ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ РАДИАЛЬНОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ ЕЕ МОНОИМПУЛЬСНОМ ОБЛУЧЕНИИ
50 Е. Г. Лебедько, Нгуен Ву Тунг
УДК 621.384.32
Е. Г. ЛЕБЕДЬКО, НГУЕН ВУ ТУНГ
ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ РАДИАЛЬНОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ ПОВЕРХНОСТИ
ПРИ ЕЕ МОНОИМПУЛЬСНОМ ОБЛУЧЕНИИ
Представлен анализ основных случайных составляющих погрешности определения радиальной протяженности облучаемой поверхности, к которым относятся: шумовая погрешность, вызванная сдвигом отсчетных точек под действием шумов; погрешность, обусловленная уровнем отсчета сигнала при априорной неопределенности формы облучаемой поверхности и ее отражающих свойств; аномальная погрешность, вызванная принятием шумового выброса за сигнальный.
Ключевые слова: локация, дисперсия оценок, импульсная характеристика, радиальная протяженность.
При исследовании планет и астероидов Солнечной системы используются беспилотные
аппараты и автоматические транспортные средства, которые могут спускаться на платформах
с борта космических аппаратов. При их посадке, во избежание опрокидывания, возникает не-
обходимость определения структуры рельефа посадочной поверхности. Особенно важно при
этом знать перепад высот посадочной поверхности. Оперативный анализ ее рельефа должен
осуществляться с достаточно больших высот; погрешности изменения перепада высот со-
ставляют десятые доли метра. Определенные перспективы для работы таких навигационных
систем открывает трансформация пространственных признаков во временные в отраженном
сигнале при моноимпульсной локации исследуемой поверхности. В этом случае параметры
отраженного сигнала содержат информацию о пространственной структуре облученной по-
верхности и ее радиальной протяженности при однократном зондировании. При этом ради-
альная протяженность облучаемой поверхности характеризуется длительностью импульсной
характеристики поверхности на нулевом уровне отсчета.
Под импульсной характеристикой поверхности понимается отраженный сигнал от по-
верхности, облучаемой импульсом в виде дельта-функции. Импульсная характеристика по-
верхности определяется зависимостью [1]
gэ
(t
)
=
∫∫
S
r
(
γ
)
cos2
γ⋅δ
⎛ ⎜⎝
t
−
2z c
⎞ ⎠⎟
ds
,
где S — площадь облучаемой поверхности; γ — угол между направлением облучения и нор-
малью к элементу поверхности ds ; r (γ) — коэффициент яркости элемента поверхности;
δ(t ) — дельта-функция; c — скорость света.
Такой важный информационный параметр, как длительность импульсной характеристики поверхности изменяется вследствие того, что диаграммы излучения и приема отличаются от идеальных, зондирующий импульс не является дельта-функцией, а в условиях априорной неопределенности появления облучаемой поверхности не удается оптимизировать приемно-усилительный тракт. Перечисленные факторы определяют систематическую погрешность измерений, которую можно в определенной степени скомпенсировать в измерительной схеме приемной системы.
Наряду с этими систематическими погрешностями возникают случайные составляющие погрешностей, к которым относятся:
1) шумовая погрешность, вызванная сдвигом отсчетных точек под действием шумов;
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
Погрешность измерения протяженности поверхности при ее моноимпульсном облучении 51
2) погрешность, обусловленная уровнем отсчета сигнала при априорной неопределенности формы облучаемой поверхности и ее отражающих свойств;
3) аномальная погрешность, обусловленная принятием шумового выброса за сигнальный;
4) методическая погрешность схемы измерения временного интервала; 5) погрешность, возникающая под действием дестабилизирующих факторов, к которой, в частности, относится погрешность, вызванная условиями распространения излучения (турбулентностью атмосферы, если она имеется). Настоящая статья посвящена анализу 1, 2 и 3-й случайных составляющих погрешностей при работе навигационной системы в отсутствие атмосферы. 1. Так как искомый информационный параметр содержится в длительности принимаемого сигнала, то дисперсия шумовой погрешности, наряду с дисперсиями оценки фиксации временного положения сигнала по фронту и спаду, в силу корреляции шума в этих точках определяется зависимостью
σ2 = σф2 р +σс2п − B2 (τ3 ) ,
где σф2р и σс2п — дисперсии оценки фиксации (запаздывания) при пересечении заданного
уровня фронтом и спадом сигнала на выходе приемно-усилительного тракта; B2 (τ) — кор-
реляционная функция оценок при длительности τ3 сигнала на уровне отсчета (фиксации). Будем считать, что сигнал на выходе приемно-усилительного тракта симметричен, тогда
σ2 = 2σф2р − B2 (τ3 ) .
В условиях приема на фоне белого гауссова шума с энергетическим спектром G дисперсия оценки фиксации временного положения сигнала по фронту определяется зависимостью
G
∞
∫
⎣⎡ g
(t )⎤⎦2
dt
( )∫σф2р = ⎡∞ ⎢ s2′
−∞
t −τ*0
⎤2 ,
g (t0 −t ) dt⎥
⎢⎣−∞ ⎥⎦
где g (t ) — импульсная характеристика приемно-усилительного тракта, который вследствие
априорной неопределенности структуры облучаемой поверхности настроен на прием сигнала
( )с
параметрами
зондирующего
импульса;
s2′
t
−
τ
∗ 0
— производная интегральной свертки
зондирующего импульса и системной импульсной характеристики поверхности, которая определяется зависимостью
( ) ( )∫∫gэ* (t ) = ψ1 βx −∆x ,βy −∆ y ψ2 βx −∆x ,βy −∆ y r (γ ) cos2 γ⋅δ (t −2z c) ds , S*
здесь ψ1 ( x, y) и ψ2 ( x, y) — диаграммы полей излучения и приема соответственно.
В силу того что форма оптического импульса заданной энергии незначительно влияет на обнаружение и оценку параметров принимаемых сигналов, для описания диаграмм полей излучения и приема, а также аппроксимации зондирующего импульса будем при расчетах использовать гауссовы функции. В этом случае получим следующие выражения:
σф2 р
=
2Gτ320
π2t02a2 (γ )
⎛ exp ⎝⎜⎜
t02 τ220
⎞ ⎟⎟⎠
;
(1)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
52 Е. Г. Лебедько, Нгуен Ву Тунг
B2 (τ3 ) =
2 ⋅Gτ320
exp
⎛ ⎝⎜⎜
π
t02 τ220
⎞ ⎟⎟⎠
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−π
a2 (γ ) π2t02
τ320 2τ220
⎞ ⎟⎟⎠
,
(2)
здесь τ20 =
τ02 + τ32 2
,
где
τ0
и
τ3
—
длительности
зондирующего
импульса
и
системной
им-
пульсной характеристики на уровне 0,5 от максимального значения; τ30 = tcп −tфр , где
tфр и tcп — математические ожидания оценок фиксации сигнала по фронту и спаду соответ-
ственно; a ( γ) — значение принимаемого сигнала.
Определенный интерес представляет зависимость дисперсии оценки и корреляционной
функции от уровня фиксации 1/р. В этом случае t0 =
2 ln π
p ⋅τ20 ,
и
соотношения
(1),
(2)
при-
нимают следующий вид:
σф2р =
2
Gτ20 p2
⋅πa2 (γ)
ln
p
=
2
σш2 τ220 p2
⋅π a2 (γ)ln
p
;
(3)
B2( p) =
2
⋅
Gτ20
πa2 (γ) p2 ln
p
=
2
⋅
σш2 τ220
πa2 (γ) p2
ln
p
,
(4)
где σш2 = G τ20 — дисперсия шумов на выходе приемно-усилительного тракта.
Таким образом, с учетом выражений (3) и (4) дисперсия шумовой погрешности опреде-
ляется зависимостью
σ2 =
2
σш2 τ220
⋅πa2 (γ)
ln
p
⎛ ⎜ ⎝
2
p2
−
1 p2
⎞ ⎟ ⎠
.
(5)
На рис. 1 приведен график зависимостей σ2 , σф2р и B2 от уровня фиксации сигнала.
Нормировка проводилась при условии, что
σш2 τ220
2⋅πа2 (
γ
)
=1
.
σ2 , σф2р , В2
Как видно из приведенных графиков, величины σ2 и σф2р имеют минимальное значе-
σ2 ( p)
ние при 1 p =1 e . Минимальное значение
20
дисперсии оценки фиксации сигнала будет при максимальном значении производной сигнала
σф2р ( p )
(для гауссовой функции этот уровень составляет 1 e ).
10 В соответствии с формулой (5) и рис. 1
можно сделать заключение о том, что основной
B2 ( p )
вклад в шумовую погрешность вносит диспер-
0 1,2 2 3 4
сия оценки фиксации по фронту. p 2. Истинное значение временной про-
Рис. 1
тяженности облучаемой поверхности ( τ1)
пропорционально длительности импульсной характеристики, отсчитанной на нулевом уров-
не. При заданном уровне отсчета значения длительностей импульсных характеристик для
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
Погрешность измерения протяженности поверхности при ее моноимпульсном облучении 53
различных поверхностей при одинаковой их радиальной протяженности различны и зависят
от формы поверхности.
Этот вопрос чрезвычайно важен, так как даже в теоретически идеальном случае, когда по-
верхность облучается равномерным круглым полем с временной функцией в виде δ-функции и отраженный сигнал является импульсной характеристикой поверхности, вследствие воздейст-
вия шума уровень отсчета необходимо выбирать, исходя из заданных вероятностных характе-
ристик принятия решения. А так как уровень отсчета не нулевой, и форма облучаемой поверх-
ности неизвестна, то обусловленная этим факторами погрешность является случайной и ском-
пенсировать ее не удается.
Следует отметить, что, например, при выборе уровня отсчета, равным 0,5 от максималь-
ного значения импульсной характеристики, относительная погрешность определения времен-
ной протяженности поверхности может достигать 50 % даже для элементарных поверхностей,
рассмотренных в работе [2]. Анализ этой погрешности произведем на примере двух поверхно-
стей — наклонной плоскости и конуса, импульсные характеристики которых наиболее извест-
ны и длительность их описывается различными функциями от уровня отсчета (что и вызывает
погрешность). При этом временная протяженность поверхностей одинакова.
На рис. 2 приведены диаграммы изменения относительной погрешности ∆ определения временной протяженности поверхности в зависимости от уровня отсчета при двух значениях
длительности зондирующего импульса: а — τ0 = τ1 2 , б — τ0 = 2τ1 3 . На графиках кривая 1 соответствует уровню отсчета, равному 0,5 , а кривые 2 и 3 — уровням 0,35 и 0,25 соответст-
венно.
а) ∆ 0,4
1
б) ∆
0,4
1
22
3 0,2
3 0,2
00
а bc
а bc
Рис. 2
Диаграммы построены для трех позиций: первая а — для импульсных характеристик по-
верхностей, когда их первичные информационные параметры не искажены; вторая b — для от-
раженных сигналов, когда искажение информационных параметров обусловлено длительно-
стью и формой зондирующего импульса, а также полями излучения и приема; третья с — для
выходных сигналов, в которых происходит дополнительное искажение первичных информаци-
онных параметров в приемно-усилительном тракте.
Как видно из представленных диаграмм, относительная погрешность определения ради-
альной протяженности облучаемой поверхности сокращается как по мере роста искажений ин-
формационных параметров, так и с уменьшением уровня отсчета. Следует отметить, что мини-
мизация этой погрешности требует энергетических затрат и соответствующей технической реа-
лизации системы.
3. В условиях, когда отношение порог/шум недостаточно велико, принятие шумового
выброса за сигнальной может привести к результатам, отличным от истинных значений оце-
нок длительности принимаемого сигнала. Ошибки, обусловленные принятием шумового
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
54 Е. Г. Лебедько, Нгуен Ву Тунг
выброса за сигнальный и выводящие оценку параметра за пределы протяженности сигналь-
ной функции, называются аномальными.
Дисперсия аномальной погрешности определяется зависимостью
σ2а
=
P
2 л.тр
σ2τ
,
где Pл.тр — вероятность ложной тревоги, στ — среднее квадратическое значение длительно-
сти шумового выброса на пороговом уровне С .
Так как вероятность ложной тревоги в задачах анализа рельефа поверхности может со-
ставлять величину 10−3 …10−5 , а следовательно, отношение порога к шуму µ0 = C σш ≈ 5…7 ,
то для C > 0 большинство положительных выбросов имеют малую длительность. В этом слу-
чае поведение дифференцируемого случайного процесса при C > 0 аппроксимируют парабо-
лой [3, 4], и плотность вероятности длительности выбросов случайного процесса определяет-
ся соотношением [5]
W
(τ,С ) =
1 4
(
−b0′′
)
µ02
τ
exp
⎡ ⎢⎣
−
1 8
(
−b0′′
)
µ02
τ2
⎤ ⎥⎦
;
τ > 0,
µ0
=
C σш
>>1 ,
(6)
∫где
−b0′′
=
1 2πσш2
∞
ω2G (ω) dω
−∞
—
мощность
производной
случайного
процесса;
σш2 = B2 (0) ;
G (ω) — энергетический спектр шумов.
С учетом выражения (6) дисперсия длительности шумового выброса
∫στ2
=
∞ −∞
⎡⎣τ−τ(C )⎤⎦2
1 4
(−b0′′)µ02τ exp
⎡⎢⎣−
1 8
( −b0′′ ) µ02 τ2
⎤ ⎥⎦
dτ
,
где τ(C ) — средняя длительность выброса случайного процесса на уровне C :
τ(C)=
2π −b0′′
⎡⎣1−Φ
(µ0
)⎤⎦
exp
⎛ ⎜⎜⎝
µ02 2
⎞ ⎟⎟⎠
,
∫здесь
Φ(µ0 )=
1 2π
µ0 −∞
exp
⎛ ⎜⎝⎜
−
x2 2
⎞ ⎠⎟⎟
dx
—
интеграл
вероятностей.
Произведем анализ аномальной погрешности при условиях оптимальной фильтрации
принимаемого сигнала гауссовой формы на фоне белого нормального шума. Тогда
( ) ( )σ2τ
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎩⎪
8τ220 πµ02
⎡ ⎢
π2µ02
⎢
⎣⎢
erfc (µ0 ) 2 exp µ02
2
−
π3 2
⋅erfc (µ0
)
exp
⎛ ⎜⎝⎜
µ02 2
⎞ ⎟⎠⎟
⎤⎫ +1⎥⎥⎦⎥⎬⎭⎪⎪
,
(7)
где erfc ( x) = 1 − erf ( x) , erf ( x) — функция Крампа.
Результаты расчетов στ по формуле (7) сведены в таблице.
µ0 στ, с, при τ20=2⋅10–8 с 3 1,06⋅10–8 4 0,789⋅10–8 5 0,638⋅10–8 7 0,456⋅10–8
στ, с, при τ20=5⋅10–8 с 2,649⋅10–8 1,995⋅10–8 1,596⋅10–8 1,14⋅10–8
στ, с, при τ20=10–7 с 5,299⋅10–8 3,989⋅10–8 3,192⋅10–8 2,28⋅10–8
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
Погрешность измерения протяженности поверхности при ее моноимпульсном облучении 55
Как следует из приведенных рассуждений, не всегда можно пренебрегать аномальной погрешностью: необходимо ее учитывать при оценке временной протяженности облучаемой поверхности и искать пути ее снижения посредством повышения порогового уровня и временного стробирования.
Анализ случайных составляющих погрешности измерения радиальной протяженности облучаемой поверхности показал, что наиболее опасной следует считать погрешность, обусловленную уровнем отсчета при априорной неопределенности формы облучаемой поверхности и ее отражающих свойств. При этом даже при равновероятном появлении пространственной структуры облучаемой поверхности плотность вероятностей этой погрешности остается неизвестной и приходится рассматривать максимальное ее значение.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лебедько Е. Г., Порфирьев Л. Ф., Хайтун Ф. И. Теория и расчет импульсных и цифровых оптикоэлектронных систем. Л.: Машиностроение, 1984.
2. Лебедько Е. Г., Нгуен Ву Тунг. Определение параметров отраженных сигналов в моноимпульсной лазерной системе анализа рельефа поверхности // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 5. С. 63—69.
3. Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихонов В. И. О длительности выбросов случайной функции // ЖТФ. 1954. Т. 24, вып. 1
4. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике М.: Сов. радио, 1961.
5. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. М.: Наука, 1970.
Евгений Георгиевич Лебедько Нгуен Ву Тунг
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный уни-
верситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: eleb@rambler.ru — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: eleb@rambler.ru
Рекомендована кафедрой оптико-электронных приборов и систем
Поступила в редакцию 26.03.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
УДК 621.384.32
Е. Г. ЛЕБЕДЬКО, НГУЕН ВУ ТУНГ
ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ РАДИАЛЬНОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ ПОВЕРХНОСТИ
ПРИ ЕЕ МОНОИМПУЛЬСНОМ ОБЛУЧЕНИИ
Представлен анализ основных случайных составляющих погрешности определения радиальной протяженности облучаемой поверхности, к которым относятся: шумовая погрешность, вызванная сдвигом отсчетных точек под действием шумов; погрешность, обусловленная уровнем отсчета сигнала при априорной неопределенности формы облучаемой поверхности и ее отражающих свойств; аномальная погрешность, вызванная принятием шумового выброса за сигнальный.
Ключевые слова: локация, дисперсия оценок, импульсная характеристика, радиальная протяженность.
При исследовании планет и астероидов Солнечной системы используются беспилотные
аппараты и автоматические транспортные средства, которые могут спускаться на платформах
с борта космических аппаратов. При их посадке, во избежание опрокидывания, возникает не-
обходимость определения структуры рельефа посадочной поверхности. Особенно важно при
этом знать перепад высот посадочной поверхности. Оперативный анализ ее рельефа должен
осуществляться с достаточно больших высот; погрешности изменения перепада высот со-
ставляют десятые доли метра. Определенные перспективы для работы таких навигационных
систем открывает трансформация пространственных признаков во временные в отраженном
сигнале при моноимпульсной локации исследуемой поверхности. В этом случае параметры
отраженного сигнала содержат информацию о пространственной структуре облученной по-
верхности и ее радиальной протяженности при однократном зондировании. При этом ради-
альная протяженность облучаемой поверхности характеризуется длительностью импульсной
характеристики поверхности на нулевом уровне отсчета.
Под импульсной характеристикой поверхности понимается отраженный сигнал от по-
верхности, облучаемой импульсом в виде дельта-функции. Импульсная характеристика по-
верхности определяется зависимостью [1]
gэ
(t
)
=
∫∫
S
r
(
γ
)
cos2
γ⋅δ
⎛ ⎜⎝
t
−
2z c
⎞ ⎠⎟
ds
,
где S — площадь облучаемой поверхности; γ — угол между направлением облучения и нор-
малью к элементу поверхности ds ; r (γ) — коэффициент яркости элемента поверхности;
δ(t ) — дельта-функция; c — скорость света.
Такой важный информационный параметр, как длительность импульсной характеристики поверхности изменяется вследствие того, что диаграммы излучения и приема отличаются от идеальных, зондирующий импульс не является дельта-функцией, а в условиях априорной неопределенности появления облучаемой поверхности не удается оптимизировать приемно-усилительный тракт. Перечисленные факторы определяют систематическую погрешность измерений, которую можно в определенной степени скомпенсировать в измерительной схеме приемной системы.
Наряду с этими систематическими погрешностями возникают случайные составляющие погрешностей, к которым относятся:
1) шумовая погрешность, вызванная сдвигом отсчетных точек под действием шумов;
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
Погрешность измерения протяженности поверхности при ее моноимпульсном облучении 51
2) погрешность, обусловленная уровнем отсчета сигнала при априорной неопределенности формы облучаемой поверхности и ее отражающих свойств;
3) аномальная погрешность, обусловленная принятием шумового выброса за сигнальный;
4) методическая погрешность схемы измерения временного интервала; 5) погрешность, возникающая под действием дестабилизирующих факторов, к которой, в частности, относится погрешность, вызванная условиями распространения излучения (турбулентностью атмосферы, если она имеется). Настоящая статья посвящена анализу 1, 2 и 3-й случайных составляющих погрешностей при работе навигационной системы в отсутствие атмосферы. 1. Так как искомый информационный параметр содержится в длительности принимаемого сигнала, то дисперсия шумовой погрешности, наряду с дисперсиями оценки фиксации временного положения сигнала по фронту и спаду, в силу корреляции шума в этих точках определяется зависимостью
σ2 = σф2 р +σс2п − B2 (τ3 ) ,
где σф2р и σс2п — дисперсии оценки фиксации (запаздывания) при пересечении заданного
уровня фронтом и спадом сигнала на выходе приемно-усилительного тракта; B2 (τ) — кор-
реляционная функция оценок при длительности τ3 сигнала на уровне отсчета (фиксации). Будем считать, что сигнал на выходе приемно-усилительного тракта симметричен, тогда
σ2 = 2σф2р − B2 (τ3 ) .
В условиях приема на фоне белого гауссова шума с энергетическим спектром G дисперсия оценки фиксации временного положения сигнала по фронту определяется зависимостью
G
∞
∫
⎣⎡ g
(t )⎤⎦2
dt
( )∫σф2р = ⎡∞ ⎢ s2′
−∞
t −τ*0
⎤2 ,
g (t0 −t ) dt⎥
⎢⎣−∞ ⎥⎦
где g (t ) — импульсная характеристика приемно-усилительного тракта, который вследствие
априорной неопределенности структуры облучаемой поверхности настроен на прием сигнала
( )с
параметрами
зондирующего
импульса;
s2′
t
−
τ
∗ 0
— производная интегральной свертки
зондирующего импульса и системной импульсной характеристики поверхности, которая определяется зависимостью
( ) ( )∫∫gэ* (t ) = ψ1 βx −∆x ,βy −∆ y ψ2 βx −∆x ,βy −∆ y r (γ ) cos2 γ⋅δ (t −2z c) ds , S*
здесь ψ1 ( x, y) и ψ2 ( x, y) — диаграммы полей излучения и приема соответственно.
В силу того что форма оптического импульса заданной энергии незначительно влияет на обнаружение и оценку параметров принимаемых сигналов, для описания диаграмм полей излучения и приема, а также аппроксимации зондирующего импульса будем при расчетах использовать гауссовы функции. В этом случае получим следующие выражения:
σф2 р
=
2Gτ320
π2t02a2 (γ )
⎛ exp ⎝⎜⎜
t02 τ220
⎞ ⎟⎟⎠
;
(1)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
52 Е. Г. Лебедько, Нгуен Ву Тунг
B2 (τ3 ) =
2 ⋅Gτ320
exp
⎛ ⎝⎜⎜
π
t02 τ220
⎞ ⎟⎟⎠
exp
⎛ ⎝⎜⎜
−π
a2 (γ ) π2t02
τ320 2τ220
⎞ ⎟⎟⎠
,
(2)
здесь τ20 =
τ02 + τ32 2
,
где
τ0
и
τ3
—
длительности
зондирующего
импульса
и
системной
им-
пульсной характеристики на уровне 0,5 от максимального значения; τ30 = tcп −tфр , где
tфр и tcп — математические ожидания оценок фиксации сигнала по фронту и спаду соответ-
ственно; a ( γ) — значение принимаемого сигнала.
Определенный интерес представляет зависимость дисперсии оценки и корреляционной
функции от уровня фиксации 1/р. В этом случае t0 =
2 ln π
p ⋅τ20 ,
и
соотношения
(1),
(2)
при-
нимают следующий вид:
σф2р =
2
Gτ20 p2
⋅πa2 (γ)
ln
p
=
2
σш2 τ220 p2
⋅π a2 (γ)ln
p
;
(3)
B2( p) =
2
⋅
Gτ20
πa2 (γ) p2 ln
p
=
2
⋅
σш2 τ220
πa2 (γ) p2
ln
p
,
(4)
где σш2 = G τ20 — дисперсия шумов на выходе приемно-усилительного тракта.
Таким образом, с учетом выражений (3) и (4) дисперсия шумовой погрешности опреде-
ляется зависимостью
σ2 =
2
σш2 τ220
⋅πa2 (γ)
ln
p
⎛ ⎜ ⎝
2
p2
−
1 p2
⎞ ⎟ ⎠
.
(5)
На рис. 1 приведен график зависимостей σ2 , σф2р и B2 от уровня фиксации сигнала.
Нормировка проводилась при условии, что
σш2 τ220
2⋅πа2 (
γ
)
=1
.
σ2 , σф2р , В2
Как видно из приведенных графиков, величины σ2 и σф2р имеют минимальное значе-
σ2 ( p)
ние при 1 p =1 e . Минимальное значение
20
дисперсии оценки фиксации сигнала будет при максимальном значении производной сигнала
σф2р ( p )
(для гауссовой функции этот уровень составляет 1 e ).
10 В соответствии с формулой (5) и рис. 1
можно сделать заключение о том, что основной
B2 ( p )
вклад в шумовую погрешность вносит диспер-
0 1,2 2 3 4
сия оценки фиксации по фронту. p 2. Истинное значение временной про-
Рис. 1
тяженности облучаемой поверхности ( τ1)
пропорционально длительности импульсной характеристики, отсчитанной на нулевом уров-
не. При заданном уровне отсчета значения длительностей импульсных характеристик для
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
Погрешность измерения протяженности поверхности при ее моноимпульсном облучении 53
различных поверхностей при одинаковой их радиальной протяженности различны и зависят
от формы поверхности.
Этот вопрос чрезвычайно важен, так как даже в теоретически идеальном случае, когда по-
верхность облучается равномерным круглым полем с временной функцией в виде δ-функции и отраженный сигнал является импульсной характеристикой поверхности, вследствие воздейст-
вия шума уровень отсчета необходимо выбирать, исходя из заданных вероятностных характе-
ристик принятия решения. А так как уровень отсчета не нулевой, и форма облучаемой поверх-
ности неизвестна, то обусловленная этим факторами погрешность является случайной и ском-
пенсировать ее не удается.
Следует отметить, что, например, при выборе уровня отсчета, равным 0,5 от максималь-
ного значения импульсной характеристики, относительная погрешность определения времен-
ной протяженности поверхности может достигать 50 % даже для элементарных поверхностей,
рассмотренных в работе [2]. Анализ этой погрешности произведем на примере двух поверхно-
стей — наклонной плоскости и конуса, импульсные характеристики которых наиболее извест-
ны и длительность их описывается различными функциями от уровня отсчета (что и вызывает
погрешность). При этом временная протяженность поверхностей одинакова.
На рис. 2 приведены диаграммы изменения относительной погрешности ∆ определения временной протяженности поверхности в зависимости от уровня отсчета при двух значениях
длительности зондирующего импульса: а — τ0 = τ1 2 , б — τ0 = 2τ1 3 . На графиках кривая 1 соответствует уровню отсчета, равному 0,5 , а кривые 2 и 3 — уровням 0,35 и 0,25 соответст-
венно.
а) ∆ 0,4
1
б) ∆
0,4
1
22
3 0,2
3 0,2
00
а bc
а bc
Рис. 2
Диаграммы построены для трех позиций: первая а — для импульсных характеристик по-
верхностей, когда их первичные информационные параметры не искажены; вторая b — для от-
раженных сигналов, когда искажение информационных параметров обусловлено длительно-
стью и формой зондирующего импульса, а также полями излучения и приема; третья с — для
выходных сигналов, в которых происходит дополнительное искажение первичных информаци-
онных параметров в приемно-усилительном тракте.
Как видно из представленных диаграмм, относительная погрешность определения ради-
альной протяженности облучаемой поверхности сокращается как по мере роста искажений ин-
формационных параметров, так и с уменьшением уровня отсчета. Следует отметить, что мини-
мизация этой погрешности требует энергетических затрат и соответствующей технической реа-
лизации системы.
3. В условиях, когда отношение порог/шум недостаточно велико, принятие шумового
выброса за сигнальной может привести к результатам, отличным от истинных значений оце-
нок длительности принимаемого сигнала. Ошибки, обусловленные принятием шумового
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
54 Е. Г. Лебедько, Нгуен Ву Тунг
выброса за сигнальный и выводящие оценку параметра за пределы протяженности сигналь-
ной функции, называются аномальными.
Дисперсия аномальной погрешности определяется зависимостью
σ2а
=
P
2 л.тр
σ2τ
,
где Pл.тр — вероятность ложной тревоги, στ — среднее квадратическое значение длительно-
сти шумового выброса на пороговом уровне С .
Так как вероятность ложной тревоги в задачах анализа рельефа поверхности может со-
ставлять величину 10−3 …10−5 , а следовательно, отношение порога к шуму µ0 = C σш ≈ 5…7 ,
то для C > 0 большинство положительных выбросов имеют малую длительность. В этом слу-
чае поведение дифференцируемого случайного процесса при C > 0 аппроксимируют парабо-
лой [3, 4], и плотность вероятности длительности выбросов случайного процесса определяет-
ся соотношением [5]
W
(τ,С ) =
1 4
(
−b0′′
)
µ02
τ
exp
⎡ ⎢⎣
−
1 8
(
−b0′′
)
µ02
τ2
⎤ ⎥⎦
;
τ > 0,
µ0
=
C σш
>>1 ,
(6)
∫где
−b0′′
=
1 2πσш2
∞
ω2G (ω) dω
−∞
—
мощность
производной
случайного
процесса;
σш2 = B2 (0) ;
G (ω) — энергетический спектр шумов.
С учетом выражения (6) дисперсия длительности шумового выброса
∫στ2
=
∞ −∞
⎡⎣τ−τ(C )⎤⎦2
1 4
(−b0′′)µ02τ exp
⎡⎢⎣−
1 8
( −b0′′ ) µ02 τ2
⎤ ⎥⎦
dτ
,
где τ(C ) — средняя длительность выброса случайного процесса на уровне C :
τ(C)=
2π −b0′′
⎡⎣1−Φ
(µ0
)⎤⎦
exp
⎛ ⎜⎜⎝
µ02 2
⎞ ⎟⎟⎠
,
∫здесь
Φ(µ0 )=
1 2π
µ0 −∞
exp
⎛ ⎜⎝⎜
−
x2 2
⎞ ⎠⎟⎟
dx
—
интеграл
вероятностей.
Произведем анализ аномальной погрешности при условиях оптимальной фильтрации
принимаемого сигнала гауссовой формы на фоне белого нормального шума. Тогда
( ) ( )σ2τ
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎩⎪
8τ220 πµ02
⎡ ⎢
π2µ02
⎢
⎣⎢
erfc (µ0 ) 2 exp µ02
2
−
π3 2
⋅erfc (µ0
)
exp
⎛ ⎜⎝⎜
µ02 2
⎞ ⎟⎠⎟
⎤⎫ +1⎥⎥⎦⎥⎬⎭⎪⎪
,
(7)
где erfc ( x) = 1 − erf ( x) , erf ( x) — функция Крампа.
Результаты расчетов στ по формуле (7) сведены в таблице.
µ0 στ, с, при τ20=2⋅10–8 с 3 1,06⋅10–8 4 0,789⋅10–8 5 0,638⋅10–8 7 0,456⋅10–8
στ, с, при τ20=5⋅10–8 с 2,649⋅10–8 1,995⋅10–8 1,596⋅10–8 1,14⋅10–8
στ, с, при τ20=10–7 с 5,299⋅10–8 3,989⋅10–8 3,192⋅10–8 2,28⋅10–8
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5
Погрешность измерения протяженности поверхности при ее моноимпульсном облучении 55
Как следует из приведенных рассуждений, не всегда можно пренебрегать аномальной погрешностью: необходимо ее учитывать при оценке временной протяженности облучаемой поверхности и искать пути ее снижения посредством повышения порогового уровня и временного стробирования.
Анализ случайных составляющих погрешности измерения радиальной протяженности облучаемой поверхности показал, что наиболее опасной следует считать погрешность, обусловленную уровнем отсчета при априорной неопределенности формы облучаемой поверхности и ее отражающих свойств. При этом даже при равновероятном появлении пространственной структуры облучаемой поверхности плотность вероятностей этой погрешности остается неизвестной и приходится рассматривать максимальное ее значение.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лебедько Е. Г., Порфирьев Л. Ф., Хайтун Ф. И. Теория и расчет импульсных и цифровых оптикоэлектронных систем. Л.: Машиностроение, 1984.
2. Лебедько Е. Г., Нгуен Ву Тунг. Определение параметров отраженных сигналов в моноимпульсной лазерной системе анализа рельефа поверхности // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 5. С. 63—69.
3. Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихонов В. И. О длительности выбросов случайной функции // ЖТФ. 1954. Т. 24, вып. 1
4. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике М.: Сов. радио, 1961.
5. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. М.: Наука, 1970.
Евгений Георгиевич Лебедько Нгуен Ву Тунг
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный уни-
верситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: eleb@rambler.ru — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: eleb@rambler.ru
Рекомендована кафедрой оптико-электронных приборов и систем
Поступила в редакцию 26.03.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 5