ПРЕДЕЛЬНАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ С ВЫСОКОЧАСТОТНЫМ ПЕРИОДИЧЕСКИМ ИЗМЕНЕНИЕМ СТРУКТУРЫ
42
УДК 62-50
А. И. КОРШУНОВ
ПРЕДЕЛЬНАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ С ВЫСОКОЧАСТОТНЫМ ПЕРИОДИЧЕСКИМ ИЗМЕНЕНИЕМ СТРУКТУРЫ
Получено векторно-матричное дифференциальное уравнение предельной непрерывной модели, к которой система с периодическим изменением структуры приближается при неограниченном уменьшении периода. Приведен пример использования полученных уравнений при исследовании импульсного повышающего преобразователя постоянного тока. Путем математического моделирования оценена близость предельной непрерывной модели к реальной системе с переменной структурой. Ключевые слова: высокочастотное периодическое изменение структуры, предельная непрерывная модель.
Введение. Системы с высокочастотным изменением структуры наибольшее распространение нашли в силовой электронике [1, 2]. Например, импульсные преобразователи напряжения постоянного или переменного тока, инверторы и другие содержащие полупроводниковые ключи устройства, состояние которых изменяется с высокой частотой, периодически изменяют и свою структуру. На этом основан принцип действия таких систем. Так, в простейшем повышающем импульсном преобразователе постоянного тока дроссель в течение части периода коммутации подключается к источнику напряжения и накапливает электромагнитную энергию, а оставшуюся часть периода отдает энергию в нагрузку. Изменяя соотношение между временем накопления и отдачи энергии, можно регулировать напряжение на нагрузке.
Основная идея использования рассматриваемого в настоящей статье частного вида систем с переменной структурой, в отличие от традиционных задач использования переменной структуры в системах автоматического управления [3], заключается в принципе осреднения и сглаживания выходных переменных за счет высокой частоты изменения структуры.
Математическое описание системы. Рассмотрим системы, фазовые траектории которых непрерывны, что характерно для реальных технических устройств.
Состояние системы определяется m-мерным вектором фазовых координат ХТ=[х1, х2, …, хm], Т — знак транспонирования.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
Предельная непрерывная модель системы с периодическим изменением структуры
43
Для общности исследуем системы, изменяющие свою структуру q раз в течение периода
Т. На каждом из q интервалов периода Т система описывается своим линейным дифференци-
альным уравнением в векторно-матричной форме:
dX (t) dτ
=
Ai X
+
BiU (τ);
0 < τ = t − nT − τ1 − τ2 − ... − τi−1 < τi ;
i = 1, 2, ..., q,
где Ai — m × m -квадратная матрица, Bi — m × k -прямоугольная матрица; U (τ) = U (t) при
t = nT + τ1 + τ2 + ... + τi−1 + τ, T = τ1 + τ2 + ... + τq ; U T (t) = [u1(t), u2 (t), ..., uk (t)] — k-мерный
вектор внешних воздействий.
Решение векторно-матричного линейного дифференциального уравнения на i-м интер-
вале периода Т имеет, как известно, следующий вид:
τ
∫X (τ) = H i(τ) X0i + H i(τ − η)BiU (η)dη , 0 < τ < τi,
(1)
0
где H i(τ) =exp(Aiτ) — матричная экспонента, η — переменная интегрирования.
Начальное значение вектора фазовых координат на i-м интервале периода Т изменения
структуры согласно принципу непрерывности фазовых координат при ограниченных воздей-
ствиях равно его конечному значению на предыдущем (i–1)-м интервале, т.е.
X0i = X (nT + τ1 + τ2 + ... + τi−1) .
(2)
Используя выражения (1) и (2), несложно получить разностное уравнение системы, связывающее значения вектора фазовых координат в начале и в конце периода изменения структуры системы, т.е. X ((n +1)T ) и X (nT ) . Приведем это уравнение для частного случая q=3:
τ1
∫X ((n + 1)T ) = H 3(τ3)H 2(τ2)H 1(τ1) X (nT ) + H 3(τ3)H 2(τ2)H 1(τ1) H 1(−η)B1U (nT + η)dη + 0
τ2 τ3
∫ ∫+H 3(τ3)H 2(τ2) H 2(−η)B2U (nT + τ1 + η)dη + H 3(τ3) H 3(−η)B3U (nT + τ1 + τ2 + η)dη. 00
Дифференциальное уравнение предельной непрерывной модели. В системах рас-
сматриваемого класса фазовые координаты и, следовательно, выходные сигналы состоят из
плавной составляющей и высокочастотных пульсаций, вызванных периодическим изменени-
ем структуры. При выборе достаточно высокой частоты (малого периода Т) изменения струк-
туры системы амплитуды пульсаций невелики. Очевидно, что при уменьшении периода Т ам-
плитуда пульсаций уменьшается, а при Т→0 на выходе схемы устанавливается постоянное
напряжение с малым уровнем пульсаций. Такую систему назовем предельной непрерывной
моделью.
Дифференциальные уравнения предельной непрерывной модели можно получить, ис-
пользуя теорию дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, развитую в работах
А. Ф. Филиппова, (см., например, его монографию „Дифференциальные уравнения с разрывной
правой частью“. М.: Наука, 1985). Однако для доступности изложения здесь использован мате-
матический аппарат, традиционный для области полупроводниковых преобразователей.
Для получения дифференциального уравнения предельной непрерывной модели необ-
ходимо вычислить производную ее фазовых координат:
dX (t)
dt
=
lim
T →0
X ((n
+ 1)T )X T
−
X (nT )
(3)
при τi T = γi = const , i=1, 2, …, q, nT=t=const.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
44 А. И. Коршунов
Не теряя общности, можно вычислить предел в формуле (3) для q=3, а полученный ре-
зультат распространить на общий случай. С этой целью получено выражение
X (t + T ) − X (t) = [H 3(γ3T )H 2(γ 2T )H 1(γ1T ) − E]X (nT ) +
γ1T
∫+H 3(γ3T )H 2(γ 2T )H 1(γ1T ) H 1(−η)B1U (η)dη + H 3(γ3T )H 2(γ 2T ) ×
0
γ2T γ3T
∫ ∫× H2 (−η)B2U (t + γ1T + η)dη + H 3(γ3T ) H 3(−η)B3U (t + γ1T + γ 2T +η)dη. 00
(4)
Для вычисления предела в формуле (3) следует разложить выражение (4) в ряд по сте-
пеням Т, воспользовавшись абсолютной сходимостью разложения матричной экспоненты в
ряд по степеням ее аргумента. Ограничиваясь линейным членом разложения, получаем
X (t + T ) − X (t) = [γ1A1 + γ 2 A2 + γ3A3 + (γ1B1 + γ 2B 2 + γ3B3)U (t)]T + 0(T ),
(5)
здесь 0(Т) — величина более высокого порядка малости, чем Т.
Подстановка полученного разложения (5) в предел в формуле (3) позволяет найти
dX (t) dt
=
AX
(t )
+
BU
(t)
,
(6)
где A = γ1A1 + γ 2 A2 + γ3A3 , B = γ1B1 + γ 2B 2 + γ3B3, γ1 + γ2 + γ3 = 1; U(t) — k-мерный вектор
внешних воздействий.
Распространение по очевидной аналогии полученного для q=3 результата на произволь-
ное значение q дает в общем случае
q qq
A = ∑ γi Ai , B = ∑ γiBi, ∑ γi = 1. i=1 i=1 i=1
(7)
Анализ дифференциального уравнения (6) показывает, что при γi = const , i=1, 2, …, q,
оно оказывается линейным, т.е. при Т→0 рассматриваемая система приближается к линейной
непрерывной стационарной системе.
В технических устройствах для управления системой используют изменение величин
γi . В этом случае управляющее воздействие оказывается не сигнальным, а параметриче-
ским, поскольку изменяет элементы матриц А и В (7). Таким образом, предельная непре-
рывная модель рассматриваемой системы с пере-
Кл ri i L 0 2
менной структурой представляет собой непрерывную нестационарную систему. Анализ таких сис-
T–τ 1 iC
τ
iн
тем, как известно [4], весьма сложная задача. Пример. Рассмотрим простейший импульсный
повышающий преобразователь постоянного тока,
U1 C Rн uн расчетная схема которого представлена рис. 1. Ключ Кл в каждом периоде Т переключений в течение
времени τ находится в положении 1, а оставшуюся
часть периода — в положении 2. Таким образом,
Рис. 1
q=2, γ1 = τ/Т, γ2 = 1– γ1. Состояние преобразователя определяется двумя фазовыми координатами (m=2):
током i=x1 через индуктивность L и напряжением uн = x2 на конденсаторе С. Очевидно, U (t) = U 1 = const, k = 1 .
Записав по законам Кирхгофа системы дифференциальных уравнений для двух положе-
ний ключа:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
Предельная непрерывная модель системы с периодическим изменением структуры
45
L C
di dξ
==
duн dξ
=
−ri +U1
−
uн Rн
,
,
0
<
ξ
<
τn
⎫ ;⎬⎪⎪ ⎪ ⎪⎭
L C
di dη
==
−ri
−uн
+U1
duн dη
=−
uн Rн
+i,
,
0
<
η
<
T
−
τn
,
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎭⎪
где r и L — сопротивление и индуктивность дросселя, Rн — сопротивление нагрузки, и преобразовав их к векторно-матричной форме Коши, получим
А1
=
⎢⎡− ⎢
r L
⎢ ⎣⎢
0
0
⎤ ⎥
−
1 RнС
⎥ ⎥ ⎥⎦
,
B1
=
1 L
⎡1 ⎣⎢0
⎤ ⎦⎥
,
А2 = ⎢⎡⎢⎢−1Lr ⎢⎣ C
Подставив выражения (8) в формулы (7), получим
−
1 L
−
1 RнС
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥
,
B2
=
1 L
⎡1⎤ ⎣⎢0⎥⎦
.
(8)
А = ⎢⎢⎢⎡1−−Lrγ ⎣⎢ C
− −
1− γ L 1
RнС
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥
,
⎡1⎤
B
=
⎢ ⎢ ⎣
L 0
⎥ ⎥ ⎦
.
(9)
Используя выражения (9), векторно-матричное уравнение предельной непрерывной модели можно переписать в виде системы дифференциальных уравнений в форме Коши:
d dt
x1
=
−
r L
x1
−
1− γ L
x2
+
U1 L
,⎪⎪⎫
d dt
x2
=
1− γ C
x1
−
1 RнС
x2 .
⎬ ⎪ ⎪⎭
(10)
Уравнение, соответствующее установившемуся режиму работы преобразователя при
U1 = const, γ=const, легко получить, положив в системе (10) dx1/dt=0, dx2 /dt=0 и решив ее относительно x1 и x2. В результате получаем
iуст
=
r
U1 + (1− γ )2
Rн
,
U2
= uн
уст
U1 (1− γ) Rн r +(1− γ)2 Rн
=
U1 1− γ
Rн Rн +r /(1−γ)2
.
(11)
Согласно выражениям (11) повышающий преобразователь в статике представляет собой управляемый источник напряжения, ЭДС и выходное сопротивление которого зависят от γ по формулам
E = U1/(1 – γ), Rвых=r/(1 – γ)2 .
Статическая характеристика повышающего преобразователя U2=f(γ) при γ= γmax=1− r / Rн имеет максимум, равный
U2
max=
U1 2
Rн . r
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
46 А. И. Коршунов
При γ→1 согласно второму из выражений (11) U2→ 0 . Причина указанных особенностей статической характеристики нагруженного преобра-
зователя заключается в не равном нулю значении активного сопротивления дросселя (r>0),
ограничивающем ток дросселя согласно неравенству
I ≤ Imax=U1/r.
(12)
При малом времени заряда конденсатора С, равном (1–γ)Т и уменьшающемся с ростом
γ, амплитуда тока подпитки должна неограниченно возрастать. Вследствие ограничения (12)
это невозможно и вызывает уменьшение выходного напряжения преобразователя при увели-
чении γ более γmax. При работе повышающего преобразователя в замкнутой системе стабилизации или ре-
гулирования выходного напряжения необходимо ограничивать величину γ, чтобы не превы-
шать γmax, так как в противном случае увеличение γ более γmax приведет к уменьшению выходного напряжения до нуля.
Оценка точности предельной непрерывной модели. Предельная непрерывная модель
системы с периодическим изменением структуры тем точнее описывает ее свойства, чем
меньше период. Аналитическое исследование точности модели представляет собой сложную
математическую задачу, возможно не особо важную для практики, поскольку в каждом кон-
кретном случае точность можно оценить путем математического моделирования.
В качестве примера приведем результат исследования повышающего импульсного преобразователя 100/200 В при следующих его параметрах: L=6,914·10–3 Гн, r=0,2 Ом, Rн=40 Ом, С=14·10–6Ф, Т=2·10–5 с (50 кГц).
Значение γ, обеспечивающее требуемое значение выходного напряжения U2=200 B при U1=100 В на возрастающей ветви статической характеристики, определяется решением уравнений (11):
γ
=1−
1 2
U1 U2
−
⎛ ⎜ ⎝
1 2
U1 U2
⎞2 ⎟ ⎠
−r
/
Rн
= 0,5112.
В качестве „пробного“ воздействия на повышающий преобразователь выберем изменение γ по закону
γ(t)= γ0+ ∆γsin(2πft),
где ∆γ=0,025
УДК 62-50
А. И. КОРШУНОВ
ПРЕДЕЛЬНАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ С ВЫСОКОЧАСТОТНЫМ ПЕРИОДИЧЕСКИМ ИЗМЕНЕНИЕМ СТРУКТУРЫ
Получено векторно-матричное дифференциальное уравнение предельной непрерывной модели, к которой система с периодическим изменением структуры приближается при неограниченном уменьшении периода. Приведен пример использования полученных уравнений при исследовании импульсного повышающего преобразователя постоянного тока. Путем математического моделирования оценена близость предельной непрерывной модели к реальной системе с переменной структурой. Ключевые слова: высокочастотное периодическое изменение структуры, предельная непрерывная модель.
Введение. Системы с высокочастотным изменением структуры наибольшее распространение нашли в силовой электронике [1, 2]. Например, импульсные преобразователи напряжения постоянного или переменного тока, инверторы и другие содержащие полупроводниковые ключи устройства, состояние которых изменяется с высокой частотой, периодически изменяют и свою структуру. На этом основан принцип действия таких систем. Так, в простейшем повышающем импульсном преобразователе постоянного тока дроссель в течение части периода коммутации подключается к источнику напряжения и накапливает электромагнитную энергию, а оставшуюся часть периода отдает энергию в нагрузку. Изменяя соотношение между временем накопления и отдачи энергии, можно регулировать напряжение на нагрузке.
Основная идея использования рассматриваемого в настоящей статье частного вида систем с переменной структурой, в отличие от традиционных задач использования переменной структуры в системах автоматического управления [3], заключается в принципе осреднения и сглаживания выходных переменных за счет высокой частоты изменения структуры.
Математическое описание системы. Рассмотрим системы, фазовые траектории которых непрерывны, что характерно для реальных технических устройств.
Состояние системы определяется m-мерным вектором фазовых координат ХТ=[х1, х2, …, хm], Т — знак транспонирования.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
Предельная непрерывная модель системы с периодическим изменением структуры
43
Для общности исследуем системы, изменяющие свою структуру q раз в течение периода
Т. На каждом из q интервалов периода Т система описывается своим линейным дифференци-
альным уравнением в векторно-матричной форме:
dX (t) dτ
=
Ai X
+
BiU (τ);
0 < τ = t − nT − τ1 − τ2 − ... − τi−1 < τi ;
i = 1, 2, ..., q,
где Ai — m × m -квадратная матрица, Bi — m × k -прямоугольная матрица; U (τ) = U (t) при
t = nT + τ1 + τ2 + ... + τi−1 + τ, T = τ1 + τ2 + ... + τq ; U T (t) = [u1(t), u2 (t), ..., uk (t)] — k-мерный
вектор внешних воздействий.
Решение векторно-матричного линейного дифференциального уравнения на i-м интер-
вале периода Т имеет, как известно, следующий вид:
τ
∫X (τ) = H i(τ) X0i + H i(τ − η)BiU (η)dη , 0 < τ < τi,
(1)
0
где H i(τ) =exp(Aiτ) — матричная экспонента, η — переменная интегрирования.
Начальное значение вектора фазовых координат на i-м интервале периода Т изменения
структуры согласно принципу непрерывности фазовых координат при ограниченных воздей-
ствиях равно его конечному значению на предыдущем (i–1)-м интервале, т.е.
X0i = X (nT + τ1 + τ2 + ... + τi−1) .
(2)
Используя выражения (1) и (2), несложно получить разностное уравнение системы, связывающее значения вектора фазовых координат в начале и в конце периода изменения структуры системы, т.е. X ((n +1)T ) и X (nT ) . Приведем это уравнение для частного случая q=3:
τ1
∫X ((n + 1)T ) = H 3(τ3)H 2(τ2)H 1(τ1) X (nT ) + H 3(τ3)H 2(τ2)H 1(τ1) H 1(−η)B1U (nT + η)dη + 0
τ2 τ3
∫ ∫+H 3(τ3)H 2(τ2) H 2(−η)B2U (nT + τ1 + η)dη + H 3(τ3) H 3(−η)B3U (nT + τ1 + τ2 + η)dη. 00
Дифференциальное уравнение предельной непрерывной модели. В системах рас-
сматриваемого класса фазовые координаты и, следовательно, выходные сигналы состоят из
плавной составляющей и высокочастотных пульсаций, вызванных периодическим изменени-
ем структуры. При выборе достаточно высокой частоты (малого периода Т) изменения струк-
туры системы амплитуды пульсаций невелики. Очевидно, что при уменьшении периода Т ам-
плитуда пульсаций уменьшается, а при Т→0 на выходе схемы устанавливается постоянное
напряжение с малым уровнем пульсаций. Такую систему назовем предельной непрерывной
моделью.
Дифференциальные уравнения предельной непрерывной модели можно получить, ис-
пользуя теорию дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, развитую в работах
А. Ф. Филиппова, (см., например, его монографию „Дифференциальные уравнения с разрывной
правой частью“. М.: Наука, 1985). Однако для доступности изложения здесь использован мате-
матический аппарат, традиционный для области полупроводниковых преобразователей.
Для получения дифференциального уравнения предельной непрерывной модели необ-
ходимо вычислить производную ее фазовых координат:
dX (t)
dt
=
lim
T →0
X ((n
+ 1)T )X T
−
X (nT )
(3)
при τi T = γi = const , i=1, 2, …, q, nT=t=const.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
44 А. И. Коршунов
Не теряя общности, можно вычислить предел в формуле (3) для q=3, а полученный ре-
зультат распространить на общий случай. С этой целью получено выражение
X (t + T ) − X (t) = [H 3(γ3T )H 2(γ 2T )H 1(γ1T ) − E]X (nT ) +
γ1T
∫+H 3(γ3T )H 2(γ 2T )H 1(γ1T ) H 1(−η)B1U (η)dη + H 3(γ3T )H 2(γ 2T ) ×
0
γ2T γ3T
∫ ∫× H2 (−η)B2U (t + γ1T + η)dη + H 3(γ3T ) H 3(−η)B3U (t + γ1T + γ 2T +η)dη. 00
(4)
Для вычисления предела в формуле (3) следует разложить выражение (4) в ряд по сте-
пеням Т, воспользовавшись абсолютной сходимостью разложения матричной экспоненты в
ряд по степеням ее аргумента. Ограничиваясь линейным членом разложения, получаем
X (t + T ) − X (t) = [γ1A1 + γ 2 A2 + γ3A3 + (γ1B1 + γ 2B 2 + γ3B3)U (t)]T + 0(T ),
(5)
здесь 0(Т) — величина более высокого порядка малости, чем Т.
Подстановка полученного разложения (5) в предел в формуле (3) позволяет найти
dX (t) dt
=
AX
(t )
+
BU
(t)
,
(6)
где A = γ1A1 + γ 2 A2 + γ3A3 , B = γ1B1 + γ 2B 2 + γ3B3, γ1 + γ2 + γ3 = 1; U(t) — k-мерный вектор
внешних воздействий.
Распространение по очевидной аналогии полученного для q=3 результата на произволь-
ное значение q дает в общем случае
q qq
A = ∑ γi Ai , B = ∑ γiBi, ∑ γi = 1. i=1 i=1 i=1
(7)
Анализ дифференциального уравнения (6) показывает, что при γi = const , i=1, 2, …, q,
оно оказывается линейным, т.е. при Т→0 рассматриваемая система приближается к линейной
непрерывной стационарной системе.
В технических устройствах для управления системой используют изменение величин
γi . В этом случае управляющее воздействие оказывается не сигнальным, а параметриче-
ским, поскольку изменяет элементы матриц А и В (7). Таким образом, предельная непре-
рывная модель рассматриваемой системы с пере-
Кл ri i L 0 2
менной структурой представляет собой непрерывную нестационарную систему. Анализ таких сис-
T–τ 1 iC
τ
iн
тем, как известно [4], весьма сложная задача. Пример. Рассмотрим простейший импульсный
повышающий преобразователь постоянного тока,
U1 C Rн uн расчетная схема которого представлена рис. 1. Ключ Кл в каждом периоде Т переключений в течение
времени τ находится в положении 1, а оставшуюся
часть периода — в положении 2. Таким образом,
Рис. 1
q=2, γ1 = τ/Т, γ2 = 1– γ1. Состояние преобразователя определяется двумя фазовыми координатами (m=2):
током i=x1 через индуктивность L и напряжением uн = x2 на конденсаторе С. Очевидно, U (t) = U 1 = const, k = 1 .
Записав по законам Кирхгофа системы дифференциальных уравнений для двух положе-
ний ключа:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
Предельная непрерывная модель системы с периодическим изменением структуры
45
L C
di dξ
==
duн dξ
=
−ri +U1
−
uн Rн
,
,
0
<
ξ
<
τn
⎫ ;⎬⎪⎪ ⎪ ⎪⎭
L C
di dη
==
−ri
−uн
+U1
duн dη
=−
uн Rн
+i,
,
0
<
η
<
T
−
τn
,
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎭⎪
где r и L — сопротивление и индуктивность дросселя, Rн — сопротивление нагрузки, и преобразовав их к векторно-матричной форме Коши, получим
А1
=
⎢⎡− ⎢
r L
⎢ ⎣⎢
0
0
⎤ ⎥
−
1 RнС
⎥ ⎥ ⎥⎦
,
B1
=
1 L
⎡1 ⎣⎢0
⎤ ⎦⎥
,
А2 = ⎢⎡⎢⎢−1Lr ⎢⎣ C
Подставив выражения (8) в формулы (7), получим
−
1 L
−
1 RнС
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥
,
B2
=
1 L
⎡1⎤ ⎣⎢0⎥⎦
.
(8)
А = ⎢⎢⎢⎡1−−Lrγ ⎣⎢ C
− −
1− γ L 1
RнС
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥
,
⎡1⎤
B
=
⎢ ⎢ ⎣
L 0
⎥ ⎥ ⎦
.
(9)
Используя выражения (9), векторно-матричное уравнение предельной непрерывной модели можно переписать в виде системы дифференциальных уравнений в форме Коши:
d dt
x1
=
−
r L
x1
−
1− γ L
x2
+
U1 L
,⎪⎪⎫
d dt
x2
=
1− γ C
x1
−
1 RнС
x2 .
⎬ ⎪ ⎪⎭
(10)
Уравнение, соответствующее установившемуся режиму работы преобразователя при
U1 = const, γ=const, легко получить, положив в системе (10) dx1/dt=0, dx2 /dt=0 и решив ее относительно x1 и x2. В результате получаем
iуст
=
r
U1 + (1− γ )2
Rн
,
U2
= uн
уст
U1 (1− γ) Rн r +(1− γ)2 Rн
=
U1 1− γ
Rн Rн +r /(1−γ)2
.
(11)
Согласно выражениям (11) повышающий преобразователь в статике представляет собой управляемый источник напряжения, ЭДС и выходное сопротивление которого зависят от γ по формулам
E = U1/(1 – γ), Rвых=r/(1 – γ)2 .
Статическая характеристика повышающего преобразователя U2=f(γ) при γ= γmax=1− r / Rн имеет максимум, равный
U2
max=
U1 2
Rн . r
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 9
46 А. И. Коршунов
При γ→1 согласно второму из выражений (11) U2→ 0 . Причина указанных особенностей статической характеристики нагруженного преобра-
зователя заключается в не равном нулю значении активного сопротивления дросселя (r>0),
ограничивающем ток дросселя согласно неравенству
I ≤ Imax=U1/r.
(12)
При малом времени заряда конденсатора С, равном (1–γ)Т и уменьшающемся с ростом
γ, амплитуда тока подпитки должна неограниченно возрастать. Вследствие ограничения (12)
это невозможно и вызывает уменьшение выходного напряжения преобразователя при увели-
чении γ более γmax. При работе повышающего преобразователя в замкнутой системе стабилизации или ре-
гулирования выходного напряжения необходимо ограничивать величину γ, чтобы не превы-
шать γmax, так как в противном случае увеличение γ более γmax приведет к уменьшению выходного напряжения до нуля.
Оценка точности предельной непрерывной модели. Предельная непрерывная модель
системы с периодическим изменением структуры тем точнее описывает ее свойства, чем
меньше период. Аналитическое исследование точности модели представляет собой сложную
математическую задачу, возможно не особо важную для практики, поскольку в каждом кон-
кретном случае точность можно оценить путем математического моделирования.
В качестве примера приведем результат исследования повышающего импульсного преобразователя 100/200 В при следующих его параметрах: L=6,914·10–3 Гн, r=0,2 Ом, Rн=40 Ом, С=14·10–6Ф, Т=2·10–5 с (50 кГц).
Значение γ, обеспечивающее требуемое значение выходного напряжения U2=200 B при U1=100 В на возрастающей ветви статической характеристики, определяется решением уравнений (11):
γ
=1−
1 2
U1 U2
−
⎛ ⎜ ⎝
1 2
U1 U2
⎞2 ⎟ ⎠
−r
/
Rн
= 0,5112.
В качестве „пробного“ воздействия на повышающий преобразователь выберем изменение γ по закону
γ(t)= γ0+ ∆γsin(2πft),
где ∆γ=0,025