007, .
3. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.
4. Atassi A. N., Khalil H. K. A separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. Vol. 44, N 9. P. 1672—1687.
5. Nussbaum R. D. Some remarks on a conjecture in parameter adaptive control // Syst. Control Lett. 1983. Vol. 3, N 5. P. 243—246.
6. Mudgett D. R., Morse A. S. Adaptive stabilization of linear systems with unknown high-frequency gains // IEEE Trans. on Automat. Control. 1985. Vol. AC-30, N 6. P. 549—554.
Игорь Борисович Фуртат Александр Михайлович Цыкунов
Сведения об авторах — канд. техн. наук; Астраханский государственный технический универ-
ситет, кафедра математики в инженерном образовании; E-mail: cainenash@mail.ru, furtat_i@mail.ru — д-р техн. наук, профессор; Астраханский государственный технический университет, кафедра математики в инженерном образовании; E-mail: tsykunov_al@mail.ru
Рекомендована кафедрой математики в инженерном образовании
Поступила в редакцию 25.03.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5